김경종
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Mohr-Coulomb이나 Drucker-Prager의 경우 꼭지점에서 ${ \mathsf { C } } ^ { - 1 }$ 불연속성(미분불가능)으로 인해 회귀방향이 단일 해로 보장되지 않으면서 해가 발산합니다. 즉, 다음 그림에 표시된 것과 같이 Apex Regime에 응력상태가 존재할 경우 해는 발산합니다.현재 midas Civil 에서는 이를 고려하고 있지 않습니다.
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<summary>text_image</summary>
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Deviatoric axis
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Hydrostatic axis
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Apex regime
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그림 2.8.36 Apex Regime
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# 8-7 정적증분해석 (Pushover 해석)
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# 8-7-1 개요
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구조물의 내진성능 평가를 위한 비선형 해석법은 비선형 정적해석법과 비선형 동적해석법으로 분류됩니다. 비선형 동적해석법은 가장 정확한 해석법이라 할 수 있지만, 일반 엔지니어가 사용하기에는 많은 시간과 노력을 필요로 합니다. 반면에 정적해석법은 지진하중에 대한 구조물의 고유한 동적 특성을 반영하기 어렵다는 단점이 있으나, 해석절차가 간단하여 사용하기 쉽고 해석결과를 개념적으로 쉽게 표현하고 이해할 수 있어서 가장 많이 사용되고 있는 방법입니다.
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비선형 정적해석을 일반적으로 Pushover 해석법이라 부릅니다. Pushover 해석은 부재의 재료비선형적인 특성을 고려하여 구조물이 항복한 이후의 거동과 한계상태를 파악하는 가장 효과적인 해석방법입니다. Pushover 해석은 최근 지진공학과 내진설계 분야에서 많은 연구와 실무 적용이 이루어지고 있는 성능에 기초한 내진설계(Performance-Based Seismic Design, PTSD)에서 대표적인 해석방법으로 적용되고 있습니다. 성능에 기초한 내진설계의 목적은 사용자 및 설계자 모두가 대상 구조물의 목표성능(Target Performance)을 명확히 설정하고, 이를 구현할 수 있도록하는 것입니다. 따라서 내진설계를 먼저 수행한 후에 Pushover 해석을 통하여 구조물의 보유능력을 파악하고 고려하는 지진하중에 대하여 미리 설정된 목표성능이 달성되는지를 평가합니다.
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일반적인 내진설계법에서 등가정적하중을 산정할 때 그림 2.8.37과 같은 방법이 주로 사용됩니다. 이 개념은 반응수정계수(R)를 통하여 설계하중을 낮게 산정하고 구조물은 설계하중 이상의 강도를 갖도록 하는 것입니다. 여기서 반응수정계수를 사용하는 이유는 지진하중에 대하여 비탄성 영역에서 발생할 수 있는 구조물의 에너지 흡수능력을 고려하기 위한 것입니다. 이러한 설계법은 하중을 대상으로 하기 때문에 하중기반설계(Force-Based Design)이라 할 수 있습니다. 그러나 강도의 단순한 비교만을 통해서는 구조물의 실제적인 거동을 예측하기가 어렵습니다. 또한 구성 부재의 강도만으로 구조물 전체적인 강도 및 변형율을 산정할 수 없습니다. 결과적으로 구조물의 성능이 명확하게 파악되지 않은 상태로 설계될 가능성이 높습니다.
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성능에 기초한 내진설계에서는 사용자 혹은 발주자, 그리고 설계자가 구조물의 목표성능을 미리 설정합니다. 즉, 예상되는 지진하중에 대하여 주어진 여건에서 허용할 수 있는 적절한 피해정도 혹은 에너지 흡수정도를 미리 설정하고, 이를 달성할수 있도록 하는 것입니다. 그런데 에너지 흡수정도에 따라 구조물의 거동이 달라지기 때문에 파괴에 이를 때까지 구조물의 변형성능을 예측할 수 있어야 합니다.이때 성능평가의 대상을 구조물의 손상과 직접적인 연관성이 있는 변위로써 평가하기 때문에 이를 변위기반설계(Displacement-Based Design)이라 합니다.
