김경종
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von Mises 항복조건에서의 소성유동은 상관유동으로 가정하며 소성변형률 변화량은 다음과 같다.
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d \boldsymbol {\varepsilon} ^ {p l} = d \lambda \frac {\partial f}{\partial \boldsymbol {\sigma}} = d \lambda \frac {\sqrt {3}}{\sqrt {2 \boldsymbol {\sigma} _ {d e v} : \boldsymbol {\sigma} _ {d e v}}} \boldsymbol {\sigma} _ {d e v} \tag {4.3.13}
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# ▶ 경화인자
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midas NFX에서는 von Mises 항복조건에 대하여 등방성(isotropic) 경화, 이동성(kinematic) 경화, 혼합(combined) 경화 모델을 지원한다. 등방성 경화 모델은 초기 항복곡면이 균일하게 확장하는 것으로 가정하기 때문에 초기 항복곡면의 중심축이 변하지 않는다.
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f (\boldsymbol {\sigma}, \mathbf {q}) = \sqrt {3 J _ {2}} - \sigma_ {y} (\mathbf {q}) = \sqrt {\frac {3}{2} \boldsymbol {\sigma} _ {d e v} : \boldsymbol {\sigma} _ {d e v}} - \sigma_ {y} (\mathbf {q}) = 0 \tag {4.3.14}
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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Initial yield surface
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Isotropic hardening
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σ₁
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σ₂
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그림 4.3.3 등방성 경화모델의 항복곡면 변화
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등방성 경화모델의 경화인자는 $\mathbf{q}=\left\{e_{p}\right\}=\left\{\lambda\right\}$ 와 같이 유효소성 변형률(effective plastic strain)로 구성되므로, 경화에 의한 항복응력 또한 유효소성 변형률의 함수 $\sigma_{y}(e_{p})$ 로 주어지며, 입력한 경화함수 $h_{y}(e_{p})$ 를 그대로 사용한다.
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혼합 경화 모델은 소성변형의 발생에 의해 항복곡면의 확장과 이동이 동시에 생겨난다고 가정한다. 혼합 경화 모델에서 항복 곡면은 항복응력과 배후응력(back stress)에 의해 다음과 같이 정의할 수 있다.
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f (\boldsymbol {\sigma}, \mathbf {q}) = \sqrt {\frac {3}{2} \boldsymbol {\Sigma} _ {d e v} : \boldsymbol {\Sigma} _ {d e v}} - \sigma_ {y} (\mathbf {q}) = 0 \tag {4.3.15}
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\boldsymbol {\Sigma} _ {d e v} \quad : \quad \boldsymbol {\sigma} _ {d e v} - \boldsymbol {\alpha}
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a : 배후응력
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<summary>text_image</summary>
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Initial yield surface
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σ₂
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Combined hardening
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σ₁
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Kinematic hardening
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그림 4.3.4 혼합 경화모델의 항복곡면 변화
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혼합 경화모델의 경화인자는 유효소성 변형률과 배후응력이 된다.
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\mathbf {q} = \left\{ \begin{array}{l} e _ {p} \\ \boldsymbol {\alpha} \end{array} \right\} \tag {4.3.16}
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midas NFX에서는 조합 변수 $\lambda_{c}$ 를 이용하여 입력한 경화함수로부터 항복응력을 다음과 같이 산출한다.
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\sigma_ {y} = \lambda_ {c} h _ {y} (0) + (1 - \lambda_ {c}) h _ {y} (e _ {p}) \tag {4.3.17}
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조합 변수 $\lambda_{c}=0$ 인 경우 등방성 경화에 해당하며, $\lambda_{c}=1$ 인 경우는 이동성 경화와 일치한다. 혼합 경화의 소성변형률과 Ziegler 의 경화법칙을 따르는 배후응력 변화율은 다음과 같이 나타낼 수 있다.
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d \boldsymbol {\varepsilon} ^ {p l} = d \lambda \frac {\sqrt {3}}{\sqrt {2 \boldsymbol {\Sigma} _ {d e v} : \boldsymbol {\Sigma} _ {d e v}}} \boldsymbol {\Sigma} _ {d e v} \tag {4.3.18}
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$$
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d \boldsymbol {\alpha} = \lambda_ {c} \frac {d h _ {y}}{d e _ {p}} d \boldsymbol {\varepsilon} ^ {p l} \tag {4.3.19}
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\- 경화곡선(hardening curve)
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경화곡선은 소재의 소성 특성을 나타내는 재료 물성치로 실험을 통해 얻는 것이 일반적이고, 단축 인장/압축 시험이나 순수 전단 시험등이 많이 이용된다. midas NFX 의 경화곡선은 진응력(true stress)-소성변형률 곡선을 입력하도록 구성되어 있는데, 시험 결과로부터의 변환 과정은 다음과 같다.
