김경종
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# 2. Node/DOF/Coordinate system
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# 2.1 절점과 자유도
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절점(node)과 요소(element)는 유한요소(finite element) 모델의 크기와 모양을결정하며, 모든 해석의 출발점이라 할 수 있다. 절점과 요소에 의해 정의된 모델은 물리적 현상을 행렬 형태의 수치 방정식으로 표현한 것과 같다. 이 때 행렬방정식의 미지수는 변위(displacement), 회전(rotation), 온도(temperature) 등의물리량(physical quantity)이며 이를 자유도(DOF : degree of freedom)라 한다.
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간단한 예를 들면, 구조해석 문제에 있어서 절점에 할당되는 자유도는 3개의 변위(displacement)와 3개의 회전(rotation)이다. 이들 6개의 자유도는 다음 그림과같다.
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θ₂
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u₂
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u₁
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θ₁
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u₃
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θ₃
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그림 2.1.1 직교 좌표계에서의 변위와 회전 자유도
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각각의 자유도는 다음과 같은 기호를 사용하여 표현하는 것이 일반적이다.
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$\star \ { \cal D } { \cal O } { \cal F } 1 = { \cal T } _ { 1 } = u _ { 1 }$
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$\cdot \phantom { } \ D O F 2 = T _ { 2 } = u _ { 2 }$
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$\cdot \ D O F 3 = T _ { 3 } = u _ { 3 }$
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$\cdot \ D O F 4 = R _ { 1 } = \theta _ { 1 }$
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각각의 절점은 운동 방향을 기술하는 좌표계를 가지며 이를 절점 변위 좌표계(nodal displacement coordinate system)라 한다. 위에서 언급한 자유도는 모두절점에 할당된 좌표계의 방향을 따르게 되며 모든 절점은 기본적으로 전역 좌표계(global coordinate system)를 기준으로 운동 방향을 기술하도록 정의되어 있다. 온도 자유도는 방향이 없으므로 절점 변위 좌표계와 무관하다.
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# 2.2 좌표계
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midas NFX에서 사용할 수 있는 좌표계의 종류는 다음과 같다.
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► 직교 좌표계 (rectangular coordinate system)
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► 원통 좌표계 (cylindrical coordinate system)
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<summary>text_image</summary>
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Rectangular
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coordinate system
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Origin
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x
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y
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z
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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Cylindrical
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coordinate system
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Origin
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z
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r
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θ
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</details>
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그림 2.2.1 직교 좌표계와 원통 좌표계
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예를 들어 절점의 운동 방향을 원통 좌표계에 대하여 정의하였다면 자유도는 다음과 같다.
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► DOF 1 = displacement in
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► DOF 2 = displacement in
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► DOF 3 = displacement in
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► DOF 4 = rotation in
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► DOF 5 = rotation in
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► DOF 6 = rotation in
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유한요소법을 이용하여 주어진 문제를 적절하게 모델링하고 올바르게 해석을 하기 위해서는 다양한 좌표계가 필요하다. 예를 들어 앞서 설명한 절점의 변위 방향을 정의하기 위한 좌표계 또는 이방성(anisotropic) 재료의 방향을 설정하기
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위한 좌표계가 필요하기도 하며, 결과값의 추출을 위해 특정 좌표계를 지정하기도 한다. midas NFX에서는 구조물의 모델링과 해석을 위하여 다음과 같은 좌표계를 사용하고 있다.
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표 2.2.1 midas NFX 에서 사용하는 좌표계의 종류
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<table><tr><td>좌표계 종류</td><td>설명</td></tr><tr><td>전역 좌표계GCS : global coordinate system</td><td>모델 전체를 하나의 동일한 기준으로 표현하는 좌표계, 직교 좌표계</td></tr><tr><td>절점 변위 좌표계NDCS : nodal displacement coordinate system</td><td>절점의 운동방향을 기술하는 좌표계직교/원통 좌표계</td></tr><tr><td>요소 좌표계ECS : element coordinate system</td><td>요소를 구성하는 절점 위치에 의해 결정되는 좌표계, 직교 좌표계</td></tr><tr><td>재료 좌표계MCS : material coordinate system</td><td>요소에 적용되는 재료의 방향을 정의하는 좌표계, 직교/원통 좌표계</td></tr><tr><td>요소 결과 좌표계ERCS : element result coordinate system</td><td>요소 결과를 출력하는 좌표계직교/원통 좌표계</td></tr><tr><td>요소 기술 좌표계EFCS : element formulation coordinate system</td><td>유한요소 정식화에 사용되는 좌표계전역 좌표계 또는 요소 좌표계와 같음</td></tr></table>
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이 중 요소 기술 좌표계는 해석기(solver)에서 사용하는 좌표계이며 midas NFX의 사용법과는 관련이 없으나 본 매뉴얼의 내용을 이해하는데 도움이 된다. 열전달 해석의 경우에는 절점의 자유도가 온도이므로 절점 변위 좌표계의 설정은해석과 무관하나 재료 좌표계, 요소 결과 좌표계 등은 해석과 결과에 영향을 줄
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수 있다. 요소 좌표계, 재료 좌표계 그리고 요소 결과 좌표계에 대한 설명은Chapter 3에 자세하게 기술되어 있다.
