김경종
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# 1-3 공간이산화
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예조건화된 방정식 (1.2.8)은 다음과 같이 간단하게 표현할 수 있다.
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\boldsymbol {\Gamma} \frac {\partial \mathbf {Q}}{\partial t} + \nabla \cdot \overline {{{\mathbf {F}}}} = \nabla \cdot \overline {{{\mathbf {F}}}} _ {v} + \mathbf {S} \tag {1.3.1}
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$$
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위 식을 그림 1.3.1과 같은 전산셀(computational cell)에 대해 적분하고 확산정리(divergence theorem)을 적용하면 다음과 같이 변환할 수 있다.
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$$
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\Gamma \frac {d}{d t} \int_ {V} \mathbf {Q} d V + \int_ {\Omega} \overline {{\mathbf {F}}} \cdot \mathbf {n} d \Omega = \int_ {\Omega} \overline {{\mathbf {F}}} _ {v} \cdot \mathbf {n} d \Omega + \int_ {V} \mathbf {S} d V \tag {1.3.2}
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$$
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midas FEA 에서는 구조화된 격자를 사용하기 때문에 셀의 배치가 그림 1.3.1과같음에 주의해야 한다. 각 셀의 크기가 작다고 가정하여 셀의 부피와 인접면에 대한 적분을 수행하면 다음과 같이 유한체적법으로 공간이산화한 준 이산화 방정식이 된다.
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$$
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\boldsymbol {\Gamma} \frac {d \mathbf {Q} _ {(i , j)}}{d t} + \mathbf {R} = \mathbf {0} \tag {1.3.3}
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$$
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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Q_{ij-11}
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Q_{ij-11}
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Q_{11}
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Q_{ij-11}
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Q_{10-10}
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Q_{10-0}
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</details>
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그림 1.3.1 전산셀의 배치와 지표(index)
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여기서, 잔류량 R 은 인접면에서의 총 유량 $\tilde { \mathbf { F } } _ { c }$ 에 의해 다음과 같이 표현할 수 있다.
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\mathbf {R} = \frac {1}{V _ {(i , j)}} (\sum \tilde {\mathbf {F}} _ {c} \cdot \mathbf {n} \Delta \Omega) + \mathbf {S} _ {(i, j)} \tag {1.3.4}
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$$
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안정적인 수치해석을 위해 유량벡터 $\tilde { \mathbf { F } } _ { c }$ 에서 비점성항은 ${ \mathsf { R o e } } ^ { 4 } { \underline { { \circ } } } |$ 수치유량벡터로대치하여 계산하며 특성치 수정(entropy correction) 방법을 적용하여 흔들림(wiggle)을 방지한다. 수치유량 계산에 단순한 상류차분(upwind difference)을 사용하게 되면 1차의 정확도만을 얻을 수 있으므로 보다 정확한 해를 얻기 위해 vanLeer5 의 MUSCL 외삽(extrapolation) 기법과 (limiter)를 적용하여 고차의 공간이산화를 얻음과 동시에 단조성(monotone)을 유지할 수 있다.
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# 1-4 정상유동
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정상유동해석에서는 비정상 유동방정식에서 시간항이 0이 되는 Qp 를 구하게 된다. 식(1.2.1)을 시간차분 계수 θ를 이용하여 표현하면 다음과 같다.
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\Gamma \frac {\Delta \mathbf {Q}}{\Delta \tau} + \theta \mathbf {R} ^ {n + 1} + (1 - \theta) \mathbf {R} ^ {n} = \mathbf {0} \tag {1.4.1}
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$$
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midas FEA에서는 θ =1 을 사용한다. 위 식에서 n+1 R 을 선형화하여 다시 정리하면 다음과 같은 연립방정식을 얻을 수 있다.
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[ \mathbf {D} + \frac {\Delta \tau}{V} (\mathbf {A} + \mathbf {B}) ] \Delta \mathbf {Q} = - \Delta \tau \mathbf {R} ^ {n} \tag {1.4.2}
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$$
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대각행렬 D 는 다음과 같다.
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\mathbf {D} = \boldsymbol {\Gamma} - \Delta \tau \mathbf {K} \tag {1.4.3}
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$$
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여기서,
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K : 난류원천항의 자코비안(Jacobian) 행렬
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A : 셀 경계 i ±1/ 2 에서의 F 자코비안 행렬
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B : 셀 경계 j ±1/ 2 에서의 F 자코비안 행렬
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원천항의 자코비안 행렬 K 는 난류모델에 따라 다른 형태를 가지며, midas FEA에서는 안정적인 수치해석을 위하여 원천항 중 감쇄항만을 포함하였다.
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식 (1.4.2)의 해는 AF-ADI(Approximate Factorization-Alternative DirectionImplicit) 방법으로 계산한다.
