김경종
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-트러스 부재의 표준 기하강성행렬
\left[ k _ {G} \right] = \left[ \begin{array}{c c c c c c} 0 & & & & & \\ 0 & \frac {1}{L} & & & \text {symm.} \\ 0 & 0 & \frac {1}{L} & & \\ 0 & 0 & 0 & 0 & & \\ 0 & - \frac {1}{L} & 0 & 0 & \frac {1}{L} & \\ 0 & 0 & - \frac {1}{L} & 0 & 0 & \frac {1}{L} \end{array} \right]
-보부재의 표준 기하강성행렬
[ \overline {{k}} _ {G} ] = [ \overline {{k}} _ {G 1} ] + [ \overline {{k}} _ {G 2} ]
여기서, [\overline{k}_{G1}] : 축방향 부재력에 의한 기하강성행렬
[\bar{k}_{G2}] : 전단력과 모멘트에 의한 기하강성행렬
\left[ \overline {{k}} _ {G} \right] = \left[ \begin{array}{c c c c c c c c c c c c} 0 & & & & & & & & & & & \\ 0 & \frac {6}{5 L} & & & & & & & & & & \\ 0 & 0 & \frac {6}{5 L} & & & & & & & & & \\ 0 & 0 & 0 & 0 & & & & & & & & \\ 0 & 0 & - \frac {1}{1 0} & 0 & \frac {2 L}{1 5} & & & & & & & \\ 0 & \frac {1}{1 0} & 0 & 0 & 0 & \frac {2 L}{1 5} & & & & & & \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & & & & & \\ 0 & - \frac {6}{5 L} & 0 & 0 & 0 & - \frac {1}{1 0} & 0 & \frac {6}{5 L} & & & & \\ 0 & 0 & - \frac {6}{5 L} & 0 & \frac {1}{1 0} & 0 & 0 & 0 & \frac {6}{5 L} & & & \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & & \\ 0 & 0 & - \frac {1}{1 0} & 0 & - \frac {L}{3 0} & 0 & 0 & 0 & \frac {1}{1 0} & 0 & \frac {2 L}{1 5} & \\ 0 & \frac {1}{1 0} & 0 & 0 & 0 & - \frac {L}{3 0} & 0 & - \frac {1}{1 0} & 0 & 0 & 0 & \frac {2 L}{1 5} \end{array} \right]
[ \overline {{k}} _ {G 2} ] = \int_ {L} [ G ] ^ {T} [ S ] [ G ] d L
여기서, [G] : 변형률과 변위관계 행렬
[S] : 힜 모멘트, 비틀림 모멘트와 전단력으로 구성된 행렬
-판요소 및 솔리드요소의 기하강성행렬
\left[ k _ {G} \right] = \int_ {v} [ G ] ^ {T} \left[ \begin{array}{c c c} s & 0 & 0 \\ 0 & s & 0 \\ 0 & 0 & s \end{array} \right] [ G ] d V
여기서 [G] : 변형률과 변위관계 행렬
[ S ] = \left[ \begin{array}{c c c} \sigma_ {x x} & \sigma_ {x y} & \sigma_ {z x} \\ \sigma_ {x y} & \sigma_ {y y} & \tau_ {y z} \\ \sigma_ {z x} & \sigma_ {y z} & \sigma_ {z z} \end{array} \right]: \text { 요소의 응력 행렬 }
기하강성행렬을 하중계수와 입력된 하중을 받는 구조물의 기하강성행렬의 곱으로 나타내면 식 (2)와 같습니다.
[ K _ {G} ] = \alpha [ \overline {{{K}}} _ {G} ] \tag {2}
여기서 α: 임계하중계수
[K_{G}] : 좌굴해석을 위해 입력된 하중을 받고 있는 구조물의 기하강성행렬
[ K + \lambda K _ {G} ] \{u \} = \{p \} \tag {3}
[ K _ {e q} ] = [ K + \lambda K _ {G} ]
위 식과 같은 평형방정식에서 구조물이 불안정한 상태가 되려면 특이해를 가져야 합니다. 즉 등가강성행렬의 행렬식이 영(Zero)이 되는 경우에 좌굴이 발생하게 됩니다.
\left| \left[ K _ {e q} \right] \right| < 0 \left(\lambda > \lambda_ {c r}\right): \text { 불안정한 평형상태 }
\left| \left[ K _ {e q} \right] \right| = 0 \left(\lambda = \lambda_ {c r}\right): \text { 불안정한 상태 }
\left| \left[ K _ {e q} \right] \right| > 0 \left(\lambda < \lambda_ {c r}\right): \text {안정한 상태}
그러므로, 식 (3)에서 좌굴해석을 위한 문제는 식 (4)와 같은 고유치 문제로 귀결됩니다.