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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Principal 2-axis
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y
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x
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MCS
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Principal 1-axis
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y
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ECG
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x
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w
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z
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y
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z
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x
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u
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NDCS
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z
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y
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GCS
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x
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</details>
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그림 2.2.2 midas NFX 의 여러 가지 좌표계
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# 2.3 유한회전의 기술
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유한 회전(finite rotation)을 포함한 기하학적 비선형 해석에서는 회전량을의미하는 변수가 필요하다. midas NFX 에서는 유한 회전의 기술을 위해회전벡터(rotation vector)를 해당 절점의 자유도로 사용한다. 다시 말하면,기하학적 비선형 해석의 결과로 나타나는 절점 자유도 4\~6 의 결과값은회전벡터의 각 성분에 해당한다. 회전벡터 는 그 크기 와 방향를 가지고 있으며 물리적 현상으로 설명하자면, 그림 2.3.1 과 같이 회전벡터θ 는 축 에 대해 각도 (radian) 만큼 회전하는 것을 의미한다.
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<summary>text_image</summary>
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Axis of rotation
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e = θ/θ
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||θ||
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z
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y
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x
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</details>
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그림 2.3.1 회전벡터의 방향과 크기
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유한회전에서 주의할 사항은 여러 개의 회전벡터를 연속적으로 적용한복합회전(compound rotation)이 각 벡터의 합으로 이루어지지 않는다는 점이다.예를 들어 에 이어 θ의 회전이 연속적으로 적용되었을 때 최종적인 회전값는 의 성질을 가진다. 또한 교환법칙(commutative law)이성립하지 않기 때문에, 그림 2.3.2 와 같이 적용 순서를 바꾸어 에 이어 의회전을 적용하게 되면 또 다른 회전값이 된다. 복합회전을 계산하기 위해서는회전행렬(rotation matrix)을 이용하는 등 많은 방법들이 알려져 있으나, midas
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NFX에서는 쿀터니언 곱(quaternion product)을 이용하여 계산한다. 쿀터니언 q는 회전벡터 θ와 다음 관계를 가진다.
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$$
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q = (q _ {0}, \mathbf {q}) = (\cos (\left\| \boldsymbol {\theta} \right\| / 2), \sin (\left\| \boldsymbol {\theta} \right\| / 2) \mathbf {e}) \tag {2.3.1}
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$$
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두 개의 퀴터니언 곱은 다음과 같이 계산할 수 있다.
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$$
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q ^ {*} = \Delta q \circ q = (\Delta q _ {0} q _ {0} - \Delta \mathbf {q} \cdot \mathbf {q}, \Delta q _ {0} \mathbf {q} + q _ {0} \Delta \mathbf {q} + \Delta \mathbf {q} \times \mathbf {q}) \tag {2.3.2}
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$$
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$q^{*}$ : $\theta^{*}$ 에 해당하는 쿼터니언
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Δq : Δθ 에 해당하는 퀴터니언
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그림 2.3.2 교환법칙이 성립하지 않는 복합회전의 예
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# 3. Elements
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유한요소법을 이용한 구조물의 해석을 위해서는 사용 가능한 요소의 종류와 각각의 특성을 이해하는 것이 중요하다. midas NFX에서 사용 가능한 요소의 종류는 그 형상 또는 특성에 따라 다음과 같이 구분할 수 있다.
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• 스칼라(scalar) 요소
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1개의 절점을 가지며 절점의 운동이 접지점(ground point)에 대해 상대적으로정의되어 변형 또는 운동 에너지를 가지게 된다. 2개의 절점에 의해 정의할 수도 있으나 절점간의 거리 등의 형상 정보를 이용하지 않는다.
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• 1차원 형상
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두 개 혹은 세개의 절점을 가지는 직선 모양이며, 절점 간의 상대 거리 등의 형상 정보를 이용한다.
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• 2차원 형상
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삼각형 또는 사각형 모양이며 3/4/6/8 개의 절점을 가질 수 있다. 2차원 형상은공간 상에서 곡률을 가질 수 있다.
