김경종
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# 4절점 사각형 요소
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이 요소는 4 Point Gauss 적분을 이용하며, 적분에 적용되는 자연좌표계에서 적분점 좌표 $P_{i}$ 는 다음 그림과 같습니다.
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N4
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η
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N3
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η = 1/√3
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P4
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P3
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ξ
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P1
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P2
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N1
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ξ = -1/√3
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ξ = 1/√3
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N2
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η = -1/√3
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Z
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x
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$$
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P _ {1} = \left(- \frac {1}{\sqrt {3}}, - \frac {1}{\sqrt {3}}\right)
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P _ {2} = \left(\frac {1}{\sqrt {3}}, - \frac {1}{\sqrt {3}}\right)
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$$
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P _ {3} = \left(\frac {1}{\sqrt {3}}, \frac {1}{\sqrt {3}}\right)
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$$
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$$
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P _ {4} = \left(- \frac {1}{\sqrt {3}}, \frac {1}{\sqrt {3}}\right)
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$$
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그림 1.3.21 4절점 평면변형률요소의 적분점위치
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이 요소의 기하학적 형상함수는 다음 식과 같습니다.
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$$
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N _ {1} = \frac {1}{4} (1 - \xi) (1 - \eta), N _ {2} = \frac {1}{4} (1 + \xi) (1 - \eta), N _ {3} = \frac {1}{4} (1 + \xi) (1 + \eta), N _ {4} = \frac {1}{4} (1 - \xi) (1 + \eta)
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$$
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이 요소의 적분점 좌표인 $P_{i}$ 를 형상함수에 대입하면 전체좌표계에서 적분점의 좌표를 구할 수 있습니다. 예를 들어 첫 번째 적분점 좌표 $P_{1}$ 에 대한 전체좌표계에서 x 좌표를 구하면 다음과 같습니다.
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$$
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x _ {p 1} = \sum_ {i = 1} ^ {4} N _ {i} x _ {i} = \frac {1}{6} \left[ (2 + \sqrt {3}) x _ {1} + x _ {2} + (2 - \sqrt {3}) x _ {3} + x _ {4} \right]
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$$
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같은 방법으로 각 적분점에 대한 전체좌표계에서 좌표를 구하면 다음과 같습니다.
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x _ {p} = \frac {1}{6} \left[ \begin{array}{c c c c} 2 + \sqrt {3} & 1 & 2 - \sqrt {3} & 1 \\ & 2 + \sqrt {3} & 1 & 2 - \sqrt {3} \\ & & 2 + \sqrt {3} & 1 \\ \text { symmetry } & & & 2 + \sqrt {3} \end{array} \right] \left\{ \begin{array}{l} x _ {1} \\ x _ {2} \\ x _ {3} \\ x _ {4} \end{array} \right\}
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$$
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# 3-7-5 응력계산법(Extrapolation)
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3절점 삼각형 요소의 경우 1 Point Gauss 적분을 하므로 모든 절점에 대해 적분점에서 계산된 응력을 동일하게 적용합니다.
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<summary>text_image</summary>
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ξ = -1
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η = 1
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ξ = 1
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η = 1
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t = 1
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η = -1
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ξ = -1
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s = -1
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s = 1
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ξ = 1
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η
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ξ = -1
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η
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ξ = 1
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t = -1
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η = -1
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ξ = 1
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</details>
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그림 1.3.22 4절점 평면응력요소에 대한 적분점에서 응력에 대한 외삽법
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4절점 사각형 요소의 경우 각 적분점은 요소좌표계의 좌표절점과 다음과 같은 관계를 갖습니다.
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s = \xi \sqrt {3}, t = \eta \sqrt {3}
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요소 내부의 특정 위치에서 응력은 형상함수를 이용하여 구할 수 있습니다.
