김경종
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해 Approximated solution을 구하게 되는데, 이 경계 조건 적용 과정에서 Linear term 만을 고려함으로써 Airy wave 모델이 유도가 됩니다. 따라서 Airy wave theory 는 수심이나 파장에 비해 파고가 상대적으로 작을 때 적용 타당성을 가지게 됩니다. 최종적으로 얻을 수 있는 결과 중 뒤에서 Wave force를 얻는데 필요한 결과를 정리하면 다음과 같습니다.
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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H
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y
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x
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h
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</details>
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\- Wave height : H
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\- Wave length : λ
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\- Wave period: $T = \frac{2\pi}{\omega}$ ( $\omega =$ circular frequency)
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\- Wave number: $k = \frac{2\pi}{\lambda}$
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\- Water depth : h
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Surface Wave form $\zeta = \frac{H}{2}\cos (kx - \omega t)$
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일반 Finite depth 환경일 때
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Dispersion relation $\omega^{2}=gk\tanh kh$
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Particle velocity
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$$
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u = \frac {\omega H}{2} \frac {\cosh k y}{\sinh k h} \cos (k x - \omega t), v = \frac {\omega H}{2} \frac {\sinh k y}{\sinh k h} \sin (k x - \omega t)
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$$
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Particle acceleration
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$$
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a _ {x} = \frac {\omega^ {2} H}{2} \frac {\cosh k y}{\sinh k h} \sin (k x - \omega t), a _ {y} = - \frac {\omega^ {2} H}{2} \frac {\sinh k y}{\sinh k h} \cos (k x - \omega t)
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$$
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Airy wave theory를 적용할 때 한 가지 주의해야 할 점은 자유표면 경계 조건의 선형화 과정에서 정수면에 대해 테일러 전개를 했기 때문에, 특정 깊이(y)에서의 입자의 속도 및 가속도를 구할 때 구하고자 하는 위치가 아니라 그때의 입자 궤적이 가지는 mean position 값을 대입해야 한다는 것입니다. 일반 finite depth 환경에서
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입자의 궤적은 속도 성분의 적분을 통해 다음과 같이 타원 형태로 구해집니다 (무한수심일 경우 원 궤적을 가지게 됩니다)
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Particle trajectory
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$$
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\left(\frac {\xi}{\frac {H}{2} \frac {\cosh k y}{\sinh k h}}\right) ^ {2} + \left(\frac {\zeta}{\frac {H}{2} \frac {\sinh k y}{\sinh k h}}\right) ^ {2} = 1
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$$
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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H/2
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apparent position
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H/2 coth kh
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mean position
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y
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x
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</details>
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# 18-2-2 Stokes 5th wave theory: 비선형 파동이론(5차항까지 stokes 급수전개)
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18-2-1 에서 살펴봤던 linear wave는 여러 면에서 아주 유용하지만 경계조건을 선형화 시키기 위해 small-amplitude를 가정함으로써 실제 파형을 반영하기에는 부족한 점이 많습니다. Linear theory의 확장은 Stokes(2nd order)나 Hunt(3rd oder) 등이해석해를 구한바 있고, Skjelbreia & Hendrickson (1961)이 5th order theory를 정리했습니다. 현재 전세계적으로 선급 등이나 여러 협회에서 선박이나 해양구조물의 파랑하중 등을 구할 때는 5th order 모델을 사용하도록 규정하고 있습니다.
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Linear wave는 1st order approximation을 함으로써 sinusoidal 파형을 가지게 됩니다. 반면 higher-order theory는 finite-amplitude theory로서 좀 더 실제 파형에 가까운 모델을 만들 수 있습니다. 아래 그림에서 볼 수 있듯이 higher-order 모델의 파형은 linear에 비해 crest가 좀 더 경사가 지는 반면, trough는 좀 더 평평한 형태를가지고 있습니다.
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<details>
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<summary>line</summary>
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| Line Type | Description |
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| --------------------- | ------------------- |
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| linear theory | flatter trough |
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| higher-order theory | steeper crest |
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</details>
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Stokes 5th order wave에서 구해지는 유체의 속도, 가속도 등은 다음과 같습니다.
