김경종
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# CEB-FIP MODEL CODE에서의 등가재령
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$$
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t _ {e q} = \sum_ {i = 1} ^ {n} \Delta t _ {i} \exp \left[ 1 3. 6 5 - \frac {4 0 0 0}{2 7 3 + T \left(\Delta t _ {i}\right) / T _ {0}} \right]
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$$
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여기서 $t_{eq}$ : 등가재령 (days)
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$\Delta t_{i}$ : 각 해석단계에서의 시간간격 (days)
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$T(\Delta t_{i})$ : 각 해석단계에서의 온도 (°C)
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$T_{0}$ :1
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# 일본 도로교 시방서(Japanese standard, 2002)에서의 등가재령
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$$
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t _ {e q} = \frac {T (\Delta t _ {i}) + 1 0}{3 0} \Delta t _ {i}
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$$
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여기서 $t_{eq}$ : 등가재령 (days)
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$\Delta t_{i}$ : 각 해석단계에서의 시간간격 (days)
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$T(\Delta t_{i})$ : 각 해석단계에서의 온도 (°C)
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# Ohzagi 식에 의한 적산온도
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$$
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M = \sum_ {i = 1} ^ {n} \Delta t _ {i} \cdot \beta \cdot \left(T (\Delta t _ {i}) + 1 0\right)
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$$
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$$
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\beta = 0. 0 0 0 3 (T (\Delta t _ {i}) + 1 0) ^ {2} + 0. 0 0 6 (T (\Delta t _ {i}) + 1 0) + 0. 5 5
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$$
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여기서 M : 적산온도 (°C)
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$\Delta t_{i}$ : 각 해석단계에서의 시간간격 (days)
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$T(\Delta t_{i})$ : 각 해석단계에서의 온도 (°C)
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# 11-2-2 등가재령과 적산온도를 사용한 콘크리트 압축강도 계산방법
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콘크리트표준시방서(2003)
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$$
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f _ {c u} (t) = \frac {t}{a + b t} d (i) f _ {c k}
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$$
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여기서 a, b : 시멘트종류에 따른 계수
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d(i) : 재령 28일에 대한 재령 91일의 강도 증가율
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ACI CODE
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$$
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\sigma_ {c} (t) = \frac {t}{a + b t _ {e q}} \sigma_ {c (2 8)}
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$$
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여기서 a, b : 시멘트종류에 따른 계수
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$\sigma_{c(28)}$ : 28일 압축강도
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CEB-FIP MODEL CODE
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$$
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\sigma_ {c} (t) = \exp \left\{s \left[ 1 - \left(\frac {2 8}{t _ {e q} / t _ {1}}\right) ^ {1 / 2} \right] \right\} \sigma_ {c (2 8)}
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$$
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여기서 S : 시멘트종류에 따른 계수
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$\sigma_{c(28)}$ : 28일 압축강도
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$t_{1}$ : 1 day
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# Ohzagi 식
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$$
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\sigma_ {c} (t) = \sigma_ {c (2 8)} \cdot y
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$$
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여기서 2 y ax bx c
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$$
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x = 2. 3 8 9 \ln \left(\frac {M}{3 . 5}\right) - 1. 0
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$$
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a, b, c :시멘트 종류에 따른 계수
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c(28) ：28
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# 11-2-3 온도의 변화량에 의한 변형 (Temperature)
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열전달해석을 통해서 구해진 각 단계별 절점온도의 변화를 사용하여 온도에 의한변형과 응력을 계산하였습니다.
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# 11-2-4 건조수축에 의한 변형 (Shrinkage)
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콘크리트의 초기 양생이 끝나게 되면 거푸집을 떼어내게 되는데 이때부터 건조수축이 시작되고 이로 인해 변형과 응력이 추가로 발생하게 됩니다. midas Civil에서는 ACI CODE와 CEB-FIP MODEL CODE를 사용하여 시멘트의 종류, 구조물의 형상, 시간에 따른 건조 수축량을 계산하여 열응력 해석에 포함하였습니다.