\left| K + \lambda_ {I} \left[ K _ {G} \right] \right| = 0, \quad \lambda_ {i}: \text { 고유치(임계하중계수) } \tag {4}
이 문제는 "고유치 해석"에서와 같은 방법으로 풀 수 있습니다.
고유치 해석을 통해 얻어지는 값은 고유치값과 고유모드가 있는데, 고유치값은 임계하중계수가 되고 고유모드는 임계하중에 해당하는 좌굴형상이 됩니다. 임계하중은 초기하중으로 주어진 값과 임계하중계수를 곱한 값으로 구해집니다. 임계하중과 좌굴형상은 입력된 구조물에 임계하중이 작용할 경우, 좌굴모드와 같은 형상으로 구조물의 좌굴이 발생하게 된다는 것을 의미합니다.
예를 들어 초기하중이 10만큼 작용하는 구조물에 좌굴해석을 수행하여 임계하중계수 5를 얻었다면, 이 구조물은 50의 하중이 작용할 때 좌굴이 발생하게 됩니다.그러나, 구조물의 좌굴은 대부분 기하적으로나 재료적으로 대변형이나 비선형상태에서 발생하기 때문에 실제 문제에 있어서 적용은 제한적이라고 할 수 있습니다.
midas Civil에서의 선형좌굴해석은 트러스, 보요소, 판요소, 솔리드요소로 제한되며,해석과정은 다음과 같은 2단계의 해석과정이 수반되고, 해석의 순서도는 그림2.7.1과 같습니다.
- 사용자가 입력하는 하중조건하에서 선형정적해석을 수행하는 과정으로, 해석된 구조 부재의 부재력 또는 응력을 적용하여 해당부재의 기하강성행렬(Geometric Stiffness Matrix)을 구성합니다.
- 위에서 계산된 기하강성행렬과 탄성강성행렬을 사용하여 고유치 문제를 계산합니다.
이 과정에서 얻어지는 고유치값은 임계하중계수가 되고 고유모드는 좌굴형상이 됩니다.
flowchart
graph TD
A["구조물 해석모델 입력"] --> B["전체 강성행렬 및 좌굴해석을 위한 하중행렬 구성"]
B --> C["정적해석 수행 및 요소별 기하강성행렬 구성"]
C --> D["전체 기하강성행렬 구성"]
D --> E["전체강성과 기하강성을 사용한 고유치 해석"]
그림 2.7.1 좌굴해석 개념도
Chapter 8. 비선형 해석
8-1 개요
구조물의 선형-탄성 거동을 해석하는 경우에는 변위와 하중이 서로 비례관계에 있다는 가정을 전제로 합니다. 이러한 가정은 재하 되는 하중에 대하여 재료의 응력-변형율 관계가 선형이고, 하중이 구조물의 강성에 비해 상대적으로 작아서 발생하는 변위가 미소하여 기하학적 형태가 변하지 않는 경우에 적용 가능합니다.
일반적인 설계조건에서는 대부분의 구조물에서 선형가정을 전제로 해석을 수행하게 되지만 대변형이 발생하는 경우나 응력이 탄성범위를 초과하는 경우에는 반드시 구조물의 비선형 해석을 수행하여야 합니다.
비선형 해석은 아래와 같이 크게 세 가지로 구분할 수 있습니다.
첫째, 구조물에 상대적으로 큰 하중이 재하 되어 응력이 커지면 응력-변형율 관계가 비선형으로 변하여 비선형 거동을 하게 되는데 이를 재료 비선형이라고 합니다. 아래 그림 2.8.1과 같은 응력-변형율의 관계로 표현되며 하중재하 방법과 재료에 따라서 다양한 형태의 응력-변형율 관계가 발생합니다.
line
| ε | σ |
|---|---|
| 0 | 0 |
| ε | σy |
| >ε | σy |
그림 2.8.1 재료 비선형 해석에 사용되는 응력-변형율 관계
둘째, 구조물에 상대적으로 큰 변형이 발생하고 기하학적 형태가 변하여 변위-변형
율 관계가 비선형이 되는 경우에 미소변형해석에서 무시하였던 변위-변형율 관계의 고차항을 포함하여 해석을 하게 되는데 이를 기하학적 비선형이라고 합니다.기하비선형성은 재료의 선형 상태에서도 발생이 가능하고 변형이 크게 발생할 수있는 구조물의 경우 설계를 위한 해석에서도 사용됩니다. 기하비선형은 재질과 관계없이 구조물의 형상에 따라 발생하게 되는데 하중에 따른 변위가 크게 발생하여구조물의 좌표가 변화하거나 모멘트와 같은 부가 하중이 발생할 경우에는 반드시고려해야 합니다. (그림 2.8.2 참조)
셋째, 하중에 의한 구조물의 변형에 따라 경계조건이 변화하는 구조물에서 발생하는 하중-변위의 비선형 관계를 경계비선형이라 합니다. 지반과 접하는 구조물의 압축전담 경계조건 등에 대한 문제들이 경계비선형 문제에 해당됩니다.
