김경종
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# 3.21 줄 발열 요소
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midas NFX에서는 열전도-전기장 연계 해석을 지원한다. 도체에 전기장이 형성되면 전위차에 의한 열이 발생하는데 이 열량을 줄 발열(Joule heating)이라고부른다. 줄 발열을 예측하기 위해서는 전기장 해석이 필요하다. 전기 전도율 행렬이 온도에 의존적이기 때문에 줄 발열을 정확하게 해석하기 위해서는 열 전달과 전기장 연계 해석을 수행해야 한다. 전기장은 매우 짧은 시간안에 형성되므로 시간항에 의한 영향을 무시할 수 있기 때문에 과도상태 줄 발열, 정상상태줄 발열 모두 정상상태 전기장 해석과 연계된다. midas NFX에서는 열 전달과 전기장 연계 요소를 지원하고 있으며, 본 절에서는 전기장 해석의 정식화와 줄 발열 그리고 연계 요소에서 생기는 강성행렬에 대해 알아본다.
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• 전기장 해석의 유한요소 정식화
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전하는 맥스웰의 전하 보존식에 따라 생성되거나 없어지지 않는다.
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\frac {\partial J _ {i}}{\partial x _ {i}} - r _ {c} = 0 \tag {3.21.1}
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rc : 단위 체적당 전원
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Ji : 방향별 전류 밀도
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전류 밀도는 Ohm 법칙에 따라 전기 전도율(electric conductivity)과 전기장 강도(electric field intensity)에 대한 식으로 나타낼 수 있다.
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J _ {i} = \sigma_ {i j} ^ {E} (T) E _ {j} \tag {3.21.2}
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$\sigma _ { i j } ^ { E }$ : 전기 전도율 행렬
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E j : 전기장 강도
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midas NFX에서는 등방성, 직교 이방성, 이방성 전기 전도율을 가진 재료를 사용할 수 있고, 전기 전도율은 온도에 따라 변하는 값을 가질 수 있다. 이 때 전기장 강도는 공간에서의 전위(electric potential) 변화 기울기의 음수로서 다음과
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같다.
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E _ {i} = - \frac {\partial \varphi}{\partial x _ {i}} \tag {3.21.3}
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φ : 전위
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Ohm 법칙을 전하 보존식에 대입하고, 가상 전위장을 곱하여 적분식으로 나타내면 다음과 같이 유한 요소 해석을 위한 약형을 얻을 수 있다.
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\int_ {\Omega} \frac {\partial \delta \varphi}{\partial x _ {i}} \sigma_ {i j} (T) \frac {\partial \varphi}{\partial x _ {j}} d \Omega = \int_ {\partial \Omega_ {q}} J _ {e x t} \delta \varphi d S + \int_ {\Omega} r _ {c} \delta \varphi d \Omega \tag {3.21.4}
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$J_{ext}$ : 외부에서 유입되는 전류 밀도
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도체에 흐르는 전류에 의해 발생하는 전기 에너지의 양은 줄의 법칙에 따라 다음 식과 같이 표현된다.
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P _ {e c} = E _ {i} J _ {i} \tag {3.21.5}
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전류의 흐름에 의해서 발생한 전기 에너지는 에너지 변환 인자(energy conversion factor)만큼 내부 발열량으로 열전달 하중으로 작용한다.
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\int \delta \varphi \eta P _ {e c} d \Omega \tag {3.21.6}
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η : 에너지 변환 인자
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열전달과 전기장 해석의 방정식을 형상함수로 보간하여 이산화하면 다음과 같이 온도와 전위 자유도가 연계된 비선형 연립 방정식을 얻을 수 있다.
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\left[ \begin{array}{l l} \mathbf {K} _ {T T} & \mathbf {K} _ {T \varphi} \\ \mathbf {K} _ {\varphi T} & \mathbf {K} _ {\varphi \varphi} \end{array} \right] \left\{ \begin{array}{l} \mathbf {T} \\ \boldsymbol {\varphi} \end{array} \right\} = \left\{ \begin{array}{l} \mathbf {R} _ {T} \left(q _ {\text {ext}}, r\right) \\ \mathbf {R} _ {\varphi} \left(J _ {\text {ext}}, r _ {c}\right) \end{array} \right\} \tag {3.21.7}
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midas NFX의 줄 발열 해석에서는 열전달과 줄 발열 연계 강성 행렬과 온도 변화에 따른 열, 전기 전도율 변화에 대한 강성행렬을 고려한다. 이 경우 시스템 행렬이 비대칭이므로, 비대칭 솔버를 사용하여 연립 방정식의 해를 구한다. 줄 발열 해석에서 사용되는 강성행렬은 다음과 같다.
