MultiPhysicsVault/.raw/MidasFEAAnalysisManual/MidasFEAAnalysisManual_039.md

가속도 방향의 자유도만 1을 갖는 벡터이다. 지반가속도가 작용하는 구조물의 동적 평형방정식의 해는 식 (4.1.6)과 같은 n 개의 방정식의 해를 계산하여 식 (4.1.7)과 같은 방법으로 조합하여 구한다.

\mathbf {u} (t) = \boldsymbol {\Phi} \mathbf {y} (t), \dot {\mathbf {u}} (t) = \boldsymbol {\Phi} \dot {\mathbf {y}} (t), \ddot {\mathbf {u}} (t) = \boldsymbol {\Phi} \ddot {\mathbf {y}} (t) \tag {4.1.7}

응답스펙트럼해석에서 지반가속도를 받는 동적 평형방정식의 개념은 식 (4.1.1)~식 (4.1.7)을 따른다. 응답스펙트럼 해석에서는 지진가속도를 특정한 함수로 정의하지 않고, 스펙트럼 함수를 사용하여 모드별 결과를 구한다. 일반적으로 스펙트럼 함수는 식 (4.1.5)의 주기별 최대값을 의미하는데, 시방서나 기준에서는 지진가속도의 여러 가지 가능성과 지역의 특성 또는 구조물의 중요도 등을 고려하여 정한다. 식 (4.1.6)과 같은 임의 모드 m 번째에 해당하는 단자유도시스템의 해는 스펙트럼 함수로부터 구한 변위, 속도, 가속도에 해당 차수의 모드기여계수를 곱하여 식 (4.1.8)과 같이 구한다.

S _ {d m} = \frac {S _ {a m}}{\omega_ {m} ^ {2}}, \quad S _ {v m} = \frac {S _ {a m}}{\omega_ {m}} \tag {4.1.8}

y _ {m} = \Gamma_ {m} S _ {d m}, \dot {y} _ {m} = \Gamma_ {m} S _ {v m}, \ddot {y} _ {m} = \Gamma_ {m} S _ {a m}

각 모드별 결과는 식 (4.1.7)의 결과에 모드 형상을 곱하여 식 (4.1.9)와 같이 계산한다.

\mathbf {u} _ {m} = \phi_ {m} \Gamma_ {m} S _ {d m}, \quad \dot {\mathbf {u}} _ {m} = \phi_ {m} \Gamma_ {m} S _ {v m}, \quad \ddot {\mathbf {u}} _ {m} = \phi_ {m} \Gamma_ {m} S _ {a m} \tag {4.1.9}

여기서,

S_{dm} : m번째 모드의 변위 스펙트럼 값

S_{vm} : m번째 모드의 속도 스펙트럼 값

S_{am} : m번째 모드의 가속도 스펙트럼 값

모드별 해석결과는 최대값만을 가지고 있기 때문에 시간이력해석과 같이 모드별선형조합을 할 수가 없다. 그러므로 응답스펙트럼해석의 최종적인 결과는 식 (4.1.9)의 각 모드별 해석 결과를 적절한 방법으로 조합하여 구한다.

midas FEA에서는 전체좌표계 X-Y 평면의 임의의 방향과 Z방향에 대한 응답스펙트럼해석이 가능하다. 그리고 모드별 해석결과의 조합(modal combination)은 사용자의 선택에 따라 ABS(absolute sum)방법, SRSS(square root of the sum ofthe squares)방법과 CQC(complete quadratic combination)방법 등을 사용할 수있다.