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# 11-2-5 크리프에 의한 변형 (Creep)
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콘크리트에 응력이 발생하게 되면 시간이 흐름에 따라 크리프 변형이 발생하게 되고 구조물에 추가적인 변형과 응력을 유발하게 됩니다. midas Civil 에서는 ACICODE와 CEB-FIP MODEL CODE를 사용하여 크리프에 의한 효과를 고려할 수 있도록 하였습니다. 이때, 온도에 의해 발생하는 응력이 각 시간 구간에 대해 선형적으로 변화한다고 가정하여 크리프 변형을 계산합니다.
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# 11-3 수화열 해석과정
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1. Properties 탱>Time Dependent Material그룹>Time Dependent Material(Creep/Shrinkage)과 Time Dependent Material(Comp. Strength)를 선택하여 시간의존적 부재재질을 입력하고, Properties 탱>Time Dependent Material그룹>Time Dependent Material Link에서 일반 부재재질과 시간의존적 부재재질을 연결합니다.
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2. Load탭>Load Type그룹>Heat of Hydration>Heat of Hydration Analysis
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Data그룹의 하위메뉴에서 수화열 해석에 필요한 데이터를 입력합니다.
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3. Analysis 탱>Analysis Control그룹>Heat of Hydration Analysis Control에서 시간이산계수, 초기온도, 응력출력위치, 크리프와 건조수축 고려여부를 입력합니다.
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4. Analysis 탑>Perform그룹>Perform Analysis 메뉴로 해석을 수행합니다.
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5. 해석이 완료되면 해석결과를 등고선도, 그래프, 동영상 등으로 확인합니다.
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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MDAS/Crwi
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View Structure Node/Element Properties Boundary Load Analysis Results PSC Pushover MODES Query Tools
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Static Loads Seismic Settlement/Etc.
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Temp./Prestress Construction Stage Load Tables
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Moving Load Heat of Hydration Connection Prescribed Assign Heat Pipe Define CS for Hydration
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Load Type Boundary - Source - Cooling
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Heat of Hydration analyze Data
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Hi Base Hi
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Model View
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||
For Help, press F1 None: 0.0, 0.0 0.0, 0.0
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End m > > non
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</details>
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그림 2.11.1 분할타설을 고려한 Extradosed PSC Box 주두부 수화열해석 모델
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<!-- source-page: 485 -->
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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||
Add/Modify Time Dependent Material (Comp. Strength)
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||
Name: Grade C4000
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||
Scale Factor: 1.0
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||
Graph Options
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||
X-axis log scale
|
||
Y-axis log scale
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Type
|
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Code
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User
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Development of Strength
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Code: CEB-FIP
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t/(t+(t+Δt)+e+(t+Δt)/t+Δt)
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||
Mean compressive strength of concrete
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at the age of 20 days (t(t+Δt+Δt)
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4000
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t(t+Δt+Δt)
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Cement Type(s)
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N, R: 0.25
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||
Redraw Graph
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Show Time Dependent Material Function
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Creep Function Data Type
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Creep Coefficient
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Shrinkage Drain
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Start Loading: 10
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Day
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||
End Loading: 10000
|
||
Day
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||
Num. of Steps: 24
|
||
Graph Options
|
||
X-axis log scale
|
||
Y-axis log scale
|
||
Add/Modify Time Dependent Material (Creep / Shrinkage)
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Name: Grade C4000
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Code: CEB-FIP(1990)
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||
CEB-FIP(1990)
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||
Characteristic compressive strength of concrete
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at the age of 26 days (t(t)) : 4000
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||
Relative Humidity of ambient environment (40 - 90) : 70
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Notational size of member : 25
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h = 2 × Ac / u (Ac : Section Area, u : Perimeter in contact with atmosphere)
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||
Type of cement
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Rapid hardening high strength cement (RS)
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Normal or rapid hardening cement (N, R)
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Slowly hardening cement (SL)
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Age of concrete at the beginning of shrinkage : 3
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Add/Modify Ambient Temperature Functions
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Function Name
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AMB1
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Function Type
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Constant
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Sine Function
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User
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Scale Factor
|
||
Graph Options
|
||
X-axis log scale
|
||
Y-axis log scale
|
||
Constant
|
||
Temperature : 20
|
||
C1
|
||
Redraw Graph
|
||
OK
|
||
Cancel
|
||
Show Result... OK
|
||
Close
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||
</details>
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||
그림 2.11.2 열특성 및 시간의존적 재료특성 대화상자
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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||
Construction Stage for Hydration
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||
Stage
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||
CS1
|
||
CS2
|
||
CS3
|
||
Add
|
||
Insert Prev
|
||
Insert Next
|
||
Modify/Show
|
||
Delete
|
||
Close
|
||
</details>
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||
|
||
|
||
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||
<details>
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||
<summary>text_image</summary>
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||
|
||
Compose Construction Stage for Hydration
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||
Stage
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||
Name : CS1
|
||
Current Stage Information...
