김경종
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\mathbf {S} = \left[ \begin{array}{c c} \sigma_ {x x} & 0 \\ 0 & \sigma_ {x x} \end{array} \right] \tag {5.2.4}
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절점변위-변위도함수의 관계 Gi 는 식 (5.2.5)와 같다.
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\mathbf {G} _ {i} = \left[ \begin{array}{c c} \frac {\partial N _ {i}}{\partial x} & 0 \\ 0 & \frac {\partial N _ {i}}{\partial x} \end{array} \right] \tag {5.2.5}
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행렬 Gi 를 이용하여 트러스요소의 기하강성을 표현하면 다음과 같다.
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\mathbf {K} _ {G i j} = A \int_ {L _ {e}} \mathbf {G} _ {i} ^ {T} \mathbf {S} \mathbf {G} _ {j} d L \tag {5.2.6}
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여기서,
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\begin{array}{l} A \quad : \text { 단면적 } \\ L _ {e} \quad : \text { 요소 길이 } \\ \end{array}
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식 (5.2.6)을 정리하여 트러스요소의 요소강성행렬을 다음과 같이 계산할 수 있다.
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\mathbf {K} _ {G} = \frac {N _ {x}}{L _ {e}} \left[ \begin{array}{c c c c} 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 \\ - 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & 1 \end{array} \right] \tag {5.2.7}
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여기서,
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Nx : 축방향 내력
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# 5-2-2 보요소
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선형좌굴해석에서 보요소의 기하강성 중 축방향 힘 Nx 를 고려한 부분은 트러스요소와 유사한 과정으로 계산할 수 있다. 보요소에서는 y , z 방향 이동변위를 다음과 같이 회전을 고려한 절점 자유도로 표현한다.
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\mathbf {u} _ {i} = \left\{v _ {i} \quad w _ {i} \quad \theta_ {y i} \quad \theta_ {z i} \right\} ^ {T} \tag {5.2.8}
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v = \sum_ {i = 1} ^ {2} (H _ {0 i} v _ {i} + H _ {1 i} \theta_ {z i}) , \quad w = \sum_ {i = 1} ^ {2} (H _ {0 i} w _ {i} - H _ {1 i} \theta_ {y i}) \tag {5.2.9}
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$H _ { 0 i }$ 과 $H _ { 1 i }$ 는 다음과 같은 Hermite 3차 형상함수이다.
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H _ {0 1} = 1 - 3 \xi^ {2} + 2 \xi^ {3}, \quad H _ {0 2} = 3 \xi^ {2} - 2 \xi^ {3}, \quad H _ {1 1} = L _ {e} (\xi - 2 \xi^ {2} + \xi^ {3}),
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H _ {0 2} = L _ {e} (- x ^ {2} + x ^ {3})
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여기서,
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\xi \quad : 0 \leq \xi \leq 1
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L _ {e} \quad : \text { 요소 길이 }
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따라서 절점변위-변위도함수의 관계 $\mathbf { G } _ { i }$ 는 다음과 같다.
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\mathbf {G} _ {i} = \left[ \begin{array}{c c c c} \frac {\partial H _ {0 i}}{\partial x} & 0 & 0 & \frac {\partial H _ {1 i}}{\partial x} \\ 0 & \frac {\partial H _ {0 i}}{\partial x} & - \frac {\partial H _ {1 i}}{\partial x} & 0 \end{array} \right] \tag {5.2.10}
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행렬 S 는 트러스요소와 같으므로 보요소의 기하강성 행렬을 다음과 같이 계산할수 있다.
