김경종
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<details>
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<summary>line</summary>
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| Displacement | Force |
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| ------------ | ----- |
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| 0 | 0 |
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| Peak | ~0.8 |
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| Low | ~0.3 |
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| High | ~1.0 |
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</details>
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(a) Snap-through
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<details>
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<summary>line</summary>
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| Displacement | Force |
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| ------------ | ----- |
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| 0 | 0 |
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| 0.5 | 0.5 |
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| 1.0 | 1.0 |
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| 1.5 | 1.5 |
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| 2.0 | 2.0 |
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| 2.5 | 2.5 |
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| 3.0 | 3.0 |
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| 3.5 | 3.5 |
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| 4.0 | 4.0 |
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| 4.5 | 4.5 |
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| 5.0 | 5.0 |
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| 5.5 | 5.5 |
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| 6.0 | 6.0 |
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| 6.5 | 6.5 |
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| 7.0 | 7.0 |
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| 7.5 | 7.5 |
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| 8.0 | 8.0 |
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| 8.5 | 8.5 |
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| 9.0 | 9.0 |
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| 9.5 | 9.5 |
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| 10.0 | 10.0 |
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</details>
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(b) Snap-back
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<details>
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<summary>line</summary>
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| Displacement R | Force R | Label |
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| -------------- | ------- | ------------ |
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| 0 | 0 | (u1, λ1f) |
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| 0 | 0 | (u2, λ2f) |
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| 0 | 0 | Δl |
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| 0 | 0 | Δλ1f |
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| 0 | 0 | Δλ2f |
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| 0 | 0 | λαf |
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| 0 | 0 | um-1 |
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| 0 | 0 | Δu1 |
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| 0 | 0 | Δu2 |
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| 0 | 0 | Δu1-1 |
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| 0 | 0 | Δu2 |
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</details>
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(c) Arc-length Method의 개념도
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그림 2.8.5 Arc-length Method
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증분 시작시의 외력 벡터를 $R_{m}$ 으로, 외력 벡터의 증분을 $\Delta\lambda_{i}f$ 로 정의합니다. 하중 계수 $\Delta\lambda_{i}$ 는 단위 하중 f에 곱해지고 매 반복단계마다 변하게 됩니다.
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$$
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K _ {T} (u _ {i - 1}) \delta u _ {i} = \Delta R _ {i} ^ {R}
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$$
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$$
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\delta u _ {i} = K _ {T} (u _ {i - 1}) ^ {- 1} (f _ {\text { int }} (u _ {m - 1}) - f _ {\text { int }} (u _ {i}))
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$$
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위 방정식의 해는 다음과 같이 두 부분으로 나눌 수 있고, 증분 변위는 다음과 같이 구할 수 있습니다.
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$$
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\delta u _ {i} ^ {I} = K _ {T} (u _ {i - 1}) ^ {- 1} (f _ {\text { int }} (u _ {m - 1}) - f _ {\text { int }} (u _ {i})), \quad \delta u _ {i} ^ {I I} = K _ {T} (u _ {i - 1}) ^ {- 1} f
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$$
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$$
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\delta u _ {i} = \delta u _ {i} ^ {I} + \Delta \lambda_ {i} \delta u _ {i} ^ {I I}
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$$
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midas Civil에서는 하중 계수 $\Delta\lambda_{i}$ 를 구면경로법(Spherical Path)을 사용하여 구하고 이 방법의 구속 조건식은 다음과 같습니다.
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$$
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\Delta u _ {i} ^ {T} \Delta u _ {i} = \Delta l ^ {2}
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$$
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$\Delta l$ 은 구속하고자 하는 변위의 길이이고, $\Delta u_{i} = \Delta u_{i-1} + \delta u_{i}$ 의 식을 위 식에 대입하면 하중 계수 $\Delta \lambda_{i}$ 는 다음과 같이 계산됩니다.
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$$
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a _ {1} \Delta \lambda^ {2} + a _ {2} \Delta \lambda + a _ {3} = 0
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$$
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$$
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\Delta \lambda_ {i} = \frac {- a _ {2} + \sqrt {a _ {2} ^ {2} - 4 a _ {1} a _ {3}}}{2 a _ {1}}
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$$
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여기서
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$$
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\begin{array}{l} a _ {1} = \left(\delta u _ {i} ^ {I I}\right) ^ {T} \delta u _ {i} ^ {I I} \\ a _ {2} = 2 \left(\delta u _ {i} ^ {I}\right) ^ {T} \delta u _ {i} ^ {I I} + 2 \left(\Delta u _ {i - 1}\right) ^ {T} \delta u _ {i} ^ {I I} \\ a _ {3} = 2 \left(\Delta u _ {i - 1}\right) ^ {T} \delta u _ {i} ^ {I} + \left(\delta u _ {i} ^ {I}\right) ^ {T} \delta u _ {i} ^ {I} + \left(\Delta u _ {i - 1}\right) ^ {T} \Delta u _ {i - 1} - \Delta l ^ {2} \\ \end{array}
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$$
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일반적으로 위 식의 해는 2개 이지만, 복소수 해의 경우에는 구면경로법의 선형 동등해를 사용합니다. 두 실수해 중에서 어느 것을 사용할지 결정하기 위해서, 이전 반복과정과 현재 과정 사이의 변위 증분 벡터간의 각도 $\theta$ 를 다음 식으로 계산하여 판단합니다.