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▶ 진응력-진변형률 계산
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하중-변위 곡선을 알고 있는 경우 다음과 같이 진변형률(true strain)과 진응력을 계산할 수 있다.
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\varepsilon = \log \left(\frac {L _ {0} + d}{L _ {0}}\right) = \log \left(\frac {L}{L _ {0}}\right), \sigma = \frac {P e ^ {\varepsilon}}{A _ {0}} \tag {4.3.20}
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$L_{0}, L$ : 변형 전, 후 길이
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$A_{0}$ : 변형 전 단면적
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공칭(engineering) 응력-변형률을 알고 있는 경우에는 다음과 같이 계산한다.
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\varepsilon = \log \left(1 + \varepsilon_ {E}\right), \sigma = \sigma_ {E} e ^ {\varepsilon} \tag {4.3.21}
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: 공칭 변형률, 응력
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# ► 진응력-소성변형률 계산
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소성 변형률은 재료가 항복하는 순간부터 발생하기 시작하므로 다음과 같이소성 변형률을 계산할 수 있다.
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e _ {p} = \varepsilon - \varepsilon^ {e l} = \varepsilon - \frac {\sigma}{E} \tag {4.3.22}
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E : 탄성계수
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# 4.4 초탄성 재료의 성질
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초탄성(hyper-elastic)이란 탄성 변형이 수백 %에 달하는 대변형까지 유지되는성질을 의미하며, 대표적으로 고무가 이러한 특성을 가진다. 초탄성 재료의 탄성거동은 비선형이며 변형과 응력의 관계는 에너지 포텐샬(energy potential) 형태로 주어진다. midas NFX에서는 solid 요소에 대하여 초탄성 재료를 사용할 수있으며 다른 요소는 초탄성 재료성질이 적용되지 않는다. 초탄성 재료는 체적탄성계수(bulk modulus)가 매우 높기 때문에 비압축성(incompressibility)이 강하고,이로 인하여 요소의 선택이 매우 중요하다. 특히 저차 요소를 사용한 해석 시에는 등매개변수(isoparametric) 요소를 사용하지 않는 것이 좋다.
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midas NFX에서는 polynomial, Ogden, Blatz-ko 모델을 사용할 수 있으며, 단축인장/압축 시험, 2축 인장시험, 평면변형률 시험, 단순 전단시험으로부터 얻어진응력-변형률 관계로부터 재료 상수를 쉽게 구할 수 있는 기능을 제공하고 있다.일반 적으로 Ogden 모델이 polynomial 모델보다 고무 재료를 잘 표현하는 것으로 알려져 있지만, 시험 데이터와 제일 잘 맞는 모델을 찾아서 사용하는 것이중요하다.
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초탄성 또는 그린 탄성(Green elastic) 재료는 에너지 포텐샬로부터 응력-변형률관계를 정의한다.
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\mathbf {S} = 2 \frac {\partial \psi (\mathbf {C})}{\partial \mathbf {C}} = \frac {\partial w (\mathbf {E})}{\partial \mathbf {E}} \tag {4.4.1}
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S : 2nd PK 응력
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C : (right Cauchy Green tensor)
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E : 그린 변형률
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초탄성 재료는 에너지 포텐샬을 이용하기 때문에 변형 경로에 관계 없이 동일한 응력상태를 나타내게 된다. 그린 변형률과 2nd PK 응력간의 강성에 해당하는2nd 탄성 텐서는 다음과 같이 계산할 수 있다.
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\mathbf {C} ^ {S E} = 4 \frac {\partial^ {2} \psi (\mathbf {C})}{\partial \mathbf {C} \partial \mathbf {C}} = \frac {\partial^ {2} w (\mathbf {E})}{\partial \mathbf {E} \partial \mathbf {E}} \tag {4.4.2}
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\- Polynomial 모델
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Polynomial모델은 다음과 같이 에너지 포텐살을 정의한다.
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U = \sum_ {i + j = 1} ^ {N _ {a}} A _ {i j} (J _ {1} - 3) ^ {i} (J _ {2} - 3) ^ {j} + \sum_ {i = 1} ^ {N _ {d}} D _ {i} (J _ {3} - 1) ^ {2 i} \tag {4.4.3}
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$A_{ij}, D_{i}$ : 재료 상수
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위 식에서 $J_{3}$ 는 변형구배의 3차 불변량이며 $J_{1}, J_{2}$ 는 체적 변형 $J_{3}$ 가 제거된 코시 그린 텐서의 1,2차 불변량이다.
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midas NFX에서는 재료 차수 $N_{a}, N_{d}$ 를 5차까지 제공하고 있으며, $N_{a}=1$ 인 경우 Mooney-Rivlin 모델로 표현 되고,
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U = A _ {1 0} \left(J _ {1} - 3\right) + A _ {0 1} \left(J _ {2} - 3\right) + \sum_ {i = 1} ^ {N _ {d}} D _ {i} \left(J _ {3} - 1\right) ^ {2 i} \tag {4.4.4}
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$A_{01}=0$ 이면, neo-Hooknean 모델로 표현 된다.