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Initial Temperature : 20 [T]
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Step
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||
Time( hr ) : ( Example: 1, 3, 7, 14 )
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||
Auto Generate
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||
Duration : 0 hr
|
||
Step Number : 1
|
||
Generate Step
|
||
Step Time(hr)
|
||
1 10
|
||
2 20
|
||
3 30
|
||
4 50
|
||
5 80
|
||
6 120
|
||
7 170
|
||
Add
|
||
Modify
|
||
Delete
|
||
Clear
|
||
Element Boundary Load
|
||
Group List ...
|
||
Phase2
|
||
Phase3
|
||
Activation
|
||
Group List
|
||
Name
|
||
Phase1
|
||
Add Delete
|
||
OK Cancel Apply
|
||
</details>
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||
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||
그림 2.11.3 분할타설을 고려하기 위한 Construction Stage 대화상자
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||
(각 시공단계의 요소, 경계조건 등을 정의)
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<!-- source-page: 486 -->
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||
<details>
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||
<summary>line</summary>
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||
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||
Stress & Allowable Tensile Stress
|
||
| Time (h) | 34000 - Max (mm) | 44000 - Max (mm) |
|
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|---|---|---|
|
||
| 0 | -1.0 | -1.0 |
|
||
| 20 | 1.0 | 1.0 |
|
||
| 40 | 3.0 | 3.0 |
|
||
| 60 | 5.0 | 5.0 |
|
||
| 80 | 7.0 | 7.0 |
|
||
| 100 | 9.0 | 9.0 |
|
||
| 120 | 11.0 | 11.0 |
|
||
| 140 | 13.0 | 13.0 |
|
||
| 160 | 15.0 | 15.0 |
|
||
| 180 | 17.0 | 17.0 |
|
||
| 200 | 18.0 | 18.0 |
|
||
| 220 | 19.0 | 19.0 |
|
||
| 240 | 20.0 | 20.0 |
|
||
| 260 | 20.5 | 20.5 |
|
||
| 280 | 21.0 | 21.0 |
|
||
| 300 | 21.5 | 21.5 |
|
||
| 320 | 22.0 | 22.0 |
|
||
| 340 | 22.5 | 22.5 |
|
||
| 360 | 23.0 | 23.0 |
|
||
| 380 | 23.5 | 23.5 |
|
||
| 400 | 24.0 | 24.0 |
|
||
| 420 | 24.5 | 24.5 |
|
||
| 440 | 25.0 | 25.0 |
|
||
| 460 | 25.5 | 25.5 |
|
||
| 480 | 26.0 | 26.0 |
|
||
| 500 | 26.5 | 26.5 |
|
||
| 520 | 27.0 | 27.0 |
|
||
| 540 | 27.5 | 27.5 |
|
||
| 560 | 28.0 | 28.0 |
|
||
</details>
|
||
|
||
|
||
|
||
<details>
|
||
<summary>line</summary>
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||
Temperature
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||
| Time (h) | A2071 - Max Temperature (°C) | A488 - Max Temperature (°C) |
|
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|---|---|---|
|
||
| 0 | 20 | 20 |
|
||
| 20 | 30 | 22 |
|
||
| 40 | 40 | 24 |
|
||
| 60 | 45 | 26 |
|
||
| 80 | 48 | 27 |
|
||
| 100 | 50 | 28 |
|
||
| 120 | 48 | 27 |
|
||
| 140 | 45 | 26 |
|
||
| 160 | 42 | 25 |
|
||
| 180 | 38 | 24 |
|
||
| 200 | 35 | 23 |
|
||
| 220 | 32 | 22 |
|
||
| 240 | 30 | 21 |
|
||
