김경종
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<details>
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<summary>line</summary>
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| Point | D | P |
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|-------|-------|-------|
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| K₀ | D_ini | P₀ini |
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| P1(+) | D1(+) | P0ini |
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</details>
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(a) 초기단면력이 탄성범위인 경우
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<details>
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<summary>line</summary>
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| D | P0 | P1(+) | P2(+) |
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|-------|--------|--------|--------|
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| D1(+) | | | |
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| D2(+) | | | |
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| Dini | P0 | | |
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| Dini | P1(+) | | |
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</details>
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(b) 초기단면력이 탄성한계를 넘은 경우
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그림 2.9.1 입력된 초기단면력의 처리
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# 9-1-4 비선형 시간이력해석에서의 초기강성
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midas Civil의 비선형 시간이력해석에서 비탄성 부재의 초기강성은 Inelastic HingeProperties의 Initial Stiffness에서 다음과 같이 설정할 수 있습니다.
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Elastic : 탄성강성을 초기강성으로 사용, 단, 집중형 힌지의 휨 성분은6EI/L, 3EI/L, 2EI/L중 선택
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User : 사용자가 비선형 부재의 초기강성을 직접 입력
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Skeleton : 입력된 항복강도와 항복변형으로 초기강성 계산
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Elastic과 User인 경우, (+), (-)측에서 동일한 초기강성을 갖습니다.
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Skeleton을 선택한 경우, (+),(-)측의 항복변형을 각각 별도로 입력할 수 있습니다.이 경우 (+),(-)측의 항복강도와 항복변형의 기울기로 각각의 초기강성을 구하여,해석에는 큰 값을 적용합니다. 단, Orient-Origin, Elastic/Bilinear, Elastic/Trilinear,Elastic/Tetralinear형 이력은 비대칭으로 입력된 (+), (-)측 초기강성을 그대로 해석에반영합니다.
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# 9-1-5 Newton-Raphson Method
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비선형 시간이력해석의 각 시간증분에서는 비선형 요소의 강성 변화와 부재력 변화에 의해서 불평형력(Residual Force)이 발생하게 됩니다. 변위 증분을 구하는 과정에서 부재력과 외력 사이의 불평형력은 다음과 같이 처리됩니다.
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# 1. 수렴계산을 수행하는 경우
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Newton- Raphson법에 의해 불평형력이 해소될 때까지 반복해석을 수행
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# 2. 수렴계산을 수행하지 않는 경우
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불평형력을 다음 시간증분의 외력으로 처리
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반복계산에 의한 불평형력의 해소방법은 그림 2.9.2에 나타낸 것과 같이 Full
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Newton-Rapshon 법을 이용합니다. 반복해석에서 수렴을 판정하는 기준 Norm은 변위, 하중 및 에너지의 세가지가 있으며, 이 가운데 하나 또는 복수의 Norm을 선택하여 수렴판정에 반영할 수 있습니다. 각 Norm의 정의는 다음과 같습니다.
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$$
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\varepsilon_ {D} = \sqrt {\frac {\delta u _ {n} ^ {T} \cdot \delta u _ {n}}{\Delta u _ {n} ^ {T} \cdot \Delta u _ {n}}}, \varepsilon_ {F} = \sqrt {\frac {p _ {e f f , n} ^ {T} \cdot p _ {e f f , n}}{p _ {e f f , 1} ^ {T} \cdot p _ {e f f , 1}}}, \varepsilon_ {E} = \sqrt {\frac {p _ {e f f} ^ {T} \cdot \delta u _ {n}}{p _ {e f f , 1} ^ {T} \cdot \delta u _ {1}}}
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$$
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여기서, $\varepsilon_{D}$ : 변위 Norm
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$\varepsilon_{F}$ : 하중 Norm
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$\varepsilon_{E}$ : 에너지 Norm
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$p_{eff}^{T}$ : n번째 반복계산 단계에서의 유효하중 벡터
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$\delta u_{n}$ : n번째 반복계산 단계에서의 변위 증분 벡터
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$\Delta u_{n}$ : n회의 반복계산에 의해 누적된 변위 증분 벡터
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Newton-Raphson Method에 의한 수렴계산시, 비선형성이 매우 강한 경우, 반복횟수가 사용자가 입력한 최대 반복회수에 도달해도 수렴하지 않는 경우가 발생할 수 있습니다. 이와 같은 경우에는 시간증분 $\Delta t$ 를 재설정하여 해석하여야만 하지만, midas Civil에서는 반복해석시에 최대 반복회수에도 수렴되지 않는 경우, 해당 시간증분의 초기상태로 복귀하여 자동적으로 시간증분 $\Delta t$ 를 세분하여 재해석을 수행합니다.