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\sigma_ {N} = \sum_ {i = 1} ^ {4} N _ {i} \sigma_ {i}
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예를 들어 절점 1에서 응력에 대해 형상함수에 $\xi,\eta$ 대신 앞의 s, t 를 대입하여 정리하면 다음과 같습니다.
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\begin{array}{l} \sigma_ {N 1} = \sum_ {i = 1} ^ {4} N _ {i} \sigma_ {i} = \frac {1}{4} \left[ (1 + \sqrt {3}) (1 + \sqrt {3}) \sigma_ {1} + (1 - \sqrt {3}) (1 + \sqrt {3}) \sigma_ {2} \right. \\ \left. + (1 - \sqrt {3}) (1 - \sqrt {3}) \sigma_ {3} + (1 + \sqrt {3}) (1 - \sqrt {3}) \sigma_ {4} \right] \\ = \frac {1}{4} \left[ (4 + 2 \sqrt {3}) \sigma_ {1} - 2 \sigma_ {2} + (4 - 2 \sqrt {3}) \sigma_ {3} - 2 \sigma_ {4} \right] \\ \end{array}
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$$
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같은 방법으로 각 절점에서 응력을 구하면 다음과 같습니다.
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$$
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\left\{ \begin{array}{l} \sigma_ {N 1} \\ \sigma_ {N 2} \\ \sigma_ {N 3} \\ \sigma_ {N 4} \end{array} \right\} = \frac {1}{2} \left[ \begin{array}{c c c c} 2 + \sqrt {3} & - 1 & 2 - \sqrt {3} & - 1 \\ & 2 + \sqrt {3} & - 1 & 2 - \sqrt {3} \\ & & 2 + \sqrt {3} & - 1 \\ & & & 2 + \sqrt {3} \end{array} \right] \left\{ \begin{array}{l} \sigma_ {1} \\ \sigma_ {2} \\ \sigma_ {3} \\ \sigma_ {4} \end{array} \right\}
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$$
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# 3-7-6 요소내력 출력내용
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평면변형요소의 요소내력 및 응력은 다음과 같이 출력되며 부호와 방향은 요소좌표계 또는 전체좌표계를 따릅니다. 그림 1.3.23은 요소좌표계의 축방향 또는 주응력방향의 단위 segment에서 발생되는 응력의 부호규약을 설명한 것입니다.
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■ 연결절점에서의 요소내력 출력
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■연결절점과 요소중심에서 요소응력 출력
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연결절점에서의 요소내력은 절점에서 산출된 각 성분별 변위와 해당요소 강성성분을 곱한 값으로 출력됩니다.
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연결절점과 요소중심에서의 응력은 요소내의 적분점(Gauss Point)에서 연산된 응력을 이용하여 외삽법(Extrapolation)에 의해 산출됩니다.
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▪ 요소내력의 출력
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요소내력의 출력치에 대한 부호규약은 그림 1.3.18과 같고, 화살표방향이 양 (+)의 방향을 의미합니다.
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■ 요소응력의 출력
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요소응력의 출력치에 대한 부호규약은 그림 1.3.23과 같고, 화살표방향이 양 (+)의 방향을 의미합니다.
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※ 요소응력의 출력은 요소좌표계를 따르며 화살표 방향이 양(+)의 방향을 의미한다.