| 260 | 28 | 20 |
|
||
| 280 | 26 | 19 |
|
||
| 300 | 24 | 18 |
|
||
| 320 | 22 | 17 |
|
||
| 340 | 20 | 16 |
|
||
| 360 | 18 | 15 |
|
||
| 380 | 16 | 14 |
|
||
| 400 | 14 | 13 |
|
||
| 420 | 12 | 12 |
|
||
| 440 | 10 | 11 |
|
||
| 460 | 8 | 10 |
|
||
| 480 | 6 | 9 |
|
||
| 500 | 4 | 8 |
|
||
</details>
|
||
|
||
1st Stage
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
<details>
|
||
<summary>line</summary>
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||
Total Precision: Average Temperature
|
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| Time (h) | N1104 - Max (°C) | N0340 - A (°C) |
|
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|---|---|---|
|
||
| 0 | 25 | 25 |
|
||
| 50 | 40 | 28 |
|
||
| 100 | 55 | 29 |
|
||
| 150 | 60 | 28 |
|
||
| 200 | 62 | 27 |
|
||
| 250 | 60 | 26 |
|
||
| 300 | 55 | 25 |
|
||
| 350 | 50 | 24 |
|
||
| 400 | 45 | 23 |
|
||
| 450 | 40 | 22 |
|
||
| 500 | 35 | 21 |
|
||
| 550 | 30 | 20 |
|
||
| 600 | 25 | 19 |
|
||
| 650 | 20 | 18 |
|
||
| 700 | 15 | 17 |
|
||
| 750 | 10 | 16 |
|
||
| 800 | 5 | 15 |
|
||
| 850 | 0 | 14 |
|
||
| 900 | -5 | 13 |
|
||
| 950 | -10 | 12 |
|
||
| 1000 | -15 | 11 |
|
||
</details>
|
||
|
||
2nd Stage
|
||
|
||
|
||
|
||
<details>
|
||
<summary>line</summary>
|
||
|
||
Stress & Allowable Tensile Stress
|
||
| Time (h) | ME201 - Max. (Stress/Weight) | ME202 - Max. (Stress/Weight) |
|
||
|---|---|---|
|
||
| 0 | 0 | 0 |
|
||
| 50 | 5 | -5 |
|
||
| 100 | 10 | -10 |
|
||
| 150 | 15 | -15 |
|
||
| 200 | 20 | -10 |
|
||
| 250 | 22 | 0 |
|
||
| 300 | 24 | 5 |
|
||
| 350 | 25 | 10 |
|
||
| 400 | 26 | 15 |
|
||
| 450 | 26 | 18 |
|
||
| 500 | 26 | 20 |
|
||
| 550 | 26 | 20 |
|
||
| 600 | 26 | 20 |
|
||
| 650 | 26 | 20 |
|
||
| 700 | 26 | 20 |
|
||
| 750 | 26 | 20 |
|
||
| 800 | 26 | 20 |
|
||
| 850 | 26 | 20 |
|
||
| 900 | 26 | 20 |
|
||
| 950 | 26 | 20 |
|
||
| 1000 | 26 | 20 |
|
||
</details>
|
||
|
||
|
||
|
||
<details>
|
||
<summary>line</summary>
|
||
|
||
Temperature
|
||
| Time (h) | H5201 - Max (°C) | H5304 - Max (°C) |
|
||
|---|---|---|
|
||
| 0 | 18 | 18 |
|
||
| 50 | 36 | 28 |
|
||
| 100 | 46 | 29 |
|
||
| 200 | 36 | 26 |
|
||
| 300 | 28 | 22 |
|
||
| 400 | 22 | 20 |
|
||
| 600 | 20 | 19 |
|
||
| 800 | 19 | 19 |
|
||
| 1000 | 19 | 19 |
|
||
</details>
|
||
|
||
3rd Stage
|
||
그림 2.11.4 각 시공단계별 해석결과 그래프
|
||
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<!-- source-page: 487 -->
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||
# Chapter 12. PSC 해석
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||
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# 12-1 프리스트레스트 콘크리트의 해석
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프리스트레스트 콘크리트 구조물의 거동은 작용하는 유효 프리스트레스에 따라 크게 변화됩니다. 따라서 프리스트레스트 콘크리트 구조물을 해석할 때에는 각각의 시공단계마다 가해지는 다양한 하중이력을 거치는 동안 PS 텐던의 인장력 변화를 정확히 계산해내는 것이 중요합니다. PS 텐던의 인장력은 텐던을 긴장하는 방법에 따른 여러 가지 원인에 의해서 손실됩니다.
