김경종
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여기서,
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\alpha_ {x}, \alpha_ {y}, \alpha_ {z} \quad : \text { 열팽창 계수(방향별) }
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# 1-7-4 요소결과
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축대칭요소의 해석 결과로는 절점에서의 응력과 변형률을 출력한다. 축대칭요소를 이용한 해석은 전체좌표계의 Z 축에 대한 대칭 구조물에 사용하므로, X Z − 평면에서해석을 수행한다. 따라서 응력과 변형률의 결과를 전체좌표계에서 출력한다. 전체좌표계를 기준으로 출력된 결과는 요소좌표계 또는 출력좌표계로 변환하여 볼 수 있다.다음은 요소에서 출력되는 응력과 변형률의 종류이다.
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응력 성분 $\sigma _ { \scriptscriptstyle { X X } } , \sigma _ { \scriptscriptstyle { Y Y } } , \sigma _ { \scriptscriptstyle { Z Z } } , \tau _ { \scriptscriptstyle { Z X } }$
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Von-Mises 응력 $\sqrt { \left( P _ { 1 } ^ { 2 } + P _ { 2 } ^ { 2 } + P _ { 3 } ^ { 2 } - P _ { 1 } P _ { 2 } - P _ { 2 } P _ { 3 } - P _ { 3 } P _ { 1 } \right) }$
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최대 전단응력 $\frac { \operatorname* { m a x } ( \big | P _ { 1 } - P _ { 2 } \big | , \big | P _ { 2 } - P _ { 3 } \big | , \big | P _ { 3 } - P _ { 1 } \big | ) } { 2 }$
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주응력 $P _ { 1 } , P _ { 2 } , P _ { 3 }$
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P _ {i} = \frac {\sigma_ {X X} + \sigma_ {Z Z}}{2} \pm \sqrt {\left(\frac {\sigma_ {X X} - \sigma_ {Z Z}}{2}\right) ^ {2} + \tau_ {Z X} ^ {2}} \text {와} \sigma_ {Y Y} \text {종 큰 값부터} P _ {1}, P _ {2}, P _ {3} \text {이다.}
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변형률 성분 $\varepsilon _ { X X } , \varepsilon _ { Y Y } , \varepsilon _ { Z Z } , \gamma _ { Z X }$
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Von-Mises 변형률 $\frac { 2 } { 3 } \sqrt { \left( E _ { 1 } ^ { 2 } + E _ { 2 } ^ { 2 } + E _ { 3 } ^ { 2 } - E _ { 1 } E _ { 2 } - E _ { 2 } E _ { 3 } - E _ { 3 } E _ { 1 } \right) }$
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$r _ { 1 } ( \ r _ { 1 } , \ r _ { 1 } ) ( \ r _ { 2 } , \ r _ { 1 } , \ r _ { 2 } ) , t _ { 1 } = 0 , t _ { 2 } = 1$ $E _ { 1 } + E _ { 2 } + E _ { 3 }$
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주변형률
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E _ {1}, E _ {2}, E _ {3}
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E _ {i} = \frac {\varepsilon_ {X X} + \varepsilon_ {Z Z}}{2} \pm \sqrt {\left(\frac {\varepsilon_ {X X} - \varepsilon_ {Z Z}}{2}\right) ^ {2} + \frac {\gamma_ {Z X} ^ {2}}{4}} \text {와} \varepsilon_ {Y Y} \text {중 큰 값부터} E _ {1}, E _ {2}, E _ {3} \text {이다.}
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절점에서의 응력/변형률은 요소 내의 적분점에서 계산된 결과를 이용하여 외삽법 (extrapolation)에 의해 산출된다. 축대칭요소의 적분점은 다음과 같다.
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• 3절점 삼각형 : 1 점 가우스 적분
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• 4절점 사각형 : 4 점 가우스 적분
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• 6절점 삼각형 : 3 점 가우스 적분
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• 8절점 사각형 : 9 점 가우스 적분
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응력과 변형률에 대한 부호규약은 그림 1.7.4와 같고, 화살표 방향이 ‘+’ 부호를 의미한다.
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<summary>text_image</summary>
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Z
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GCS → X
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τzx, γzx
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σyy, εyy
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σxx, εxx
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τzx, γzx
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σzz, εzz
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그림 1.7.4 축대칭요소의 결과 방향과 성분
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# 1-8 입체요소
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# 1-8-1 개요
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입체요소는 주로 콘크리트 기초, 자동차 엔진, 두꺼운 벽, 고무 등과 같이 부피가 있는 구조물의 모델링에 주로 이용된다. midas FEA에서 사용할 수 있는 입체요소로는8면체(hexahedron), 4면체(tetrahedron), 5면체(pentahedron) 요소가 있으며, 정적(선형/비선형) 해석 및 동적 해석에 모두 사용할 수 있다. 입체요소에서 변형을 정의하는 응력과 변형률은 다음과 같다.