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<details>
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<summary>line</summary>
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| Point Label | Description | Description |
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|-------------|--------------------------|---------------------------------|
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| t | Effective Load (t+Δt) | Effective Load (t+Δt) |
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| t | Effective Load (t) | Effective Load (t+Δt) |
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| t | Effective Load (t+Δt) | Effective Load (t+Δt) |
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| t | Effective Load (t) | Effective Load (t+Δt) |
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| t | Effective Load (t) | Effective Load (t+Δt) |
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| t | Effective Load (t) | Effective Load (t+Δt) |
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| t | Effective Load (t) | Effective Load (t+Δt) |
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| t | Effective Load (t) | Effective Load (t+Δt) |
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| t | Estimated Load (u(t+Δt)) | Estimated Load (u(t+Δt)) |
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| t | Estimated Load (u(t) | Estimated Load (u(t+Δt)) |
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| t | Estimated Load (u(t) | Estimated Load (u(t+Δt)) |
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| t | Estimated Load (u(t) | Estimated Load (u(t+Δt)) |
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| t | Estimated Load (u(t) | Estimated Load (u(t+Δt)) |
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| t | Estimated Load (u(t) | Estimated Load (u(t+Δt)) |
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| t | Estimated Load (-u(t+Δt)) | Estimated Load (-u(t+Δt)) |
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| t | Estimated Load (-u(t) | Estimated Load (-u(t+Δt)) |
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| t | Estimated Load (-u(t) | Estimated Load (-u(t+Δt)) |
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| t | Estimated Load (-u(t) | Estimated Load (-u(t+Δt)) |
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| t | Estimated Load (-u(t) | Estimated Load (-u(t+Δt)) |
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| t | Estimated Load (-u(t) | Estimated Load (-u(t+Δt)) |
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| t | Estimated Load (u(t+Δt)) | Estimated Load (u(t+Δt)) |
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| t | Estimated Load (u(t) | Estimated Load (u(t+Δt)) |
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| t | Estimated Load (u(t) | Estimated Load (u(t+Δt)) |
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| t | Estimated Load (u(t) | Estimated Load (u(t+Δt)) |
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| t | Effective Load (u(t+Δt)) | Estimated Load (u(t+Δt)) |
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| t | Effective Load (u(t) | Estimated Load (u(t+Δt)) |
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| t | Effective Load (u(t) | Estimated Load (u(t+Δt)) |
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| t | Effective Load (u(t) | Estimated Load (u(t+Δt)) |
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| t | Effective Load (u(t) | Estimated Load (u(t+Δt)) |
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| t | Effective Load (u(t) | Estimated Load (u(t+Δt)) |
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| t | Effective Load (-u(t+Δt)) | Estimated Load (-u(t+Δt)) |
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| t | Effective Load (-u(t) | Estimated Load (-u(t+Δt)) |
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| t | Effective Load (-u(t) | Estimated Load (-u(t+Δt)) |
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| t | Effective Load (-u(t) | Estimated Load (-u(t+Δt)) |
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| t | Effective Load (-u(t) | Estimated Load (-u(t+Δt)) |
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| t | Effective Load (-u(t) | Estimated Load (-u(t+Δt)) |
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| t | Effective Load (u(t+Δt)) | Estimated Load (u(t+Δt)) |
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| t | Effective Load (u(t) | Estimated Load (u(t+Δt)) |
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| t | Effective Load (u(t) | Estimated Load (u(t+Δt)) |
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| t | Effective Load (u(t) | Estimated Load (u(t+Δt) |
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| t | Effective Load (u(t) | Estimated Load (u(t+Δt) |
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| t | Effective Load (u(t) | Estimated Load (u(t+Δt) |