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프리텐션방식의 경우 인장력의 손실을 단계별로 보면 인장력이 도입되기 전까지는 콘크리트의 건조수축 및 텐던의 이완에 의해 손실이 발생하고, 인장력이 도입될 때에는 콘크리트의 탄성변형에 의하여 손실이 발생하며, 인장력이 도입된 이후에는 콘크리트의 크리프, 건조수축 및 텐던의 이완과 하중 및 온도의 변화에 의하여 손실이 발생하게 됩니다.
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||
포스트텐션방식의 경우에는 인정력을 도입할 때 텐던과 쉬스사이의 마찰에 의한 손실, 정착구의 활동에 의한 손실이 발생하고, 인장력이 도입된 후에는 콘크리트의 크리프, 건조수축 및 텐던의 이완과 하중 및 온도의 변화에 의하여 손실이 발생하게 됩니다.
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midas Civil을 사용하여 프리스트레스트 콘크리트의 해석을 수행할 때 고려할 수 있는 인장력의 손실은 다음과 같습니다.
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- 프리스트레스를 도입할 때 일어나는 즉시손실(Instantaneous Loss)
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■ 프리스트레스 도입 후에 일어나는 시간적 손실(Time Dependent Loss)
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midas Civil에서는 보다 정확한 해석을 위하여 PS 텐던이 설치되어 긴장되고 정착되기 이전까지는 단면적, 힘강성 등의 단면특성치를 계산할 때 총단면(Gross Cross Section)에서 덕트의 면적을 제외한 순단면(Net Cross Section)을 사용하고, 텐던이 정착된 이후에는 텐던의 단면적을 고려한 환산단면을 사용합니다.
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텐던을 고려한 환산단면은 텐던의 강성이 콘크리트보다 훨씬 크기 때문에 단면의도심이 변화하고, 변경된 도심을 기준으로한 텐던의 편심을 계산하여 텐던의 인장력을 계산하게 됩니다.
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midas Civil에서는 PS 텐던을 해석모델 상에서 고려할 때 트러스 등과 같은 요소로서 모형화하지 않고 텐던에 의한 프리스트레스를 등가의 하중으로 계산하여 고려합니다. 이때 위에 설명한 바와 같이 텐던의 강성은 단면계산시 포함됩니다. 등가하중을 계산하기 위한 텐던의 인장력은 매 시공단계마다 여러가지 원인에 의한 프리스트레스 손실을 고려하여 계산되므로 해석모델에 재하되는 등가하중에는 앞서설명한 프리스트레스 손실이 모두 반영됩니다.
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midas Civil에서 프리스트레스트 콘크리트의 해석을 수행하기 위한 절차는 다음과같습니다.
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1. 구조물을 모델링합니다.
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2. 시간의존재질 및 시공단계를 정의한 후 시공단계별로 요소, 경계조건, 하중의 변화를 정의하여 시공단계를 생성합니다.
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3. PS 텐던의 단면적, 재질, 극한강도, 덕트의 직경, 마찰계수 등 사용할 텐던의 특징을 정의합니다.
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4. 원하는 부재에 텐던을 할당하고 텐던의 배치형상(Profile)을 정의합니다.
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5. 텐던에 작용하는 인장력을 정의하고, 긴장하기를 원하는 시공단계에서 긴장력을 입력합니다.
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6. 해석을 수행합니다.
