김경종
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Park Steel Model
Kent & Park(1973)3) 에 의해 수행된 반복하중을 받는 의 실험을 통하여 제안된 모델입니다. 본 모델은 의 탄성구간, 소성구간과 변형도-경화(StrainHardening) 구간의 모사가 가능하며, Ramberg-Osgood 식에 의해 BauschingerEffect를 정밀하게 나타내어 실험적 결과와 높은 일치성을 보이는 모델입니다.
1) 재하시의 거동
재하시의 거동은 다음과 같이 구분됩니다. 재하시의 변형도-경화구간에서의응력-변형도 관계는 Thompson & Park(1980)4) 이 제안한 식을 적용합니다.
line
| Point | Steel Strain | Steel Stress |
|---|---|---|
| A | ε_y | f_y |
| B | ε_sh | f_y |
| C | ε_su | f_u |
그림 2.9.39 Stress-Strain curve for steel with loading of the same sign
. 탄성 \daleth \sqsubseteq { \mathsf { f } } ( 0 \mathrm { - } \mathsf { A } ) : 0 \leq \varepsilon \leq \varepsilon _ { y }
f = E _ {s} \cdot \varepsilon_ {y}
. 소성구간(A-B) : \varepsilon_{y} < \varepsilon < \varepsilon_{sh}
f = f _ {y}
. 변형도-경화(strain hardening)구간(B-C) : \varepsilon_{sh} \leq \varepsilon < \varepsilon_{su}
f = f _ {y} \left(\frac {m \left(\varepsilon - \varepsilon_ {s h}\right) + 2}{6 0 \left(\varepsilon - \varepsilon_ {s h}\right) + 2} + \frac {\left(\varepsilon - \varepsilon_ {s h}\right) (6 0 - m)}{2 (3 0 r + 1) ^ {2}}\right)
m = \frac {\left(f _ {u} / f _ {y}\right) (3 0 r + 1) ^ {2} - 6 0 r - 1}{1 5 r ^ {2}}
r = \varepsilon_ {u} - \varepsilon_ {s h}
여기서,
ε : 강 섬유의 변형도
f : 강 섬유의 응력도
E_{s} 강 섬유의 초기강성(탄성계수)
\varepsilon_{v} : 강 섬유의 항복 변형도
\mathcal{E}_{sh} :강 섬유의 변형도-경화시작시의 변형도
\mathcal{E}_{su} : 강 섬유의 종국변형도(파단시)
f_{y} : 강 섬유의 항복응력도
f_{u} : 강 섬유의 극한응력도
- 제하 및 재재하시의 거동
제하시 및 재재하시의 거동은 Ramberg-Osgood 관계에 의해서 정의되며, Newton's Method에 의한 반복계산을 통하여 응력을 구합니다.
line
| Steel Strain | Steel Stress |
|---|---|
| E_s | 2.20 |
| E_y | 4.49 |
그림 2.9.40 Stress-Strain curves for steel with reversed loading
\varepsilon - \varepsilon_ {s i} = \frac {f}{E _ {s}} \left(1 + \left| \frac {f}{f _ {c h}} \right| ^ {R - 1}\right) \quad \text { Ramberg - Osgood Function }
f _ {c h} = f _ {y} \left\{\frac {0 . 7 4 4}{\log_ {e} \left(1 + 1 0 0 0 \varepsilon_ {i p}\right)} - \frac {0 . 0 7 1}{\left(1 - e ^ {1 0 0 0 \varepsilon_ {i p}}\right)} + 0. 2 4 1 \right\}
R = \frac {4 . 4 9}{\log_ {e} (1 + n)} - \frac {6 . 0 3}{e ^ {n} - 1} + 0. 2 9 7 \quad (n = 1 \text { 인 경우 })
R = \frac {2 . 2 0}{\log_ {e} (1 + n)} - \frac {0 . 4 6 9}{e ^ {n} - 1} + 3. 0 4 \quad (n = 2 \text { 인 경우 })
여기서,
f _ {c h} \quad : \text { Ramberg - Osgood 함수의 특성응력도 }
