김경종
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# Chapter 3. Iteration Methods
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# 3-1 개요
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선형해석에서는 변위가 미소변위이고 재료의 특성이 선형이라는 가정이 필요하다.변위가 대변위이고 재료가 비선형성을 가지게 되면 선형해석에서와 같이 한번의해석으로 해를 구할 수 없게 된다. 따라서 비선형해석에서 올바른 해를 얻기 위해반복법(iteration method)을 사용한다. 반복법에서 비선형해석의 해가 되는 변위는매 반복해석 증분변위의 누적으로 나타나게 된다.
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<summary>line</summary>
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| u | f |
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| ------- | ----- |
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| t | f_ext |
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| t+Δt | f_ext |
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| g_i | f_int,i |
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| K_{i+1} | K_{i+1} |
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| Δu_i | Δu_{i+1} |
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| δu_{i+1} | δu_{i+1} |
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| t+Δt | t+Δt |
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</details>
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그림 3.1.1 반복과정
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반복계산은 그림 3.1.1에서와 같이 진행된다. ${ } ^ { t } \mathbf { f } _ { e x t }$ 와 t t ext+∆ f 는 각각 시간 t 와 시간t t+∆ 에서의 외력을 의미한다. 시간 t 와 시간 t t+∆ 사이에서의 변위 및 변위 증분의 관계는 다음과 같이 나타낼 수 있다.
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$$
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{ } ^ { t + \Delta t } \mathbf { u } = { } ^ { t } \mathbf { u } + \Delta \mathbf { u } \tag {3.1.1}
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$$
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여기서,
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$$
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\Delta \mathbf {u} \quad : \text { 시간증분 } \Delta t \text { 사이에서 발생하는 전체변위증분 } (\text { total displacement increment })
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$$
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시간증분 ∆t 구간에서 비선형 해석을 위한 반복계산이 이루어지게 되며, 이는 다음과같이 나타낼 수 있다.
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$$
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\Delta \mathbf {u} = \sum_ {i = 1} ^ {n} \delta \mathbf {u} _ {i} \quad \text { or } \quad \Delta \mathbf {u} _ {i + 1} = \Delta \mathbf {u} _ {i} + \delta \mathbf {u} _ {i + 1} \tag {3.1.2}
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$$
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여기서,
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$$
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\begin{array}{l l} \Delta \mathbf {u} _ {i} & : i \text { 번째 까지의 누적증분변위 } \\ & \text {(cumulated incremental displacement)} \\ \delta \mathbf {u} _ {i + 1} & : i + 1 \text { 번째의 반복계산에서 발생하는 증분변위 } \\ & \text {(incremental displacement)} \end{array}
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$$
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증분변위 $\delta \mathbf { u } _ { i + 1 }$ 는 접선강성행렬(tangent stiffness matrix) $\mathbf { K } _ { i + 1 }$ 을 사용하여 다음과 같은 선형해석을 통하여 구해진다.
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$$
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\delta \mathbf {u} _ {i + 1} = \mathbf {K} _ {i + 1} ^ {- 1} \mathbf {g} _ {i} \tag {3.1.3}
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$$
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여기서,
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$$
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\mathbf {g} _ {i} \quad : i \text { 번째 단계에서의 불평형력(out - of - balance force) }
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$$
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불평형력 gi는 다음과 같이 계산된다.
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$$
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\mathbf {g} _ {i} = ^ {t + \Delta t} \mathbf {f} _ {\text { ext }} - \mathbf {f} _ {\text { int }, i} \tag {3.1.4}
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$$
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최종적인 누적증분변위(total incremental displacement)는 시간 t 에서 시간t t + ∆ 까지 증분변위 ∆u 이며, 시간 t t + ∆ 까지 모든 증분변위를 더한 값 u 가 외력 ${ { t + \Delta t } _ { } } { { \bf \Delta f } _ { e x t } }$ 이 가해졌을 때의 전체변위이다. 이 때 $\mathbf { f } _ { \mathrm { i n t } , i }$ 는 내력을 의미하며, 이는 재료의 성질에 따른 경로의 존재(path-dependent)특성을 가지고 있다. 따라서 요소의 변형률을 시간 t 로부터 누적된 변위를 사용하여 구하여야 하며, 최종적인 수렴
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상태인 t t+∆ 에 도달하였을 때 결정된 상태(status)를 저장하게 된다. 이상 일련의반복계산에서 사용자가 지정한 수렴 조건(convergence tolerance)를 통과하게 되면 반복계산을 멈춘다.