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Surface wave form
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$$
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\begin{array}{l} k \varsigma = \delta \cos \theta + \left(\delta^ {2} B _ {2 2} + \delta^ {4} B _ {2 4}\right) \cos 2 \theta \\ + \left(\delta^ {3} B _ {3 3} + \delta^ {5} B _ {3 5}\right) \cos 3 \theta + \delta^ {4} B _ {4 4} \cos 4 \theta + \delta^ {5} B _ {5 5} \cos 5 \theta \\ \end{array}
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$$
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Dispersion relation
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$$
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\omega^ {2} = g k \tanh k h \left(1 + \delta^ {2} C _ {1} + \delta^ {4} C _ {2}\right)
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$$
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$$
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\mathrm{O} (\varepsilon) \mathrm{O} (\varepsilon^ {3}) \mathrm{O} (\varepsilon^ {5})
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$$
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여기서 $B_{ij}$ , $C_{i}$ 등은 Coefficient이고, $\delta = \mathrm{O}(\varepsilon)$ 는 Quantitative order를 나타내며 Wave number k 의 함수입니다. 한편, Liner wave에서는 파의 주기, 파고, 수심 등이 주어지면 Dispersion relation으로부터 Wave number가 바로 구해졌지만, 여기서는 Wave form 식과 Dispersion relation 식을 Iterative 하게 풀어야만 Wave number k 와 $\delta$ 를 구할 수 있습니다
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Particle velocity
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$$
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\begin{array}{l} \mathrm{u} = \frac {\partial \phi}{\partial \mathrm{x}} = C _ {\mathrm{P}} \left[ \left(\bar {\delta} A _ {1 1} + \bar {\delta} A _ {1 3} + \bar {\delta} A _ {1 5}\right) \cosh \mathrm{ky} \cos \theta \right] \\ + 2 \left(\bar {\delta} ^ {2} A _ {2 2} + \bar {\delta} ^ {4} A _ {2 4}\right) \cosh 2 k y \cos 2 \theta \\ + 3 \left(\bar {\delta} ^ {3} A _ {3 3} + \bar {\delta} ^ {5} A _ {3 5}\right) \cosh 3 k y \cos 3 \theta \\ + 4 \bar {\delta} ^ {4} A _ {4 4} \cosh 4 k y \cos 4 \theta \\ + 5 \bar {\delta} ^ {5} A _ {5 5} \cosh 5 k y \cos 5 \theta \\ \end{array}
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$$
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Particle acceleration
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$$
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\begin{array}{l} \frac {\partial \mathrm{u}}{\partial \mathrm{t}} = \mathrm{wC} _ {\mathrm{P}} \left[ \left(\bar {\delta} \mathrm{A} _ {1 1} + \bar {\delta} ^ {2} \mathrm{A} _ {1 3} + \bar {\delta} ^ {5} \mathrm{A} _ {1 5}\right) \cosh \mathrm{ky} \cos \theta \right] \\ + 4 \left(\bar {\sigma} ^ {2} A _ {2 2} + \bar {\sigma} ^ {4} A _ {2 4}\right) \cosh 2 k y \sin 2 \theta \\ + 9 \left(\bar {\delta} ^ {3} A _ {3 3} + \bar {\delta} ^ {5} A _ {3 5}\right) \cosh 3 k y \sin 3 \theta \\ + 1 6 \delta^ {4} \mathrm{A} _ {4 4} \cosh 4 \mathrm{ky} \sin 4 \theta \\ + 2 5 \delta^ {5} \mathrm{A} _ {5 5} \cosh 5 \mathrm{ky} \sin 5 \theta \\ \end{array}
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$$
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z방향 속도와 가속도도 마찬가지 방법으로 구할 수 있습니다.
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# 18-2-3 Stream Function : 흐름함수를 이용한 비선형 파동이론
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앞서 18-2-.2에서 살펴본 higher-order Stokian Wave theory(3rd, 5th order)는 유도과정뿐만 아니라 식 자체도 상당히 복잡해서 그 이상의 Higher-order로 전개하는것은 현실적으로 어려움이 많습니다. 이러한 이유로 Computer를 이용해 ‘어떤’Order로도 전개가 가능한 Wave theory의 필요성이 대두되었습니다. 처음으로Chappelear(1961)가 Velocity potentail을 이용하여 만든 Theory가 나온 이후,Dean(1965)이 Stream function을 이용해 Chappelear의 이론 보다 계산이 간단한Stream function Wave theory를 발표했습니다. 이후에 Cokelet(1977)이 Breaking 직전의 Wave height 범위까지 아주 정확한 계산이 가능한 이론을 발표했지만, 현재Design에는 적용되지 않고 있는 것으로 보입니다. 여기에서는 가장 일반적으로 이용되는 Dean의 이론을 이용 했습니다.
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Stream function theory는 앞서의 Wave theory에서 기본적으로 가정했던 Velocitypotential을 대신 Stream function을 사용합니다. Stream function을 이용해 x, y 방향Fluid velocity 성분을 다음과 같이 정의할 수 있습니다.