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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y
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σyy
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σyx
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σzz
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σxx
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σxy
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σzz
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σxy
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σxx
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x
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z
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σyx
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σyy
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</details>
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(a) 축응력 및 전단응력 성분
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<summary>text_image</summary>
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y
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3
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2
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σ₃
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σ₂
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σ₁
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θ
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z
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x
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σ₂
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σ₃
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(b) 주응력 성분
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$\sigma_{xx}$ : Axial stress in the ECS x - direction
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$\sigma_{yy}$ : Axial stress in the ECS y - direction
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$\sigma_{zz}$ : Axial stress in the ECS z - direction
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$\sigma_{xy} = \sigma_{yx}$ : Shear stress in the ECS x - y plane
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$\sigma_{1}, \sigma_{2}, \sigma_{3}$ : Principal stresses in the directions of the principal axes, 1, 2 and 3
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where, $\sigma^3 - I_1\sigma^2 - I_2\sigma - I_3 = 0$
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$$
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I _ {l} = \sigma_ {x x} + \sigma_ {y y} + \sigma_ {z z}
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$$
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$$
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I _ {2} = - \left| \begin{array}{c c} \sigma_ {x x} & \sigma_ {x y} \\ \sigma_ {x y} & \sigma_ {y y} \end{array} \right| - \left| \begin{array}{c c} \sigma_ {x x} & \sigma_ {x z} \\ \sigma_ {x z} & \sigma_ {z z} \end{array} \right| - \left| \begin{array}{c c} \sigma_ {y y} & \sigma_ {y z} \\ \sigma_ {y z} & \sigma_ {z z} \end{array} \right|
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$$
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$$
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I _ {3} = \left| \begin{array}{c c c} \sigma_ {x x} & \sigma_ {x y} & \sigma_ {x z} \\ \sigma_ {x y} & \sigma_ {y y} & \sigma_ {y z} \\ \sigma_ {x z} & \sigma_ {y z} & \sigma_ {z z} \end{array} \right|, \sigma_ {x z} = \sigma_ {z y} = 0
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$$
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$\theta$ : Angle between the x-axis and the principal axis, 1 in the ECS x-y plane
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$\tau_{max}$ : Maximum shear stress = max $\left[\frac{\left|\sigma_{1}-\sigma_{2}\right|}{2},\frac{\left|\sigma_{2}-\sigma_{3}\right|}{2},\frac{\left|\sigma_{3}-\sigma_{1}\right|}{2}\right]$