\mathcal {E} _ {i p}: \text { 이전 재하시의 소성변형도 } (0 < \varepsilon_ {i p} < 0. 7 0 9 7)
R: \text { Ramberg - - Osgood Parameter }
n: \text { Loading Run Number }
(단, 압축측인 경우 1, 인장측인 경우 2의 고정값 사용)
\varepsilon _ { s i } si : 재하시점에서 응력 0에 대한 변형도
εiPp \mathcal { E } _ { i p } .7，
line
| Steel Strain | Park's Result (N/mm²) | Midas Result (N/mm²) |
|---|---|---|
| -0.005 | -350 | -350 |
| 0 | 0 | 0 |
| 0.005 | 300 | 300 |
| 0.01 | 250 | 250 |
| 0.015 | 200 | 200 |
| 0.02 | 100 | 100 |
| 0.025 | 0 | 0 |
line
| Steel Strain | Park's Result (N/mm²) | Midas Result (N/mm²) |
|---|---|---|
| 0.000 | 0 | 0 |
| 0.005 | 330 | 330 |
| 0.010 | -200 | -200 |
| 0.015 | 300 | 300 |
| 0.020 | 350 | 350 |
그림 2.9.41 Stress-Strain curves of Park Steel Model
9-6-2 콘크리트 구성 모델
Modified Kent & Park Concrete Model
단조증가 압축력을 받는 콘크리트에 대해서 Kent와 Park(1971) ^{5)} 가 제안한 모델을 Scott(1982) ^{6)} 등이 수정한 모델입니다. 아래와 같은 포락곡선(Envelope Curve)식을 사용하며 콘크리트의 인장강도는 무시하고 있습니다. 본 모델은 명료함과 정확성의 적절한 조화를 이루고 있고, 횡 구속(Confinement Effect)에 의한 콘크리트 압축 강도의 증가 효과를 고려하는 재료 모델로서 널리 알려져 사용되고 있습니다.
\sigma_ {c} = \left\{ \begin{array}{l l} K f _ {c} ^ {\prime} \left[ 2 \left(\frac {\varepsilon}{\varepsilon_ {0}}\right) - \left(\frac {\varepsilon}{\varepsilon_ {0}}\right) ^ {2} \right] & \text { for } \varepsilon \leq \varepsilon_ {0} \\ K f _ {c} ^ {\prime} \left[ 1 - Z \left(\varepsilon - \varepsilon_ {0}\right) \right] \geq 0. 2 K f _ {c} ^ {\prime} & \text { for } \varepsilon_ {0} \leq \varepsilon \leq \varepsilon_ {u} \end{array} \right.
여기서, ε : 콘크리트 섬유의 변형율
σ : 콘크리트 섬유의 응력
ε₀ : 최대응력 발생시의 변형율
εu : 종국 변형율
K : 횡구속에 의한 강도 증가율
Z : 변형율 연화(Strain Softening) 시의 기울기
f_{c}' : 콘크리트 실린더 압축강도(MPa)
5); Kent, D.C., and Park, R., "Flexural Members with Confined Concrete", Journal of the Structural Division, ASCE, 97(ST7), 1971.
6) ; Scott, B.D., Park, R. and Priestley, M.J.N., "Stress-Strain Behavior of Concrete Confined by Overlapping Hoops at Low and High Strain Rates", ACI Journal, Vol.79, No.1, 1982, pp. 13-27.
line
| compressive strain | compressive stress |
|---|---|
| ε₀ | K·f_c' |
| ε_p | 0.2K·f_c' |
| ε_r | 0.2K·f_c' |
| ε_u | 0.2K·f_c' |
그림 2.9.42 Modified Kent & Park 콘크리트 섬유 구성모델
종국 변형율을 초과한 콘크리트는 압괴(Crushing)가 발생한 것으로 가정하여 더 이상의 하중을 받지 못하는 것으로 해석합니다. Kent와 Park은 직사각형 단면의 기둥에 대해서 상기의 포락곡선을 정의하는 파라미터를 계산하기 위해 다음과 같은 식을 사용합니다.