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수립자 속도 : $u = \frac { \hat { \sigma } \psi } { \hat { \sigma } z } , \nu = \frac { \hat { \sigma } \psi } { \hat { \sigma } x }$ , v
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이렇게 정의된 Stream function은 앞서의 Velocity potential 과 마찬가지로 지배방정식인 Laplace equation을 만족하고, 이에 맞는 Stream Function 형태의 경계 조건
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들 역시 얻 을 수 있습니다다. 편의상 Wavve celerity C로 이동하는 좌표표계를 잡으면Water wavee의 Stream funnction은 시간 teerm이 사라진 xx, z 만의 함수수가 되며, 경계조건을 만족족하는 Nth-orde r stream functioon은 다음과 같같은 형태를 가지지게 됩니다.
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$$
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\Psi (\mathrm{x}, \mathrm{z}) = \mathrm{Cz} + \sum_ {\mathrm{n} = 1} ^ {\mathrm{N}} \mathrm{X} (\mathrm{N}) \sinh \mathrm{nkz} \cos \mathrm{nkx}
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$$
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이 형태의 해해는 한가지 경 계조건-Dynam ic free surface Condition-을 만족하지 못하는데, 이를 ‘Approximatelly’ 만족하도록 계수 X n( ) 을 정해야 하하며, 이는 곧X n( ) 에 대대한 최적화 문제제가 됩니다. 한한편, Stream fuunction은 curreent를 고려하여서도 계산이이 가능한데, Cuurrent가 있을 때 Particle 속도도에 Current 속속도 보정만을하는 다른 모모델보다는 훨씬씬 정교하다고 할 수 있습니다다.
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# 18-2-4 Cn oidal / Solitarry wave : 천해해역, 주기파(자코코비안 타원적분분항으로 표현)
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Shallow waater 환경이 되면 파 자체의 거동뿐만 아니라, 깊이에 따른른 Pressure와velocity 변화화도 상당히 복 잡해집니다. 앞앞서 살펴본 Stookian wave proofile들 같은 경우, Shallow 환경을 가정하하고 그에 맞게 전개를 하려면 짧은 파장이나나 작은 파고를가진다고 가가정해야 하므로로, Shallow 환환경에서 깊이에에 비해 긴 파파장의 파(Longwave)를 Moodeling하기 위해해서는 앞에서와와는 다른 Pertuurbation 과정이이 필요합니다.Solitary waave는 Cnoidal wave의 아주 특수한 경우인인데, 이론 자체체는 Solitary가1870년대에 먼저 발표되었었습니다. Finitte Amplitude가 형태적 변화 없이 그대로Translation하하는 Steady w ave 모델이 다 른 선형화 과정정 없이 얻어졌 는데, 이 모델의 Solution이 Solitary wavve입니다. Solitaary wave는 Wavve에서 아주 멀멀리 떨어진 곳의 물은 교 란되지 않는다고고 가정하여 이이론적으로 무한한 파장을 갖고 , 파의 위상이(+)값만을 가가진다.(즉, 파고고가 정수면 위에에만 존재합니다다)
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<details>
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<summary>line</summary>
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| √(3/4 a/h) x/h | η/a |
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| -------------- | --- |
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| 0.2 | 1.0 |
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| 0.4 | 0.9 |
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| 0.6 | 0.8 |
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| 0.8 | 0.6 |
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| 1.0 | 0.4 |
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| 1.2 | 0.3 |
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| 1.4 | 0.2 |
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| 1.6 | 0.1 |
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| 1.8 | 0.05 |
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| 2.0 | 0.02 |
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| 2.2 | 0.01 |
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| 2.4 | 0.005 |
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</details>
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Cnoidal theory는 처음에 Solitary와 같은 Approximations을 통해 얻어졌으나, Solution의 형태가 Periodic으로 주어집니다. “Cnoidal”이라는 이름은 Surface elevation이 Jacobian elliptic function의 제곱에 비례하고, Sinusoidal한 특성을 가지고 있기 때문에 그 합성어 형태로 지어졌다고 합니다. Cnoidal solution의 파 형태를 살펴보면, Shallow water에서 실제 Wave의 특징인 길고 평평한 Trough와 좁은 crest 형태를 잘 나타내고 있음을 알 수 있습니다. 앞서 언급했듯 Cnoidal wave에서 속도, 가속도, Wave profile 등은 Jacobian elliptic function 의 급수로 표현이 되는데, 이 함수의 Parameter m (0 ≤ m ≤ 1) 이 10이 되면 Solitary wave가 됩니다.
