김경종
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c) 반대측 최대변형점에 도달하기 전에 재재하되는 경우는 같은 제하직선을 따라서 진행되며(Rule:3), 골격곡선에 도달하면, $K2^{(+)}$ , $K2^{(-)}$ 구배로 골격곡선상에서 이동합니다.(Rule: 4)
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<details>
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<summary>line</summary>
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| Point | Label | P | D |
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|-------|-------|------|------|
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| 1 | K2 | + | 0 |
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| 2 | Kr1 | (+) | 0 |
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| 3 | Rule 3| 4 | 0 |
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| 4 | Rule 4| 4 | 0 |
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| 5 | K2 | (-) | 0 |
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</details>
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3. a) D 가 최초로 $D2_{(\pm)}$ 를 초과한 경우, 제3구배 $K3^{(+)}$ , $K3^{(-)}$ 직선상을 진행합니다.(Rule: 13)
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b) 이 직선상에서, 제하되면 제하구배 $Kr^{(+)}$ , $Kr^{(-)}$ 로 이동합니다.(Rule: 15) 반대측이 제1차항복을 경험하기 전인 경우, 구배 $Kr^{(\pm)}$ 의 범위는 P1 까지가 되고, P1을 초과하면 제2항복점을 향하여 이동합니다.(Rule: 17)
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$$
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K r ^ {(+)} = K _ {b} ^ {(+)} * \left| \frac {D _ {\max} ^ {(+)}}{D 2 ^ {(+)}} \right| ^ {- \beta}, \quad K r ^ {(-)} = K _ {b} ^ {(-)} * \left| \frac {D _ {\max} ^ {(-)}}{D 2 ^ {(-)}} \right| ^ {- \beta}
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$$
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여기서, $K_{b}^{(+)}=\frac{P2_{(+)}-P1_{(-)}}{D2_{(+)}-D1_{(-)}}$ $K_{b}^{(-)}=\frac{P2_{(-)}-P1_{(+)}}{D2_{(-)}-D1_{(+)}}$
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β 제하강성 파라메터 ( $\beta = 0.4, Default$ )
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<!-- source-page: 392 -->
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<details>
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<summary>flowchart</summary>
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Diagram illustrating a multi-rule decision flow with labeled points P1 to P2 and directional arrows, including rule labels 13–19 and Kr(+).
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</details>
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4. 복원력0점을 초과하면, 반대측의 최대변형점을 향하여 이동하고(Rule:18),반대측 최대변형점을 향하는 직선상에서 제하되는 경우, 내부루프에 들어갑니다.(Rule:20) 내부루프에서는 복원력0점까지는 $K _ { u n } ^ { ( - ) }$ , $K _ { u n } ^ { ( + ) }$ 의 구배로제하되어, 복원력0점을 초과하면 반대측의 직전제하점을 이동합니다.(Rule:21)
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<details>
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<summary>flowchart</summary>
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```mermaid
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graph TD
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P["P"] -->|Rule: 13| D["D"]
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P -->|Rule: 14| D
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P -->|Rule: 17| D
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P -->|Rule: 18| D
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P -->|Rule: 20| D
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P -->|Rule: 21| D
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P -->|Rule: 22| D
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P -->|Rule: 23| D
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P -->|P2(-)| D
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P -->|P2(+)| D
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P -->|P1(-)| D
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P -->|P1(+)| D
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P -->|P2(-)| D
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P -->|P2(+)| D
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P -->|P1(-)| D
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P -->|P1(+)| D
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P -->|P2(-)| D
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P -->|P2(+)| D
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P -->|P1(-)| D
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P -->|P1(+)| D
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P -->|P2(-)| D
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P -->|P2(+)-| D
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P -->|P1(-)| D
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P -->|P1(+)-| D
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P -->|P2(-)| D
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P -->|P2(+)-| D
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P -->|P1(-)| D
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P -->|P1(+)-| D
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P -->|P2(-)| D
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P -->|P2(+)-| D
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P -->|P1(-)| D
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P -->|P1(+)-| D
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P -->|P2(-)| D
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P --> P2(-)
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```
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</details>
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<!-- source-page: 393 -->
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# 9-4-8 Takeda Tetralinear Type
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# 이력의 개요
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다케다4선형 이력은 강성저감 Tetralinear로서, 입력에 의해, 대칭 및 비대칭이 정의가능하며, 대응요소는 집중형 힌지 및 분포형 힌지 요소, 스프링 요소, 트러스요소 등입니다.