ABS (absolute sum)

R _ {\max} = \left| R _ {1} \right| + \left| R _ {2} \right| + \dots + \left| R _ {n} \right| \tag {4.1.10}

SRSS (square root of the sum of the squares)

R _ {\max} = \left[ R _ {1} ^ {2} + R _ {2} ^ {2} + \dots + R _ {n} ^ {2} \right] ^ {1 / 2} \tag {4.1.11}

CQC (complete quadratic combination)

R _ {\max} = \left[ \sum_ {i = 1} ^ {N} \sum_ {j = 1} ^ {N} R _ {i} \rho_ {i j} R _ {j} \right] ^ {1 / 2} \tag {4.1.12}

\rho_ {i j} = \frac {8 \sqrt {\xi_ {i} \xi_ {j}} \left(\xi_ {i} + r _ {i j} \xi_ {m}\right) r _ {i j} ^ {3 / 2}}{\left(1 - r _ {i j} ^ {2}\right) ^ {2} + 4 \xi_ {i} \xi_ {j} r _ {i j} \left(1 + r _ {i j} ^ {2}\right) + 4 \left(\xi_ {i} ^ {2} + \xi_ {j} ^ {2}\right) r _ {i j} ^ {2}}

\rho_ {i j} = \frac {8 \xi^ {2} \left(1 + r _ {i j}\right) r _ {i j} ^ {3 / 2}}{\left(1 - r _ {i j} ^ {2}\right) ^ {2} + 4 \xi^ {2} r _ {i j} \left(1 + r _ {i j}\right) ^ {2}} \quad \left(\xi_ {i} = \xi_ {i} = \xi\right)

r _ {i j} = \frac {\omega_ {i}}{\omega_ {j}} \quad \omega_ {j} > \omega_ {i}

0 \leq \rho_ {i j} \leq 1 \quad \rho_ {i j} = 1 (i = j)

여기서,

R _ { \mathrm { m a x } } Rmax : 최종 결과 값

R _ { i } : 임의 i 번째 모드의 스펙트럼 값

r _ { i j } : i 번째 모드에 대한 j 번째 모드의 고유치 비율

\omega_ {i}, \omega_ {j} \quad : i, j \text { 번째   모드의   고유치   값 }

\xi_ {i}, \xi_ {j} \quad : i, j \text { 번째   모드의   감쇠비 }

식 (4.1.12)에서 i j = 이면, 감쇠비( ξi , ξ j )에 관계없이 ρij = 1이 되고, 감쇠비가 0인 경우 CQC와 SRSS의 결과가 동일한 값을 갖는다. 모드별 조합 방법 중에서ABS가 가장 큰 조합치를 산출한다. SRSS는 고유진동수들이 근접한 값을 가질 경우, 조합결과가 과대 또는 과소평가 되는 경향이 있다. 예를 들어, 감쇠비가 0.05이고 3개의 자유도를 가진 구조물의 고유진동수와 각 모드별 변위가 다음과 같이계산되었을 경우, SRSS와 CQC의 적용결과를 비교하면 다음과 같다.

고유진동수

\omega_ {1} = 0. 4 6, \omega_ {2} = 0. 5 2, \omega_ {3} = 1. 4 2

모드별 응답스펙트럼 값 : D _ { i j } ( j 번째 모드에 대한 i 자유도의 변위성분)

\left[ D _ {i j} \right] = \left[ \begin{array}{c c c} 0. 0 3 6 & 0. 0 1 2 & 0. 0 1 9 \\ - 0. 0 1 2 & 0. 0 4 4 & - 0. 0 0 5 \\ 0. 0 4 9 & 0. 0 0 2 & - 0. 0 1 7 \end{array} \right]

SRSS 방법의 결과

R _ {\max} = \left[ R _ {1} ^ {2} + R _ {2} ^ {2} + R _ {3} ^ {2} \right] ^ {1 / 2} = \left\{0. 0 4 2 \quad 0. 0 4 6 \quad 0. 0 5 2 \right\}

CQC 방법의 결과

\rho_ {1 2} = \rho_ {2 1} = 0. 3 9 8 5

\rho_ {1 3} = \rho_ {3 1} = 0. 0 0 6 1

\rho_ {2 3} = \rho_ {3 2} = 0. 0 0 8 0

R _ {\max} = \left[ R _ {1} ^ {2} + R _ {2} ^ {2} + R _ {3} ^ {2} + 2 \rho_ {1 2} R _ {1} R _ {2} + 2 \rho_ {1 3} R _ {1} R _ {3} + 2 \rho_ {2 3} R _ {2} R _ {3} \right] ^ {1 / 2}

= \left\{ \begin{array}{l l l} 0. 0 4 6 & 0. 0 4 1 & 0. 0 5 3 \end{array} \right\}

위의 두 가지 결과를 비교해보면 SRSS 방법을 사용할 경우가 CQC에 비해 첫 번째 자유도 성분에 대해서는 과소평가되고, 두 번째 자유도 성분에 대해서는 과대평가 되었다고 할 수 있다. 따라서 고유진동수들이 상대적으로 근접한 값을 가질때 SRSS 방법은 과소 또는 과대평가 된 결과를 산출함을 알 수 있다.