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<summary>line</summary>
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| Displacement | Base Shear | Elastic Force Reduction | Capacity (elastic) |
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| ------------ | ---------- | ------------------------ | ------------------ |
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| D yield | V design | - | - |
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| D_max | R | - | - |
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| D | - | - | - |
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</details>
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그림 2.8.37 하중기반설계법에 따른 지진하중의 산정
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구조물의 변형성능을 평가하기 위한 하나의 방법으로 Pushover 해석을 수행하면,그림 2.8.38과 같은 하중-변형에 대한 능력스펙트럼이 생성됩니다. 그리고 구조물의 에너지 흡수정도에 따라 비탄성 요구스펙트럼을 산정할 수 있습니다. 능력스펙트럼과 요구스펙트럼이 교차되는 점은 대상구조물이 해석시 고려한 지진하중에 대하여 발휘할 수 있는 비선형 최대내력 및 변위를 의미합니다. 이 교차점이 목표성능의 범위에 존재하면 목표가 달성되었다고 할 수 있습니다.
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<details>
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<summary>line</summary>
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| Spectral Displacement | Spectral Acceleration (Performance Point) | Spectral Acceleration (Demand Spectrum) | Spectral Acceleration (Capacity Spectrum) |
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| --------------------- | ------------------------------------------ | ---------------------------------------- | ----------------------------------------- |
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| D_design | S_a | S_a | S_a |
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| S_d | S_d | S_d | S_d |
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</details>
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그림 2.8.38 변위기반설계법에 의한 구조물의 내진성능 평가
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# 8-7-2 해석방법
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구조물에 대한 목표성능은 최소 이상의 법규 및 내진설계기준을 만족하는 상태에서 사용자와 설계자에 의해서 결정됩니다. 그리고 구조물의 구조성능을 파악하기위하여 구조해석을 수행하게 되는데, 성능에 기초한 내진설계에서는 크게 다음과같은 4가지 해석방법을 선택하고 있습니다.
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선형 정적해석법(Linear Static Procedure, LSP)
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선형 동적해석법(Linear Dynamic Procedure, LDP)
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비선형 정적해석법(Nonlinear Static Procedure, NSP)
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비선형 동적해석법(Nonlinear Dynamic Procedure, NDP)
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midas Civil에서는 선형 정적 및 선형 동적해석법과 비선형 정적해석법 중에서 가장 대표적인 해석방법이라고 할 수 있는 Pushover 해석을 제공하고 있습니다. 소성힌지해석법이라고 불리는 Pushover 해석은 항복 이후의 극한내력과 안정상태를매우 효과적으로 파악할 수 있는 방법입니다. 이 해석법은 고차모드와 동적특성의영향을 받지 않는 구조물에 주로 사용할 수 있습니다. Pushover 해석에서는 재료학적 비선형거동을 파악할 수 있으며, P-Delta효과를 고려할 수 있습니다. 재료의비선형 특성은 부재의 단면에 대한 하중-변위관계를 이용하는 요소모델(Stress-Resultant Stress Approach)을 도입하여 적용합니다.
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Pushover 해석은 미리 설정한 정적하중을 구조물에서 예상할 수 있는 최대 성능점까지 점진적으로 가하여 저항력과 변위와의 관계인 능력곡선(Capacity Curve)를산정합니다. 다자유도 구조물에서의 저항력과 변위의 관계는 단자유도 시스템의응답가속도와 응답변위와의 관계로 표현되는 능력스펙트럼(Capacity Spectrum)으로전환됩니다. 그리고 지진하중에 대한 응답스펙트럼은 ADRS 형식(Acceleration-Displacement Response Spectrum)으로 표현되는 요구스펙트럼(Demand Spectrum)으로 변환합니다. 이 두 개의 스펙트럼을 비교하여 구조물의 비선형 상태에서의최대 요구내력과 변형능력을 평가하고 목표성능과 비교하여 구조물의 성능수준(Performance Level)을 결정하게 됩니다.