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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P
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P3(+)
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P2(+)
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P1(+)
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K4(+)
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D3(-)
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D2(-) D1(-) D1(+)
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D2(+)
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D3(+)
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D
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P1(-)
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K4(-)
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P2(-)
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P3(-)
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</details>
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그림 2.9.19 Takeda Tetralinear 이력모델
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# 골격곡선의 정의
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이력모델의 비선형특성은 이하의 값으로 정의됩니다.
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$$
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P 1 _ {(+)}, P 1 _ {(-)} \quad : (+), (-) \text { 측 제1차항복강도 }
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$$
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$$
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P 2 _ {(+)}, P 2 _ {(-)} \quad : (+), (-) \text { 측 제2차항복강도 }
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$$
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$$
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P 3 _ {(+)}, P 3 _ {(-)} \quad : (+), (-) \text { 측 제3차항복강도 }
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$$
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$$
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D 1 _ {(+)}, D 1 _ {(-)} \quad : (+), (-) \text { 측 제1차항복변형 }
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$$
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$$
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D 2 _ {(+)}, D 2 _ {(-)} \quad : (+), (-) \text { 측 제2차항복변형 }
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$$
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$$
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D 3 _ {(+)}, D 3 _ {(-)} \quad : (+), (-) \text { 측 제3차항복변형 }
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$$
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$$
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K _ {0} \quad : \text { 초기강성 }
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$$
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$$
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\mathrm{ye} ^ {(+)} - \mathrm{ye} ^ {(-)} \quad : (+), (-) \text {측 제2강성.}
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$$
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$$
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\text { 단, } K 2 ^ {(+)} = \alpha 1 ^ {(+)} \cdot K _ {0}, \quad K 2 ^ {(-)} = \alpha 1 ^ {(-)} \cdot K _ {0}
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$$
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$$
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K 3 ^ {(+)} , K 3 ^ {(-)} \qquad \qquad : (+), (-) \text { 측 제3강성. }
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$$
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$$
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\text { 단, } K 3 ^ {(+)} = \alpha 2 ^ {(+)} \cdot K _ {0}, \quad K 3 ^ {(-)} = \alpha 2 ^ {(-)} \cdot K _ {0}
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$$
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$$
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\alpha 1 ^ {(+)}, \alpha 1 ^ {(-)} \quad : (+), (-) \text {측 제1차항복후의 강성저감율 }
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$$
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$$
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\alpha 2 ^ {(+)}, \alpha 2 ^ {(-)} \quad : (+), (-) \text { 측 제2차항복후의 강성저감율 }
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$$
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$$
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\alpha 3 ^ {(+)}, \alpha 3 ^ {(-)} \quad : (+), (-) \text {측 제3차항복후의 강성저감율 }
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$$
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$$
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\beta : \text {제하강성 파라메터}
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$$
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$$
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\alpha \quad : \text { 내부 루프 반복시의 강성저감율 }
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$$
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# 다케다4선형(Takeda Tetralinear Type)의 이력규칙
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1. 초기재하시는 Tetralinear 골격곡선상에서 이동합니다.
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2. 변형 D 가 $D3_{(\pm)}$ 을 초과하기 전의 이력규칙은, 다케다형 Trilinear와 동일합니다.
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3. $D$ 가 $D3_{(\pm)}$ 을 초과한후에는 제4구배 $K4^{(+)}$ , $K4^{(-)}$ 직선상에서 이동합니다.
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4. 제4구배 $K4^{(+)}$ , $K4^{(-)}$ 에서 재하되는 경우도 다케다형과 동일한 재하구배로 이동합니다.
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<!-- source-page: 395 -->
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# 9-4-9 Modified Takeda Type
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# 이력의 개요
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수정 다케다형 이력은 강성저감 Trilinear로서, 입력에 의해, 대칭 및 비대칭이 정의가능하며, 대응요소는 집중형 힌지 및 분포형 힌지 요소, 스프링 요소, 트러스 요소 등입니다.