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| t | Effective Load (u(t) | Estimated Load (u(t+Δt) |
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| t | Effective Load (u(t) | Estimated Load (u(t+Δt) |
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| t | Effective load (u(t+Δt)) | Estimated load (u(t+Δt)) |
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| t | Effective load (u(t) | Estimated load (u(t+Δt)) |
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| t | Effective load (u(t) | Estimated load (u(t+Δt)) |
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| t | Effective load (u(t) | Estimated load (u(t+Δt)) |
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| t | Effective load (u(t) | Estimated load (u(t+Δt)) |
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| t | Effective load (u(t) | Estimated load (u(t+Δt)) |
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| t | Effective load (-u(t+Δt)) | Estimated load (-u(t+Δt)) |
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| t | Effective load (-u(t) | Estimated load (-u(t+Δt)) |
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| t | Effective load (-u(t) | Estimated load (-u(t+Δt)) |
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| t | Effective load (-u(t) | Estimated load (-u(t+Δt)) |
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| t | Effective load (-u(t) | Estimated load (-u(t+Δt)) |
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| t | Effective load (-u(t) | Estimated load (-u(t+Δt)) |
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| t | Effective load (u(t+Δt)) | Estimated load (u(t+Δt)) |
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| t | Effective load (u(t) | Estimated load (u(t+Δt)) |
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| t | Effective load (u(t) | Estimated load (u(t+Δt)) |
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| t | Effective load (u(t) | Estimated load (u(t+Δt)) |
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| t |
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| t | Effective load (u(t) | Estimated load (u(t+Δt)) |
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| t | Effective load (u(t) | Estimated load (u(t+Δt)) |
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| t | Effective load (u(t) | Estimated load (u(t+Δt)) |
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| t | Effective load (u(t) | Estimated load (u(t+Δt)) |
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| t | Effective load 0 (u(t+Δt)) | Estimated load (u(t+Δt)) |
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| t | Effective load 0 (u(t) | Estimated load (u(t+Δt)) |
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| t | Effective load 0 (u(t) | Estimated load (u(t+Δt)) |
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| t | Effective load 0 (u(t) | Estimated load (u(t+Δt)) |
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| t | Effective load 0 (u(t) | Estimated load (u(t+Δt)) |
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| t | Effective load 0 (u(t) | Estimated load (u(t+Δt)) |
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| t | Effective load 0 (u(t) | Estimated load (u(t+Δt)) |
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| t | Effective load 0 (u(t) | Estimated load (u(t+Δt)) |
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| t | Effective load 0 (u(t) | Estimated load (u(t+Δt)) |
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| t | Effective load 0 (u(t) | Estimated load (u(t+Δt)) |
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| t | Effective load 0 (u(t) | Estimated load (u(t+Δt)) |
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| t | Effective load 0 (u(t) | Estimated load (u(t+Δt)) |
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| t | Effective load 0 (u(t) | Estimated load (u(t+Δt)) |
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| t | Effective load 0 (u(t) | Estimated load (u(t+Δt)) |
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| t | Effective load 0 (u(t) | Estimated load (u(t+Δt)) |
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| t | Effective load 0 (u(t) | Estimated load (u(t+Δt)) |
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| t | Effective load 0 (u(t) + Δt) | Estimated load (u(t+Δt)) |
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| t | Effective load 0 (u(t) + Δt) | Estimated load (u(t+Δt)) |
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| t | Effective load 0 (u(t) + Δt) | Estimated load (u(t+Δt)) |
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| t | Effective load 0 (u(t) + Δt) | Estimated load (u(t+Δt)) |
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| t | Effective load 0 (u(t) + Δs) | Estimated load (u(t+Δt)) |
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| t | Effective load 0 (u(t) + Δs) | Estimated load (u(t+Δt)) |
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| t | Effective load 0 (u(t) + Δs) | Estimated load (u(t+Δt)) |