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\boldsymbol {\sigma} = \left\{ \begin{array}{l} \sigma_ {x x} \\ \sigma_ {y y} \\ \sigma_ {z z} \\ \tau_ {x y} \\ \tau_ {y z} \\ \tau_ {z x} \end{array} \right\}, \quad \boldsymbol {\varepsilon} = \left\{ \begin{array}{l} \varepsilon_ {x x} \\ \varepsilon_ {y y} \\ \varepsilon_ {z z} \\ \gamma_ {x y} \\ \gamma_ {y z} \\ \gamma_ {z x} \end{array} \right\} \quad (\text {응력/변형률})
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응력과 변형률에 대한 부호규약은 그림 1.8.1과 같고, 화살표 방향이 ‘+’를 의미한다.
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<summary>text_image</summary>
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σ_zz, ε_z
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τ_yz, γ_yz
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τ_zx, γ_zx
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z
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y
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τ_zx, γ_zx
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τ_xy, γ_xy
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ECS
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x
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σ_xx, ε_xx
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σ_yy, ε_yy
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τ_yz, γ_yz
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그림 1.8.1 입체요소의 응력/변형률
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요소좌표계는 오른손법칙에 준한 x, , y z 축의 직교좌표계를 따르며, 방향은 그림1.8.2와 같이 설정한다. 8면체요소는 절점 1과 절점 4의 중점에서 절점 2와 절점 3의중점 방향을 x 축을 향하는 방향으로 하며, 4면체와 5면체 요소는 절점 1에서 2를향하는 방향을 x 축 방향으로 설정한다.
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그림 1.8.2. 입체요소의 좌표계
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입체요소 에서 사용하는 형상 함수는 최대 2차 함수로 되어 있다. 8절점 6면체 요소,6절점 5면체 요소, 4절점 4면체 요소는 1차(linear) 요소이며, 20절점 6면체 요소,15절점 5면체 요소, 10절점 4면체 요소는 2차(quadratic) 요소이다. 일반적으로 4면체, 5면체 요소 보다 6면체 요소를 사용했을 때 보다 정확한 해를 구할 수 있으므로,정밀한 해석 결과가 필요한 부분에서는 6면체 요소를 사용하는 것이 바람직하다.
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# 1-8-2 유한요소 정식화
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입체요소는 등매개변수(isoparametric) 요소로 구성되어 있으며, 8절점 6면체 요소와 6절점 5면체 요소의경우에는 비적합(incompatible) 모드를 이용한다. 입체요소는 요소좌표계에서 x, y, z 방향의 이동변위(translation) u, v, w 만을 가진다.
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\mathbf {u} _ {i} = \left\{u _ {i} \quad v _ {i} \quad w _ {i} \right\} ^ {T} \tag {1.8.1}
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비적합 모드를 제외하면 절점 개수에 관계 없이 모든 입체요소의 강성을 유사한 과정으로 계산할 수 있기 때문에, 절점 수 N 개를 가지는 요소에 대하여 일괄적으로 설명한다.