\varepsilon_ {0} = 0. 0 0 2 K
K = 1 + \frac {\rho_ {s} f _ {y h}}{f _ {c} ^ {\prime}}
Z = \frac {0 . 5}{\frac {3 + 0 . 2 9 f _ {c} ^ {\prime}}{1 4 5 f _ {c} ^ {\prime} - 1 0 0 0} + 0 . 7 5 \rho_ {s} \sqrt {\frac {h ^ {\prime}}{s _ {h}}} - 0 . 0 0 2 K}
여기서, \begin{array} { r } { \pmb { f } _ { y h } : } \end{array} 횡 보강근(Stirrup)의 항복강도(MPa)
\rho \pmb { \mathscr { s } } \mathrm { : \ }
h’ : 콘크리트 코어의 폭(직사각형의 경우 짧은쪽)
(콘크리트 코어는 횡 보강근의 바깥쪽으로 둘러싸인 영역으로 정의)
sk : 횡 보강근의 간격
Scott 등(1982)은 횡구속이 존재하는 직사각형 기둥에 대해서 다음과 같은 종국변형율의 식을 제안하였습니다.
\varepsilon_ {u} = 0. 0 0 4 + 0. 9 \rho_ {s} \left(f _ {y h} / 3 0 0\right)
상기의 포락곡선에서 제하(Unloading)가 발생하는 경우에 제하 경로는 다음 식에 의해서 정의되는 변형율 축선상의 점 ( \varepsilon_{p} , 0)을 향하게 되며 이 점에 도달하면 변형율 축선상을 따라서 인장 영역으로 움직입니다.
\frac {\varepsilon_ {p}}{\varepsilon_ {0}} = 0. 1 4 5 \cdot \left(\frac {\varepsilon_ {r}}{\varepsilon_ {0}}\right) ^ {2} + 0. 1 3 \cdot \left(\frac {\varepsilon_ {r}}{\varepsilon_ {0}}\right) \quad f o r \left(\frac {\varepsilon_ {r}}{\varepsilon_ {0}}\right) < 2
\frac {\varepsilon_ {p}}{\varepsilon_ {0}} = 0. 7 0 7 \cdot \left(\frac {\varepsilon_ {r}}{\varepsilon_ {0}} - 2\right) + 0. 8 3 4 \quad \text { for } \left(\frac {\varepsilon_ {r}}{\varepsilon_ {0}}\right) \geq 2
여기서, \varepsilon_{r} : 제하 발생점의 변형율
\varepsilon_{p} : 제하 경로상의 목표점의 변형율
만약 다시 압축변형율이 증가하게 되면 이제까지의 제하 경로를 그대로 거슬러 올라가서 포락곡선에 도달하게 됩니다.
일본 콘크리트 표준시방서 모델
일본 콘크리트 표준시방서에서 제시하고 있는 콘크리트 모델로 다음과 같은 특징이 있습니다. 압축 최대 응력점을 넘은 경우 연화영역을 가지게 되며, 잔류 소성 변형을 고려하고 있습니다. 제하(Unloading), 재재하(Re-loading)의 경우 강성 저감 효과를 반영하고 있고, 일반적인 보부재의 경우에 인장 응력의 응력-변형 관계는 무시합니다. 이러한 특성을 바탕으로 압축강도가 50 N/mm² 이하의 경우에는 다음 그림과 같은 응력-변형 이력 관계를 가지게 됩니다.