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midas FEA에서 사용 가능한 반복법으로는 초기강성법(initial stiffness method),뉴튼 랩슨법(Newton-Raphson method), 수정 뉴튼 랩슨법, 호장법(arc-lengthmethod)이 있다.
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# 3-2 초기강성법
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초기강성법은 비선형 수치해석에 있어서 다른 반복법을 사용할 경우 불안정한 경향을 보이는 해석에 대해서 사용된다. 해가 안정적으로 구해지지만, 증분구간의 크기가 뉴튼 랩슨법이나 수정 뉴튼 랩슨법보다는 상대적으로 작아서 수렴속도가 느리다. 반복법이 진행되어 가면서 접선강성이 업데이트 될 때 상태가 변하는 요소가 포함되어 있는 모델의 경우 접선강성 업데이트가 무의미해 질 수 있다.
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<details>
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<summary>line</summary>
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| u | f_ext | f_int,i | Δu_i | δu_{i+1} | Δu_{i+1} |
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|---------|-------|---------|------|----------|----------|
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| t+Δt | f_ext | f_int,i | Δu_i | δu_{i+1} | Δu_{i+1} |
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| t+Δt_t | f_ext | f_int,i | Δu_i | δu_{i+1} | Δu_{i+1} |
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</details>
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그림 3.2.1 초기강성법의 반복해석
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초기강성법에서는 그림 3.2.1과 같이 해석의 전 과정에서 초기 강성을 사용한다.따라서 최초의 해석단계에서 만들어진 강성을 수정하지 않고 사용하게 된다. 따라서 접선강성의 업데이트를 위해 수행되는 계산이 필요 없다는 장점이 있다.
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# 3-3 뉴튼 랩슨법
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뉴튼 랩슨법은 그림 3.3.1과 같이 매 반복단계마다 접선강성으로 강성이 갱신된다.따라서 수렴속도가 빠르고 적은 수의 반복을 통해서도 수렴이 가능하다.
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<details>
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<summary>line</summary>
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| u | f_ext | f_int,i | g_i |
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|---------|-------|---------|---------|
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| t_u | 0 | 0 | 0 |
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| t+Δt | 1 | 1 | 1 |
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</details>
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그림 3.3.1 뉴튼 랩슨법의 반복해석
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뉴튼 랩슨법은 해석모델이 클 경우 접선강성을 구하기 위해 많은 계산을 필요로한다. 최초의 반복단계에서 구해진 해와 최종적으로 구해진 해의 경향이 많이 다를 경우 수렴에 실패할 수도 있다. 따라서 뉴튼 랩슨법은 수렴하는데 드는 반복 회수는 적은 반면에, 각 반복 단계에서 드는 계산비용이 초기강성법이나 수정 뉴튼랩슨법보다 상대적으로 높다.
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# 3-4 수정 뉴튼 랩슨법
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수정 뉴튼 랩슨법은 뉴튼 랩슨법의 계산비용을 줄이기 위한 동기에서 도입되었다.뉴튼 랩슨법에서는 매 증분변위를 구할 때마다 새로운 접선강성과 내력을 구하는것에 반해, 수정 뉴튼 랩슨법은 접선강성을 다시 구하는 과정을 생략하고 내력만을 갱신 한다. 수정 뉴튼 랩슨법은 뉴튼 랩슨법보다 더 많은 반복단계를 거쳐야 하므로 수렴속도가 더 느리지만, 각각의 반복단계에서 걸리는 시간이 더 짧은 장점이 있다.
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<details>
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<summary>line</summary>
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| t | f |
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|-------|-------|
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| t+Δt | f_ext |
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| f_int,i | f_int,i |
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| g_i | f_int,i |
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| t+Δt | f_ext |
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| f_ext | f_int,i |
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| t+Δt | f_ext |
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| Δu_i | f_ext |
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| δu_{i+1} | f_ext |
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| Δu_{i+1} | f_ext |
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</details>
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그림 3.4.1 수정 뉴튼 랩슨법의 반복해석
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뉴튼 랩슨법을 사용하여 정상적으로 수렴하지 못하는 문제에 대해서 수정 뉴튼 랩슨법이 유용하게 사용될 수 있다. 초기강성법은 매 하중단계에서 같은 접선강성을사용하지만 수정 뉴튼 랩슨법은 매 하중단계의 최초 반복에서 업데이트한 강성을사용하게 된다.
