김경종
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각 요소별로 사용 가능한 해석 종류는 다음과 같다.
'✓' 표시는 사용 가능함을 의미한다.
| 요소점류 | 요소차수 | 선형해석 | 비선형해석 | 포텐설유동해석 | |||||||||
| 1차 | 2차 | 선형정적해석 | 고유치해석 | 선형좌점해석 | 시간이력해석 | 지시응답스페트럼해석 | 지시재료비진형해석 | 지시기하비신형해석 | 지수화열해석 | 지수일반열진달해석 | 지점촉해석 | 지점리로해석 | |
| 트러스 | √ | √ | √ | √ | √ | √ | √ | √ | √ | √ | |||
| 보 | √ | √ | √ | √ | √ | √ | √ | ||||||
| 평면응력 | √ | √ | √ | √ | √ | √ | √ | √ | √ | √ | √ | √ | |
| 판 | √ | √ | √ | √ | √ | √ | √ | √ | √ | √ | √ | √ | |
| 평면변형 | √ | √ | √ | √ | √ | √ | √ | √ | √ | √ | |||
| 축대칭 | √ | √ | √ | √ | √ | √ | √ | ||||||
| 입체 | √ | √ | √ | √ | √ | √ | √ | √ | √ | √ | √ | √ | √ |
* 전산유체해석에서는 별도의 전용 판요소 사용.
각 요소별로 사용 가능한 하중조건은 다음과 같다.
| 요소종류 | 정적 하중 | ||||||
| 체적력 | cancel압력하중 | cancel모서리하중 | cancel보요소하중 | 프리스트레스 | cancel온도하중 | cancel온도구배하중 | |
| 트러스요소 | √ | √ | √ | ||||
| 보요소 | √ | √ | √ | √ | √ | ||
| 평면응력요소 | √ | √ | √ | √ | √ | ||
| 판요소 | √ | √ | √ | √ | √ | √ | |
| 평면변형요소 | √ | √ | √ | √ | √ | ||
| 축대칭요소 | √ | √ | √ | √ | |||
| 입체요소 | √ | √ | √ | √ | |||
각 재료별로 가능한 해석 종류는 다음과 같다.
| 량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량 | 선형해석 | 비선형해석 | |||||
| 직업전용량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량Load량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량 Load량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량总额 | 고유치해석 | 직업전용량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량 | 직업전용량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량Load량량량량Load량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량 | 직업전용력량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량력량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량 | 직업전용賦량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량額량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량량 | ||
| Elastic | √ | √ | √ | √ | √ | √ | √ |
| Multi-Elastic | √ | √ | |||||
| Rankine | √ | √ | |||||
| Tresca | √ | √ | |||||
| Von Mises | √ | √ | |||||
| Drucker Prager | √ | √ | |||||
| Mohr Clulomb | √ | √ | |||||
| Total Strain Crack | √ | √ | |||||
| User Supplied | √ | √ | |||||
| Creep/Shrinkage | $\checkmark^*$ | ||||||
(* 선형시공단계해석, 수화열해석)
각 재료별로 사용 가능한 요소종류는 다음과 같다.
| 지료종류 | 요소종류 | ||||||
| 트러스요소 | 보요소 | 평면응력요소 | 판요소 | 평면변형요소 | 축대칭요소 | 임체요소 | |
| Elastic | √ | √ | √ | √ | √ | √ | √ |
| Multi-Elastic | √ | ||||||
| Rankine | √ | √ | √ | √ | √ | √ | |
| Tresca | √ | √ | √ | √ | √ | √ | |
| Von Mises | √ | √ | √ | √ | √ | √ | |
| Drucker Prager | √ | √ | √ | √ | √ | √ | |
| Mohr Clulomb | √ | √ | √ | √ | √ | √ | |
| Total Strain Crack | √ | √ | √ | √ | √ | √ | |
| User Supplied | √ | √ | √ | √ | √ | √ | |
| Creep/Shrinkage | √ | √ | √ | √ | √ | √ | √ |
각 요소별 정적 해석 결과로 출력되는 데이터는 다음과 같다.