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• 3차원 형상
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사면체(tetrahedron), 오면체, 육면체(hexahedron) 모양이며 4/5/6/8/10/13/15/20개의 절점을 가질 수 있다. 오면체 요소는 쐐기(wedge) 형상 또는 피라미드(pyramid) 형상이 된다.
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• 특수 요소
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특수한 목적으로 만들어진 요소로서 midas NFX에서 사용할 수 있는 요소로는집중 질량(mass)이 있다.
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• 강체/보간 요소
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절점간의 강체(rigid body) 운동을 표현하거나 상대적 운동을 보간(interpolation)
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하여 정의할 수 있는 요소이다. 다중점 구속(multi-point constraint)과 유사한 특성을 가진다.
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# • 조인트 요소
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두 점 사이의 다양한 상대적 거동을 모사하는데 유용하게 사용되는 요소이다.조인트 타입은 두 점 사이의 상대적 거동을 결정지으며 두 점은 접지점(groundpoint)-절점 또는 절점-절점으로 구성될 수 있다.
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표 3.1 요소의 특성에 따른 분류
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<table><tr><td>특성</td><td colspan="2">요소 종류</td></tr><tr><td>스칼라 요소</td><td colspan="2">Spring(1/2 절점)Mass(1/2 절점)Damper(1/2 절점)</td></tr><tr><td>1차원 형상</td><td colspan="2">Rod(2/3 절점)Bar(2/3 절점)Pipe(2/3 절점)Bush(1/2 절점)Cable(2 절점)Gap(2 절점)</td></tr><tr><td rowspan="2">2차원 형상</td><td>평면 응력</td><td>Membrane(3/4/6/8 절점)Shell(3/4/6/8 절점)Surface(3/4/6/8 절점)</td></tr><tr><td>3차원 응력</td><td>Plane strain(3/4/6/8 절점)Axisymmetric solid(3/4/6/8 절점)</td></tr><tr><td>3차원 형상</td><td colspan="2">Solid(4/5/6/8/10/13/15/20 절점)</td></tr><tr><td>특수 요소</td><td colspan="2">집중 mass</td></tr><tr><td>강체/보간 요소</td><td colspan="2">Rigid element(rigid body, rigid bar), Interpolation element</td></tr><tr><td>조인트 요소</td><td colspan="2">조인트 타입에 따라 구분 (1/2 절점)</td></tr></table>
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표 3.1에 나열된 각각의 요소는 구조해석적 측면만을 고려한 분류이며 열전달해석 시 각각의 요소에서 반영하는 물리적 거동은 3.18절에서 설명한다.
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# 3.1 유한요소 정식화
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선형 탄성학에 기초하여 모든 방정식을 포함한 변분(variation) $0 | \equiv \frac { \ d } { \ d t }$ Hu-Washizu1, 2 변분 원리로 알려져 있으며 다음과 같이 표현된다.
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\delta G _ {e x t} = \int_ {\Omega} \left(\nabla \delta \mathbf {u}\right) ^ {T} \boldsymbol {\sigma} + \delta \boldsymbol {\varepsilon} ^ {T} \left(\mathbf {D} \boldsymbol {\varepsilon} - \boldsymbol {\sigma}\right) + \delta \boldsymbol {\sigma} ^ {T} \left(\nabla \mathbf {u} - \boldsymbol {\varepsilon}\right) d \Omega \tag {3.1.1}
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$$
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8Gext $\delta G _ { e x t }$ : 외력에 의한 가상 일
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1 : 변위
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0 : 응력(stress)
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: 변형률(strain)
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D : 응력-변형률 관계 행렬
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V : 변형률-변위 관계 연산자(operator)
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위 식은 평형 방정식(equilibrium equation), 구성방정식(constitutive equation) 그리고 적합조건 (compatibility condition)을 포함한 가장 일반적인 형태이다. 구성방정식에 의해 변형률 과 응력 의 관계가 항상 만족된다고 가정하면 다음과같이 Hellinger-Reissner3, 4 원리가 된다.
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$$
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\delta G _ {e x t} = \int_ {\Omega} (\nabla \delta \mathbf {u}) ^ {T} \boldsymbol {\sigma} + \delta \boldsymbol {\sigma} ^ {T} (\nabla \mathbf {u} - \mathbf {D} ^ {- 1} \boldsymbol {\sigma}) d \Omega \tag {3.1.2}
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$$
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추가적으로 적합조건에 의해 과 의 관계가 만족된다고 가정하면 일반적인가상일의 원리(principle of virtual work)가 된다.
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