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midas Civil에서는 기본적으로 ATC-40(1996)과 FEMA-273(1997)에서 제공하는 능력스펙트럼법(Capacity Spectrum Method, CSM)의 원리를 이용하여 구조물의 내진성능을 평가하고 있습니다. 이들 보고서에서 제시하고 있는 이론 및 적용계수 등
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을 적용하여 구조물 및 부재의 성능을 평가할 수 있도록 하였습니다.
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능력스펙트럼법(CSM)의 원리는 그림 2.8.39와 같습니다.
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<details>
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<summary>flowchart</summary>
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```mermaid
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graph LR
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A["Δfloor"] -->|Pushover Analysis| B["MDOF System"]
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B -->|Transform| C["SDOF System"]
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B -->|Vbase| D["Δfloor"]
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C -->|S_a| E["Output"]
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```
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(a) 구조물의 능력곡선(Capacity Curve)과 능력스펙트럼(Capacity Spectrum) 산정
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<summary>line</summary>
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| Spectrum Type | Peak Value | Annotation |
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| ------------------- | ---------- | ----------------- |
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| Response Spectrum | Tn,1 | Tn,1,1 |
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| Response Spectrum | Tn,2 | Tn,2,2 |
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| Demand Spectrum | S_d | S_d = T_n^2 / 4π^2 S_a |
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| Demand Spectrum | S_d | A_max |
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| Demand Spectrum | S_d | D_max |
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| Demand Spectrum | S_d | Capacity Spectrum |
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| Performance Point | 5% Elastic | Performance Point |
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| Demand Spectrum | Tn,1 | Tn,1,1 |
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| Demand Spectrum | Tn,2 | Tn,2,2 |
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| Capacity Spectrum | A_max | A_max |
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| Capacity Spectrum | D_max | D_max |
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</details>
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(b) 요구스펙트럼(Demand Spectrum)의 산정
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(c) 성능점(Performance Point) 평가
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그림 2.8.39 능력스펙트럼법(Capacity Spectrum Method, CSM)의 원리
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Pushover 해석에서는 구조물이 보유하고 있는 내진성능을 평가하는 것이 주요 목적이기 때문에 반드시 1차적으로 해석 및 설계가 완료된 구조물에서만 적용이 가능합니다. Pushover 해석을 통하여 얻을 수 있는 장점은 다음과 같습니다.
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구조물의 항복 이후 거동 및 보유내력의 평가
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구조물의 에너지 소산능력 및 변위요구량의 파악
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구조물을 구성하는 각 구조요소의 소성화 과정을 순차적으로 산정
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보수ㆍ보강을 통하여 구조성능을 높이고자 할 때 필요부재의 경제적인 선정
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# 8-7-3 정적증분해석방법
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# 정증증분해석의 개요
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midas Civil의 정적증분해석의 목적은 설정한 하중에 대하여 하중 혹은 변위를 단계적으로 구조물에 작용시켜, 구조물의 내력과 변위의 관계를 추적하여 구조물의보유내력, 변형능력, 보유성능을 평가하기 위한 것입니다.
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구조물의 내력과 변위의 관계는 그림 2.8.40과 같이 나타낼 수 있습니다. 구조물에작용한 외력에 대하여 변형이 작은 범위에서 구조물은 거의 탄성거동하며, 내력과변위의 관계는 선형으로 나타납니다. 그러나 외력이 점진적으로 증가하여 요소의내력이 항복내력을 초과하면 소성힌지가 발생합니다. 소성힌지는 부재의 균열, 항복 등에 의한 것으로, 이로 인해 부재의 강성과 내력이 변화하여 비선형거동을 하게 됩니다.