\sigma_ {c} ^ {\prime} = E _ {0} K \left(\varepsilon_ {c} ^ {\prime} - \varepsilon_ {p} ^ {\prime}\right) \geq 0
E _ {0} = \frac {2 \cdot f _ {c} ^ {\prime}}{\varepsilon_ {p e a k} ^ {\prime}}
\boldsymbol {K} = \exp \left\{- 0. 7 3 \frac {\varepsilon_ {\max} ^ {\prime}}{\varepsilon_ {p e a k} ^ {\prime}} \left(1 - \exp \left(- 1. 2 5 \frac {\varepsilon_ {\max} ^ {\prime}}{\varepsilon_ {p e a k} ^ {\prime}}\right)\right) \right\}
\varepsilon_ {p} ^ {\prime} = \varepsilon_ {\max} ^ {\prime} - 2. 8 6 \cdot \varepsilon_ {p e a k} ^ {\prime} \left(1 - \exp \left(- 0. 3 5 \frac {\varepsilon_ {\max} ^ {\prime}}{\varepsilon_ {p e a k} ^ {\prime}}\right)\right)
여기서, \varepsilon'_{peak} : 압축강도에 대응하는 변위
\varepsilon'_{max} : 이전에 받았던 압축변위의 최대치
\varepsilon'_{p} : 잔류 소성변위
K : 강성 잔존률
line
| ε | σ | |-------|-------| | 0 | 0 | | ε | E | | ε | E K | | ε | K |그림 2.9.43 일본 콘크리트 표준시방서 콘크리트 섬유 구성모델
일본 도로교 시방서 콘크리트 모델
일본 도로교 시방서(동해설), V 내진 설계편의 콘크리트 모델로 다음과 같은 특징이 있습니다. 압축 최대 응력점을 넘은 경우 연화영역을 가지게 되며, 극한 압축변형률을 초과할 경우 더 이상 저항을 하지 않는다고 가정합니다. 지진하중의 종류에 따라 극한 압축변형률이 변화하며, 구속철근의 양을 고려하여 연화구간의 기울기, 최대 압축강도와 극한 압축변형률이 조정됩니다. 한편 잔류 소성 변형을 고려하고 있으며, 제하(Unloading), 재재하(Re-loading)의 경우 초기강성으로 거동한다고 가정합니다. 인장측 응력-변형 관계를 가지며 최대 인장강도에 대응되는 변형률을 초과하는 경우 더 이상 저항을 하지 않습니다.
line
| ε | σ |
|---|---|
| ε | 0.8σ |
| ε | 0.6σ |
그림 2.9.44 일본 도로교 시방서 콘크리트 섬유 구성모델
\sigma_ {c} = \left\{ \begin{array}{l l} E _ {c} \varepsilon_ {c} \left(1 - \frac {1}{n} \left(\frac {\varepsilon_ {c}}{\varepsilon_ {c c}}\right) ^ {n - 1}\right) & (0 \leq \varepsilon_ {c} \leq \varepsilon_ {c c}) \\ \sigma_ {c c} - E _ {d e s} (\varepsilon_ {c} - \varepsilon_ {c c}) & (\varepsilon_ {c c} \leq \varepsilon_ {c} \leq \varepsilon_ {c u}) \end{array} \right.
\textbf {n} = \frac {E _ {c} \varepsilon_ {c c}}{E _ {c} \varepsilon_ {c c} - \sigma_ {c c}}
\sigma_ {c c} = \sigma_ {c k} + 3. 8 \alpha \rho_ {s} \sigma_ {s y}
\varepsilon_ {c c} = 0. 0 0 2 + 0. 0 3 3 \beta \frac {\rho_ {s} \sigma_ {s y}}{\sigma_ {c k}}
{E _ {d e s}} = {1 1. 2 \frac {\sigma_ {c k} ^ {2}}{\rho_ {s} \sigma_ {s y}}}
\varepsilon_ {c u} = \left\{ \begin{array}{l l} \varepsilon_ {c c} & \text {(Type I)} \\ \varepsilon_ {c c} + \frac {0 . 2 \sigma_ {c c}}{E _ {d e s}} & \text {(Type II)} \end{array} \right.
\rho_ {s} = \frac {4 A _ {h}}{s d} \leq 0. 0 1 8
여기서, \sigma_{c} : 콘크리트의 응력
\sigma_{cc} : 횡구속 철근으로 구속된 콘크리트의 강도
\sigma_{ck} : 콘크리트의 설계 기준 강도
\varepsilon_{c} : 콘크리트의 변형률
\varepsilon_{cc} : 최대 압축 응력에 대응되는 변형률
\varepsilon_{cu} : 횡구속 철근으로 구속된 콘크리트의 극한 변형률
E_{c} : 콘크리트의 탄성계수
E_{des} : 연화구간의 하강 구배
\rho_{s} : 횡구속 철근의 체적비
A_{h} : 횡구속 철근 한 개 당 단면적
s : 횡구속 철근간 간격
d : 횡구속 구속장으로, 띠철근이나 중간 띠철근에 의해 분할 구속된 내부 콘크리트의 변 길이 중 가장 긴 값
\sigma_{sy} : 횡구속 철근의 항복점
α,β : 단면 보정 계수(원형단면=1, 사각,사다리콜·중공단면 =0.2, 0.4)