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[ \mathbf {D} + \frac {\Delta \tau}{V} \mathbf {A} ] \mathbf {D} ^ {- 1} [ \mathbf {D} + \frac {\Delta \tau}{V} \mathbf {B} ] \Delta \mathbf {Q} = - \Delta \tau \mathbf {R} ^ {n} \tag {1.4.4}
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$$
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위 식은 블록 삼중대각(block tri-diagonal) 행렬이므로 효과적으로 계산할 수 있다.
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# 1-5 비정상유동
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비정상유동해석에서는 AF-ADI 방법을 적용할 때 발생하는 오차를 감소하기 위해개발된 이중시간 적분법6을 사용한다. 시간항에 대한 2차의 정확도를 갖고 “A-Stable” 한 “2-parameter family” 적분법7 에 의한 시간 이산화 방정식은 다음과같다.
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(1 + \frac {\phi}{2}) \frac {\Delta \mathbf {W} ^ {n}}{\Delta t} - \frac {\phi}{2} \frac {\Delta \mathbf {W} ^ {n - 1}}{\Delta t} + \theta \mathbf {R} ^ {n + 1} + (1 - \theta) \mathbf {R} ^ {n} = \mathbf {0} \tag {1.5.1}
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$$
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midas FEA에서는 φ θ =1, 1 = 을 사용한다. 위 식에 예조건화 행렬을 곱한 가상의시간항을 더하여 이중 시간적분법을 적용하면 다음과 같다.
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\frac {3}{2} \frac {\Delta \overline {{{\mathbf {W}}}}}{\Delta t} - \frac {1}{2} \frac {\Delta \mathbf {W} ^ {n - 1}}{\Delta t} + \boldsymbol {\Gamma} \frac {\Delta \mathbf {Q} ^ {l}}{\Delta \tau} + \mathbf {R} ^ {l + 1} = \mathbf {0} \tag {1.5.2}
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$$
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$$
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\Delta \overline {{{\mathbf {W}}}} = \mathbf {W} ^ {l + 1} - \mathbf {W} ^ {l} \tag {1.5.3}
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$$
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여기서,
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l : 이중시간의 반복(iteration ) 지표(index)
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n : 시간증분 지표
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위 식에서 l +1 R 을 선형화하여 다시 정리하면 다음과 같은 연립방정식을 얻을 수있다.
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$$
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[ \mathbf {D} + \frac {\Delta \tau}{V} (\mathbf {A} + \mathbf {B}) ] \Delta \mathbf {Q} = - \Delta \tau \tilde {\mathbf {R}} \tag {1.5.4}
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$$
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대각행렬 D 는 다음과 같다.
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$$
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\mathbf {D} = \frac {3}{2} \mathbf {M} \frac {\Delta \tau}{\Delta t} + \mathbf {\Gamma} - \Delta \tau \mathbf {K} \tag {1.5.5.}
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$$
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$$
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\tilde {\mathbf {R}} = \frac {3}{2} \frac {\mathbf {W} ^ {l} - \mathbf {W} ^ {n}}{\Delta t} - \frac {1}{2} \frac {\mathbf {W} ^ {n} - \mathbf {W} ^ {n - 1}}{\Delta t} + \mathbf {R} ^ {l} \tag {1.5.6}
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$$
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여기서,
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R : 수정된 잔류량
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M : Q 에서 W 로의 변환행렬
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이중시간 적분법이 수렴하게 되면 R 0 = 이 되고 다음과 같은 관계를 만족하게 된다.
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$$
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\mathbf {W} ^ {l + 1} = \mathbf {W} ^ {l} = \mathbf {W} ^ {n + 1} \tag {1.5.7}
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$$
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식 (1.6.4)는 정상유동해석과 같이 AF-ADI 기법을 이용하여 계산할 수 있다.
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# 1-6 수치적 안정성
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Navier-Stokes 방정식은 대류(convection)와 확산(diffusion)의 성질을 모두 가지고 있기 때문에 가상의 시간증분 ∆τ 을 다음과 같이 계산한다.
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\frac {1}{\Delta \tau} = \frac {1}{\Delta \tau_ {h}} + \frac {1}{\Delta \tau_ {p}} \tag {1.6.1}
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대류에 관한 시간증분 h∆τ 는 CFL 수에 의해 조절하며 확산에 관한 시간증분p ∆τ 는 von Neumann 수를 이용하여 조절한다. CFL 수와 von Neumann 수의기본값은 각각 10.0과 5.0 이다.