'✓' 표시는 데이터가 출력됨을 의미한다.
| 요소종류 | 요소결과 | |||
| 응력 | 변형률 | 요소내력 | 기본출력좌표계(좌표계 변환) | |
| 트러스요소 | √ | √ | ECS (no) | |
| 보요소 | √ | ECS (no) | ||
| 평면응력요소 | √ | √ | ECS (yes) | |
| 판요소 | √ | √ | √ | ECS (yes) |
| 평면변형요소 | √ | √ | GCS (yes) | |
| 축대칭요소 | √ | √ | GCS (yes) | |
| 입체요소 | √ | √ | GCS (yes) | |
일반적으로 트러스/보 요소는 요소 크기의 영향을 크게 받지 않지만, 평면 또는 입체 요소의 경우에는 요소의 크기와 분포에 따라 결과값에 큰 영향을 받게 된다. 일반적으로 요소의 세분화가 필요한 부위는 다음과 같다.
- 기하학적 불연속 부위 또는 개구부 주위
- 하중의 변화가 심한 부위 또는 집중 하중이 작용하는 부위
- 단면적/두께 또는 재료의 성질이 불연속적인 부위
• 정밀한 응력/내력 결과가 필요한 부위
효과적인 수치해석 모델을 만들기 위해서는 요소의 크기뿐만 아니라 요소의 형상 및 연결 상태와 함께 다음과 같은 사항을 고려하는 것이 좋다.
- 인접 요소간의 크기 차이가 1/2 이하가 되도록 한다.
• 응력을 구하고자 할 경우에는 4절점 평면요소와 8절점 입체요소를 사용한
다. 3절점 평면요소와 4절점 입체요소의 경우에는 고차요소를 사용한다.
- 평면요소의 경우 정다각형 형태를 유지하도록 한다. 사각형의 경우 모서리 각도는 45° ~ 135°를 유지하며, 삼각형의 경우에는 30° ~ 150°가 되도록 한다.
4절점 평면 요소의 경우 절점이 동일 평면상에 존재하도록 한다. - 회전자유도에 대한 강성을 가지고 있지 않은 요소(트러스/평면응력/입체요소)들이 절점을 공유하는 경우에는 특이성 오류(singular error)가 발생할 수 있다. midas FEA에서는 이러한 경우 해당절점의 회전자유도를 자동으로 구속시키는 기능이 있다.
유한요소법에서 개별 요소의 특성은 요소좌표계에서의 요소강성 K^{e} 로 표현되며, 선형해석에 사용되는 강성행렬 K^{e} 는 다음과 같은 형태로 표현된다
\mathbf {K} ^ {e} = \int_ {V _ {e}} \mathbf {B} ^ {T} \mathbf {D} \mathbf {B} d V \tag {1.1.1}
여기서, 행렬 B 는 형상함수 N 의 미분값으로 이루지며, D 는 응력과 변형률 관계를 나타내는 행렬이다. N 은 절점별 형상함수 N_{i} 로 구성되고, 무차원 특성좌표계 (natural coordinate) \xi - \eta - \zeta 에서 정의한다.
1-2 트러스요소
1-2-1 개요
트러스요소는 2개의 절점에 의해 정의되는 “Uniaxial Tension-Compression 3DLine Element”이다. 트러스요소는 일반적으로 공간트러스(space truss) 또는 대각부재(diagonal brace) 등을 모델링하는데 사용되며, 정적(선형/비선형) 해석 및 동적해석에 모두 사용할 수 있다. 트러스요소는 축방향(axial) 힘만을 전달하며, 일정한초기간격(gap/hook distance)을 가진 인장전담(tension-only) 또는 압축전담(compression-only) 특성을 부여할 수 있다. 트러스요소의 변형을 정의하는 응력과변형률은 다음과 같다.
\boldsymbol {\sigma} = \left\{\sigma_ {x x} \right\}, \quad \boldsymbol {\varepsilon} = \left\{\varepsilon_ {x x} \right\}
(축방향 응력과 변형률)
그림 1.2.1과 같이 트러스요소는 축방향에 대한 자유도만을 갖기 때문에 요소좌표계의 x 축 방향만 의미를 가지고 있다. 요소좌표계 x 축 방향은 절점 1에서 절점 2 방향을 향한다.
text_image
ECS x-axis σₓₓ, εₓₓ 2 1 σₓₓ, εₓₓ
그림 1.2.1 트러스요소의 좌표계와 응력/변형률
1-2-2. 유한요소 정식화
트러스요소의 단면적은 전체길이에서 동일하다고 가정한다. 트러스요소는 요소좌표계에서 x 방향 이동변위(translation) u 만을 갖는다.