4-2 스펙트럼 함수

line

Period(Sec)	Spectral Data
T1	S1
T2	S2
T3	S3
T4	S4
T5	S5
T6	S6
T7	S7
Sn-1	Sn-1
Tn	Sn
S6 = (S7 - S6)/(T7 - T6) × (Tx - T6) + S6
S7 = (S7 - S6)/(T7 - T6) × (Tx - T6) + S6

그림 4.2.1 스펙트럼함수와 임의 주기에 대한 스펙트럼 값의 보간 방법

응답스펙트럼해석에서는 각 모드별 해석결과를 스펙트럼 함수(spectrum function)를 사용하여 구한다. 일반적인 의미에서의 스펙트럼함수는 식 (4.1.6)의 시간이력해석결과 중에서의 최대값으로 구성된다. 구조물의 감쇠(ξ)와 시간에 따른 지진하중 ( \ddot{u}_{g}(t) )이 정해지면 구조물의 고유주기(ω)에 따라 식 (4.1.6)의 해를 구할 수 있다. 구조물의 주기를 가로축으로 하고 변위, 속도, 가속도 등의 결과를 세로축에 표시하면 그림 4.2.1과 같은 스펙트럼 함수를 얻을 수 있다. 응답스펙트럼해석에 사용되는 스펙트럼함수는 주로 각종 기준에서 제공하는 값을 사용하게 된다. midas FEA에서는 설계응답스펙트럼함수(design response spectrum function)생

성기능을 이용하여 지진해석시 사용되는 스펙트럼함수를 설계기준에 따라 동적계수, 지반계수, 지역계수, 중요도계수, 반응수정계수 등의 입력으로 쉽게 생성할 수있다. 구조물의 고유주기에 해당하는 스펙트럼 값을 구하기 위해 보간법(linear orlog scale interpolation)을 사용하기 때문에 스펙트럼 값의 변화가 심한 부분은가능한 세분화된 데이터를 사용하는 것이 바람직하다. 그리고 스펙트럼 함수의 범위는 고유치 해석에서 산출된 최대, 최소 주기범위를 포함할 수 있도록 입력되어야 한다. midas FEA에서는 고유치 해석의 주기가 입력된 스펙트럼 함수의 범위를초과하는 경우에는 스펙트럼 함수의 최대 또는 최소값을 사용한다.

Chapter 5. Linear Buckling Analysis

5-1 개요

선형좌굴해석(linear buckling analysis) 기능은 구조물의 임계하중계수(criticalload factor)와 그에 해당하는 좌굴모드형상(buckling mode shape)을 구하는데사용된다. 선형좌굴해석을 위하여 응력에 의한 기하강성(geometric stiffness)을고려한 구조물의 평형방정식을 기술하면 다음과 같다.

\mathbf {K} \mathbf {u} + \overline {{\mathbf {K}}} _ {G} \mathbf {u} = \overline {{\mathbf {p}}} \tag {5.1.1}

여기서,

\mathbf { K } : 탄성강성행렬

\bar { \mathbf { K } } _ { G } : 응력에 의한 기하강성행렬

\mathbf { u } : 구조물의 전체변위

\overline { { \mathbf { p } } } : 구조물에 작용하는 하중

선형해석에서 구조물의 응력은 하중에 비례하고, 기하강성행렬은 응력에 비례한다.그러므로 하중 p 가 기준하중 p 에 비례한다고 가정하면, 기하강성행렬 \overline { { \mathbf { K } } } _ { G } \triangleqq 다음과 같이 나타낼 수 있다.