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수치유량의 비점성항 계산에 사용하는 Roe의 근사 리만해는 수치적인 흔들림(wiggle)을 발생시킬 수 있기 때문에 midas FEA에서는 특성치 수정방법을 사용한다. Roe의 수치유량벡터에 사용되는 수치점성항(numerical viscosity)의 특성치를
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\left| \lambda \right| = \left| \lambda \right|, \text { if } \left| \lambda \right| \geq \varepsilon_ {1}
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\left| \lambda \right| = \frac {1}{2} \left\{\frac {\left| \lambda \right| ^ {2}}{\varepsilon_ {1}} + \varepsilon_ {1} \right\}, \text { if } \left| \lambda \right| < \varepsilon_ {1} \tag {1.6.2}
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$$
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일반적으로 ε 1 = 0.0 0.25 ∼ 의 값을 사용하며 클수록 해가 소산(dissipative)한 특성을 가진다. 정상유동 해석과 비정상유동 해석에서의 기본값은 각각 0.05와 0.0이다.
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midas FEA 에서는 난류 정상유동 해석에 있어서 수치적 안정성을 고려하여 사용자가 지정한 반복회수만큼을 층류(larminar) 유동으로 가정하여 계산한다. 또한 비정상유동의 안정적인 해석을 위해 초기 유동장을 정상해석 결과로부터 가져오게된다.
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# 1-7 전산유체 해석결과
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midas FEA의 전산유체 해석 결과는 속도, 압력 등의 전산 격자에 대한 결과와 공기력계수(aerodynamic coefficient)가 있다.
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# 격자에 대한 결과
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속도, 와도 : u v, [ m / sec ] ωz $\left[ \sec ^ { - 1 } \right]$
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정압, 동압 : $ { p } _ { \mathrm { ~ \normalfont ~ \left. ~ \right.} } \left[ { N } / m ^ { 2 } \right]$
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난류점성, 점성비 : $\mu _ { { } _ { t u r b } } \quad \ [ \ N \sec / m ^ { 2 } ] \quad \mu _ { { } _ { t u r b } } / \mu$
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난류에너지, 강도 : $K E _ { t u r b } [ m ^ { 2 } / { \mathrm { s e c } } ^ { 2 } ] u _ { t u r b } / U [ \% ]$
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# 공기력계수
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양력계수 : CL $C _ { L }$
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항력계수 : CD $C _ { D }$
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모멘트계수 : CM $C _ { M }$
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속도, 압력과 난류 관련 결과는 양이 많으므로 사용자가 지정한 시간 스텝에 대하여 출력하며, 공기력계수는 매 스텝마다 출력한다.
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midas FEA 프로그램이
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한국 토목 구조분야의 기술신장과 대외 기술경쟁력의 확보에
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다소나마 기여할 수 있기를 바랍니다.
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<table><tr><td>강상욱</td><td>강성규</td><td>강은식</td><td>강의영</td><td>계만수</td><td>고영현</td><td>권병천</td><td>권정우</td></tr><tr><td>김경환</td><td>김규상</td><td>김근영</td><td>김동현</td><td>김문성</td><td>김상길</td><td>김영민</td><td>김영진</td></tr><tr><td>김용성</td><td>김용수</td><td>김우종</td><td>김은아</td><td>김정인</td><td>김제현</td><td>김종민 A</td><td>김종민 B</td></tr><tr><td>김지웅</td><td>김치원</td><td>남궁계흥</td><td>남궁용락</td><td>남기수</td><td>문정호</td><td>박시형</td><td>박영호</td></tr><tr><td>박임구</td><td>박찬영</td><td>배민제</td><td>서기흥</td><td>서충원</td><td>선종복</td><td>성실애</td><td>손성용</td></tr><tr><td>신대석</td><td>신미영</td><td>심상우</td><td>심후성</td><td>양재석</td><td>양진오</td><td>염영종</td><td>염정현</td></tr><tr><td>오진상</td><td>우성운</td><td>윤장호</td><td>이 화</td><td>이민영</td><td>이샘이</td><td>이유리</td><td>이은숙 A</td></tr><tr><td>이은숙 B</td><td>이재훈</td><td>이정우</td><td>이종협</td><td>이창근</td><td>이창렬</td><td>이형우</td><td>이형훈</td></tr><tr><td>이혜연</td><td>이호정</td><td>이호택</td><td>정동진</td><td>정선화</td><td>정승식</td><td>정진상</td><td>정창진</td></tr><tr><td>조대현</td><td>조훈석</td><td>주민선</td><td>주영태</td><td>지영범</td><td>최병현</td><td>최성기</td><td>최원호</td></tr><tr><td>하성문</td><td>함성훈</td><td>허문석</td><td colspan="2">Angshuman</td><td colspan="3">Maziar</td></tr></table>
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(가나다 순)
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제 작 : (주)마이다스아이티 MIDAS Information Technology Co.,LTD
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