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| t | Effective load 0 (u(t) + Δs) | Estimated load (u(t+Δt)) |
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| t, t+Δt | Effective Load (u(t+Δt)) | Estimated load (u(t+Δt)) |
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| t, t+Δt | Effective Load (u(t) + Δt) | Estimated load (u(t+Δt)) |
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| t, t+Δt | Effective Load (u(t) + Δs) | Estimated load (u(t+Δt)) |
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| t, t+Δt | Effective Load (u(t) + Δs) | Estimated load (u(t+Δt)) |
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| t, t+Δt | Effective Load (u(t) + Δs) | Estimated load (u(t+Δt)) |
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| t, t+Δt | Effective Load (u(t) + Δs) | Estimated load (u(Δt) + Δs) |
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| t, t+Δt | Effective Load (u(t) + Δs) | Estimated load (u(t) + Δs) |
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| t, t+Δt | Effective Load (u(t) + Δs) | Estimated load (u(t) + Δs) |
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| t, t+Δt | Effective Load (u(t) + Δs) | Estimated load (u(t) + Δs) |
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| t, t+Δt | Effective Load (u(t) + Δs) | Estimated load (u(t) + Δt) |
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| t, t+Δt | Effective Load (u(t) + Δs) | Estimated load (u(t) + Δt) |
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| t, t+Δt | Effective Load (u(t) + Δs) | Estimated load (u(t) + Δs) |
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| t, t+Δt | Effective Load (u(t) + Δs) | Estimated load (u(t) + Δs) |
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| t, t+Δt | Effective Load (u(t) + Δs) | Estimated load (u(t) + Δs) |
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| t, t+Δt | Effective Load (u(t) + Δs) | Estimated load (u(t) + Δs) |
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| t, t+Δt | Effective Load (u(t) + Δs) | Estimated load (u(t) + Δs) |
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| t, t+Δt | Effective Load (u(t) + Δs) | Estimated load (u(t) + Δs) |
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| t, u(t+Δt) | Effective Load (u(t+Δt)) | Estimated load (u(t+Δt)) |
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| t, u(t+Δt) | Effective Load (u(t) + Δt) | Estimated load (u(t+Δt)) |
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| t, u(t+Δt) | Effective Load (u(t) + Δs) | Estimated load (u(t+Δt)) |
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| t, u(t+Δt) | Effective Load (u(t) + Δs) | Estimated load (u(t+Δt)) |
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| t, u(t+Δt) | Effective Load (u(t) + Δs) | Estimated load (u(t+Δt)) |
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| t, u(t+Δt) | Effective Load (u(t) + Δs)| Estimated load (u(t+Δt)) |
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| t, u(t+Δt) | Effective Load (u(t) + Δs)| Estimated load (u(t+Δt)) |
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| t, u(t+Δt) | Effective Load (u(t) + Δs)| Estimated load (u(t+Δt)) |
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| t, u(t+Δt) | Effective Load (u(t) + Δs)| Estimated load (U(t+Δt)) |
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| t, u(t+Δt) | Effective Load (u(t) + Δs)| Estimated load (U(t+Δt)) |
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| t, u(t+Δt) | Effective Load (u(t) + Δs)| Estimated load (U(t+Δt)) |
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| t, u(t+Δt) | Effective Load (u(t) + Δs)| Estimated load (U(t+Δs)) |
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| t, u(t+Δt) | Effective Load (u(t) + Δs)| Estimated load (U(t+Δt)) |
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| t, u(t+Δt) | Effective Load (u(t) + Δs)| Estimated load (U(t+Δt)) |
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| t, u(t+Δt) | Effective Load (u(t) + Δs)| Estimated load (U(t+Δt)) |
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| t, u(t+Δt) | Effective Load (u(t) + Δs)| Estimated load (U(t+Δt)) |
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| t, u(t+Δt) | Effective Load (u(t) + Δs)| Estimated load (U(t+Δt)) |
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| t, u(t+Δt) | Effective Load (u(t) + Δs)| Estimated load (U(t+Δt)) |
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| t, t+Δt | Effective Load (u(t) + Δs)| Estimated load (U(t+Δt)) |
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| t, t+Δt | Effective Load (u(t) + Δs)| Estimated load (U(t+Δt)) |
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| t, t+Δt | Effective Load (u(t) + Δs)| Estimated load (U(t+Δt)) |
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| t, t+Δt | Effective Load (u(t) + Δt) | Estimated load (U(t+Δt)) |
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| t, t+Δt | Effective Load (u(t) + Δs) | Estimated load (U(t+Δt)) |