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# 3-5 호장법
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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A
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B
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C
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</details>
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(a) 스냅스루
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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A
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B
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C
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</details>
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(b): 스냅백
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그림 3.5.1 변위-하중 곡선
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비선형 해석에서 변위-하중 곡선의 최대점 근처에서 그림 3.5.1과 같은 스냅스루(snap-through)나 스냅백(snap-back)이 발생할 경우 접선강성을 사용한 반복법으로는 국부최대 점에 도달한 다음 올바른 방향을 찾아가지 못하게 된다.
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<details>
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<summary>line</summary>
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| Load Step | f |
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| --------- | ----- |
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| Load Step1 | 1/2 |
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| Load Step2 | 1/2 |
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| Load Step3 | 1/2 |
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</details>
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그림 3.5.2 호장법의 반복해석 진행과정
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그림 3.5.2는 호장법의 진행과정을 간략하게 보여주고 있다. 3개의 하중단계(number of load step)를 진행하며 반복해석을 수행하며, 초기하중계수(initialload step)는 0.5을 사용하고 있다. 호장법에서는 하중계수와 외력을 곱한 벡터의크기의 반지름을 가지는 호와 변위-하중 곡선이 교차하는 점을 반복을 통해 찾으며 수렴조건을 만족하게 되면 수렴한 위치에서 새로운 하중계수를 산정한 다음 하중단계로 넘어가게 된다. 하중계수의 크기는 고정되어 있지 않고, 다음 하중단계에서 사용자가 입력한 적정 반복횟수(desired number of iterations)에 근접한 반복을 하도록 적절한 크기로 산정된다.
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하중 단계의 증분 단계(incremental step)내에서 평형을 이루기 위해 계산되는 반복해석 시 i 번째 반복계산에 대한 구조물의 선형대수방정식은 다음과 같이 계산된다.
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$$
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\delta \mathbf {u} _ {i + 1} = \mathbf {K} _ {i + 1} ^ {- 1} \mathbf {g} _ {i} \tag {3.5.1}
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$$
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여기서,
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$$
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\delta \mathbf {u} _ {i + 1} \quad : i + 1 \text { 번째 반복계산에서의 증분변위 }
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$$
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$$
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\mathbf {g} _ {i} \quad : i \text { 번째 반복계산에서의 불평형력 }
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$$
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불평형력 ig 은 다음과 같이 나타낼 수 있다.
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$$
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\mathbf {g} _ {i} = ^ {t + \Delta t} \mathbf {f} _ {e x t} - \mathbf {f} _ {\text { int }, i} + \delta \lambda_ {i} \mathbf {f} _ {e q} \tag {3.5.2}
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$$
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여기서,
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$$
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\mathbf {f} _ {e q} \quad : \text { 사용자 선택에 의한 단위하중(reference force) }
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$$
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$$
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\delta \lambda_ {i} \quad : \text { 하중계수증분 }
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$$
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위 식 (3.5.2)를 식 (3.5.1)에 대입하면 현재 반복계산에서의 증분변위는 다음과 같다.
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$$
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\begin{array}{l} \delta \mathbf {u} _ {i + 1} = \mathbf {K} _ {i + 1} ^ {- 1} \left(^ {t + \Delta t} \mathbf {f} _ {e x t} - \mathbf {f} _ {\text { int }, i} + \delta \lambda_ {i} \mathbf {f} _ {e q}\right) \\ = \mathbf {K} _ {i + 1} ^ {- 1} \left(^ {t + \Delta t} \mathbf {f} _ {e x t} - \mathbf {f} _ {\text { int }, i}\right) + \delta \lambda_ {i} \mathbf {K} _ {i + 1} ^ {- 1} \mathbf {f} _ {e q} \tag {3.5.3} \\ = \mathbf {u} _ {I} + \delta \lambda_ {i} \mathbf {u} _ {I I} \\ \end{array}
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$$
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하중증분과 반복계산을 수행할 때 하중과 변위의 증분량과의 관계는 다음과 같다.
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$$
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\Delta \mathbf {u} _ {i + 1} = \Delta \mathbf {u} _ {i} + \delta \mathbf {u} _ {i + 1} \tag {3.5.4}
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$$
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따라서
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$$
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\Delta \mathbf {u} _ {i + 1} = \Delta \mathbf {u} _ {i} + \mathbf {u} _ {I} + \delta \lambda_ {i} \mathbf {u} _ {I I} \tag {3.5.5}
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$$
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반복해석 시 부여되는 변위에 대한 구속조건은 다음과 같이 정의할 수 있다.