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$\sigma_{eff}:$ von - Mises Stress $= \sqrt{\frac{1}{2}\left[\left(\sigma_{1} - \sigma_{2}\right)^{2} + \left(\sigma_{2} - \sigma_{3}\right)^{2} + \left(\sigma_{3} - \sigma_{1}\right)^{2}\right]}$
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$\sigma_{oct}:$ Octahedral Normal Stress $= \frac{1}{3}\big(\sigma_{1} + \sigma_{2} + \sigma_{3}\big)$
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$\tau_{oct}:$ Octahedral Shear Stress $= \sqrt{\frac{1}{9}\left[\left(\sigma_{1} - \sigma_{2}\right)^{2} + \left(\sigma_{2} - \sigma_{3}\right)^{2} + \left(\sigma_{3} - \sigma_{1}\right)^{2}\right]}$
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그림 1.3.23 평면변형요소의 요소내력 및 요소응력 출력 예
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PLANE STRAIN ELEMENT FORCES(GLOBAL）DEFAULT OUTPUT
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Unit System：kN，m
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<table><tr><td>ELEM</td><td>MAT</td><td>LC</td><td>NODE</td><td>FX</td><td>FZ</td></tr><tr><td>1</td><td>1</td><td>LCOMB1</td><td>1</td><td>0.00000</td><td>-792.25733</td></tr><tr><td></td><td></td><td></td><td>2</td><td>-368.40881</td><td>-769.85496</td></tr><tr><td></td><td></td><td></td><td>13</td><td>-434.10321</td><td>734.84737</td></tr><tr><td></td><td></td><td></td><td>12</td><td>-69.04498</td><td>789.21492</td></tr><tr><td></td><td></td><td>LCOMB2</td><td>1</td><td>0.00000</td><td>-1028.47676</td></tr><tr><td></td><td></td><td></td><td>2</td><td>-352.46066</td><td>-978.32967</td></tr><tr><td></td><td></td><td></td><td>13</td><td>-433.19898</td><td>947.23949</td></tr><tr><td></td><td></td><td></td><td>12</td><td>-85.89736</td><td>1021.51694</td></tr></table>
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PLANE STRAIN ELEMENT STRESSES(GLOBAL）DEFAULT OUTPUT
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Unit System:N，mm
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<table><tr><td>ELEM</td><td>MAT</td><td>LC</td><td>NODE</td><td>Sig-XX</td><td>Sig-YY</td><td>Sig-ZZ</td><td>Sig-XZ</td><td></td><td></td></tr><tr><td rowspan="5">1</td><td rowspan="5">1</td><td rowspan="5">LCOMB1</td><td>Cent</td><td>82.6287</td><td>0.0000</td><td>-1.9933</td><td>-3.7578</td><td></td><td></td></tr><tr><td>1</td><td>82.3088</td><td>0.0000</td><td>-2.0162</td><td>-3.4446</td><td></td><td></td></tr><tr><td>2</td><td>82.9937</td><td>0.0000</td><td>-2.0140</td><td>-3.4873</td><td></td><td></td></tr><tr><td>13</td><td>82.9440</td><td>0.0000</td><td>-1.9716</td><td>-4.0557</td><td></td><td></td></tr><tr><td>12</td><td>82.2564</td><td>0.0000</td><td>-1.9716</td><td>-4.0429</td><td></td><td></td></tr><tr><td></td><td></td><td></td><td>NODE</td><td>Sig-P1</td><td>Sig-P2</td><td>Sig-P3</td><td>MAX-SHR</td><td>Sig-EFF</td><td>Sig-Oct</td></tr><tr><td></td><td></td><td></td><td>Cent</td><td>82.7952</td><td>0.0000</td><td>-2.1599</td><td>42.4775</td><td>83.8960</td><td>39.5489</td></tr><tr><td></td><td></td><td></td><td>1</td><td>82.4492</td><td>0.0000</td><td>-2.1567</td><td>42.3030</td><td>83.5485</td><td>39.3851</td></tr><tr><td></td><td></td><td></td><td>2</td><td>83.1365</td><td>0.0000</td><td>-2.1568</td><td>42.6467</td><td>84.2356</td><td>39.7091</td></tr><tr><td></td><td></td><td></td><td>13</td><td>83.1373</td><td>0.0000</td><td>-2.1648</td><td>42.6511</td><td>84.2406</td><td>39.7114</td></tr><tr><td></td><td></td><td></td><td>12</td><td>82.4501</td><td>0.0000</td><td>-2.1652</td><td>42.3076</td><td>83.5537</td><td>39.3876</td></tr><tr><td></td><td></td><td>LC</td><td>NODE</td><td>Sig-XX</td><td>Sig-YY</td><td>Sig-ZZ</td><td>Sig-XZ</td><td></td><td></td></tr><tr><td></td><td></td><td