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$$
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\cos \theta = \frac {\left(\Delta u _ {i - 1}\right) ^ {T} \delta u _ {i}}{\left\| \Delta u _ {i - 1} \right\| \left\| \delta u _ {i} \right\|}
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$$
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하나의 해가 음의 값이고 다른 해가 양의 값이면 양의 값을 선택하고, 두 해가 모두 예각이면 선형 해답 $\Delta\lambda_{i} = -a_{3}/a_{2}$ 에 가까운 해를 사용합니다.
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# 8-3 P-Delta
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midas Civil의 P-Delta 해석 기능은 보요소가 횡력과 축력을 동시에 받을 때 2차적인 구조적 거동을 고려하기 위한 것으로 기하학적 비선형성(Geometric Nonlinearity)의 일종입니다.
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ACI318 Code나 AISC-LRFD Code에서는 실제적인 부재내력을 설계에 반영하기 위해 P-Delta 효과를 고려한 구조해석을 요구하고 있습니다.
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<details>
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<summary>flowchart</summary>
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```mermaid
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graph TD
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A["해석모델 입력"] --> B["강성행렬 구성"]
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B --> C["초기 정적해석수행"]
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C --> D["기하강성행렬 구성"]
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D --> E["수정된 강성행렬 구성"]
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E --> F["정적해석 수행"]
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F --> G{수렴어부확인}
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G -->|정적해석| H["해석결과출력"]
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G -->|동적해석| I["고유치해석"]
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```
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</details>
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그림 2.8.6 P-Delta 해석 수행개념도
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midas Civil의 P-Delta 해석 기능은 좌굴문제(Buckling Problem)를 수치해석적인 방법으로 해를 구할 때 사용되는 개념을 응용한 것으로써, 먼저 주어진 하중조건에대해 정적해석을 수행한 다음, 각 요소에 발생한 응력을 이용하여 기하강성행렬(Geometric Stiffness Matrix)을 만들고 수정된 강성행렬을 사용하여 주어진 조건을만족할 때까지 해석을 반복 수행하게 됩니다.
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그림 2.8.6과 같이 동적해석에 P-Delta 효과를 고려할 경우에도 기하강성행렬의 구성을 위해 정적하중조건의 입력이 필요합니다.
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midas Civil에 사용된 P-Delta 해석의 개념은 그림 2.8.7과 같습니다.
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외력에 의해 횡방향으로 모멘트와 전단력을 받는 기둥부재가 축력에 의해 인장 또는 압축을 추가로 받을 때, 인장력은 기둥부재가 모멘트와 전단력에 대해 저항하게 하는 반면, 압축력은 모멘트와 전단력에 대해 약해지게 합니다.
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즉, 인장력은 횡방향 거동에 대한 기둥부재의 강성을 증가시키고, 압축력은 그 강성을 감소시키는 효과를 가집니다.
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만약 압축력에 의한 응력이 아주 커져서 횡방향거동에 대한 강성감소치가 해당 부재의 횡방향강성과 같아지면 그 부재에 좌굴이 발생하게 되는데 그 때의 압축하중을 임계좌굴하중(Critical Buckling Load)이라 합니다. 이 효과를 축력과 횡력을 받는기둥부재에 대해 예를 들면 다음과 같습니다.
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그림 2.8.7(a)에서 기둥부재가 인장력과 횡력을 동시에 받는 경우, P-Delta 효과를고려하지 않을 때(횡변형과 수직하중에 의한 2차 변형효과를 고려하지 않을 때)모멘트는 기둥부재 끝단의 M=0에서부터 하단의 M=VL까지 일정한 비율로 증가합니다. 그러나 실제의 경우는 횡력때문에 Δ만큼의 횡변위가 발생하고 이 횡변위 Δ와 인장력 P에 의해 P·Δ만큼의 모멘트가 감소하게 됩니다. 따라서 기둥부재의 횡방향 강성이 증가한 것과 같은 효과를 가지게 됩니다.