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요소 내 임의의 좌표 x, y, z와 이동변위 u, v, w는 다음과 같이 나타낼 수 있다
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x = \sum_ {i = 1} ^ {N} N _ {i} x _ {i}, y = \sum_ {i = 1} ^ {N} N _ {i} y _ {i}, z = \sum_ {i = 1} ^ {N} N _ {i} z _ {i}
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u = \sum_ {i = 1} ^ {N} N _ {i} u _ {i}, v = \sum_ {i = 1} ^ {N} N _ {i} v _ {i}, w = \sum_ {i = 1} ^ {N} N _ {i} w _ {i} \tag {1.8.2}
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4절점 4면체
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N _ {1} = 1 - \xi - \eta - \zeta , N _ {2} = \xi , N _ {3} = \eta , N _ {4} = \zeta \tag {1.8.3}
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6절점 5면체
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N _ {1} = \frac {\lambda}{2} (1 - \zeta), N _ {2} = \frac {\xi}{2} (1 - \zeta), N _ {3} = \frac {\eta}{2} (1 - \zeta), N _ {4} = \frac {\lambda}{2} (1 + \zeta)
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N _ {5} = \frac {\xi}{2} (1 + \zeta), N _ {6} = \frac {\eta}{2} (1 + \zeta) \tag {1.8.4}
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\lambda = 1 - \xi - \eta
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8절점 6면체
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N _ {1} = \frac {1}{8} (1 - \xi) (1 - \eta) (1 - \zeta), N _ {2} = \frac {1}{8} (1 + \xi) (1 - \eta) (1 - \zeta)
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N _ {3} = \frac {1}{8} (1 + \xi) (1 + \eta) (1 - \zeta), N _ {4} = \frac {1}{8} (1 - \xi) (1 + \eta) (1 - \zeta)
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N _ {5} = \frac {1}{8} (1 - \xi) (1 - \eta) (1 + \zeta), N _ {6} = \frac {1}{8} (1 + \xi) (1 - \eta) (1 + \zeta)
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$$
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N _ {7} = \frac {1}{8} (1 + \xi) (1 + \eta) (1 + \zeta), N _ {8} = \frac {1}{8} (1 - \xi) (1 + \eta) (1 + \zeta) \tag {1.8.5}
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• 10절점 4면체
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N _ {1} = - \lambda (1 - 2 \lambda), N _ {2} = - \xi (1 - 2 \xi), N _ {3} = - \eta (1 - 2 \eta), N _ {4} = - \zeta (1 - 2 \zeta)
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N _ {5} = 4 \xi \lambda , N _ {6} = 4 \xi \eta , N _ {7} = 4 \eta \lambda , N _ {8} = 4 \zeta \lambda , N _ {9} = 4 \xi \zeta , N _ {1 0} = 4 \eta \zeta
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\lambda = 1 - \xi - \eta - \zeta \tag {1.8.6}
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• 15절점 5면체
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N _ {1} = \frac {\lambda}{2} (1 - 2 \lambda) \zeta (1 - \zeta), N _ {2} = \frac {\xi}{2} (1 - 2 \xi) \zeta (1 - \zeta), N _ {3} = \frac {\eta}{2} (1 - 2 \eta) \zeta (1 - \zeta)
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N _ {4} = - \frac {\lambda}{2} (1 - 2 \lambda) \zeta (1 + \zeta), N _ {5} = - \frac {\xi}{2} (1 - 2 \xi) \zeta (1 + \zeta)
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N _ {6} = - \frac {\eta}{2} (1 - 2 \eta) \zeta (1 + \zeta)
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N _ {7} = - 2 \xi \lambda \zeta (1 - \zeta), N _ {8} = - 2 \xi \eta \zeta (1 - \zeta)
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N _ {9} = - 2 \eta \lambda \zeta (1 - \zeta), N _ {1 0} = 2 \xi \lambda \zeta (1 + \zeta)
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N _ {1 1} = 2 \xi \eta \zeta (1 + \zeta), N _ {1 2} = 2 \eta \lambda \zeta (1 + \zeta), N _ {1 3} = (1 - \xi - \eta) (1 - \zeta^ {2})
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N _ {1 4} = \xi \left(1 - \zeta^ {2}\right), N _ {1 5} = \eta \left(1 - \zeta^ {2}\right)
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\lambda = 1 - \xi - \eta \tag {1.8.7}
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20절점 6면체
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N _ {1} = \frac {1}{8} (1 - \xi) (1 - \eta) (1 - \zeta) (- 2 - \xi - \eta - \zeta)
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N _ {2} = \frac {1}{8} (1 + \xi) (1 - \eta) (1 - \zeta) (- 2 + \xi - \eta - \zeta)
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N _ {3} = \frac {1}{8} (1 + \xi) (1 + \eta) (1 - \zeta) (- 2 + \xi + \eta - \zeta)
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N _ {4} = \frac {1}{8} (1 - \xi) (1 + \eta) (1 - \zeta) (- 2 - \xi + \eta - \zeta)
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N _ {5} = \frac {1}{8} (1 - \xi) (1 - \eta) (1 + \zeta) (- 2 - \xi - \eta + \zeta)
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N _ {6} = \frac {1}{8} (1 + \xi) (1 - \eta) (1 + \zeta) (- 2 + \xi - \eta + \zeta)
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$$
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N _ {7} = \frac {1}{8} (1 + \xi) (1 + \eta) (1 + \zeta) (- 2 + \xi + \eta + \zeta)
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$$
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N _ {8} = \frac {1}{8} (1 - \xi) (1 + \eta) (1 + \zeta) (- 2 - \xi + \eta + \zeta)
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$$
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N _ {9} = \frac {1}{4} (1 - \eta) (1 - \zeta) (1 - \xi^ {2}), \quad N _ {1 0} = \frac {1}{4} (1 + \xi) (1 - \zeta) (1 - \eta^ {2})
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$$
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N _ {1 1} = \frac {1}{4} (1 + \eta) (1 - \zeta) (1 - \xi^ {2})
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$$
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N _ {1 2} = \frac {1}{4} (1 - \xi) (1 - \zeta) (1 - \eta^ {2}), N _ {1 3} = \frac {1}{4} (1 - \eta) (1 + \zeta) (1 - \xi^ {2})
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$$
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N _ {1 4} = \frac {1}{4} (1 + \xi) (1 + \zeta) (1 - \eta^ {2})
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$$
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N _ {1 5} = \frac {1}{4} (1 - \eta) (1 + \zeta) (1 - \xi^ {2}), N _ {1 6} = \frac {1}{4} (1 + \xi) (1 - \zeta) (1 - \eta^ {2})
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$$
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$$
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N _ {1 7} = \frac {1}{4} (1 - \xi) (1 - \eta) (1 - \zeta^ {2})
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$$
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$$
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N _ {1 8} = \frac {1}{4} (1 + \xi) (1 - \eta) (1 - \zeta^ {2}), N _ {1 9} = \frac {1}{4} (1 + \xi) (1 + \eta) (1 - \zeta^ {2})
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$$
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$$
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N _ {2 0} = \frac {1}{4} (1 - \xi) (1 + \eta) (1 - \zeta^ {2}) \tag {1.8.8}
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절점 변위 u 와 변형률 ε 의 관계는 Bi 에 의하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.