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\begin{array}{l} K _ {T T} ^ {i j, e} = \frac {1}{\Delta t} \int_ {\Omega} \rho c N ^ {i} N ^ {j} d \Omega + \int_ {\Omega} \frac {\partial N ^ {i}}{\partial x _ {k}} k _ {k l} \frac {\partial N ^ {j}}{\partial x _ {l}} d \Omega + \int_ {\Omega} \frac {\partial N ^ {i}}{\partial x _ {k}} \frac {\partial k _ {k l}}{\partial T} \frac {\partial T}{\partial x _ {l}} N ^ {j} d \Omega \\ - \int_ {\Omega} \eta N ^ {i} E _ {k} \frac {\partial \sigma_ {k l} ^ {E}}{\partial T} E _ {l} N ^ {j} d \Omega \\ K _ {T \varphi} ^ {i j, e} = \int_ {\Omega} \eta N ^ {i} \frac {\partial N _ {j}}{\partial x _ {k}} \sigma_ {k l} ^ {E} E _ {l} d \Omega \tag {3.21.8} \\ K _ {\varphi T} ^ {i j, e} = - \int_ {\Omega} \frac {\partial N ^ {i}}{\partial x _ {k}} \frac {\partial \sigma_ {k l} ^ {E}}{\partial T} E _ {l} N ^ {j} d \Omega \\ K _ {\varphi \varphi} ^ {i j, e} = \int_ {\Omega} \frac {\partial N ^ {i}}{\partial x _ {k}} \sigma_ {k l} ^ {E} \frac {\partial N ^ {j}}{\partial x _ {l}} d \Omega \\ \end{array}
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\- 구조요소와의 관계
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줄 발열 요소의 경우에도 열전달 요소와 마찬가지로 모델링에 있어서 구조해석과의 차이가 없다. 그러므로 표 3.20.1과 같은 관계를 갖는다.
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\- 줄 발열 요소 해석결과
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midas NFX 전기장 요소의 해석 결과는 사용자가 지정한 기준 좌표계에 대한 값으로 출력된다. 각 요소에 대한 좌표계의 적용 여부 또는 사용 방법은 구조 요소와 동일하며, 열전달 요소의 결과에 전기장 해석 결과가 추가적으로 출력된다.
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표 3.21.1 전기장 해석의 요소 결과 항목
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<table><tr><td colspan="2">결과 항목</td><td>설명</td></tr><tr><td rowspan="4">Element electric results</td><td>Electric current density component</td><td>위치:요소중심 $J_x$ , $J_y$ , $J_z$ </td></tr><tr><td>Electric current density resultant</td><td>위치:요소중심 $\| \mathbf{J} \| = \sqrt{J_x^2 + J_y^2 + J_z^2}$ </td></tr><tr><td>Electric potential gradient component</td><td>위치:요소중심 $E_x$ , $E_y$ , $E_z$ </td></tr><tr><td>Electric potential gradient resultant</td><td>위치:요소중심 $\| \mathbf{E} \| = \sqrt{E_x^2 + E_y^2 + E_z^2}$ </td></tr></table>
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# 3.22 응력 오차(Stress error)
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구조물의 유한요소 해석에서 요소 크기 및 분포는 결과에 가장 큰 영향을 미치는 요인이 된다. 일반적으로 유한요소 메쉬의 적절성은 응력 오차로 판단할 수있으나, 정확한 응력 오차(stress error)를 계산하는 것은 불가능하다. 그러나 유한요소법에서 계산되는 응력의 분포는 그림 3.22.1과 같은 전형적인 모양을 가지므로, 이를 이용하여 응력 오차를 계산한다.
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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σ
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σ₁
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σ₂
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Element 1
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Exact stress σₑₓ
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Weighted average
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wᵢσᵢ
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x
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그림 3.22.1 유한요소법으로 계산된 응력의 전형적인 형상
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절점에서의 응력은 인접 요소들에서 계산된 응력의 평균값이라 가정한다.
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\sigma_ {e x} \approx w _ {i} \sigma_ {i} \tag {3.22.1}
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: 인접 요소들의 응력
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Wi : 가중치 ( 1 / N )
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N : 인접 요소들의 개수
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일반적으로 위 식에 의해 계산된 응력은 인접 요소에서 계산된 각각의 응력에비해 정확한 것으로 알려져 있으며, 이를 정답이라 가정한다. 이 값과 각각의 인접 요소에서 계산된 응력과의 차이에 대한 RMS(root mean square)를 이용하여응력오차를 계산한다.