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U = A _ {1 0} \left(J _ {1} - 3\right) + \sum_ {i = 1} ^ {N _ {d}} D _ {i} \left(J _ {3} - 1\right) ^ {2 i} \tag {4.4.5}
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이와 무관하게 초기 전단 강성 $\mu_{0}$ 와 체적탄성계수 $K_{0}$ 는 다음과 같이 정의 된다.
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\mu_ {0} = 2 \left(A _ {1 0} + A _ {0 1}\right), K _ {0} = 2 D _ {1} \tag {4.4.6}
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\- Ogden 모델
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Ogden 모델의 에너지 포텐살은 주 신장률(principal stretches)로부터 다음과 같이 정의 된다.
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U = \sum_ {i = 1} ^ {N _ {a}} \frac {\mu_ {i}}{\alpha_ {i}} \left((\bar {\lambda} _ {1}) ^ {\alpha_ {i}} + (\bar {\lambda} _ {2}) ^ {\alpha_ {i}} + (\bar {\lambda} _ {3}) ^ {\alpha_ {i}} - 3\right) + \sum_ {i = 1} ^ {N _ {d}} D _ {i} (J _ {3} - 1) ^ {2 i} \tag {4.4.7}
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$\alpha_{i},\mu_{i},D_{i}$ : 재료 상수
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위 식에서 $\bar{\lambda}_{i}$ 는 주 신장률로부터 체적변화를 제거한 값이며, 주 신장률은 다음과 같이 코시 그린 텐서의 고유치에 해당한다.
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\mathbf {C N} _ {i} = \lambda_ {i} ^ {2} \mathbf {N} _ {i} \quad (n o s u m m a t i o n) \tag {4.4.8}
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midas NFX에서는 재료 차수 $N_{a}, N_{d}$ 를 6차까지 제공하고 있으며, Ogden 모델 또한 Mooney-Rivlin 모델 또는 neo-Hookean 모델을 표현할 수 있다. 초기 전단 강성 $\mu_{0}$ 와 부피 강성 $K_{0}$ 는 다음과 같이 정의 된다.
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\mu_ {0} = \frac {1}{2} \sum_ {i = 1} ^ {N _ {a}} \alpha_ {i} \mu_ {i}, K _ {0} = 2 D _ {1} \tag {4.4.9}
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\- Blatz-ko 모델
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Blatz-ko 모델은 품(foam) 재료에 주로 사용하며 비압축성 성질이 강하지 않다. 재료 상수는 초기 전단 강성 $\mu$ 만을 가지고, 에너지 포텐살은 다음과 같이 정의 된다.
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U = \frac {\mu}{2} \left(\frac {I _ {2}}{I _ {3}} + 2 \sqrt {I _ {3}} - 5\right) \tag {4.4.10}
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$I_{1}, I_{2}, I_{3}$ 는 코시 그린 텐서의 1,2,3차 불변량이며, 식에서 알 수 있듯이 체적 변화에 관한 부분이 분리되어 있지 않은 포텐살 형태를 가진다.
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\- 응력-변형률 데이터를 이용한 재료상수 계산
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midas NFX에서는 시험 데이터의 변환 기능을 통하여 초탄성 모델의 재료 상수를 쉽게 얻을 수 있다. 재료 상수를 얻는 방법은 최소자승법(least square
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method)에 근거한 근사치 계산을 이용하며 재료 모델에 따라 선형 또는 비선형 최소자승법을 사용한다.
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midas NFX에서는 5가지 시험법에 대한 입력을 통해 재료 상수를 계산할 수 있다. 5가지 시험법은 단축인장(uniaxial tension) 시험, 등2축인장(equibiaxial tension) 시험, 단순전단(simple shear) 시험, 순수전단(pure shear) 시험, 부피압축(volumetric compression) 시험이다. Polynomial 모델과 Ogden 모델의 경우, 부피압축시험 이외의 데이터 처리 시에는 비압축성 재료로 가정하며, 모든 데이터의 입력은 공칭 응력과 공칭 변형률임에 주의해야 한다. 표 4.4.1은 각 시험법에 따라 입력해야 하는 변형률과 응력을 정의한 것이다.