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<details>
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<summary>flowchart</summary>
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```mermaid
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graph TD
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P1["Point P1(+)"] --> D1["Point D1(-)"]
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P2["Point P2(+)"] --> D2["Point D2(+)"]
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D1 --> P1
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D2 --> P2
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P1 --> D1
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P2 --> D2
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D1 --> P1
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D2 --> P2
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P1 --> D1
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P2 --> D2
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D1 --> P1
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D2 --> P2
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P1 --> D1
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P2 --> D2
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D1 --> P1
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D2 --> P2
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P1 --> D1
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P2 --> D2
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D1 --> P1
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D2 --> P2
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D1 --> P2
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D2 --> P1
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D1 --> P2
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D2 --> P1
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D1 --> P2
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D2 --> P1
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D1 --> P2
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D2 --> P1
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D1 --> P2
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D2 --> P1
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D1 --> P2
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D2 --> P1
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D1 --> P2
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D2 --> P1
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D1 --> P2
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D2 --> P1
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```
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</details>
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그림 2.9.20 Modified Takeda 이력모델
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<!-- source-page: 396 -->
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# 골격곡선의 정의
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이력모델의 비선형특성은 이하의 값으로 정의됩니다.
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$$
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||
P 1 _ {(+)}, P 1 _ {(-)} \quad : (+), (-) \text { 측 제1차항복강도 }
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$$
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$$
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||
P 2 _ {(+)}, P 2 _ {(-)} \quad : (+), (-) \text { 측 제2차항복강도 }
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$$
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$$
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||
D 1 _ {(+)}, D 1 _ {(-)} \quad : (+), (-) \text { 측 제1차항복변형 }
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$$
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$$
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||
D 2 _ {(+)} , D 2 _ {(-)} \qquad : (+), (-) \text { 측 제2차항복변형 }
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$$
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$$
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K _ {0} \quad : \text { 초기강성 }
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$$
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$$
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K 2 ^ {(+)}, K 2 ^ {(-)} \quad : (+), (-) \text {측 제2강성.}
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$$
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$$
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\text { 단, } K 2 ^ {(+)} = \alpha 1 ^ {(+)} \cdot K _ {0} , \quad K 2 ^ {(-)} = \alpha 1 ^ {(-)} \cdot K _ {0}
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$$
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|
||
$$
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K 3 ^ {(+)}, K 3 ^ {(-)} \quad : (+), (-) \text { 측 제3강성. }
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$$
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$$
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\text { 단, } K 3 ^ {(+)} = \alpha 2 ^ {(+)} \cdot K _ {0} , \quad K 3 ^ {(-)} = \alpha 2 ^ {(-)} \cdot K _ {0}
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$$
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$$
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\alpha 1 ^ {(+)}, \alpha 1 ^ {(-)} \quad : (+), (-) \text {측 제1차항복후의 강성저감율 }
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$$
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$$
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\alpha 2 ^ {(+)}, \alpha 2 ^ {(-)} \quad : (+), (-) \text { 측 제2차항복후의 강성저감율 }
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$$
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||
$$
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\beta : \text {제하강성 파라메터}
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$$
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$$
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\alpha \quad : \text { 내부 루프 반복시의 강성저감율 }
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$$
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# 수정 다케다형(Modified Takeda Type)의 이력규칙
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1. $\left|D_{max}\right|<D1$ 의 경우는 선형탄성으로, 원점을 지나는 탄성구배 $K_{0}$ 의 직선상에서 이동합니다.(Rule:0)
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2. a) 변형 D 가 처음으로 $D1_{(\pm)}$ 을 넘는 경우, 제2차구배 $K2^{(+)}$ , $K2^{(-)}$ 직선상을 이동합니다.(Rule:1) 최초항복시, 반대측 제1항복점이 반대측의 최대변형점이 됩니다.
