김경종
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성이 수직기둥부재의 강성에 비해 무한히 클 경우, 바닥판 전체가 φ 만큼 회전하게되고 φ1 2 3 4= = = = φ φ φ φ 가 된다. 따라서 4개의 자유도를 1개의 자유도로 축약시킬수 있다.
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그림 1.10.2는 각막작용을 고려하여 절점당 6개씩의 자유도(6×4), 총 24개의 자유도를 15개의 자유도로 축약하는 과정을 나타낸 것이다.
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<details>
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<summary>flowchart</summary>
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```mermaid
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graph TD
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A["master node"] --> B["slave node"]
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B --> C["floor diaphragm"]
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C --> D["X"]
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A --> E["UxUyUzRxRyRz"]
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B --> F["UxUyUzRxRyRz"]
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C --> G["UxUyUzRxRyRz"]
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E --> H["↑ Y"]
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F --> I["↑ X"]
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G --> J["↑ X"]
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```
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</details>
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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floor diaphragm
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UzRxRy
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UzRxRy
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UzRxRy
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UzRxRy
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UzRxRy
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master node
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slave node
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Y
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X
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Z
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1
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2
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3
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4
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</details>
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UX :displacement degree of freedom in the X-direction at the corresponding node
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UY : displacement degree of freedom in the Y-direction at the corresponding node
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UZ :displacement degree of freedom in the Z-direction at the corresponding node
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RX :rotational degree of freedom about the X-axis at the corresponding node
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RY :rotational degree of freedom about the Y-axis at the corresponding node
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RZ : rotational degree of freedom about the Z-axis at the corresponding node
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그림 1.10.2 면내 무한강성을 갖는 바닥판의 자유도 축약 개념도
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그림 1.10.3은 다양한 강체연결 기능을 이용한 예를 나타낸 것이다. 그림 1.10.3의(a)는 사각튜브의 구조적 거동을 정밀해석하기 위해, 정밀검토가 필요한 부분에 대해서는 판요소로 세분화하고, 나머지 부분은 보요소로 모델링한 것이다. 두 모델 사이는 모든 자유도를 강체연결 하였다. 그림 1.10.3의 (b)는 2차원 평면상에 있는 두 개의 기둥이 편심되어 만나는 경우에, 절점에서의 편심효과를 고려하기 위해 평면강체기능을 이용한 예이다. 이와 같이 임의 평면내에 강체연결기능을 사용하고자 할 때에는 반드시 평면내의 두 개의 이동변위 성분과 수직방향에 대한 회전 변위성분에 대해 구속조건을 부여해야 한다. 마찬가지로 그림 1.10.3의 (a)와 같이 모든 방향성분에대해 강체연결을 할 경우에는 6개 자유도 전부에 대해 구속조건을 부여해야 한다.
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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rectangular tube modeled with plate elements
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Rigid Link
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rectangular tube modeled as a beam element
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master node
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Z
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Y
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X
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: slave nodes (12 nodes)
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* all 6 degrees of freedom of
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the slave nodes are linked
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to the master node.
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</details>
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(a) 한 개의 튜브를 보요소와 판요소로 부위별로 모델링하여 상호연결한 경우 (Rigid Body Connection)
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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P
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P
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Z
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Y → X
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slave node
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master node
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eccentricity
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eccentricity
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Y
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Z → X
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* all slave node's d.o.f in the X-Z plane are linked to the master node (translational displacement d.o.f in the X and Z-directions and rotational d.o.f about the Y-axis
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</details>
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(b) 두개의 기둥이 편심되어 만나는 경우 (Rigid Plane Connection)
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그림 1.10.3 강체연결요소를 사용한 예
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# Chapter 2. Embedded Reinforcements
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# 2-1 개요
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midas FEA에서는 별도의 절점을 가진 요소로 사용되지 않고, 철근(reinforcement)을 포함하는 모재요소(mother element)에 철근의 요소강성이 더해지는 내재요소(embedded element)형태로 구성된다. 철근요소를 사용하는데 있어서 유의해야 할 사항은 다음과 같다.
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■ 사용자가 철근을 정의하고 철근을 모재요소에 맞게 분할하는 과정이 필요한 경우 프로그램에서 모재요소와 철근의 교차점을 계산한다.
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▪ 철근은 별도의 자유도를 가지지 않는다.
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▪ 철근과 모재요소는 완전부착(perfectbond)된 것으로 가정한다
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▪ 철근의 변형률(strain)은 모재요소의 변위로부터 구하여진다.
