김경종
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# 1-2-4 Von Mises 모델
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Von Mises 모델은 연성재료인 금속재료의 해석에서 가장 많이 사용되는 모델로서,정팔면체 전단응력 $\tau _ { o c t }$ 가 순수전단에서의 항복응력 $\tau _ { y }$ 에 도달했을 때 항복이 일어난다는 가정을 적용하여 다음과 같이 수식화한다.
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$$
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f \left(\tau_ {o c t}\right) = \tau_ {o c t} - \sqrt {\frac {2}{3}} \tau_ {y} = 0 \tag {1.2.28}
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$$
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일축압축의 경우를 고려하여 응력불변수를 사용하여 나타내면 다음과 같다.
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$$
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f \left(J _ {2}, \kappa\right) = \sqrt {3 J _ {2}} - \sigma_ {y} (\kappa) = 0 \tag {1.2.29}
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$$
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여기서, $\sigma _ { y } \left( \kappa \right) \in ~ \sigma _ { y } \left( \kappa \right) = \sqrt { 3 \tau _ { y } }$ 이며, 일축거동에 대한 항복응력을 나타낸다.
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가장 많이 사용되는 형태는 식 (1.2.29)이며, 응력불변량 $J _ { 2 }$ 에만 종속적인 모델로서 $J _ { 2 }$ theory라고도 불린다. Von Mises 항복면은 그림 1.2.7과 같이 주응력공간에서 정수압축에 평행한 원주형상을 나타낸다. 만약, von Mises와 Tresca 기준을압축과 신장자오선 즉, ( / 6) cr θ π = − 및 ( / 6) tr θ π = 에서 서로 일치시키면, 편차평면에서의 von Mises 곡면은 Tresca의 육각형을 외접하는 원이 된다. (그림1.2.8(a)).
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이 경우 예상되는 항복응력의 최대차는 순수전단자오선 ( 0) θ = 을 따라서 일어나며,von Mises와 Tresca 기준의 항복전단응력의 비는 $2 / \sqrt { 3 } = 1 . 1 5$ 이다. 다른 한편으로 만약 두 기준을 순수전단자오선에 일치시키면 von Mises원은 Tresca 육각형을내접하게 되며, 두 기준간의 최대 예상오차는 압축자오선 ( / 6) θ = −π 과 신장자오선$\left( \theta = \pi / 6 \right)$ 을 따라 생긴다(그림 1.1.8(b)).
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-σ₁
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hydrostatic axis
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-σ₃
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-σ₂
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그림 1.2.7 주응력공간에서의 von Mises 항복면 형상
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Von mises
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Tresca
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θ
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rc
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ri
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σ₁
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σ₂
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σ₃
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(a) π 평면에서 외접한 경우 Tresca와의 관계
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Tresca
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Von mises
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θ
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r
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σ₁
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σ₂
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σ₃
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(b) π 평면에서 내접한 경우 Tresca와의 관계
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deviatoric axis
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r_c
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θ = - π/6
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hydrostatic axis
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r_t
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θ = π/6
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(c) $\theta = - { \frac { \pi } { 6 } }$
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그림 1.2.8 π 평면과 메리디안 평면에서의 von Mises 항복면 형상
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# ■ 경화거동
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Von Mises 모델의 변형경화거동을 정의하기 위한 소성 주 변형률은 다음과 같다.
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$$
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\boldsymbol {\varepsilon} ^ {\mathrm{p}} = \lambda \mathbf {m} = \lambda \frac {1}{2 \sigma_ {e}} \left\{ \begin{array}{c c c} 2 \sigma_ {1} & - \sigma_ {2} & - \sigma_ {3} \\ - \sigma_ {1} & + 2 \sigma_ {2} & - \sigma_ {3} \\ - \sigma_ {1} & - \sigma_ {2} & + 2 \sigma_ {3} \end{array} \right\} \tag {1.2.30}
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$$
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여기서,
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$$
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\sigma_ {e} = \sqrt {\frac {1}{2} \pmb {\sigma} ^ {T} \mathbf {P} \pmb {\sigma}}
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$$
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$$
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\boldsymbol {\sigma} = \left\{ \begin{array}{l} \sigma_ {x x} \\ \sigma_ {y y} \\ \sigma_ {z z} \\ \tau_ {x y} \\ \tau_ {y z} \\ \tau_ {z x} \end{array} \right\}, \quad \mathbf {P} = \left[ \begin{array}{c c c c c c} 2 & - 1 & - 1 & 0 & 0 & 0 \\ - 1 & 2 & - 1 & 0 & 0 & 0 \\ - 1 & - 1 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 6 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 6 \end{array} \right]
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$$
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윗 식을 적절히 정리하면 다음과 같다.