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# 18-2-5 Solitary wave
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The solitary wave 이론은 Cnoidal theory의 제한된 경우에 해당됩니다.
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0 ≤ m ≤ 1에서 m=1일 경우 solitary wave가 됩니다.
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# 18-3 파랑이론의 적용한계
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앞서 살펴본 Wave theory들은 각각의 기본 가정에 바탕을 두고 있으므로 이 이론들을 모든 Wave modeling에 그대로 적용할 수는 없으며, 파장, 파고, 수심 등에 따라 타당성을 가지는 모델을 알맞게 적용해야 합니다. 다음 두 도표는 Wave theory 적용에 있어 각 이론이 타당성을 가지는 범위를 나타내고 있습니다.
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실제 적용에서뿐만 아니라 검증을 위한 예제 환경 모델링 시에도 각 Wave 이론이 적용될 수 있는 타당한 파고, 파장, 수심 등을 가정하여 모델링해야 합니다.
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<details>
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<summary>line</summary>
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| x | y | Label |
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| ------- | ------- | -------------- |
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| 0.001 | 0.0001 | SHALLOW |
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| 0.01 | 0.001 | AIRY |
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| 0.1 | 0.01 | CNOIDAL |
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| 0.4 | 0.04 | STOKES V |
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</details>
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<details>
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<summary>line</summary>
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| Level | Value |
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| ----------- | ------ |
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| CNOIDAL | 0.0001 |
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| BREAKING LIMIT | 0.01 |
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| STREAM FUNCTION | 0.001 |
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| AIRY | 0.0001 |
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| STOKES II | 0.01 |
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| STOKES III | 0.01 |
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| STOKES IV | 0.01 |
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| DEEP | 0.05 |
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</details>
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그림 2.18.5 Dean Graph와 Le Mehaute Graph
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참고문헌
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[1] T. H. Dawson, Offshore Structural Engineering, Prentice-Hall, Inc., 1983.
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||
[2] R. G. Dean and R. A. Dalrymple, Water Wave Mechanics for Engineers and Scientists, 2nd ver., World Scientific, 1991.
|
||
[3] J. D. Fenton, The Cnoidal Theory of Water Waves, in Developments in Offshore Engineering, Gulf Publishing Company, pp 55-100, 1999.
|
||
[4] J. D. Fenton, A high-order cnoidal wave theory, Journal of Fluid Mechanics, Vol. 94, pp. 129-161, 1979.
|
||
[5] W. H. Press, S. A. Teukolsky, W. T. Vetterling, B. P. Flannery, Numerical Recipes in C, 2nd edition, Cambridge University Press, 1992.
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<!-- source-page: 568 -->
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# 18-4 Flow Chart
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midas Civil에서 입력한 파랑정보를 통해 파랑하중을 생성하는 흐름은 다음과 같습니다.
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<details>
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<summary>flowchart</summary>
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```mermaid
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graph TD
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A["Main<br>-read element info.<br>-read wave info.<br>-read current info."] --> B["Get wave load<br>-wave load 계산<br>-current load"]
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B --> C["Get node load<br>-각 joint에 걸리는<br>load summation"]
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C --> D["Get total load<br>-sum of total<br>joint loads"]
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D --> E["Output<br>시간(phase)에 따른 total wave load 변화 (Dynamic)<br>원하는 시점(ex. Max base shear)에서 각 joint load (Static)"]
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E --> A
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F["Input file"] --> A
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G["Phase (ωt) specified"] --> B
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H["Phase (ωt) specified"] --> B
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I["Phase (ωt) specified"] --> B
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J["Phase (ωt) specified"] --> B
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K["Phase (ωt) specified"] --> B
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L["Phase (ωt) specified"] --> B
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M["Phase (ωt) specified"] --> B
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N["Phase (ωt) specified"] --> B
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O["Phase (ωt) specified"] --> B
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P["Phase (ωt) specified"] --> B
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Q["Phase (ωt) specified"] --> B
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R["Phase (ωt) specified"] --> B
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S["Phase (ωt) specified"] --> B
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T["Phase (ωt) specified"] --> B
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U["Phase (ωt) specified"] --> B
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V["Phase (ωt) specified"] --> B
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W["Phase (ωt) specified"] --> B
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X["Phase (ωt) specified"] --> B
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Y["Phase (ωt) specified"] --> B
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Z["Phase (ωt) specified"] --> B
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AA["Phase (ωt) specified"] --> B
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AB["Phase (ωt) specified"] --> B
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AC["Phase (ωt) specified"] --> B
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||
AD["Phase (ωt) specified"] --> B
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||
AE["Phase (ωt) specified"] --> B
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AF["Phase (ωt) specified"] --> B
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||
AG["Phase (ωt) specified"] --> B
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AH["Phase (ωt) specified"] --> B
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AI["Phase (ωt) specified"] --> B
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AJ["Phase (ωt) specified"] --> B