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e _ {\sigma i} \approx \frac {1}{\sigma_ {a v e} v _ {t} ^ {1 / 3}} \sqrt {\frac {\sum \left\{(\sigma_ {i} - \sigma_ {e x}) v _ {i} ^ {1 / 3} \right\} ^ {2}}{N}} \tag {3.22.2}
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$\sigma_{ave}$ 는 부피에 대해 모델의 영역 전체에서 구한 응력의 RMS 값이다.
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\sigma_ {a v e} = \sqrt {\frac {v _ {i} \sigma_ {i} ^ {2}}{\sum v _ {i}}} \tag {3.22.3}
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$v_{i}$ : 요소의 부피
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$v_{t}$ : 해석 모델의 부피
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응력 오차 계산에 사용되는 응력 성분은 von-Mises 응력이며, solid 요소와 membrane, plane strain, shell 요소에 대해 계산을 수행한다.
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응력 오차는 적응적 유한요소 해석(adaptive finite element analysis)에서 세분화 (refinement)되는 요소를 결정하는데 사용 될 수 있다.
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# 4. Materials
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midas NFX에서 사용할 수 있는 재료는 크게 구조 재료와 열전도 재료로 구분할수 있으며 각각은 일정한 재료 성질을 가지거나 온도에 따라 변하는 성질을 가진다. 온도 의존 성질(temperature dependent property)은 모든 재료 물성치에대해 정의할 수 있다.
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# 4.1 탄성 재료의 성질
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midas NFX에서 사용할 수 있는 선형탄성(linear elastic) 재료는 등방성(isotropic),직교이방성(orthotropic), 그리고 이방성(anisotropic) 재료가 있다. 이외에 계산상의 편의를 위해 강체(rigid) 재료를 지원한다. 직교 이방성 재료는 2차원과 3차원 응력상태에 대해 각각 정의하여 사용한다. 다음은 midas NFX에서 사용할 수있는 탄성 재료와 요소간의 관계를 정리한 것이다.
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표 4.1.1 요소별 사용 가능한 재료
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<table><tr><td rowspan="2">재료 종류</td><td colspan="11">요소 종류</td></tr><tr><td>Rod</td><td>Bar</td><td>Pipe</td><td>Cable</td><td>Membrane</td><td>Shell</td><td>Plane strain</td><td>Axisymmetric Solid</td><td>Solid</td><td>Solid</td><td>Surface</td></tr><tr><td>Isotropic</td><td>v</td><td>v</td><td>v</td><td>v</td><td>v</td><td>v</td><td>v</td><td>v</td><td>v</td><td>v</td><td>v</td></tr><tr><td>2D orthotropic</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>v</td><td>v</td><td></td><td>v</td><td></td><td></td><td>v</td></tr><tr><td>3D orthotropic</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>v</td><td>v</td><td></td><td></td></tr><tr><td>3D anisotropic</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>v</td><td></td><td></td></tr><tr><td>Rigid</td><td>v</td><td>v</td><td>v</td><td>v</td><td>v</td><td>v</td><td>v</td><td>v</td><td>v</td><td>v</td><td>v</td></tr></table>
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Plane strain 요소 또는 axisymmetric solid 요소에서 2차원 직교이방성 재료를사용하여 적절한 결과를 얻으려면 요소면에 수직 방향과 관계를 가지는 재료 물성치의 적절한 입력이 필요하다.
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# • 강체 재료
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강체 재료는 탄성 변형이 전혀 일어나지 않는 강체의 성질을 가지는 재료이며실제 재료로서 계산되는 것이 아니고 강체 재료를 가진 요소들을 강체 요소로변환하여 처리하게 된다. 동일한 강체 재료를 가진 모든 요소들은 요소들이 연속적으로 이어져 있는 경우는 물론이고 따로 떨어져 있더라도 모두 하나의 강체
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요소로 거동하게 된다. 또한 서로 다른 강체 재료가 절점을 공유하는 경우에도이들 강체 재료를 가진 모든 요소들은 모두 하나의 주절점에 따라 거동하는 단일한 강체 요소로 처리된다. 강체 재료가 정의되기 위해서는 주절점이 반드시필요한데 사용자가 주절점을 정의하지 않으면 강체 재료 영역 내부에서 자동적으로 선택된다. 주절점을 사용자가 정의하는 경우 강체 재료가 포함된 영역의구속조건 등은 해당 주절점에 대하여 적용해 주어야 한다. 반면 사용자가 주절점을 따로 정의하지 않은 경우 프로그램에서 선택을 하게 되는데 이 때 단일절점 구속조건이 주어진 절점이 강체 재료 내부에 포함되어 있다면 해당 절점을우선적으로 주절점으로 선택하게 된다. 이 경우 단일절점 구속조건이 적용된 절점이 2개 이상이라면 주절점으로 선택된 절점 이외의 다른 절점에 적용된 단일절점 구속조건은 프로그램 설정에 의해 무시되거나 에러 처리되므로 주의해야한다. 즉, 어떤 경우이건 강체 재료의 주절점 이외의 모든 절점은 종속 절점이되므로 구속조건 등을 적용할 때 이를 고려하여야 한다.