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\mathbf {K} _ {G} = N _ {x} \left[ \begin{array}{c c c c c c c c} \frac {6}{5 L _ {e}} & & & & & & \\ 0 & \frac {6}{5 L _ {e}} & & & & \text {symm.} \\ 0 & - \frac {1}{1 0} & \frac {2 L _ {e}}{1 5} & & & \\ \frac {1}{1 0} & 0 & 0 & \frac {2 L _ {e}}{1 5} & & \\ - \frac {6}{1 5 L _ {e}} & 0 & 0 & - \frac {1}{1 0} & \frac {6}{5 L _ {e}} & & \\ 0 & - \frac {6}{1 5 L _ {e}} & \frac {1}{1 0} & 0 & 0 & \frac {6}{5 L _ {e}} & & \\ 0 & - \frac {1}{1 0} & - \frac {L _ {e}}{3 0} & 0 & 0 & \frac {1}{1 0} & \frac {2 L _ {e}}{1 5} & \\ \frac {1}{1 0} & 0 & 0 & - \frac {L _ {e}}{3 0} & - \frac {1}{1 0} & 0 & 0 & \frac {2 L _ {e}}{1 5} \end{array} \right]
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(5.2.11)
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보요소의 기하강성에는 축방향 내력 이외에 휨모멘트, 전단력, 비틀림모멘트 등에의해 발생하는 부분이 있다. midas FEA에서는 이와 같은 형태의 하중에 의한 다양한 좌굴(lateral-torsional, axial-torsional) 형태를 고려한 해석을 수행할 수 있다.
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# 5-2-3 평면응력요소
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평면응력요소의 기하강성 계산에서는 요소좌표계에서 x, , y z 방향 이동변위를 모두고려한다.
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\mathbf {u} _ {i} = \left\{u _ {i} \quad v _ {i} \quad w _ {i} \right\} ^ {T} \tag {5.2.12}
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u = \sum_ {i = 1} ^ {n} N _ {i} u _ {i}, v = \sum_ {i = 1} ^ {n} N _ {i} v _ {i}, w = \sum_ {i = 1} ^ {n} N _ {i} w _ {i} \tag {5.2.13}
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여기서,
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n : 절점 개수
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$N _ { i }$ : 절점 개수에 따른 형상함수
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S 의 구성에 있어서는 면내방향 응력을 고려한다.
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\mathbf {S} = \left[ \begin{array}{l l l} \overline {{{\mathbf {S}}}} & \mathbf {0} & \mathbf {0} \\ \mathbf {0} & \overline {{{\mathbf {S}}}} & \mathbf {0} \\ \mathbf {0} & \mathbf {0} & \overline {{{\mathbf {S}}}} \end{array} \right], \quad \overline {{{\mathbf {S}}}} = \left[ \begin{array}{l l} \sigma_ {x x} & \tau_ {x y} \\ \tau_ {x y} & \sigma_ {y y} \end{array} \right] \tag {5.2.14}
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절점변위-변위도함수의 관계 Gi 는 식 (5.2.15)과 같다.
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\mathbf {G} _ {i} = \left[ \begin{array}{c c c c c c} \frac {\partial N _ {i}}{\partial x} & \frac {\partial N _ {i}}{\partial y} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac {\partial N _ {i}}{\partial x} & \frac {\partial N _ {i}}{\partial y} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \frac {\partial N _ {i}}{\partial x} & \frac {\partial N _ {i}}{\partial y} \end{array} \right] ^ {T} \tag {5.2.15}
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행렬 $\mathbf { G } _ { i }$ 를 이용하여 평면응력요소의 기하강성을 표현하면 다음과 같다.
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\mathbf {K} _ {G i j} = t \int_ {A _ {o}} \mathbf {G} _ {i} ^ {T} \mathbf {S} \mathbf {G} _ {j} d A \tag {5.2.16}
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여기서,
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t : 두께
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Ae : 요소 면적
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# 5-2-4 판요소
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판요소에서는 요소좌표계의 x, , y z 방향 이동변위를 다음과 같이 회전을 고려한 절점 자유도로 표현한다.
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\mathbf {u} _ {i} = \left\{u _ {i} \quad v _ {i} \quad w _ {i} \quad \theta_ {x i} \quad \theta_ {y i} \right\} ^ {T} \tag {5.2.17}
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u = \sum_ {i = 1} ^ {n} (N _ {i} u _ {i} + z N _ {i} \theta_ {y i}), v = \sum_ {i = 1} ^ {n} (N _ {i} v _ {i} - z N _ {i} \theta_ {x i}), w = \sum_ {i = 1} ^ {n} N _ {i} w _ {i} \tag {5.2.18}
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여기서,
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n : 절점 개수
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$N _ { i }$ : 절점 개수에 따른 형상함수
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식 (5.2.18)는 요소의 곡률을 고려하고 있지 않으므로 저차 판요소에만 적용할 수있다.