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AK["Phase (ωt) specified"] --> B
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AL["Phase (ωt) specified"] --> B
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AM["Phase (ωt) specified"] --> B
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AN["Phase (ωt) specified"] --> B
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AO["Phase (ωt) specified"] --> B
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AP["Phase (ωt) specified"] --> B
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AQ["Phase (ωt) specified"] --> B
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AR["Phase (ωt) specified"] --> B
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AS["Phase (ωt) specified"] --> B
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AT["Phase (ωt) specified"] --> B
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AU["Phase (ωt) specified"] --> B
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AV["Phase (ωt) specified"] --> B
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AW["Phase (ωt) specified"] --> B
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AX["Phase (ωt) specified"] --> B
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AY["Phase (ωt) specified"] --> B
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AZ["Phase (ωt) specified"] --> B
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BA["Phase (ωt) specified"] --> B
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BB["Phase (ωt) specified"] --> B
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BC["Phase (ωt) specified"] --> B
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BD["Phase (ωt) specified"] --> B
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BE["Phase (ωt) specified"] --> B
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BF["Phase (ωt) specified"] --> B
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BG["Phase (ωt) specified"] --> B
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BH["Phase (ωt) specified"] --> B
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BI["Phase (ωt) specified"] --> B
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BJ["Phase (ωt) specified"] --> B
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BK["Phase (ωt) specified"] --> B
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BL["Phase (ωt) specified"] --> B
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BM["Phase (ωt) specified"] --> B
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BN["Phase (ωt) specified"] --> B
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BO["Phase (ωt) specified"] --> B
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||
BP["Phase (ωt) specified"] --> B
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BQ["Phase (ωt) specified"] --> B
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||
BR["Phase (ωt) specified"] --> B
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||
BS["Phase (ωt) specified"] --> B
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||
BT["Phase (ωt) specified"] --> B
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||
BU["Phase (ωt) specified"] --> B
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||
BV["Phase (ωt) specified"] --> B
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BW["Phase (ωt) specified"] --> B
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BX["Phase (ωt) specified"] --> B
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||
BY["Phase (ωt) specified"] --> B
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BZ["Phase (ωt) specified"] --> B
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CA["Phase (ωt) specified"] --> B
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||
CB["Phase (ωt) specified"] --> B
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CC["Phase (ωt) specified"] --> B
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CD["Phase (ωt) specified"] --> B
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CE["Phase (ωt) specified"] --> B
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CF["Phase (ωt) specified"] --> B
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DG["Phase (ωt) specified"] --> B
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DH["Phase (ωt) specified"] --> B
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DI["Phase (ωt) specified"] --> B
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DJ["Phase (ωt) specified"] --> B
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DK["Phase (ωt) specified"] --> B
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DL["Phase (ωt) specified"] --> B
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DJ["Phase (ωt) specified"] --> B
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DK["Phase (ωt) specified"] --> B
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DL["Phase (ωt) specified"] --> B
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DJ["Phase (ωt) specified"] --> B
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DK["Phase (ωt) specified"] --> B
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BE["Phase (ωt) specified"] --> B
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BF["Phase (ωt) specified"] --> B
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BG["Phase (ωt) specified"] --> B
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BH["Phase (ωt) specified"] --> B
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BI["Phase (ωt) specified"] --> B
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BJ["Phase (ωt) specified"] --> B
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BK["Phase (ωt) specified"] <-- B
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BL["Phase (ωt) specified"] <-- B
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BM["Phase (ωt) specified"] <-- B
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BN["Phase (ωt) specified"] <-- B
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BO["Phase (ωt) specified"] <-- B
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BP["Phase (ωt) specified"] <-- B
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BZ["Phase (ωt) specified"] <-- B
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BW["Phase (ωt) specified"] <-- B
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BX["Phase (ωt) specified"] <-- B
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BY["Phase (ωt) specified"] <-- B
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BZ["Phase (ωt) specified"] <-- B
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BZ["Phase (ωt) specified"] <-- B
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BZ["Phase (ωt) specified"] <-- B
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BZ["Phase (ωt) specified"] <-- B
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||
BZ["Phase (ωt) specified"] <-- B
|
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