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<!-- source-page: 397 -->
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||
b) 이 직선상에서 제하되는 경우는 반대측의 최대변형점을 향하여 이동합니다. (Rule:2)
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c) 반대측 최대변형점에 도달하기 전에 재재하되는 경우는 같은 제하직선을 따라서 진행되며(Rule:3), 골격곡선에 도달하면, $K2^{(+)}$ , $K2^{(-)}$ 구배로 골격곡선상에서 이동합니다.(Rule: 4)
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<details>
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<summary>flowchart</summary>
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```mermaid
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graph TD
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P1["Point P1(+)"] -->|Rule: 0| D1["Point D1(-)"]
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P2["Point P2(+)"] -->|Rule: 1| D1
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P1 -->|Rule: 2| D1
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P2 -->|Rule: 3| D1
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P1 -->|Rule: 4| D2["Point D2(+)"]
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P2 -->|Rule: 5| D2
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D1 -->|P1(-)| D2
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D1 -->|P2(-)| D2
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style P1 fill:#f9f,stroke:#333
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style P2 fill:#f9f,stroke:#333
|
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style D1 fill:#ccf,stroke:#333
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||
style D2 fill:#ccf,stroke:#333
|
||
style D1 fill:#dfd,stroke:#333
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||
style D2 fill:#dfd,stroke:#333
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||
```
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</details>
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||
3. i) D 가 최초로 $D2_{(\pm)}$ 를 초과한 경우, 제3구배 $K3^{(+)}$ , $K3^{(-)}$ 직선상을 진행합니다. (Rule:10)
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ii) 이 직선상에서, 제하되면 제하구배 $Kr^{(+)}$ , $Kr^{(-)}$ 로 이동한다.(Rule:11) 반대측이 제2차항복을 경험하기 전인 경우, 반대측의 제2항복점이 반대측의 최대변형점이 됩니다.
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$$
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||
K r ^ {(\pm)} = \max \left(K _ {0} * \left| \frac {D _ {\max} ^ {(\pm)}}{D 1 ^ {(\pm)}} \right| ^ {- \beta}, K _ {b}\right)
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$$
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||
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<!-- source-page: 398 -->
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||
$$
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\text { 여기서, } K _ {b} = \frac {P _ {\max} ^ {(+)} - P _ {\max} ^ {(-)}}{D _ {\max} ^ {(+)} - D _ {\max} ^ {(-)}}
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$$
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||
$\beta$ : 제하강성 파라메터 ( $\beta = 0.4, Default$ )
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||
4. 복원력0점을 초과하면, 반대측의 최대변형점을 향하여 이동하고(Rule:14), 반대측 최대변형점을 향하는 직선상에서 제하되는 경우, 내부루프에 들어 갑니다.(Rule:15) 내부루프에서는 복원력0점까지는 $Kr^{(-)}$ , $Kr^{(+)}$ 의 구배로 제하되어, 복원력0점을 초과하면 반대측 최대점을 향하여 이동합니다.(Rule:16)
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||
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||
<details>
|
||
<summary>flowchart</summary>
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||
```mermaid
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||
graph TD
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||
A["Rule: 10"] --> B["Prize (D_max^(+) P_max^(+))"]
|
||
C["Rule: 11"] --> D["Prize (D_max^(+) P_max^(+))"]
|
||
E["Rule: 12"] --> F["Prize (D_max^(+) P_max^(+))"]
|
||
G["Rule: 13"] --> H["Prize (D_max^(+) P_max^(+))"]
|
||
I["Rule: 14"] --> J["Prize (D_max^(+) P_max^(+))"]
|
||
K["Rule: 15"] --> L["Prize (D_max^(+) P_max^(+))"]
|
||
M["Rule: 16"] --> N["Prize (D_max^(+) P_max^(+))"]
|
||
O["Rule: 17"] --> P["Prize (D_max^(+) P_max^(+))"]
|
||
Q["Rule: 18"] --> R["Prize (D_max^(+) P_max^(+))"]
|
||
S["Rule: 19"] --> T["Prize (D_max^(+) P_max^(+))"]
|
||
U["Rule: 20"] --> V["Prize (D_max^(+) P_max^(+))"]
|
||
W["Kr(+)"] --> X["Prize (D_max^(+) P_max^(+))"]
|
||
Y["Kr(-)"] --> Z["Prize (D_max^(+) P_max^(+))"]