midas Civil에서의 비선형 해석 기능은 비선형 요소(인장/압축 전담 요소)를 사용한경계비선형 해석기능과 구조물에 상대적으로 큰 변위가 발생하는 경우에 필요로하는 기하비선형 해석기능을 포함하고 있습니다. 또한 재료의 비탄성을 고려하는정적재료비선형 및 비탄성 시간이력해석 기능을 포함하고 있습니다.
text_image
V
(a) 구조물의 대변형에 따른 강성의 변화
text_image
V H
(b) 변형에 따른 부가 하중의 발생
그림 2.8.2 기하비선형 해석이 요구되는 구조계
8-2 기하비선형 해석
선형해석에서 사용하는 미소변형( \varepsilon_{ij} )은 회전이 작다는 가정하에서 다음과 같이 정의됩니다.
\varepsilon_ {i j} = \frac {1}{2} (u _ {i, j} + u _ {j. i})
u는 변위이며 (u_{i,j}, u_{j,i}) 는 최초 좌표에 대한 미분을 나타냅니다. 그림 2.8.3과 같이 대변형이 발생하는 경우에 더 이상 Small Strain으로는 구조물의 변형을 정확히 표현할 수 없게 됩니다. 대변형은 다음 식과 같이 회전성분과 회전이 아닌 성분으로 분리할 수 있습니다. F는 변위텐서(Deformation Tensor), R은 회전변위 텐서 (Rotation Tensor) 그리고 U는 변형텐서 (Stretch Tensor)를 나타냅니다. 실제 구조물에 발생하는 변형은 U에 따라 결정됩니다.
F = R U, \quad \varepsilon = f (U)
text_image
Z Initial Configuration Final Configuration ê₀₃ ê₀₂ ê₀₁ ê₁ᵗ ê₁ᵗ e₃ e₂ e₁ X Y
그림 2.8.3 대변형에 의한 기하학적 비선형성
위 식의 전체 변형에서 회전성분을 제거하여야 정확한 변형률(Strain)의 계산이 가능하므로 회전량이 큰 경우 처음부터 정확한 변형률-변위 관계를 알 수는 없습니다. 즉 선형해석에서 계산된 변위에 따라 변형률이 변하게 되므로 기하학적 비선형이 도입됩니다.
midas Civil의 기하비선형 해석은 Co-rotational 방법을 사용하는데 이 방법은 변형되는 요소에 부착되어 요소의 회전에 따라 움직이는 Co-rotational 좌표계에서Strain을 사용하여 기하학적 비선형성을 고려하는 방법입니다. Co-rotational 좌표계에서의 변형률-변위 관계는 행렬식 ˆ ˆ Buˆ 와 같이 표현할 수 있으며 선형해석에서와 같은 변형률-변위 관계 행렬을 사용할 수 있습니다. 즉 기하학적 비선형이 도입되어도 선형해석에 사용된 요소의 안정성 및 수렴성이 유지된다는 것을 의미하므로 우수한 선형요소의 특성이 유지된다는 장점을 가지고 있습니다.
Co-rotational 좌표계에서의 변위 uˆ 는 관계식 ^ \boldsymbol { u } = f ( e , e _ { 1 } , e _ { 2 } , \hat { e } _ { 3 } , \hat { e } _ { 1 } , \hat { e } _ { 2 } , e _ { 3 } ) 에 의하여계산되며 미소변위 uˆ 는 선형화하여 u T uˆ 으로 표현할 수 있습니다. Co-rotational 좌표계에서의 선형 탄성문제의 경우 동시회전 좌표계에서의 요소내력\hat { p } ^ { i n t } 는 다음 식으로 구할 수 있습니다.
\hat {p} ^ {i n t} = \int_ {d v} B ^ {T} \hat {\sigma} d V _ {0}
여기서 ˆ 는 동시회전 좌표계에서 표현된 응력이고, 위 식에 대해 변분을 취하면다음 식을 얻을 수 있습니다.
\delta \hat {p} ^ {i n t} = (K + \hat {K} _ {\sigma}) \delta \hat {u}
위 식에서 \hat { K } _ { \sigma } \ \in \ \mathrm { ~ \mathfrak { z } ~ } (nitial Stress StiffnessMatrix)이고, 내력과 외력의 평형관계를( \boldsymbol { p } ^ { e x t } - \boldsymbol { p } ^ { i n t } = 0 ) 사용하면 다음 식과 같은비선형 평형방정식을 구성할 수 있습니다.