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표 4.4.1 재료상수 계산을 위한 시험 데이터
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<table><tr><td>시험법</td><td>변형률</td><td>변형률(Blatz-ko)</td><td>응력</td></tr><tr><td>단축 인장</td><td> $\varepsilon = \Delta \ell / \ell_0$ </td><td> $\varepsilon = \Delta \ell / \ell_0$ $\kappa = \Delta t / t_0$ </td><td> $T = F / A_0$ </td></tr><tr><td>등 2 축 인장</td><td> $\varepsilon = \Delta \ell / \ell_0$ </td><td> $\varepsilon = \Delta \ell / \ell_0$ $\kappa = \Delta t / t_0$ </td><td> $T = F / A_0$ </td></tr><tr><td>단순 전단</td><td> $\varepsilon = \gamma$ </td><td> $\varepsilon = \gamma$ $\kappa = \Delta t / t_0$ </td><td> $T = F / A_0$ </td></tr><tr><td>순수 전단</td><td> $\varepsilon = \Delta \ell / \ell_0$ </td><td> $\varepsilon = \Delta \ell / \ell_0$ $\kappa = \Delta t / t_0$ </td><td> $T = F / A_0$ </td></tr><tr><td>부피 압축</td><td> $\lambda = (V / V_0)^{1/3}$ </td><td> $\lambda = (V / V_0)^{1/3}$ </td><td> $T = P$ </td></tr></table>
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# ▶ 근사오차의 정의
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최소자승법을 적용하기 위해서는 시험 데이터와 재료모델로부터 계산된 응력간의 오차를 정량화 해야 한다. midas NFX에서는 상대 오차와 절대 오차를 모두사용할 수 있다.
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다음은 재료모델로부터 계산된 응력 $T_{i}(A)$ 를 시험치 $T_{i}^{test}$ 로 나누어 오차를 계산하는 상대 오차를 나타낸다.
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E = \sum_ {i = 1} ^ {n} \left(1 - \frac {T _ {i} (A)}{T _ {i} ^ {t e s t}}\right) ^ {2} \tag {4.4.11}
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$$
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상대오차를 사용하게 되면 응력 0 부근의 오차를 강하게 반영하게 되므로 변형이 작은 부분의 시험 데이터와 잘 일치하게 된다. 다음은 계산된 응력 $T_{i}(A)$ 와 시험치 $T_{i}^{test}$ 의 차이를 오차로 사용하는 절대오차를 나타낸다.
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$$
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E = \sum_ {i = 1} ^ {n} \left(T _ {i} (A) - T _ {i} ^ {\text { test }}\right) ^ {2} \tag {4.4.12}
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절대오차를 사용하게 되면 모든 영역의 오차를 고르게 반영하므로 전체적으로 시험 데이터와 일치하는 재료상수를 얻을 수 있다.
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# ▶ 특이값(singular value) 제외방법
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최소 자승법에서는 시험데이터의 불완전성으로 인하여 재료상수 계산에 큰 오차가 생겨날 수 있으나, 선형 최소 자승법에서는 이러한 위험 요소를 특이값 제외를 통하여 해결할 수 있다. 그러나 특이값 제외를 잘못 이용하게 되면 실제로 중요한 시험 데이터의 분포와 일치하지 않는 재료상수를 얻게 될 수도 있으므로, 항상 근사 결과를 확인하며 조절해야 한다.
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# 4.5 열전도 재료의 성질
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열전도(conduction) 요소에 사용되는 재료는 등방성과 이방성으로 구분되어 있다. 열전도 재료는 구조 재료와 짝을 이루어 정의하게 되며 다음의 표는 구조 재료와 열전도 재료간의 관계를 정리한 것이다.
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표 4.5.1 구조 재료와 열전도 재료의 관계
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<table><tr><td>열전도 재료</td><td>구조 재료</td></tr><tr><td>등방성 재료</td><td>등방성 재료</td></tr><tr><td>이방성 재료</td><td>2 차원 직교이방성 재료,3 차원 직교이방성 재료3 차원 이방성 재료</td></tr></table>
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등방성 열전도 재료의 열속(heat flux)-온도구배(temperature gradient) 관계는 다음과 같다.
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\left\{ \begin{array}{l} f _ {x} \\ f _ {y} \\ f _ {z} \end{array} \right\} = - \left[ \begin{array}{l l l} k & 0 & 0 \\ 0 & k & 0 \\ 0 & 0 & k \end{array} \right] \left\{ \begin{array}{l} g _ {x} \\ g _ {y} \\ g _ {z} \end{array} \right\} \tag {4.5.1}
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이방성 열전도 재료의 열속-온도구배 관계는 다음과 같다.
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\left\{ \begin{array}{l} f _ {1} \\ f _ {2} \\ f _ {3} \end{array} \right\} = - \left[ \begin{array}{c c c} k _ {1 1} & k _ {1 2} & k _ {1 3} \\ & k _ {2 2} & k _ {2 3} \\ S Y M & & k _ {3 3} \end{array} \right] \left\{ \begin{array}{l} g _ {1} \\ g _ {2} \\ g _ {3} \end{array} \right\} \tag {4.5.2}
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$$
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