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# 12-2 프리스트레스의 손실
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PS 텐던에 가해진 인장응력은 여러 가지 원인에 의해서 감소하게 됩니다. 텐던의 인장응력이 감소하면 콘크리트에 도입된 프리스트레스트도 감소하게 됩니다. 이러한 프리스트레스 감소의 원인은 다음과 같습니다.
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\- 프리스트레스를 도입할 때 일어나는 즉시손실(Instantaneous Loss)
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정착장치의 활동(Anchorage Slip)
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PS 텐던과 쉬스 사이의 마찰
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콘크리트의 탄성변형(Elastic Shortening)
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\- 프리스트레스 도입 후에 일어나는 시간적 손실(Time Dependent Loss)
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콘크리트의 크리프
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콘크리트의 건조수축
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PS강재의 이완(Relaxation)
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포스트텐션 방식에서는 이상의 여섯 가지의 프리스트레스 손실 원인을 모두 고려하지만, 프리텐션 방식에 있어서는 PS 텐던과 쉬스 사이의 마찰은 고려하지 않습니다. 프리스트레스의 즉시손실 및 시간적손실을 합한 텐던 인장력의 총 손실량은 재킹 힘(Original Jacking Force)의 15\~20%의 범위입니다. PSC 부재의 콘크리트 응력계산에서 가장 중요한 것은 즉시손실 후의 긴장력과 시간적 손실까지 끝난 후에 최종적으로 텐던에 작용하는 긴장력인 $P_{e}$ (Effective Prestress Force)입니다. $P_{i}$ 와 $P_{e}$ 의 관계를 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.
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P _ {e} = R P _ {i}
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여기서, R을 프리스트레스의 유효율(Effective Ratio)이라고 합니다. 이 유효율의 일반적인 값은 프리텐션 방식의 경우 R=0.80, 포스트텐션 방식의 경우 R=0.85입니다.
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다음은 위에서 설명한 프리스트레스 손실을 midas Civil에서 고려하는 방법에 대해서 설명한 것입니다.
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# 12-2-1 정착장치의 활동에 의한 손실
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PS 텐던의 긴장이 완료된 후 인장단을 정착시킬 때 정착장치에 따라서 약간의 정착부 이동이 발생하게 됩니다. 이로 인하여 PS 텐던의 인장단 부근에서 인장력의손실이 발생하게 되는데 이것을 정착장치의 활동에 의한 손실이라고 합니다. 이러한 손실은 포스트텐션 방식뿐 아니라 프리텐션 방식에서도 발생하는데 어떤 경우든 긴장작업시 초과긴장(Overstressing)함으로써 보정할 수 있습니다.
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일반적으로 PS 텐던과 쉬스 사이에 마찰이 있기 때문에 정착장치의 활동으로 인한 인장력의 손실은 정착장치 근처, 즉 인장단에 가까운 부위에 한정되며, 인장단에서 멀어지면 그 영향이 미치지 않게 됩니다.
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그림 2.12.1에서 정착부에서 정착장치의 활동에 의하여 영향을 받는 긴장재의 길이( setl )는 마찰손실의 함수로써 마찰손실이 크면 짧아지고 마찰손실이 작으면 길어지게 됩니다. 정착장치의 활동량을 l 이라 하고, 여기에 강재의 단면적( Ap )과탄성계수( Ep )를 곱하면 그림 2.12.1의 삼각형부분의 면적과 같게 되므로 식 (1)이성립됩니다.
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\text { 삼각형의 면적 } (0. 5 \Delta P l _ {s e t}) = A _ {p} E _ {p} \Delta l \tag {1}
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긴장재의 단위길이에 대한 마찰손실을 p 라고 하면, 인장력의 손실 P 는 그림2.12.1로부터 식 (2)와 같이 나타낼 수 있습니다.
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\Delta P = 2 p l _ {s e t} \tag {2}
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따라서, 정착부에서 정착장치의 활동의 영향을 받는 긴장재의 길이( setl )는 식(1)과(2)로부터 식 (3)과 같이 유도할 수 있습니다.
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l _ {s e t} = \sqrt {\frac {A _ {p} E _ {p} \Delta l}{p}} \tag {3}
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