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$$
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\Delta \mathbf {u} _ {i + 1} ^ {T} \Delta \mathbf {u} _ {i + 1} = \Delta l ^ {2} \tag {3.5.6}
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$$
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위 식 (3.5.6)에 식 (3.5.5)를 대입하여 정리하면 i 번째 반복계산에서 δλi 에 대한2차방정식을 얻을 수 있다.
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$$
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a _ {1} \delta \lambda_ {i} ^ {2} + a _ {2} \delta \lambda_ {i} + a _ {3} = 0 \tag {3.5.7}
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$$
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여기서,
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$$
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\begin{array}{l} a _ {1} \quad : \quad \mathbf {u} _ {I I} ^ {T} \mathbf {u} _ {I I} \\ a _ {2} \quad : \quad 2 \mathbf {u} _ {I I} ^ {T} \left(\Delta \mathbf {u} _ {i} + \mathbf {u} _ {I}\right) \\ a _ {3} \quad : \left(\Delta \mathbf {u} _ {i} + \mathbf {u} _ {I}\right) ^ {T} \left(\Delta \mathbf {u} _ {i} + \mathbf {u} _ {I}\right) - \Delta l ^ {2} \\ \end{array}
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$$
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식 (3.5.7)은 $a _ { \scriptscriptstyle 1 } = 0$ 인 경우 $\delta \lambda _ { _ i } = - a _ { 3 } / a _ { 2 }$ 의 선형근을 가지며 $a _ { \mathrm { 1 } } \neq 0$ 인 경우 두 개의 실근, 중근 혹은 허근의 경우를 가지게 된다. 허근을 가질 경우는 초기 호길이를 반으로 줄여서 다시 해석을 수행하도록 하고 있으며, 두 개의 실근을 가질 경우는 다음의 식을 사용하여 $\Delta \pmb { u } _ { i }$ 와 $\Delta \pmb { u } _ { i + }$ +1사이의 각이 최소가 되는 해를 찾도록 하고있다.
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$$
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\cos \theta = \frac {\Delta \mathbf {u} _ {i} ^ {T} \Delta \mathbf {u} _ {i + 1}}{\Delta l ^ {2}} = \frac {\Delta \mathbf {u} _ {i} ^ {T} \left(\Delta \mathbf {u} _ {i} + \mathbf {u} _ {I}\right)}{\Delta l ^ {2}} + \delta \lambda_ {i} \frac {\Delta \mathbf {u} _ {i} ^ {T} \mathbf {u} _ {I I}}{\Delta l ^ {2}} \tag {3.5.8}
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$$
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$$
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= \frac {a _ {4} + a _ {5} \delta \lambda_ {i}}{\Delta l ^ {2}}
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$$
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여기서,
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$$
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a _ {4} \quad : \Delta \mathbf {u} _ {i} ^ {T} \mathbf {u} _ {I} + \Delta \mathbf {u} _ {i} ^ {T} \Delta \mathbf {u} _ {i}
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$$
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$$
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a _ {5} \quad : \Delta \mathbf {u} _ {i} ^ {T} \mathbf {u} _ {I I}
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$$
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식 (3.5.7)에서 두 개의 실근이 나올 경우 각각의 해를 δλi,1 , δλi,2 라고 하면
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$$
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\Delta l ^ {2} \cos \theta_ {1} = a _ {4} + a _ {5} \delta \lambda_ {i, 1} \tag {3.5.9}
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$$
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$$
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\Delta l ^ {2} \cos \theta_ {2} = a _ {4} + a _ {5} \delta \lambda_ {i, 2}
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$$
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이므로
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$$
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\left\{ \begin{array}{l} \delta \lambda_ {i} = \delta \lambda_ {i, 1} \quad \left(\Delta l ^ {2} \cos \theta_ {1} > \Delta l ^ {2} \cos \theta_ {2}\right) \\ \delta \lambda_ {i} = \delta \lambda_ {i, 1} = \delta \lambda_ {i, 2} \left(\Delta l ^ {2} \cos \theta_ {1} = \Delta l ^ {2} \cos \theta_ {2}\right) \\ \delta \lambda_ {i} = \delta \lambda_ {i, 2} \quad \left(\Delta l ^ {2} \cos \theta_ {1} < \Delta l ^ {2} \cos \theta_ {2}\right) \end{array} \right. \tag {3.5.10}
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$$
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식 (3.5.10)을 사용하여 δλi 을 구할 수 있고, 식 (3.5.5)를 이용하여 현재의 변위를구할 수 있다.
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