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강체 재료도 탄성계수, 프와송비 및 밀도를 가지고 있는데 이 중 탄성계수 및프와송비는 접촉이 일어나는 경우 접촉 강성을 계산하는 데에만 사용되므로 재료의 변형과는 관계가 없다. 강체 재료는 요소의 종류와 상관없이 사용할 수는있지만 적층복합재료 요소에서는 사용할 수 없다.
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• 등방성 재료
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등방성 재료는 재료가 임의의 방향에 대하여 동일한 성질을 가지는 재료이며,midas NFX의 모든 요소에 사용될 수 있다. 탄성계수 그리고 열팽창 계수 를 이용하여 3차원 등방성 재료에 대한 응력-변형률 관계를 표현하면 다음과 같다.
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\left\{ \begin{array}{l} \sigma_ {x x} \\ \sigma_ {y y} \\ \sigma_ {z z} \\ \tau_ {x y} \\ \tau_ {y z} \\ \tau_ {z x} \end{array} \right\} = \left[ \begin{array}{c c c c c c} \frac {E (1 - \nu)}{(1 + \nu) (1 - 2 \nu)} & \frac {\nu E (1 - \nu)}{(1 + \nu) (1 - 2 \nu)} & \frac {\nu E (1 - \nu)}{(1 + \nu) (1 - 2 \nu)} & 0 & 0 & 0 \\ & \frac {E (1 - \nu)}{(1 + \nu) (1 - 2 \nu)} & \frac {\nu E (1 - \nu)}{(1 + \nu) (1 - 2 \nu)} & 0 & 0 & 0 \\ & & \frac {E (1 - \nu)}{(1 + \nu) (1 - 2 \nu)} & 0 & 0 & 0 \\ & \text { symmetric } & & \frac {E}{2 (1 + \nu)} & 0 & 0 \\ & & & & \frac {E}{2 (1 + \nu)} & 0 \\ & & & & & \frac {E}{2 (1 + \nu)} \end{array} \right] \left\{ \begin{array}{c} \varepsilon_ {x x} - \alpha \Delta T \\ \varepsilon_ {y y} - \alpha \Delta T \\ \varepsilon_ {z z} - \alpha \Delta T \\ \gamma_ {x y} \\ \gamma_ {y z} \\ \gamma_ {z x} \end{array} \right\} \tag {4.1.1}
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2차원 응력 상태에 대한 등방성 재료의 응력-변형률 관계식은 다음과 같다.
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\left\{ \begin{array}{l} \sigma_ {x x} \\ \sigma_ {y y} \\ \tau_ {x y} \end{array} \right\} = \left[ \begin{array}{c c c} \frac {E}{1 - \nu^ {2}} & \frac {\nu E}{1 - \nu^ {2}} & 0 \\ \frac {\nu E}{1 - \nu^ {2}} & \frac {E}{1 - \nu^ {2}} & 0 \\ 0 & 0 & \frac {E}{2 (1 + \nu)} \end{array} \right] \left\{ \begin{array}{c} \varepsilon_ {x x} - \alpha \Delta T \\ \varepsilon_ {y y} - \alpha \Delta T \\ \gamma_ {x y} \end{array} \right\} \tag {4.1.2}
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횡방향 전단에 대한 응력-변형률 관계는 다음과 같다.
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\left\{ \begin{array}{l} \tau_ {z x} \\ \tau_ {z y} \end{array} \right\} = \left[ \begin{array}{l l} G & 0 \\ 0 & G \end{array} \right] \left\{ \begin{array}{l} \gamma_ {z x} \\ \gamma_ {z y} \end{array} \right\} \tag {4.1.3}
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등방성 재료는 두 개의 재료 상수에 의해 기술할 수 있다. 두 가지 상수는 E, G, ν 중에서 임의의 두 개를 취할 수 있으며, 이들 중 두 개의 값이 정해지면 나머지 하나의 값 또한 결정된다. 예를 들어 전단 계수 G 는 다음의 관계를 가진다.
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G = \frac {E}{2 (1 + \nu)} \tag {4.1.4}
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