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| t, t+Δt | Effective Load (u(t) + Δs) | Estimated load (U(t+Δt)) |
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| t, t+Δt | Effective Load (u(t) + Δs) | Estimated load (U(t+Δt)) |
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| t, t+Δt | Effective Load (u(t) + Δs) | Estimated load (U(Δt) + Δs) |
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| t, t+Δt | Effective Load (u(t) + Δs) | Estimated load (U(t) + Δs) |
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| t, t+Δt | Effective Load (u(t) + Δs) | Estimated load (U(t) + Δs) |
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| t, t+Δt | Effective Load (u(t) + Δs) | Estimated load (U(t) + Δs) |
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| t, t+Δt | Effective Load (u(t) + Δs) | Estimated load (U(t) + Δs) |
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| t, t+Δt | Effective Load (u(t) + Δs) | Estimated load (U(t) + Δs) |
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| t, t+Δt | Effective Load (u(t) + Δs) | Estimated load (U(t) + Δs) |
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| t, t+Δt | Effective Load (u(t) + Δs) | Estimated load (U(t) + Δs) |
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| t, t+Δs | Effective Load (u(t) + Δs) | Estimated load (U(t) + Δs) |
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| t, t+Δs | Effective Load (u(t) + Δs) | Estimated load (U(t) + Δs) |
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| t, t+Δs | Effective Load (u(t) + Δs) | Estimated load (U(t) + Δs) |
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| t, t+Δs | Effective Load (u(T) + Δs) | Estimated load (U(T) + Δs) |
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| t, t+Δs | Effective Load (u(T) + Δs) | Estimated load (U(T) + Δs) |
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| t, t+Δs | Effective Load (u(T) + Δs) | Estimated load (U(T) + Δs) |
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| t, t+Δs | Effective Load (u(T) + Δs) | Estimated load (U(T) + Δs) |
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| t, t+Δs | Effective Load (u(T) + Δs) | Estimated load (U(T) + Δs) |
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| t, t+Δs | Effective Load (u(T) + Δs) | Estimated load (U(T) + Δs) |
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| t, t+Δs | Effective Load (u(T) + Δs) | Estimated load (U(T) + Δs) |
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| t, t+Δt | Effective Load (u(T) + Δs) | Estimated load (U(T) + Δs) |
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| t, t+Δt | Effective Load (u(T) + Δs) | Estimated load (U(T) + Δs) |
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| t, t+Δt | Effective Load (u(T) + Δs) | Estimated load (U(T) + Δs) |
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| t, t+Δt | Effective Load (u(t) + Δs) | Estimated load (U(T) + Δs) |
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| t, t+Δt | Effective Load (u(t) + Δs) | Estimated load (U(T) + Δs) |
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| t, t+Δt | Effective Load (u(t) + Δs) | Estimated load (U(T) + Δs) |
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| t, t+Δt | Effective Load (u(T) + Δs) | Estimated load (U(T) + Δs) |
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| t, t+Δt | Effective Load (u(T) + Δs) | Estimated load (U(T) + Δs) |
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| t, t+Δt | Effective Load (u(T) + Δs) | Extended load (u(T) + Δs) |
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| t, t+Δt | Effective Load (u(T) + Δs) | Extended load (u(T) + Δs) |
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| t, t+Δt | Effective Load (u(T) + Δs) | Extended load (u(T) + Δs) |
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| t, t+Δt | Effective Load (u(T) + Δs) | Extended load (u(T) + Δs) |
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</details>
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$\Delta^{eff}\mathbf{R}_{t + \Delta t}$ ;Incremental Effective Load
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$r_{t+\Delta t}$ ; Residual Force
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그림 2.9.2 Newton-Raphson Method
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# 9-2 비탄성 요소
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# 9-2-1 비탄성 보요소
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midas Civil의 비탄성 보요소는 비탄성 힌지가 지정된 보요소입니다. 비탄성 보요소는 유연도법(Flexibility Method)에 의해 정식화되며, 하종이 재하되는 동안 미소변형, 평면보존의 가정을 전제로 하는 Euler Bernoulli Beam Theory를 따릅니다. 비틀림성분은 축력, 모멘트 성분과 연동하지 않는 것으로 가정합니다.
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비탄성 보요소는 기하학적 선형으로 정식화됩니다. 단, 사용자가 초기부재력을 Initial Element Force에서 입력하고, Initial Force Control Data의 Check to Reflect Initial Axial Forces into Geometric Stiffness를 선택한 경우, 입력되는 초기부재력에 의한 기하강성을 구성하여 요소강성에 더하는 방법으로 고려되며, 해석중에 기하강성은 갱신되지 않습니다.