(K + K _ {\sigma}) u = p ^ {e x t}
비선형 평형방정식의 해를 구하는 방법으로는 Newton-Raphson 방법과 Arc-length방법이 있습니다. 일반적인 해석인 경우에는 하중제어 방법인 Newton-Raphson 방법을 사용하고 Snap-through나 Snap-back과 같은 문제에 대하여는 변위제어 방법인 Arc-length 방법을 사용하면 적절한 해석을 할 수 있습니다.
midas Civil의 기하비선형 해석에 사용할 수 있는 요소에는 트러스, 보, 판요소가있으며 기타의 요소가 같이 사용될 경우에는 강성만 고려되고 기하비선형성은 고려되지 않습니다.
8-2-1 Newton-Raphson 반복법
외력이 작용하는 구조물의 기하비선형 해석에서는 기하강성이 변위의 함수 형태로나타나고 변위가 다시 기하강성의 영향을 받기 때문에 반복해석이 필요합니다.Newton-Raphson 방법은 일반적으로 많이 사용되는 방법으로 그림 2.8.4와 같이주어진 외력과 평형조건을 이루는 변위를 계산하게 됩니다. 하중-변위의 평형방정식에서 주어진 하중에 대해 평형이 만족되도록 반복 계산할 때마다 강성행렬을 재구성하고, 이를 이용하여 근사해를 반복적으로 수정하여 허용오차의 범위내의 근사해를 구합니다.
(K + K _ {\sigma}) u = p, \quad K _ {T} u = p
K _ {T} = K + K _ {\sigma}, \quad K _ {\sigma} = f (u)
K _ {T} (u _ {m - 1}) (u _ {m - 1} + \Delta u _ {m}) = R _ {m}
line
| Displacement | Force (K_T(um)) | Force (K_T(um-1)) | | ------------ | --------------- | ----------------- | | Um-1 | Rm | Rm-1 | | Um | Rm-1 | Rm-1 |그림 2.8.4 Newton-Raphson Method
Taylor 전개식 ( y ( x _ { n } + h ) = y ( x _ { n } ) + y ^ { \prime } ( x _ { n } ) h ) 에 의해 위 식의 좌변을 전개하면, 다음과 같습니다.
K _ {T} (u _ {m - 1}) (u _ {m - 1} + \Delta u _ {m}) = K _ {T} (u _ {m - 1}) u _ {m - 1} + \frac {d R}{d u _ {m - 1}} \Delta u _ {m}
\frac { d R } { d u _ { m - 1 } } = K _ { T } ( u _ { m - 1 } ) R _ { m } - F _ { m - 1 } = R ^ { R } 1 1( ) RT m m mK u R F R 의 관계를 위 식에 대입하여 정리하면, 다음과 같1mdu 습니다.
K _ {T} \left(u _ {m - 1}\right) \Delta u _ {m} = R _ {m} + R _ {m - 1} = R ^ {R} \quad \left(R ^ {R}: \text { Residual Force }\right)
해석의 과정은 그림 2.8.4에서 묘사됩니다. \varDelta u _ { { \scriptscriptstyle m } } 이 계산되면, 변위를\textit { u } _ { m } = u _ { m - 1 } + \varDelta u _ { m } 의 식에 의해 보정합니다. 다시 반복 과정을 적용하기 위해 새로운 접선 강성 K _ { \scriptscriptstyle T } ( u _ { { m } } ) 과, 불균형 하중 R _ { m + 1 } - R _ { _ m } \ \stackrel { \circ } { \equiv } 계산하고 이에 의해 보정된변위 u _ { m + 1 } \equiv 구합니다.
이상의 반복과정 중에서 한 스텝에서의 변위, 에너지, 혹은 하중의 증분량이 수렴한계 내에 들어올 때까지 반복하여 해를 계산합니다.
8-2-2 Arc-length 반복법
일반의 반복 과정에서는 하중-변위 곡선이 거의 수평인 경우, 변위 증분의 계산값이 매우 커질 수 있습니다. 즉, 하중 증분을 고정적으로 두면, 변위는 매우 큰 값을 갖습니다. Arc-length 방법을 사용하면 이 문제를 해결할 수 있으며, 변위 제어법을 사용하는 경우와 같이 Snap-through 거동(그림 2.8.5(a) 참조)을 해석할 수 있습니다. 또한, Arc-length 방법은 변위 제어법으로 해석할 수 없는 Snap-back 거동도 해석할 수 있습니다. (그림 2.8.5(b) 참조)
Arc-length 방법은 증분 변위의 Norm을 미리 정의된 값으로 구속합니다. 이 증분의 크기는 반복과정 내에서는 고정적으로 적용되지만, 증분의 시작시에는 고정되어 있지 않습니다. 증분의 크기를 결정하기 위해서 다음과 같은 과정을 따릅니다.(그림 2.8.5(c) 참고)