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\kappa = \lambda \tag {1.2.31}
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$$
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midas FEA에서는 von Mises 모델에 대해 항복응력 σ y 에 대한 경화거동을 지원하며, 경화거동은 다중선형함수를 사용하여 정의할 수 있다.
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# 1-2-5 Mohr-Coulomb 모델
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Mohr(1900)의 기준에 의하면 재료의 항복은 다음과 같이 정의된다.
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\left| \tau \right| = F (\sigma) \tag {1.2.32}
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$$
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여기서, 임의 평면에서의 한계전단응력 τ 는 동일평면상의 수직응력 σ 에만 관계된다고 가정한다. 식 (1.2.32)는 대응하는 Mohr원의 항복면을 나타내며 항복함수F( ) σ 는 실험으로 결정되는 함수이다. Mohr의 기준에 의하면 재료의 항복은 가장큰 Mohr원이 Coulomb의 항복면에 접하는 순간 발생된다고 가정한다. 이것은 중간주응력 $\sigma _ { { } _ { 2 } } ( \sigma _ { { } _ { 1 } } \geq \sigma _ { { } _ { 2 } } \geq \sigma _ { { } _ { 3 } } )$ 가 항복조건에 영향을 미치지 않는다는 것을 의미한다.Coulomb 항복면의 가장 간단한 형상은 직선이며 이 직선 포락선의 방정식은 다음과 같다.
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$$
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\left| \tau \right| = c + \sigma \tan \phi \tag {1.2.33}
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여기서, c, φ = 재료의 강도변수
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c = \text { 점착력 }
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\phi = \text { 내부마찰각 }
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$$
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식 (1.2.33)의 항복기준을 Mohr-Coulomb 기준이라 하며, 간단하고 정확성이 높은장점 때문에 압축응력에 따라 전단강도가 달라지는 재료모델에 현재까지 널리 사용되고 있다.
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Mohr-Coulomb 식을 주응력의 항으로 나타내면, 다음과 같이 정리할 수 있다.
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$$
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\sigma_ {1} \frac {(1 + \sin \phi)}{2 c \cos \phi} - \sigma_ {3} \frac {(1 - \sin \phi)}{2 c \cos \phi} = 1 \tag {1.2.34}
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$$
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식 (1.2.34)를 1 2I J, 및 θ 의 항으로 나타내면 다음과 같다.
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$$
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f \left(I _ {1}, J _ {2}, \theta\right) = - \frac {1}{3} I _ {1} \sin \phi + \sqrt {J _ {2}} \left(\cos \theta + \frac {1}{\sqrt {3}} \sin \theta \sin \phi\right) - c \cos \phi = 0 \tag {1.2.35}
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$$
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Mohr-Coulomb 기준은 그림 1.2.9에서 보는 바와 같이 주응력공간에서 불규칙 육각형 피라미드 형상이고, 자오선은 직선이다. 그리고 π 평면 $( \sigma _ { 1 } + \sigma _ { 2 } + \sigma _ { 3 } = 0 )$ 상의편차형상은 그림 1.2.10(a)와 같이 불규칙 육각형이 된다. 불규칙 육각형을 그리기위해서는 θ = −π / 6 에서의 메리디안 평면에 대한 그림 1.2.10(b)에서와 같이 $r _ { t 0 }$ 와$r _ { c 0 }$ 의 길이가 필요하며, 이들 길이는 다음과 같다.