rowspan="5">LCOMB2</td><td>Cent</td><td>82.6287</td><td>0.0000</td><td>-1.9933</td><td>-3.7578</td><td></td><td></td></tr><tr><td></td><td></td><td>1</td><td>82.3088</td><td>0.0000</td><td>-2.0162</td><td>-3.4446</td><td></td><td></td></tr><tr><td></td><td></td><td>2</td><td>82.9937</td><td>0.0000</td><td>-2.0140</td><td>-3.4873</td><td></td><td></td></tr><tr><td></td><td></td><td>13</td><td>82.9440</td><td>0.0000</td><td>-1.9716</td><td>-4.0557</td><td></td><td></td></tr><tr><td></td><td></td><td>12</td><td>82.2564</td><td>0.0000</td><td>-1.9716</td><td>-4.0429</td><td></td><td></td></tr><tr><td></td><td></td><td></td><td>NODE</td><td>Sig-P1</td><td>Sig-P2</td><td>Sig-P3</td><td>MAX-SHR</td><td>Sig-EFF</td><td>Sig-Oct</td></tr><tr><td></td><td></td><td></td><td>Cent</td><td>82.7952</td><td>0.0000</td><td>-2.1599</td><td>43.4775</td><td>83.8960</td><td>39.5489</td></tr><tr><td></td><td></td><td></td><td>1</td><td>82.4492</td><td>0.0000</td><td>-2.1567</td><td>42.3030</td><td>83.5485</td><td>39.3851</td></tr><tr><td></td><td></td><td></td><td>2</td><td>83.1365</td><td>0.0000</td><td>-1.9716</td><td>42.6467</td><td>84.2356</td><td>39.7091</td></tr><tr><td></td><td></td><td></td><td>13</td><td>83.1373</td><td>0.0000</td><td>-2.1648</td><td>42.6511</td><td>84.2406</td><td>39.7114</td></tr><tr><td></td><td></td><td></td><td>12</td><td>82.4501</td><td>0.0100</td><td>-2.1652</td><td>42.3076</td><td>83.5537</td><td>39.3876</td></tr></table>
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그림 1.3.24 평면변형요소의 요소내력 및 요소응력 출력 예
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# 3-8 축대칭요소 (2D Axisymmetric Element)
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# 3-8-1 일반사항
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이 요소는 형상, 재질, 하중조건 등이 임의 축에 대해 회전대칭 조건을 만족하는 구조체(Pipe, Cylindrical Vessel Body 또는 Head 등)의 해석에 사용될 수 있으며 등매개변수 정식화이론(Isoparametric Formulation)을 근거로 개발되었습니다.
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이 요소는 다른 종류의 요소와 혼용할 수 없으며 요소의 특성상 선형정적해석에만적용 가능합니다.
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축대칭 요소는 3차원 축대칭 모델을 축대칭적 특성을 고려하여 2차원 요소로 이상화한 것입니다. midas Civil에서는 전체좌표계 Z축이 회전대칭을 위한 기준축이 되고, 전체좌표계 X-Z 평면의 Z축의 오른쪽 평면에 위치하도록 입력되어야 합니다. 이 경우 반경방향은 전체좌표계 X축 방향이 되며, 모든 절점의 X방향 좌표는 양(X≥0)의 값을 가지도록 모델링 되어야 합니다.
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요소의 두께는 그림 1.3.25와 같이 1.0 Radian(단위폭)으로 자동 고려됩니다.
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이 요소는 구조물의 축대칭적 특성을 근거로 하기 때문에 원주방향에 대한 변위, 전단변형률( $\gamma_{XY}, \gamma_{YZ}$ ) 그리고 원주방향 전단응력( $\tau_{XY}, \tau_{YZ}$ )은 모두 존재하지 않습니다.
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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Z (axis of rotation)
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1.0 radian (unit width)
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N4
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N3 an axisymmetric element
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N1
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N2
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X (radial direction)
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</details>
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그림 1.3.25 축대칭요소의 단위 폭
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# 3-8-2 요소자유도 및 요소좌표계
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midas Civil에서 축대칭요소의 요소좌표계는 프로그램 내부에서 요소강성행렬을 계산하거나, 후처리 모드(Post-processing Mode)에서 사용자가 요소좌표계를 기준으로 응력성분을 도화처리할 때 사용됩니다.
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# 요소자유도는 전체좌표계를 기준으로 X, Z방향의 변위자유도만을 가지게 됩니다.
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요소좌표계는 오른손법칙에 준한 x, y, z축의 직교좌표계를 따르며, 요소좌표계의 방향은 그림 1.3.26과 같이 설정됩니다.
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사각형요소의 경우는 연결절점의 입력순서대로 오른손법칙에 따라 회전할 때(N1→N2→N3→N4) 요소중심에서 요소면의 수직방향으로 엄지손가락 방향이 요소좌표계 z축이 됩니다. 그리고 요소좌표계 x축 방향은 N1과 N4를 잇는 선분의 중심에서 N2와N3을 잇는 선분의 중심까지 직선으로 연결할 때 그 직선의 진행방향이 되며, 요소평면상에서 오른손좌표계를 기준으로 x축과 수직을 이루는 축이 요소좌표계 y축이 됩니다.