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그림 2.8.40에서 점 A를 초과하면 내력과 변위는 비선형관계가 되므로, 점 A를 탄성한계라 합니다. 점 A에서 외력을 점차 증가시키면 소성힌지가 구조물 전체로 확대되어 미소한 외력의 증가에 의해 변형이 급격히 증가하는 점 B의 상태에 이르게됩니다. 점 B에서 외력을 더욱 증가시키면 더 이상 외력에 저항할 수 없는 지점인점C에 도달하게 됩니다. 이때 점 C에서의 내력을 최대보유내력이라 합니다.
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<summary>text_image</summary>
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Elastic Range
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Inelastic Range
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Internal Force
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A
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B
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C
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Plastic Hinge
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Displacement
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</details>
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그림 2.8.40 내력과 변형변위관계
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수평보유내력이란 구조물이 수평력에 저항하는 능력으로, 구조물이 잠재적으로 보유하고 있는 내력을 의미합니다.
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점 C는 하중을 분할하여 점진적으로 하중을 증가시키는 하중증분해석에서 안정해를 얻을수 있는 한계점입니다. 따라서, 극한점 이후의 거동을 파악하기 위해서는변위를 점진적으로 증가시켜 해석하는 변위증분해석을 수행하여야 합니다.
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midas Civil의 정적증분해석은 하중을 분할하여 해석하는 하중증분법(Load Control)과 목표변위를 분할하여 해석하는 변위증분법(Displacement Control)을 제공합니다.
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# 비선형 증분해석 과정
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정적증분해석에서는 요소의 소성화에 의한 강성 변화와 이로 인한 각 요소의 내력변화에 의해 불평형력(Residual Force)이 발생합니다. 이와 같은 불평형력을 해소하기 위해서는 반복해석(수렴계산)이 필요합니다. midas Civil에서는 반복해석기법으로Full Newton-Raphson Method를 사용하고 있습니다.
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Full Newton-Raphson Method에 의한 비선형 정적증분 해석과정은 다음과 같습니다.
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<details>
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<summary>line</summary>
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| Point | Description | Description |
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|-------|---------------------------------|---------------------------------|
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| A | λₙ·P₀ | Reference Load |
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| B | Kₙ⁽¹⁾ | Reference Load |
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| C | R⁽²⁾ | Reference Load |
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| D | ΔUₙ⁽²⁾ | Reference Load |
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| D | ΔUₙ⁽¹⁾ | Reference Load |
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| D | δUₙ⁽²⁾ | Reference Load |
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| D | δUₙ⁽³⁾ | Reference Load |
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| Fₙ⁽¹⁾ | Fₙ⁽¹⁾ | Reference Load |
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| Fₙ⁽¹⁾ | R⁽ⁱ⁾ | Residual Force |
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| Fₙ⁽¹⁾ | Fₙ⁽ⁱ⁾ | Internal Force |
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</details>
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그림 2.8.41 Newton-Raphson Method
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(1) 현재증분(n)의 외력벡터 $\lambda_{n} \cdot P_{0}$ 를 구조물에 작용시키면 그림 2.8.41의 점 A가 얻어집니다. 이때의 비선형 정적방정식은 다음과 같이 표현됩니다.
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$$
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\boldsymbol {K} _ {n} \Delta \boldsymbol {U} _ {n} + \boldsymbol {F} _ {n - 1} = \lambda_ {n} \cdot \boldsymbol {P} _ {0} \tag {37}
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$$
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여기서 $K_{n}$ : 현재증분스텝(n)에서의 구조물의 접선 강성행렬
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$\Delta U_{n}$ : 현재증분스텝(n)에서의 증분 변위벡터
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$F_{n-1}$ : 직전증분스텝(n-1)까지의 내력벡터
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$\lambda_{n}$ : 현재증분스텝(n)에서의 하중 파라메터
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$P_{0}$ : 설정된 하중벡터
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$\lambda_{n} \cdot P_{0}$ : 현재증분스텝(n)에서의 외력벡터
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식 (37)은 다음과 같이 증분방정식으로 표현할 수 있습니다.