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$$
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r _ {t 0} = \frac {2 \sqrt {6} c \cos \phi}{3 + \sin \phi} \tag {1.2.36}
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$$
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$$
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r _ {c 0} = \frac {2 \sqrt {6} c \cos \phi}{3 - \sin \phi} \tag {1.2.37}
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$$
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식 (1.2.36)과 식 (1.2.37)로부터 $r _ { t 0 } / r _ { c 0 }$ 는 다음과 같다.
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$$
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\frac {r _ {t 0}}{r _ {c 0}} = \frac {3 - \sin \phi}{3 + \sin \phi} \tag {1.2.38}
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$$
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등압축을 따라 Mohr-Coulomb 항복면의 편차평면형상은 모두 기하학적으로 닮은꼴이기 때문에 임의의 편차평면에 대한(즉, I 또는 ξ 의 다른 값에 대한) $r _ { t } / r _ { c }$ 비는 항상 일정하게 유지된다.
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$$
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\frac {r _ {t}}{r _ {c}} = \frac {r _ {t 0}}{r _ {c 0}} = \frac {3 - \sin \phi}{3 + \sin \phi} \tag {1.2.39}
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$$
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또한 과도한 체적팽창현상을 제어할 목적으로 비상관소성흐름법칙을 적용할 수 있으며, 이를 위해 소성포텐셜함수는 내부마찰각 φ 대신 팽창각 ψ 를 사용하여 다음과 같이 정의할 수 있다.
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$$
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g \left(I _ {1}, J _ {2}, \theta\right) = - \frac {1}{3} I _ {1} \sin \psi + \sqrt {J _ {2}} \left(\cos \theta + \frac {1}{\sqrt {3}} \sin \theta \sin \psi\right) \tag {1.2.40}
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$$
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<details>
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-σ₁
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hydrostatic axis
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-σ₃
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-σ₂
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그림 1.2.9 주응력공간에서의 Mohr-Coulomb 항복면 형상
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σ₁
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θ
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r₀
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r₀
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x
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σ₂
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(a) π 평면 항복면 형상
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θ = -π/6
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r₁₀ = 2√6c cosφ/3 + sinφ
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√3c cotφ
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hydrostatic axis
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r_c0 = 2√6c cosφ/3 - sinφ
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σ₃ θ = π/6
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(b) $\theta = - { \frac { \pi } { 6 } }$
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그림 1.2.10 π 평면과 메리디안 평면에서의 Mohr-Coulomb 항복면 형상
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# ■ 경화거동
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Morh-Coulomb 모델에서 소성변형률은 다음과 같다.
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\boldsymbol {\varepsilon} ^ {\mathrm{p}} = \lambda \mathbf {m} = \lambda \left\{ \begin{array}{l} \frac {1}{2} (1 + \sin \psi) \\ 0 \\ - \frac {1}{2} (1 - \sin \psi) \end{array} \right\} \tag {1.2.41}
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$$
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위의 식 (1.2.41)을 식 (1.1.8)에 대입하면, 경화를 정의하기 위한 소성승수 λ 와 경화변수 κ 의 관계는 다음과 같이 정의된다.
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$$
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\kappa = \lambda \sqrt {\frac {1}{3} \left(1 + \sin^ {2} \psi\right)} \tag {1.2.42}
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$$
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midas FEA에서는 Mohr-Coulomb 모델에 대해 점착력 c , 내부마찰각 φ , 팽창각수 있다.
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# 1-2-6 Drucker-Prager 모델
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Drucker-Prager 모델은 Drucker와 Prager(1952)가 von Mises 모델을 수정하여확장시킨 파괴 기준으로써 실무 문제에 널리 적용되고 있으며, 확장 von Mises(extended von Mises)기준이라고도 불리운다. Drucker-Prager모델의 항복함수와소성포텐셜함수를 응력 불변량 $I _ { 1 }$ 및 $J _ { 2 }$ 의 항으로 나타내면 다음과 같다.