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||
style A fill:#f9f,stroke:#333
|
||
style C fill:#f9f,stroke:#333
|
||
style E fill:#f9f,stroke:#333
|
||
style G fill:#f9f,stroke:#333
|
||
style I fill:#f9f,stroke:#333
|
||
style Q fill:#f9f,stroke:#333
|
||
style W fill:#f9f,stroke:#333
|
||
style U fill:#f9f,stroke:#333
|
||
style V fill:#f9f,stroke:#333
|
||
style W fill:#f9f,stroke:#333
|
||
style X fill:#f9f,stroke:#333
|
||
style Y fill:#f9f,stroke:#333
|
||
style Z fill:#f9f,stroke:#333
|
||
style W fill:#f9f,stroke:#333
|
||
style X fill:#f9f,stroke:#333
|
||
style Y fill:#f9f,stroke:#333
|
||
style Z fill:#f9f,stroke:#333
|
||
```
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</details>
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||
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||
<!-- source-page: 399 -->
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||
# 9-4-10 Modified Takeda Tetralinear Type
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# 이력의 개요
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||
수정 다케다4선형 이력은 강성저감 Tetralinear로서, 입력에 의해, 대칭 및 비대칭이 정의가능하며, 대응요소는 집중형 힌지 및 분포형 힌지 요소, 스프링 요소, 트러스 요소 등입니다.
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<details>
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||
<summary>text_image</summary>
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||
P
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P3(+)
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P2(+)
|
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P1(+)
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K4(+)
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D3(-)
|
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D2(-)
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D1(-)
|
||
D1(+)
|
||
D2(+)
|
||
D3(+)
|
||
D
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||
P1(-)
|
||
P2(-)
|
||
P3(-)
|
||
K4(-)
|
||
</details>
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||
그림 2.9.21 Modified Takeda Tetralinear 이력모델
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<!-- source-page: 400 -->
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# 골격곡선의 정의
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||
이력모델의 비선형특성은 이하의 값으로 정의됩니다.
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||
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||
$P1_{(+)}, P1_{(-)}$ : (+), (-) 측 제1차항복강도
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||
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||
$P2_{(+)}, P2_{(-)}$ : $(+)$ , $(-)$ 측 제2차항복강도
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||
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$P3_{(+)}, P3_{(-)}$ : (+),(-)측 제3차항복강도
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||
|
||
$D1_{(+)}, D1_{(-)}$ : $(+)$ , $(-)$ 측 제1차항복변형
|
||
|
||
$D2_{(+)}, D2_{(-)}$ : $(+)$ , $(-)$ 측 제2차항복변형
|
||
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||
$D3_{(+)}, D3_{(-)}$ : $(+)$ , $(-)$ 측 제3차항복변형
|
||
|
||
$K_{0}$ : 초기강성
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$\mathrm{v}_{\mathrm{e}}(+)$ , $\mathrm{v}_{\mathrm{e}}(-)$ : (+), (-) 측 제2강성.
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단, $K2^{(+)}=\alpha1^{(+)}\cdot K_{0}$ , $K2^{(-)}=\alpha1^{(-)}\cdot K_{0}$
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$\kappa_{2}(+)$ $\kappa_{2}(-)$ : (+),(-)측 제3강성.
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단, $K3^{(+)}=\alpha2^{(+)}\cdot K_{0}$ , $K3^{(-)}=\alpha2^{(-)}\cdot K_{0}$
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$K4^{(+)}, K4^{(-)}$ : (+), (-) 측 제4강성.
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단, $K4^{(+)}=\alpha3^{(+)}\cdot K_{0}$ , $K4^{(-)}=\alpha3^{(-)}\cdot K_{0}$
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$\alpha1^{(+)}, \alpha1^{(-)}$ : (+),(-)측 제1차항복후의 강성저감율
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$\alpha2^{(+)},\alpha2^{(-)}$ : $(+),(-)$ 측 제2차항복후의 강성저감율
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$\alpha3^{(+)}$ , $\alpha3^{(-)}$ : (+), (-) 측 제3차항복후의 강성저감율
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β : 제하강성 파라메터
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α : 내부 루프 반복시의 강성저감율
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