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반대로 압축력과 횡력을 동시에 받는 경우는 P·Δ 만큼의 모멘트가 증가하게 되고,그 결과 기둥부재의 횡방향 강성이 감소한 것과 같은 영향을 나타내게 됩니다.
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따라서 횡방향 변위는 횡력과 축력의 변수가 됩니다. 이를 수식으로 표현하면 다음과 같습니다.
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$$
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\Delta = V / K, \quad K = K _ {o} + K _ {G}
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$$
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여기서 KO는 기둥부재 고유의 횡방향 강성을 의미하고, KG는 축력에 따른 강성증감효과를 나타낸 것입니다. 트러스, 보, 판요소의 기하강성행렬 구성은 “Chapter 7.좌굴해석"을 참조하시기 바랍니다.
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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P
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V
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L
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Before deflection
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After deflection
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P
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Δ
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P
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V
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y
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My
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My = Vy - Px
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body
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P-Delta effect
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Px
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Vy
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P-Delta effect
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PΔ
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M = VL
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(a) 기둥부재에 인장력과 횡력이 동시에 작용하는 경우
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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Before deflection
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After deflection
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P
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V
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L
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P
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x
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P
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y
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My
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My = Vy + Px
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Free body diagram
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P-Delta effect
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P-Delta effect
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M = VL
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</details>
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(b) 기둥부재에 압축력과 횡력이 동시에 작용하는 경우
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그림 2.8.7 P-Delta 효과를 고려한 기둥부재의 거동
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P-Delta 해석을 단계별로 정리하면 다음과 같습니다.
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-1단계 해석
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$$
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\Delta_ {I} = V / K _ {0}
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$$
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-2단계 해석
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$$
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\Delta_ {2} = f (P, \Delta_ {1}), \quad \Delta = \Delta_ {1} + \Delta_ {2}
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$$
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-3단계 해석
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$$
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|
\Delta_ {3} = f (P, \Delta_ {2}), \quad \Delta = \Delta_ {1} + \Delta_ {2} + \Delta_ {3}
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$$
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-4단계 해석
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$$
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\Delta_ {4} = f (P, \Delta_ {3}), \quad \Delta = \Delta_ {1} + \Delta_ {2} + \Delta_ {3} + \Delta_ {4}
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$$
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|
\- n단계 해석
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$$
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|
\Delta_ {n} = f \left(P, \Delta_ {n - 1}\right), \quad \Delta = \Delta_ {1} + \Delta_ {2} + \Delta_ {3} + \dots + \Delta_ {n}
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$$
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|
:
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midas Civil의 내부에서 수행되는 P-Delta 해석 과정을 각 단계별로 설명하면 다음과 같습니다.
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1단계 해석을 통하여 횡력에 의한 $\Delta_{7}$ 을 계산한 다음, 축력에 따른 기하강성행렬을 구하고 초기의 강성행렬에 기하강성행렬을 더하여 새로운 강성행렬을 구성합니다. 새로 구성된 강성행렬을 이용하여 P-Delta 효과를 고려한 $\Delta_{2}$ 를 계산하고 수렴조건의 만족 여부를 검토합니다. 수렴조건은 P-Delta Analysis Control 에서 주어진 최대 반복수행 횟수 및 허용변위차(Displacement Tolerance)에 대한 검토를 의미합니다. 수렴조건을 만족할 경우에는 반복수행 과정을 종료하게 되고 만족하지 못할 경우에는 동일한 절차에 따라 수렴조건을 만족할 때까지 상기의 과정을 반복 수행하게 됩니다.
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midas Civil의 P-Delta 해석에 사용된 정적 평형방정식을 정리하면 다음과 같습니다.
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$$
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[ K ] \{u \} + [ K _ {G} ] \{u \} = \{P \}
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$$
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여기서 [ ] K : 변형전 모델의 강성행렬(Stiffness Matrix)
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$[ K _ { G } ]$ : 매 반복 과정에서 새로 구성되는 부재력과 응력에 따른 기하강성행렬(Geometric Stiffness Matrix)
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{ } P : 정적하중벡터
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{ }u : 변위벡터
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midas Civil의 P-Delta해석 기능은 다음의 가정하에 수행됩니다.
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P-Delta 효과를 고려하기 위한 기하강성행렬은 트러스요소, 보요소, 벽요소에 대해서만 구성이 가능합니다.
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보요소의 횡변위(굽힘 및 전단 변형)는 축력에 의한 Large-Stress Effect에대해서만 고려됩니다.
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P-Delta 해석은 탄성영역에서 유효합니다.