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S 의 구성에 있어서는 $\sigma _ { z z } \frac { \equiv } { \equiv }$ 제외한 모든 성분의 응력을 고려한다.
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\mathbf {S} = \left[ \begin{array}{l l l} \overline {{{\mathbf {S}}}} & \mathbf {0} & \mathbf {0} \\ \mathbf {0} & \overline {{{\mathbf {S}}}} & \mathbf {0} \\ \mathbf {0} & \mathbf {0} & \overline {{{\mathbf {S}}}} \end{array} \right], \quad \overline {{{\mathbf {S}}}} = \left[ \begin{array}{l l l} \sigma_ {x x} & \tau_ {x y} & \tau_ {z x} \\ \tau_ {x y} & \sigma_ {y y} & \tau_ {y z} \\ \tau_ {z x} & \tau_ {y z} & 0 \end{array} \right] \tag {5.2.19}
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절점변위-변위도함수의 관계 $\mathbf { G } _ { i } \equiv$ 식 (5.2.20)과 같다.
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\mathbf {G} _ {i} = \left[ \begin{array}{c c c c c c c c c} \frac {\partial N _ {i}}{\partial x} & \frac {\partial N _ {i}}{\partial y} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac {\partial N _ {i}}{\partial x} & \frac {\partial N _ {i}}{\partial y} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac {\partial N _ {i}}{\partial x} & \frac {\partial N _ {i}}{\partial y} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - z \frac {\partial N _ {i}}{\partial x} & - z \frac {\partial N _ {i}}{\partial y} & - N _ {i} & 0 & 0 & 0 \\ z \frac {\partial N _ {i}}{\partial x} & z \frac {\partial N _ {i}}{\partial y} & N _ {i} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right] ^ {T} \tag {5.2.20}
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행렬 Gi 를 이용하여 판요소의 기하강성을 표현하면 다음과 같다.
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\mathbf {K} _ {G i j} = \int_ {V _ {e}} \mathbf {G} _ {i} ^ {T} \mathbf {S} \mathbf {G} _ {j} d V \tag {5.2.21}
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고차 판요소의 경우에는 요소의 곡률을 고려하며, 절점마다 회전 자유도에 대한좌표계가 정의된다는 점 이외에는 유사한 과정으로 기하강성을 계산할 수 있다.
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# 5-2-5 입체요소
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입체요소의 기하강성 계산시에는 요소좌표계에서 x, , y z 방향 이동변위를 모두 고려한다.
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\mathbf {u} _ {i} = \left\{u _ {i} \quad v _ {i} \quad w _ {i} \right\} ^ {T} \tag {5.2.22}
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u = \sum_ {i = 1} ^ {n} N _ {i} u _ {i}, v = \sum_ {i = 1} ^ {n} N _ {i} v _ {i}, w = \sum_ {i = 1} ^ {n} N _ {i} w _ {i} \tag {5.2.23}
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여기서,
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n : 절점 개수
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N i : 절점 개수에 따른 형상함수
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S 의 구성에 있어서는 모든 성분의 응력을 고려한다.
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\mathbf {S} = \left[ \begin{array}{l l l} \overline {{{\mathbf {S}}}} & \mathbf {0} & \mathbf {0} \\ \mathbf {0} & \overline {{{\mathbf {S}}}} & \mathbf {0} \\ \mathbf {0} & \mathbf {0} & \overline {{{\mathbf {S}}}} \end{array} \right], \quad \overline {{{\mathbf {S}}}} = \left[ \begin{array}{l l l} \sigma_ {x x} & \tau_ {x y} & \tau_ {z x} \\ \tau_ {x y} & \sigma_ {y y} & \tau_ {y z} \\ \tau_ {z x} & \tau_ {y z} & \sigma_ {z z} \end{array} \right] \tag {5.2.24}
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절점변위-변위도 함수의 관계 Gi 는 식 (5.2.25)와 같다.