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\boldsymbol {\varepsilon} = \sum_ {i = 1} ^ {N} \mathbf {B} _ {i} \mathbf {u} _ {i} \tag {1.8.9}
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행렬 Bi 는 형상함수의 미분값으로 다음과 같이 표현된다.
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\mathbf {B} _ {i} = \left[ \begin{array}{c c c} \frac {\partial N _ {i}}{\partial x} & 0 & 0 \\ 0 & \frac {\partial N _ {i}}{\partial y} & 0 \\ 0 & 0 & \frac {\partial N _ {i}}{\partial z} \\ \frac {\partial N _ {i}}{\partial y} & \frac {\partial N _ {i}}{\partial x} & 0 \\ 0 & \frac {\partial N _ {i}}{\partial z} & \frac {\partial N _ {i}}{\partial y} \\ \frac {\partial N _ {i}}{\partial z} & 0 & \frac {\partial N _ {i}}{\partial x} \end{array} \right] \tag {1.8.10}
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행렬 B 를 이용하여 면내변형에 관계된 요소강성 행렬을 표현하면 다음과 같다.
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\mathbf {K} _ {i j} = \int_ {V _ {e}} \mathbf {B} _ {i} ^ {T} \mathbf {D} \mathbf {B} _ {j} d V \tag {1.8.11}
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$$
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Ve : 요소의 체적
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여기서 D 는 응력과 변형률 관계를 나타내는 행렬이며, 등방성(isotropic) 재료의 경우 다음과 같다.
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\mathbf {D} = \frac {E}{(1 + \nu) (1 - 2 \nu)} \left[ \begin{array}{c c c c c c} 1 - \nu & \nu & \nu & 0 & 0 & 0 \\ \nu & 1 - \nu & \nu & 0 & 0 & 0 \\ \nu & \nu & 1 - \nu & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac {1 - 2 \nu}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \frac {1 - 2 \nu}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac {1 - 2 \nu}{2} \end{array} \right] \tag {1.8.12}
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$$
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입체요소는 재료좌표계를 설정할 수 있으며, 설정된 재료좌표계에 따라 행렬 D 를 좌표변환 하여 사용한다.
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선형 해석 시 6절점 5면체 요소와 8절점 6면체 요소는 비적합 모드를 포함하여 계산한다. 비적합 모드를 포함한 경우에는 절점변위 이외에 추가적인 자유도를 가지게 된다. 비적합 모드를 이용하는 자세한 방법은 평면응력요소를 참조하고, 본 절에서는 비적합 모드의 형상과 주요 행렬만을 나열한다.
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6절점 5면체
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\mathbf {u} _ {a} = \left\{a _ {1} \quad b _ {1} \quad c _ {1} \right\} ^ {T} \tag {1.8.13}
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$$
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$$
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u = \sum_ {i = 1} ^ {6} N _ {i} u _ {i} + a _ {1} P _ {1}, \quad v = \sum_ {i = 1} ^ {6} N _ {i} v _ {i} + b _ {1} P _ {1}, \quad w = \sum_ {i = 1} ^ {6} N _ {i} w _ {i} + c _ {1} P _ {1} \tag {1.8.14}
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$$
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$$
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P _ {1} = 1 - \zeta^ {2} \tag {1.8.15}
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$$
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