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$$
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f \left(I _ {1}, J _ {2}\right) = \sqrt {3 J _ {2}} - \alpha I _ {1} - \beta c = 0 \tag {1.2.43}
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$$
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$$
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g \left(I _ {1}, J _ {2}\right) = \sqrt {3 J _ {2}} - \gamma I _ {1}
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$$
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여기서, $\alpha = \frac { 2 \sin \phi } { 3 - \sin \phi } ~ , ~ \beta = \frac { 6 \cos \phi } { 3 - \sin \phi } ~ , ~ \gamma = \frac { 2 \sin \psi } { 3 - \sin \psi }$
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이때, 재료상수 α 와 k 는 응력상태를 일치시킴으로써, Mohr-Coulomb 기준의 점착력과 내부마찰각인 c 와 φ 에 관련지어 나타낼 수 있다. α 가 ‘0(zero)’이면 식(1.2.43)은 von Mises 항복기준으로 환원된다. 소성포텐셜함수 g 의 β 값을 정의하기 위해서는 팽창각 ψ 값이 추가로 필요하다.
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Drucker-Prager 항복면을 주응력공간에 나타내면 그림 1.2.11과 같다. 이 항복면은 공간대각선(정수압면 응력축, $\sigma _ { 1 } = \sigma _ { 2 } = \sigma _ { 3 }$ )을 축으로 하는 정원추형 형상을 나타낸다.
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Drucker-Prager 항복면은 콘크리트나 지반재료의 거동에 맞추어 von Mises 항복면을 정수압에 따라 변화하도록 확장한 것으로 생각할 수 있다.
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<details>
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-σ₁
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hydrostatic axis
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-σ₃
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-σ₂
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</details>
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그림 1.2.11 주응력공간에서의 Drucker-Prager 항복면 형상
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σ₁
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θ
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r
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r₀
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σ₂
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σ₃
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</details>
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(a) π 평면에서의 항복면 형상
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<summary>text_image</summary>
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θ = - π/6
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√6α
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1
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r₀ = √2βc
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hydrostatic axis
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βc/√3α
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r₀ = √2βc
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θ = π/6
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√6α
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1
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(b) 메리디안 평면에서의 항복면 형상
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그림 1.2.12 π 평면과 메리디안 평면에서의 Drucker-Prager 항복면 형상
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# ■ 경화거동
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Drucker-Prager 모델에서 소성변형률은 다음과 같다.
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$$
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\boldsymbol {\varepsilon} ^ {\mathrm{p}} = \lambda \mathbf {m} = \lambda \left(\frac {1}{2 \sigma_ {e}} \left\{ \begin{array}{l l l} 2 \sigma_ {1} & - \sigma_ {2} & - \sigma_ {3} \\ - \sigma_ {1} & + 2 \sigma_ {2} & - \sigma_ {3} \\ - \sigma_ {1} & - \sigma_ {2} & + 2 \sigma_ {3} \end{array} \right\} + \gamma \left\{ \begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right\}\right) \tag {1.2.44}
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$$
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여기서,
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$$
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\sigma_ {e} = \sqrt {\frac {1}{2} \boldsymbol {\sigma} ^ {T} \mathbf {P} \boldsymbol {\sigma}}
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$$
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$$
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\boldsymbol {\sigma} = \left\{ \begin{array}{l} \sigma_ {x x} \\ \sigma_ {y y} \\ \sigma_ {z z} \\ \tau_ {x y} \\ \tau_ {y z} \\ \tau_ {z x} \end{array} \right\}, \quad \mathbf {P} = \left[ \begin{array}{c c c c c c} 2 & - 1 & - 1 & 0 & 0 & 0 \\ - 1 & 2 & - 1 & 0 & 0 & 0 \\ - 1 & - 1 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 6 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 6 \end{array} \right]
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$$
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위의 식 (1.2.44)를 식 (1.1.8)에 대입하면, 경화를 정의하기 위한 소성승수 λ와 경화변수 κ 의 관계는 다음과 같이 정의된다.
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$$
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\kappa = \lambda \sqrt {1 + 2 \gamma^ {2}} \tag {1.2.45}
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$$
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midas FEA에서는 Drucker-Prager 모델에 대해 점착력 c , 내부마찰각 φ , 팽창각 ψ 에 대한 경화거동을 지원하며, 각 경화거동은 다중선형함수를 사용하여 정의할 수 있다.
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