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모재요소에 삽입 되는 철근에는 바(bar)와 격자(grid) 두 가지 형태가 있다. 철근을 정의하기 위한 입력정보는 위치정보, 형상정보, 물성치 등으로 구성 된다. 위치정보는 모재요소에 삽입되는 철근의 위치절점(location point) 정보로 구성된다. 그리고 철근의 형상정보를 정의하는 방법에는 두 가지가 있다. 철근절점으로 정의되는 섹션(section)을 생성하여 전처리 과정에서 모재요소의 특성에 따라 철근을 세그먼트(segment)로 분할하는 전체입력 방식이 있다. 이 때 철근섹션은 세그먼트들로 구성되게 되며 철근세그먼트는 삽입되는 모재요소의 경계를 가로지를 수 없다. 또 다른 방법은 모재요소에 맞춰 철근섹션을 모재요소에 맞추어 직접 입력하여 1개의 섹션이 1개의 세그먼트로 바로 사용되도록 하는 개별입력 방식이다. 형상정보는 철근의 형태 및 모재요소의 형태에 따라 각각 다른 정보를 필요로 하므로, 각각의 경우에 대한 자세한 설명은 해당 장에 서술하였다.
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구조물에서 철근과 모재요소는 서로 상호작용하며 미끄러짐이 일어날 수 있다. 이런 경우 서로 완전부착 가정은 부적합 할 수 있다. 이 때는 자신의 절점을 가지는 트러스요소(truss element)를 사용하고 모재요소와 트러스요소를 연계시켜주는 경계면요소(interface element)를 사용하여 트러스요소를 모재요소와 연결시켜줄 수 있다.
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# 2-2 철근의 형태
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# 2-2-1 철근바
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철근바(bar reinforcement)에는 선(line) 형상의 철근바와 점(point) 형상의 철근바가 있다. 각각의 철근바를 삽입이 가능한 모재요소의 종류 에 따라 분류하면다음과 같다.
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- 선 : 입체요소, 판요소, 평면응력요소
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- 점 : 평면변형요소, 축대칭요소
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각 요소의 철근바에 대한 자세한 설명은 해당 장에 서술하였다.
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midas FEA 에서 철근바를 정의하기 위해서는 위치정보를 사용하여 임의의 선이나 점을 정의하고, 섹션을 생성한다. 입력해야 하는 물성치는 다음과 같다.
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- 재료물성치(material property)
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- 단면적
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- 텐던물성치(tendon property)
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텐던은 프리스트레스가 가해지는 철근을 의미한다.
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그림 2.2.1 에서는 바섹션의 종류를 보이고 있다. 바섹션은 2절점 저차 바섹션과 3절점 고차 바섹션으로 정의할 수 있다. 바섹션은 철근절점에 의해 정의된다.
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<summary>text_image</summary>
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2
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1
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3
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그림 2.2.1 바섹션과 철근절점
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전처리 과정에서 바섹션은 철근이 삽입되는 모재요소에 맞게 자동적으로 철근바의 세그먼트로 분할된다. 분할된 철근바세그먼트는 삽입되는 요소 내에 존재하며, 위치절점을 사용하여 정의된다. 철근바세그먼트는 분할되기 전 바섹션이 사용하던 물성치를 동일하게 사용한다.
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모재 요소에 삽입 되는 철근바세그먼트 차수는 섹션의 차수와 동일하다. 바섹션이 2절점 저차 섹션일 경우 세그먼트도 2개의 위치절점을 사용한 저차 세그먼트로 분할 되며, 바섹션이 3절점 고차 섹션일 경우 세그먼트도 3개의 위치절점을사용한 고차 세그먼트로 분할된다. 분할된 철근바세그먼트의 형상은 후처리 과정에서 확인할 수 있다.
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전처리 과정에 의한 분할을 원하지 않고 요소에 직접 입력하고자 하는 경우 바섹션을 각각의 모재 요소에 삽입되는 형태로 사용자가 직접 입력하면 입력한 바섹션을 별도의 분할과정 없이 세그먼트로 사용한다.
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분할된 철근바세그먼트 강성은 모재요소의 강성에 더해지게 된다. 철근바세그먼트의 적분점은 기본적으로 선 형상에 대해서는 2점 적분을 사용하고 있으며,점 형상에 대해서는 1점 적분을 수행한다. 적분점의 위치는 해석과정에서 요소의등매개 좌표계(isoparametric coordinate)를 사용하여 자동적으로 계산된다. 그림 2.2.2 왼쪽 그림은 철근바의 세그먼트가 위치점을 사용하여 정의되는 것을보여주며 오른쪽 그림은 철근바의 세그먼트가 가지는 응력 성분을 보여준다. 철근바의 응력은 축방향 성분만 존재하며, 적분점에서 철근바의 변형률 xxε 와 응력 σ xx 는 적분점에서의 접선방향으로 구해진다. 적분점에서 구해진 변형률과 응력은 외삽법(extrapolation)으로 처리되어 후처리에서 위치절점에서의 결과로 출력된다.