\mathbf {u} _ {i} = \left\{u _ {i} \right\} \tag {1.2.1}
임의의 좌표 x 와 이동변위 u 는 형상함수를 이용하여 다음과 같이 나타낸다.
x = \sum_ {i = 1} ^ {2} N _ {i} x _ {i}, u = \sum_ {i = 1} ^ {2} N _ {i} u _ {i} \tag {1.2.2}
N _ {1} = \frac {1 - \xi}{2}, \quad N _ {2} = \frac {1 + \xi}{2} \quad (- 1 \leq \xi \leq 1) \tag {1.2.3}
절점 변위와 변형률의 관계는 Bi 에 의하여 식 (1.2.4)와 같이 나타낼 수 있다.
\boldsymbol {\varepsilon} = \sum_ {i = 1} ^ {2} \mathbf {B} _ {i} \mathbf {u} _ {i} \tag {1.2.4}
행렬 Bi 는 형상함수의 미분값으로 다음과 같이 표현된다.
\mathbf {B} _ {i} = \left\{\frac {\partial N _ {i}}{\partial x} \right\} \tag {1.2.5}
행렬 Bi 를 이용하여 축방향 변형에 관계된 요소강성행렬을 표현하면 다음과 같다.
\mathbf {K} _ {i j} = \int_ {L _ {e}} \mathbf {B} _ {i} ^ {T} \mathbf {D} \mathbf {B} _ {j} d L, \quad \mathbf {D} = A \{E \} \tag {1.2.6}
여기서,
\begin{array}{l} A: \text { 단면적 } \\ L _ {e} \quad : \text { 요소 길이 } \\ \end{array}
식 (1.2.6)을 정리하여 트러스요소의 강성행렬을 다음과 같이 계산할 수 있다.
\mathbf {K} = \frac {E A}{L _ {e}} \left[ \begin{array}{l l} 1 & - 1 \\ - 1 & 1 \end{array} \right] \tag {1.2.7}
1-2-3. 하중과 질량
트러스요소에 적용되는 하중은 체적력(body force), 프리스트레스하중(prestress), 온도하중(thermal) 등이 있다. 체적력은 요소의 자중이나 관성력을 표현하고자 하는 하중이다. 프리스트레스 하중은 트러스요소에 내력으로 인장력을 주고자 하는 경우에 사용한다. 온도하중은 절점온도, 요소온도 하중에 의한 열변형을 반영하고자 할 때 사용한다. 프리스트레스와 온도하중에 의한 요소좌표계의 하중벡터는 아래와 같다.
- 체적력
\mathbf {F} _ {i} = A \int_ {L _ {e}} N _ {i} \left\{ \begin{array}{l} \omega_ {x} \\ \omega_ {y} \\ \omega_ {z} \end{array} \right\} d L \tag {1.2.8}
여기서,
\omega_ {x}, \omega_ {y}, \omega_ {z} \quad : \text { 단위 체적당 자중(방향별) }
- 프리스트레스
\mathbf {F} _ {i} = - \int_ {L _ {e}} \mathbf {B} _ {i} ^ {T} P d L \tag {1.2.9}
여기서,
P: \text { 축방향 프리스트레스 (힘) }
- 온도 하중
\mathbf {F} _ {i} = \int_ {L _ {e}} \mathbf {B} _ {i} ^ {T} E A \alpha \Delta T d L \tag {1.2.10}
여기서,
\alpha : \text { 열팽창계수 }
\Delta T \quad : \text { 온도변화 }
트러스요소의 집중질량(lumped mass)과 분포질량(consistent mass) 행렬은 아래와 같다. 트러스요소의 질량은 x,y,z 의 이동변위에 대해서만 구성된다.
- 집중질량
\mathbf {M} = \frac {\rho A L _ {e}}{2} \left[ \begin{array}{c c c c c c} 1 & & & & & \\ 0 & 1 & & & \text { symm. } & \\ 0 & 0 & 1 & & & \\ 0 & 0 & 0 & 1 & & \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right] \tag {1.2.11}
여기서,
ρ : 밀도
- 분포질량
\mathbf {M} = \frac {\rho A L _ {e}}{6} \left[ \begin{array}{c c c c c c} 2 & & & & & \\ 0 & 2 & & & \text {symm.} & \\ 0 & 0 & 2 & & & \\ 1 & 0 & 0 & 2 & & \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 2 & \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 2 \end{array} \right] \tag {1.2.12}