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일반적으로 P-Delta 효과를 고려한 해석은 소요시간이 길기 때문에 구조설계의 완료단계에서 적용하는 것이 바람직합니다.
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# 8-4 경계비선형 해석
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# 8-4-1 비선형요소를 사용한 해석
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비선형 요소(인장/압축 전담요소)를 사용한 경계비선형 해석에서는 구조계 전체를 선형으로 가정하고 일부 비선형요소에 대해서만 비선형 거동 특성을 고려 하는 방법을 사용하고 있으며 내용을 정리하면 다음과 같습니다.
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비선형요소를 사용한 정적해석에서 사용할 수 있는 비선형요소에는 인장전담 트러스요소, Hook 요소, Cable 요소, 압축전담 트러스요소, Gap 요소, Elastic Link의 인장 또는 압축전담조건 등이 있습니다.
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비선형요소를 사용한 구조계의 정적평형 방정식을 정리하면 식 (1)과 같습니다.
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$$
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\left[ K + K _ {N} \right] \{U \} = \{P \} \tag {1}
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$$
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여기서 K : 선형구조물의 강성
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$K_{N}$ : 비선형요소의 강성
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식 (1)과 같은 비선형강성을 포함하는 평형방정식의 해를 구하는 방법으로는 변위나 부재력 조건에 따른 비선형요소의 강성을 재구성하고 반복해석을 통하여 평형방정식이 수렴하도록 하는 방법을 사용하고 있습니다.
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# 8-4-2 비선형요소의 강성( ${ \cal K } _ { N } )$
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midas Civil에서 사용되는 비선형요소의 강성은 해석결과로부터 구해지는 변위와부재력에 의해 결정됩니다. Truss, Hook, Gap 형태의 비선형강성은 양단부의 변위와 Hook나 Gap의 간격에 따라 부재의 비선형 강성이 결정되고, Cable 형태의 요소는 해석결과로 발생하는 부재력을 통해 비선형 강성이 결정됩니다
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Truss, Hook, Gap 형태의 인장 및 압축전담요소의 비선형강성은 식 (2)와 같이 결정되고, cable의 비선형강성은 부재에 작용하는 인장력의 변화에 따른 강성의 변화를 고려하고자 식 (3)과 같이 산정된 유효강성을 통해 비선형 강성이 결정됩니다.
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$$
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K _ {N} = f (D - d) \tag {2}
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$$
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여기서 D : 초기상태의 간격(Hook나 Gap의 간격)
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d : 해석결과 발생하는 부재의 길이 변화량
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$$
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K _ {e f f} = \frac {1}{1 / K _ {s a g} + 1 / K _ {e l a s t i c}} = \frac {E A}{L (1 + \frac {\omega^ {2} L ^ {2} E A}{1 2 T ^ {3}})} \tag {3}
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$$
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여기서 sagK $K _ { _ { s a g } } = \frac { 1 2 T ^ { 3 } } { \omega ^ { 2 } L ^ { 3 } } , K _ { e l a s t i c } = \frac { E A } { L }$ 2 3 , elastic K
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Cabl
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L : 중력방향에 대한 수평길이
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T : Cable의 인장력
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비선형요소의 경계조건에 따른 비선형성을 고려하는 해석에서는 구조물 재질의 비선형성 등을 고려하지 않기 때문에 다음과 같은 몇 가지 적용상의 제약이 있습니다.
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1. 구조물의 재료 비선형성은 고려하지 않습니다.
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2. 비선형요소만으로 구성된 구조형태는 하중에 따라 불안정성이 발생할 수있기 때문에 비선형요소만으로 구성된 절점의 사용은 제한됩니다.
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3. 하중에 따라 발생한 변위와 부재력에 의해 요소의 강성이 변화하기 때문에하중조건결과들의 선형조합은 사용할 수 없습니다.
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4. 비선형요소를 사용한 구조물의 동적해석 시에는 선형상태의 강성을 사용하여 해석을 수행합니다
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비선형요소를 사용한 해석과정은 다음과 같습니다.
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1. 구조물의 선형강성과 비선형요소의 선형상태의 강성을 사용하여 구조물의전체강성행렬과 하중벡터를 구성합니다.
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2. 전체강성과 하중벡터를 사용하여 정적해석을 수행하고 변위와 부재력을 구합니다.
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3. 구조물의 전체강성을 재구성합니다.
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4. 강성을 변화시켜 해석을 수행하는 경우에는 구해진 변위와 부재력을 사용하여 비선형요소의 강성을 계산하고 전체구조물의 강성을 재구성합니다.
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5. 2와 3 과정을 반복하여 해석결과가 수렴조건을 만족할 때까지 수행합니다.
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