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구조부재의 비탄성 거동을 추적하고 이를 통해 변위연성능력을 평가하기 위해서는 부재의 항복변형을 초과하는 변형영역에 대한 해석이 필수적으로 필요합니다. 하지만, 기존의 강성도법(Stiffness-Based Method)은 형상함수(Shape Function)에 기초하여 정식화 되므로, 비탄성 해석시에 실제 변형형상과 정식화에서 가정된 형상함 수간에 차이가 생길 수 있습니다. 유연도법(Flexibility Method)에 기초한 모델은 단면형상뿐만 아니라 단면력에도 형상함수를 적용하여 정식화되며, 유연도법에서의 부재내력(Elementsection Force)분포는 실제 분포와 일치하기 때문에 보다 정확한 해석이 가능합니다. 유연도법이 단면력에 대해 선형의 형상함수를 적용하는 것은 포물선 형태의 강성도 변화를 가정하는 것에 해당합니다. 이는 강성도법에서 3차 함수의 변형 형상함수를 사용하는 것이 선형의 곡률분포를 가정하는 것에 비교되며, 따라서 더 적은 수의 단면으로도 강성도법과 같은 정도의 결과를 낼 수 있는 수치적 이점을 갖습니다. 결과적으로 유연도법을 사용하면 보다 적은 수의 요소로 정확한 모델링이 가능하고 그에 따라 보다 빠른 해석 속도를 얻을 수 있는 것으로 알려져 있습니다.
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midas Civil의 비탄성 보요소는 부재의 비탄성 영역의 분포 여부 및 해석방법에 따라서, 집중형 힌지 모델과 분포형 힌지 모델로 구분됩니다.
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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Inelastic Hinge
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M
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M
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Rigid
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Zone
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Elastic Beam
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Rigid
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Zone
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</details>
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(a) 집중형 힌지모델
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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M
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Rigid
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Zone
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Integration Point
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M
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Rigid
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Zone
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</details>
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(b) 분포형 힌지모델
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그림 2.9.3 비탄성 힌지
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집중형 힌지모델은 지진하중이 작용하는 경우, 보요소의 역대칭 모멘트에 의해 부재단에 생기는 소성힌지를 효과적으로 모델링한 방법입니다. 따라서, 비탄성힌지는휨, 전단 성분인 경우, 요소양단에 위치하게 되고, 축성분 힌지는 요소중앙에 위치하며, 집중형 힌지모델의 휨성분이력은 휨모멘트-회전각의 관계로 표현됩니다.
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분포형 힌지모델은 부재내에 복수의 비탄성 힌지를 할당하여, 각 힌지 위치에서의탄소성판정에 의해 힌지의 강성을 갱신한 후에 수치적분에 의해 요소강성을 구성합니다. 분포형 힌지모델의 휨 성분 이력관계는 단면의 휨모멘트-곡률관계로 표현됩니다.
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집중형 힌지는 분포형 힌지에 비하여 계산량이 상대적으로 적다는 이점이 있으나그림 2.9.4에 나타낸 것과 같이 부재력의 분포를 임의로 가정해야 하므로, 이 가정을 크게 벗어나는 경우에는 부정확한 결과를 초래할 수 있습니다. 또한, 집중형 힌지는 비탄성 힌지가 부재양단에 위치하므로, 비탄성 변형 영역의 확장은 무시됩니다. 반면에 분포형 힌지는 부재내의 비탄성 힌지수에 따라 계산시간이 늘어나는단점이 있으나, 부재력 분포를 보다 정확하게 반영할 수 있으며, 요소내 임의의 단면에서 일어나는 비탄성 거동을 파악할 수 있으므로, 집중형 힌지에 비해 정확한해석이 가능합니다.
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midas Civil에서는 하나의 보요소에 속한 힌지들은 동일한 속성을 갖도록 제한하고있습니다. 따라서, 교량의 상부구조와 같이 변단면(Tapered Beam)을 갖는 부재는실제 계산시에는 양단의 강성을 평균하여 등단면 보요소(Prismatic Beam)로 처리하고 있습니다. 따라서, 단면의 변화가 매우 심한 변단면 요소의 경우는 변단면을 등단면으로 치환하여도 해석결과에 큰 영향이 미치지 않을 정도로 적절히 분할하여모델링하는 것이 바람직하다.
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# 집중형 힌지모델
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집중형 힌지(Lumped Type Hinge Model)는 소성변형이 가능한 길이가 없는 병진 또는 회전 비탄성 스프링을 보요소에 삽입하여 모델링되며, Inelastic Hinge Properties의 Lumped Type으로 정의합니다. 보 요소에서 집중형 힌지를 제외한 나머지 부분은 탄성 보 요소로 모델링됩니다. 비탄성 스프링은 축변형 성분에 대해서는 부재중앙, 휨과 전단성분에 대해서는 부재 양 단부에 위치합니다.