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\mathbf {G} _ {i} = \left[ \begin{array}{c c c c c c c c c} \frac {\partial N _ {i}}{\partial x} & \frac {\partial N _ {i}}{\partial y} & \frac {\partial N _ {i}}{\partial z} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac {\partial N _ {i}}{\partial x} & \frac {\partial N _ {i}}{\partial y} & \frac {\partial N _ {i}}{\partial z} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac {\partial N _ {i}}{\partial x} & \frac {\partial N _ {i}}{\partial y} & \frac {\partial N _ {i}}{\partial z} \end{array} \right] ^ {T} \tag {5.2.25}
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행렬 Gi 를 이용하여 입체요소의 기하강성을 표현하면 다음과 같다.
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\mathbf {K} _ {G i j} = \int_ {V _ {e}} \mathbf {G} _ {i} ^ {T} \mathbf {S} \mathbf {G} _ {j} d V \tag {5.2.26}
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# 5-3 임계하중계수 추출방법
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선형좌굴해석에서의 고유치 문제인 식 (5.1.6)은 다음과 같은 형태로 간략하게 표현할 수 있다.
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(\mathbf {K} + \lambda_ {m} \mathbf {K} _ {G}) \phi_ {m} = \mathbf {0} \tag {5.3.1}
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여기서,
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$\lambda _ { m }$ ：
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$\phi _ { m }$
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midas FEA에서는 식 (5.3.1)과 같은 고유치 문제를 해석할 때 Lanczos 반복(iteration)법을 이용한다. 그리고 Lanczos 반복법은 고유치 해석에서 설명하고 있다.
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식 (5.3.1)은 자유진동해석의 고유치 문제와 유사하지만, 질량 행렬과는 다르게 기하강성 ${ \bf K } _ { G } \equiv \mathbf { \Delta } _ { \mathbf { O } } ^ { \mathrm { o p s o l } }$ 정부호(positive definite)가 아니다. 따라서 선형좌굴해석에서는 $\lambda _ { m } = \sigma \theta _ { m } / ( 1 - \theta _ { m } ) \underline { { \circ } } \underline { { \Xi } }$ 치환하여 Shift-invert 기법을 적용한 Lanczos 반복법을이용한다. 계산된 임계하중계수들은 절대값이 작은 것부터 순차적으로 출력된다.
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# 5-4 관련 기능
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선형좌굴해석에서 임계하중계수 α 는 기준하중 p 의 방향에 따라 “+” 또는 “-“ 부호를 갖는다. 유한요소 모델과 하중이 복잡한 경우에는 임계하중계수의 부호가좌굴모드에 따라 바뀌는 경우도 발생한다. 따라서 midas FEA에서는 필요에 따라“+” 부호를 갖는 임계하중만을 계산할 수 있도록 하는 기능을 제공하고 있다.
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자중(self-weight)과 같은 특정 하중은 일반적으로 기준하중 p 와는 다르게 고정된 크기를 유지하지만, 응력을 발생시키기 때문에 기하강성을 유발한다. midasFEA에서는 하중의 종류를 선택하여 기준하중 또는 고정하중(constant load)으로사용할 수 있는 기능을 제공한다. 고정하중으로 선택된 하중은 하중계수 α 와 무관하게 일정한 값을 가지며, 이에 따른 기하강성만을 발생시킨다. 고정하중이 포함된 선형좌굴해석은 다음과 같은 형태의 고유치 문제가 된다.
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(\mathbf {K} + \mathbf {K} _ {G} ^ {*} + \lambda_ {m} \mathbf {K} _ {G}) \phi_ {m} = \mathbf {0} \tag {5.4.1}
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여기서,
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\* KG : 고정하중으로부터 발생한 응력에 대한 기하강성
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z 방향 회전자유도를 고려하지 않은 판요소는 요소좌표계 z 방향 회전에 대한 탄성강성과 기하강성이 모두 존재하지 않는다. 이러한 경우 Lanczos 반복계산 과정중 수치오류가 발생하여 의미 없는(trivial) 임계하중계수 α 가 발생할 수 있다.midas FEA에서는 인접한 판요소 간의 각도를 고려하여 z 방향 회전에 대한 강성이 발생하지 않으면 이를 구속하는 기능을 제공한다.
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# Analysis and Algorithm Manual
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# Part 5 Construction Stage Analysis
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Chapter 1. Construction Stage Analysis
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