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$$
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\boldsymbol {K} _ {n} \Delta \boldsymbol {U} _ {n} = \lambda_ {n} \cdot \boldsymbol {P} _ {0} - \boldsymbol {F} _ {n - 1}
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$$
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$$
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\boldsymbol {K} _ {n} \Delta \boldsymbol {U} _ {n} = \Delta \lambda_ {n} \cdot \boldsymbol {P} _ {0} \tag {38}
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$$
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여기서 $\Delta\lambda_{n}\cdot P_{0}$ : 현재증분스텝(n)에서의 증분 외력벡터
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식 (38)를 풀어 미지수인 증분 변위벡터 $\Delta U_{n}$ 를 구합니다.
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(2) 증분 변위벡터 $\Delta U_{n}$ 를 이용하여 각 비선형 요소의 접선강성과 내력을 구합니다. 구해진 각 요소의 접선강성을 조합하여 전체 구조물의 접선강성행렬 $K_{n}^{(i)}$ 을 구성합니다. 또한, 각 요소의 내력을 절점력으로 조합하여 내력벡터 $F_{n}^{(i)}$ 를 구합니다. 이때, 구조물의 내력과 변형량의 관계는 점 B가 됩니다.
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(3) 하중이 $\Delta\lambda_{n}\cdot P_{0}$ 만큼 증가하는 동안 비선형 요소가 항복하면, 요소강성이 변화하여 불평형력 $\boldsymbol{R}_{n}^{(i)}$ 이 발생합니다. 불평형력은 수렴계산을 통하여 해소합니다.
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$$
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\boldsymbol {K} _ {n} ^ {(i)} \delta \boldsymbol {U} _ {n} ^ {(i)} = \boldsymbol {\lambda} _ {n} \cdot \boldsymbol {P} _ {0} - \boldsymbol {F} _ {n} ^ {(i)}
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$$
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$$
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\boldsymbol {K} _ {n} ^ {(i)} \delta \boldsymbol {U} _ {n} ^ {(i)} = \boldsymbol {R} _ {n} ^ {(i)} \tag {39}
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$$
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여기서 $K_{n}^{(i)}$ : 현재증분스텝(n)의 i번째 수렴계산에서의 접선 강성행렬
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$\delta \pmb { U } _ { n } ^ { ( i ) }$ : 현재증분스텝(n) 의 i번째 수렴계산에서의 변위벡터
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$F _ { n } ^ { ( i ) }$ : 현재증분스텝(n) 의 i번째 수렴계산에서의 내력벡터
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$\pmb { R } _ { n } ^ { ( i ) }$ : 현재증분스텝(n) 의 i번째 수렴계산에서의 불평형력
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식 (39)를 풀어 미지수인 변위벡터 $\delta \pmb { U } _ { n } ^ { ( i ) }$ 를 구합니다. 각 요소의 내력과 접선강성을 구하고, 불평형력 $\pmb { R } _ { n } ^ { ( i ) }$ 을 구하여, 수렴조건이 만족할 때까지 (1)\~(3)의과정을 반복합니다.
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(4) 수렴조건이 만족되면(점 C) (1)로 돌아가 다음 증분의 해석을 수행합니다.
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# 불평형력과 수렴계산
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식 (39)를 풀어 미지수인 변위벡터 $\delta \pmb { U } _ { n } ^ { ( i ) }$ 를 구합니다. 각 요소의 내력과 접선강성을 구하고, 불평형력 $\pmb { R } _ { n } ^ { ( i ) }$ 을 구하여, 수렴조건이 만족할 때까지 (1)\~(3)의 과정을반복합니다.