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location point
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△
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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integration point
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segment
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segment
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</details>
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그림 2.2.2 철근바세그먼트
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# 2-1-2 격자철근
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철근격자 (grid reinforcement)에는 평면(plane) 형상의 격자와 선 형상의 격자가 있다. 평면형상의 격자는 다시 삼각형 형상과 사각형 형상의 두 종류로 나뉜다. 철근격자를 삽입 가능한 모재요소종류 별로 구분하여 보면 다음과 같다.
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- 평면 : 입체요소, 판요소, 평면응력요소
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- 선 : 평면변형요소, 축대칭요소
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모재 요소에 삽입된 철근격자에 대한 자세한 설명은 각 장에 서술하였다.
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midas FEA 에서는 철근격자의 형상을 위치정보로 정의한 후, 철근격자 섹션으로 분할한다. 격자섹션을 입력하는 과정에서 철근격자의 물성치를 격자섹션에적용하게 된다. 입력하여야 하는 철근격자의 물성치는 다음과 같다.
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- 재료물성치 (등방성(isotropic)/이방성(orthotropic))
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- 철근요소축(reinforcement axis)
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- 등가두께(equivalent thickness) (등방성/이방성)
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- 철근세부유형 (철근이나 텐던)
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철근격자섹션은 4가지 종류가 있다. 삼각형 격자섹션은 그림 2.2.3과 같이 3절
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점 혹은 6절점을 사용하여 정의되며, 사각형 격자섹션은 그림 2.2.4와 같이 4절점 혹은 8절점을 사용하여 정의된다.
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<details>
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<summary>flowchart</summary>
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```mermaid
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graph TD
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A["1"] --> B["2"]
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B --> C["3"]
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C --> D["4"]
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D --> A
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```
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</details>
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<details>
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<summary>flowchart</summary>
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```mermaid
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graph TD
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1 --> 2
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2 --> 3
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3 --> 4
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4 --> 5
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5 --> 6
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6 --> 7
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7 --> 8
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8 --> 1
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```
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</details>
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그림 2.2.3 사각형 철근격자와 철근절점
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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1
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2
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3
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</details>
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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1
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6
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3
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5
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4
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2
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</details>
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그림 2.2.4 삼각형 철근격자와 철근절점
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생성된 격자섹션은 전처리 과정에서 격자섹션이 삽입되는 모재요소를 찾고, 삽입되는 모재요소의 형상에 맞게 철근격자의 세그먼트로 분할한다. 격자섹션을세그먼트로 분할할 때 삼각형 세그먼트들로 분할한다.
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전처리 과정에 의한 분할을 원하지 않고 요소에 직접 입력하고자 하는 개별입력방식의 경우 격자섹션을 모재요소에 맞게 사용자가 직접 입력하여 별도의 분할
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과정을 거치지 않고 입력한 격자섹션을 격자세그먼트로 사용할 수 있다. 평면형상의 철근격자의 경우 전처리 과정에 의한 분할을 거치게 되면 세그먼트가 삼각형 형상을 가지게 되는데 비하여, 직접 입력하게 되면 철근격자를 사용자가원하는 형상으로 입력이 가능하다.
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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y
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x
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</details>
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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y
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x
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</details>
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element node
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location point
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integration point
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그림 2.2.5 철근격자
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철근격자의 적분은 사각평면 형상에 대해서는 4점 적분을 사용하며 삼각평면 형상에 대해서는 3절점이 사용되는 저차 삼각형 격자에는 1점 적분을 사용하며 6절점이 사용되는 고차 삼각형 격자에는 3점 적분을 사용한다. 선형상에 대해서는 2점 적분을 한다. 그림 2.2.5 왼쪽 그림은 위치절점을 사용하여 철근격자가정의되는 것을 보여준다. 철근격자에 사용되는 적분점 위치는 해석과정에서 자동적으로 계산된다.
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철근격자는 격자의 요소좌표 xˆ 축을 사용자가 정의할 수 있다. 요소좌표축 xˆ , yˆ 는서로 직교하고, 적분점에서의 변형률 ε , ε 와 응력 σ , σ 는 각각 xˆ , yˆ 방향성분이다.
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