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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cord rotation
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angle: θ
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M
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M
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Inelastic Hinge
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M
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Rigid
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Zone
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Elastic Beam
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Inelastic Spring
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Rigid
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Zone
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M
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</details>
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그림 2.9.4 집중형 힌지 모델
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힌지를 정의하는 비탄성 스프링은 축방향 변형의 경우에는 힘-변위 관계로, 휨 변형의 경우에는 단부에서의 모멘트-회전각 관계로 정의됩니다. 집중형 힌지가 부여된 보요소의 강성행렬은 유연도 행렬의 역행렬로 계산되며, 전체 보요소의 유연도행렬은 비탄성 스프링의 유연도 행렬과 탄성보의 유연도 행렬을 더해서 구성됩니다. 비탄성 스프링의 유연도는 사용자가 정의한 집중형 힌지의 접선 유연도와 초기 유연도의 차이로 정의되며 항복하기 전에는 영(Zero)이고, 항복하면서 유연도가발생합니다. 비탄성힌지의 접선 유연도 행렬은 뒤에서 설명하는 일축 또는 다축-힌지 이력모델에 의해 정의됩니다.
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$$
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F _ {S} = F _ {H} - F _ {H 0}
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$$
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$$
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F = F _ {B} + \sum F _ {S}
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$$
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$$
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K = F ^ {- 1}
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$$
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여기서 FH : 비탄성힌지의 유연도 행렬
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FH0 : 비탄성힌지의 초기 유연도 행렬
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FS : 비탄성 스프링의 유연도 행렬
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FB : 탄성 보의 유연도 행렬
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F : 비탄성보의 요소 유연도 행렬
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K : 비탄성보의 요소 강성 행렬
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<details>
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<summary>line</summary>
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| θ | M |
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|-------|-------|
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| 0 | 0 |
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| θ_e | M |
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| θ_p | M |
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| θ_s | 1/F_S |
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</details>
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Flexibility & Inelsastic Deformation of Inelastic Spring based on Hysteresis Model
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Initial Flexibility & Elastic Deformation of Inelastic Spring
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+
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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M
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θ_p
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1/F_H
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θ
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</details>
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Flexibility & Deformation of Inelastic Hinge
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그림 2.9.5 집중형 비탄성힌지의 유연도
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휨 변형 힌지의 모멘트-회전각 관계는 단부의 휨 모멘트뿐만 아니라 부재 중간의휨모멘트 분포에 의해서도 영향을 받습니다. 따라서 휨 변형 힌지의 모멘트-회전각관계를 결정하기 위해서는 휨 모멘트의 분포를 가정해야 합니다. 그림 2.9.6은 모멘트 분포 가정과 그에 따른 초기강성입니다.
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<table><tr><td>Deflection Shape</td><td>Moment Distribution</td><td>Initial Stiffness</td></tr><tr><td><img src="images/2c44cfe617c5ebbc5ebdf306c5c0421f2234229a8cacc083547be9a20c97d659.jpg"/></td><td>M</td><td>6EI/L</td></tr><tr><td><img src="images/cc8dff9a1f222ae7e50e439a8a6c47a402ee3858e3b6bd018c55f1be3ac7fb96.jpg"/></td><td>M</td><td>3EI/L</td></tr><tr><td><img src="images/56a57fbf992280c7d782221e002a58ac8ab3b0c3d538f1404ede7299df0c1d95.jpg"/></td><td>M</td><td>2EI/L</td></tr></table>
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그림 2.9.6 휨 변형에 대한 비탄성 힌지의 초기강성 (전체길이=L, 단면휨강성=EI)
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# 분포형 힌지모델
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분포형 힌지 모델(Distributed Type Hinge Model)은 요소 유연도 행렬계산에 필요한재축방향 적분점에서의 단면 유연도에 의해 정의됩니다. 분포형 힌지가 부여된 보요소의 유연도 행렬은 다음 식으로 정의되며 Gauss-Lobbato 적분을 통하여 계산됩니다. 요소 강성행렬은 유연도 행렬의 역행렬로 계산됩니다. 재축방향 적분점에서의 부재단면의 유연도는 일축 또는 다축-힌지 이력모델에 의거한 상태판정으로부터 결정됩니다. 분포형 힌지모델의 각 힌지는 파이버 모델로도 모델링이 가능합니다. 분포형 힌지 모델은 Inelastic Hinge Properties의 Distributed Type으로 설정합니다. 비탄성 힌지는 축 성분의 경우에는 단면에서의 힘-변형율 관계로, 휨 성분의경우에는 모멘트-곡률 관계로 정의됩니다.