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# (1) 불평형력과 수렴계산
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불평형력(Residual Force)은 각 증분에서의 요소강성 변화와 이로 인한 요소내력의 변화에 의해서, 가해지는 외력과 요소에 발생하는 내력 간의 차이를의미합니다. 불평형력은 전술한 바와 같이 Newton-Raphson Method에 의한반복해석(수렴계산)을 통하여 해소되며, 반복해석 조건에 따라서 다음과 같이처리됩니다.
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# 수렴계산을 수행하는 경우(최대반복회수를 2이상으로 설정한 경우)
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Newton- Raphson법에 의해 불평형력이 해소되어 수렴판단 조건을 만족할때까지 반복해석을 수행합니다. 단, 아래의 a, b의 불평형력은 다음 증분의외력으로 처리합니다.
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a) 최대반복회수만큼 반복해석을 수행한 경우에도 수렴판단 조건을 만족하지 못하여 잔존하는 불평형력
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b) 수렴판단 조건을 만족했지만 여전히 잔존하는 불평형력
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수렴판단 조건을 만족했다고 하더라도 불평형력이 완전히 0이 되는 것은 아닙니다. 단지 무시할 정도로 작아지는 것으로, 잔존 불평형력은 해석결과에 거의 영향을 미치지 않습니다.
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# - 수렴계산을 수행하지 않는 경우(최대반복회수를 1로 설정한 경우)
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불평형력은 다음 증분의 외력으로 처리합니다.
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따라서, 최대반복수 만큼 반복해석을 수행한 경우에도 수렴판단 조건을 만족하지 못하여 잔존하는 불평형력이 다음 증분의 외력에 더해지므로, 직전 증분에서 수렴하지 않았다고 하더라도, 현재 증분에서 수렴하면 전체 해석결과에 미치는 영향은 크지 않습니다.
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# (2) 수렴판단조건
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반복해석을 통하여 불평형력을 해소한다고 하더라도, 불평형력이 완전히 0이 되도록 수렴시키는 것은 수치해석적으로 불가능합니다. 따라서, 불평형력이 어느 정도 이하가 되면 수렴되었다고 판단하고 다음 증분으로 넘어가기 위해서 수렴판단조건을 설정하게 합니다.
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반복해석에서 수렴을 판정하는 기준 Norm은 변위, 하중 및 에너지의 세가지 방법을 제공하며, 이 가운데 하나 또는 복수의 Norm을 선택하여 수렴판단에 사용할 수 있습니다. 각 Norm의 정의는 다음과 같습니다.
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변위 Norm
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$$
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\varepsilon_ {D} = \sqrt {\frac {\delta \boldsymbol {U} _ {n} ^ {(i) T} \cdot \delta \boldsymbol {U} _ {n} ^ {(i)}}{\Delta \boldsymbol {U} _ {n} ^ {(i) T} \cdot \Delta \boldsymbol {U} _ {n} ^ {(i)}}} \tag {40a}
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$$
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■ 하중 Norm
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$$
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\varepsilon_ {F} = \sqrt {\frac {\delta \boldsymbol {F} _ {n} ^ {(i) T} \cdot \delta \boldsymbol {F} _ {n} ^ {(i)}}{\Delta \boldsymbol {F} _ {n} ^ {(i) T} \cdot \Delta \boldsymbol {F} _ {n} ^ {(i)}}} \tag {40b}
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$$
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■ 에너지Norm
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$$
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\varepsilon_ {E} = \sqrt {\frac {\delta \boldsymbol {F} _ {n} ^ {(i) T} \cdot \delta \boldsymbol {U} _ {n} ^ {(i)}}{\Delta \boldsymbol {F} _ {n} ^ {(i) T} \cdot \Delta \boldsymbol {U} _ {n} ^ {(i)}}} \tag {40c}
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$$
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