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삼각형요소의 경우는 면의 중심점에서 N1부터 N2로 진행하는 방향이 요소좌표계의x방향이 되고, 나머지 y, z축 방향은 사각형요소의 경우와 동일합니다.
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※ 요소내력의 출력은 전체좌표계를 따르며 화살표 방향이 양(+)의 방향을 의미한다.
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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ECS y-axis (perpendicular to ECS x-axis
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in the element plane)
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Fz3
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Fx3
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N3
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Node numbering order for
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creating the element
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(N1→N2→N3→N4)
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ECS x-axis
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(N1 to N2 direction)
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||
Center of Element
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ECS z-axis (normal to the element
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surface, out of the paper)
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Fx1
|
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N1
|
||
N2
|
||
Fx2
|
||
Fx3
|
||
Fz1
|
||
Fz2
|
||
(a) 사각형 요소
|
||
Z
|
||
GCS
|
||
X
|
||
Fz3
|
||
ECS y-axis (perpendicular to ECS x-
|
||
axis)
|
||
Fx3
|
||
N3
|
||
Node numbering order for creating
|
||
the element (N1→N2→N3)
|
||
ECS z-axis (normal to the element
|
||
surface,
|
||
Center of Element
|
||
ECS x-axis
|
||
(N1→N2 direction)
|
||
Fx1
|
||
N1
|
||
Fz1
|
||
N2
|
||
Fx2
|
||
Fz2
|
||
(b) 삼각형 요소
|
||
GCS
|
||
X
|
||
Z
|
||
GCS
|
||
</details>
|
||
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그림 1.3.26 축대칭요소의 배치 및 요소좌표계, 절점내력
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# 3-8-3 요소관련 기능
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<table><tr><td>Create Elements</td><td>요소 입력</td></tr><tr><td>Material</td><td>재료적 성질 입력</td></tr><tr><td>Pressure Loads</td><td>요소의 변에 수직방향으로 압력하중 입력</td></tr></table>
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축대칭요소의 압력하중은 그림 1.3.27과 같이 각 변에 수직방향으로 입력되며, 압력하중의 작용면적은 그림 1.3.25와 같이 1.0 Radian의 폭만큼 자동 고려됩니다.
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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P1
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P2
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P1
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N4
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edge number 3
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N3
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edge number 4
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edge number 2
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N1
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N2
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P2
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P1
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P2
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Z
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GCS
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X
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edge number 1
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</details>
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그림 1.3.27 축대칭요소의 압력하중
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# 3-8-4 요소내력 출력내용
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축대칭요소의 요소내력 및 응력은 다음과 같이 출력되며 부호와 방향은 요소좌표계또는 전체좌표계를 따릅니다. 그림 1.3.28은 요소좌표계의 축방향 또는 주응력방향의단위 Segment에서 발생되는 응력의 부호규약을 설명한 것입니다.
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연결절점에서의 요소내력 출력
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연결절점과 요소중심에서 요소응력 출력
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연결절점에서의 요소내력은 절점에서 산출된 각 성분별 변위와 해당요소 강성성분을곱한 값으로 출력됩니다.
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연결절점과 요소중심에서의 응력은 요소내의 적분점(Gauss Point)에서 연산된 응력을이용하여 외삽법(Extrapolation)에 의해 산출됩니다.
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요소내력의 출력
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요소내력의 출력치에 대한 부호규약은 그림 1.3.26과 같고, 화살표방향이 양(+)의 방향을 의미합니다.
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요소응력의 출력
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요소응력의 출력치에 대한 부호규약은 그림 1.3.28과 같고, 화살표방향이 양(+)의 방향을 의미합니다.
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