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$$
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F = \int_ {0} ^ {L} b ^ {T} (x) f (x) b (x) d x
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$$
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$$
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K = F ^ {- 1}
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$$
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여기서 f(x) : 위치 x에서의 단면의 유연도 행렬
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b(x) : 위치 x에서의 부재력 분포 함수 행렬
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F : 요소 유연도 행렬
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K : 요소 강성도 행렬
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L : 부재 길이
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x : 단면의 위치
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<details>
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<summary>bar</summary>
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| Position | Flexibility |
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| -------- | ----------- |
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| Left | High |
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| Center | Low |
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| Right | High |
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</details>
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Flexibility Distribution
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<details>
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<summary>line</summary>
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| Curvature | Bending Moment |
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| --------- | -------------- |
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| 1 | 1 |
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</details>
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Tri-linear Skeleton Curve
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그림 2.9.7 분포형 힌지 모델
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보-기둥 요소의 비탄성 거동은 주로 부재의 단부에 집중되는 경우가 많습니다. 따라서, 기존의 Gauss-Legendre 적분법으로는 부재단을 적분점으로 취할수 없기 때문에, midas Civil에서는 요소단부의 단면을 적분점으로 취할 수 있는 Gauss-Lobatto 적분법을 사용하여 분포형 힌지 요소의 부재 유연도행렬을 유도합니다.
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적분점의 개수는 요소내의 비탄성 힌지의 개수를 의미하며 1개에서 최대 20개까지설정가능합니다. 적분점의 위치는 그림 2.9.8에 나타낸 것과 같이 적분점의 갯수에의해 정해지며, 양 단부로 갈수록 적분점 사이의 간격이 좁아지게 됩니다. 단,Gauss-Lobatto법은 요소 단부에서 적분점을 취하는 관계로, 적분점이 2개의 처리가 불가능하며, 적분점이 2개인 경우에는 Classical Gauss Integration을 사용하여유연도 행렬을 구성합니다.
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또한, 적분점의 수와 정확도는 반드시 비례하는 것이 아니며, 적분점의 개수가 많을수록 힌지의 상태 판정에 요구되는 계산량이 증가하는 단점이 있습니다. 적분점의 수와 해의 정확도를 검토한 연구결과에 의하면, 적분점의 수가 5개 이상일 때결과 차이가 거의 없는 것으로 알려져 있습니다. 따라서, 요소의 길이와 요소분할수에 의한 영향은 있겠지만, 대략 5개 이하가 적절합니다.
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(a) 적분점=1
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(b) 적분점=2
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(c) 적분점=3
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(d) 적분점=4
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(e) 적분점=5
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(f) 적분점=6
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그림 2.9.8 Gauss-Lobatto Integration에서의 적분점 위치
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# 9-2-2 비탄성 범용 연결 요소
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범용연결요소(General Link)는 요소좌표계의 x, y, z의 3방향 신장 및 회전을 표현하는 6개의 스프링으로 2절점을 연결하는 요소입니다. midas Civil의 범용연결요소가운데 Inelastic Hinge Properties을 부여할 수 있는 것은 Element Type의 Spring으로 제한됩니다. 범용연결요소는 단순히 각 성분별로 탄성강성만을 갖고 있으며Inelastic Hinge Properties를 부여함으로써 비선형 요소가 되며, 이력모델에 의해 비탄성 해석을 수행합니다.
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비탄성 범용연결요소는 구조물의 특정 부분 또는 지반의 소성변형이 하나의 스프링에 집중된 것으로 모델링하는 경우에 사용되며, Inelastic Hinge Properties에서Spring Type으로 정의 됩니다. 범용연결요소는 일반구조부재와 달리 부재의 재료제원이나 단면특성을 정의할 수 없으므로, 계산에 의해 요소강성을 산정할 수 없습니다. 따라서, 사용자가 각 성분별로 강성을 정의해야만 하며, 입력된 강성은 비선형 해석시에 초기강성으로 사용됩니다.
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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jointi
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kₓ
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kᵧ
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k_z
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k_θₓ
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k_θᵧ
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k_θ_z
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joint j
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</details>
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그림 2.9.9 범용연결요소의 스프링 강성
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