\overline {{{\mathbf {K}}}} _ {G} = \alpha \mathbf {K} _ {G} \tag {5.1.2}

\overline {{{\mathbf {p}}}} = \alpha \mathbf {p} \tag {5.1.3}

여기서,

\mathbf { p } : 기준하중

KG \mathbf { K } _ { G } : 기준하중에 대응하는 기하강성 행렬

\alpha ：

식 (5.1.2)와 (5.1.3)을 식 (5.1.1)에 대입하면 다음과 같다.

\mathbf {K} \mathbf {u} + \alpha \mathbf {K} _ {G} \mathbf {u} = \alpha \mathbf {p} \tag {5.1.4}

식 (5.1.4)와 같은 평형 상태는 하중계수 α 의 크기에 따라 안정하거나 불안정할수 있다. 안정성(stability)을 판단하기 위하여 평형상태 u 에 섭동(perturbation)u.

\mathbf {K} (\mathbf {u} + \delta \mathbf {u}) + \alpha \mathbf {K} _ {G} (\mathbf {u} + \delta \mathbf {u}) = \alpha \mathbf {p} \tag {5.1.5}

평형방정식 (5.1.4)를 이용하여 식 (5.1.5)에서 섭동 이외의 항을 소거하면 다음과같은 고유치 문제를 얻을 수 있다.

(\mathbf {K} + \alpha \mathbf {K} _ {G}) \delta \mathbf {u} = \mathbf {0} \tag {5.1.6}

여기서, 평형상태의 안정성은 다음과 같이 행렬식을 통해 판단할 수 있다.

\left| \mathbf {K} + \alpha \mathbf {K} _ {G} \right| > 0 \quad : \text {   안정한   상태   }

\left| \mathbf {K} + \alpha \mathbf {K} _ {G} \right| \leq 0 \quad : \text {   불안정한   상태   }

그러므로 식 (5.1.6)을 만족하는 고유치 α 는 평형상태의 불안정성이 시작되는 임계하중계수(critical load factor)라 할 수 있으며, 이에 대응하는 고유모드중(critical load)은 임계하중계수와 기준하중을 고려하여 αp 로 표현할 수 있다.그림 5.1.1은 압축 하중을 받는 기둥의 평형상태와 임계하중에 의한 좌굴 형상을나타내고 있다.

text_image

αP u αP δu δu

그림. 5.1.1 압축하중을 받는 기둥의 좌굴

선형좌굴해석에는 기하강성행렬 \mathbf { K } _ { G } \ \underline { { \circ } } \mathbf { | } 계산 과정과 고유치 문제 식 (5.1.6)의 해법이 필요하다. midas FEA에서는 요소 별로 응력 또는 요소내력에 기반한 기하강성을 이용하며, 고유치 문제는 Lanczos 반복(iteration)법으로 계산한다.

5-2 기하강성

midas FEA에서 응력에 의한 기하강성을 고려하는 요소는 다음과 같다.

트러스요소, 보요소, 평면응력요소, 판요소, 입체요소

구조물의 유한요소 모델에 기하강성을 고려하는 요소가 존재하지 않으면 좌굴해석을 위한 고유치 문제가 성립되지 않음에 주의해야 한다.

각각의 요소에 대한 기하강성의 일반적인 형태는 다음과 같다.

\mathbf {K} _ {G} ^ {e} = \int \mathbf {G} ^ {T} \mathbf {S} \mathbf {G} d V \tag {5.2.1}

여기서, S 는 응력 또는 요소내력이고, G 는 절점 변위와 변위 도함수(displacement derivative)의 관계를 정의하는 행렬이다.

5-2-1 트러스요소

트러스요소의 기하강성 계산할 때는 요소좌표계에서 y , z 방향 이동변위만을 고려한다.

\mathbf {u} _ {i} = \left\{v _ {i} \quad w _ {i} \right\} ^ {T} \tag {5.2.2}

v = \sum_ {i = 1} ^ {2} N _ {i} v _ {i}, w = \sum_ {i = 1} ^ {2} N _ {i} w _ {i} \tag {5.2.3}

여기서,

Ni : 2 절점 형상함수

S 의 구성에 있어서는 축방향 응력 σ xx 만을 고려한다.