김경종
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# Chapter 1. Construction Stage Analysis
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# 1-1 개요
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구조물은 여러 단계의 시공과정을 거치면서 완성된다. 시공단계에서는 구조물의형상, 하중, 경계조건의 변화뿐 만 아니라, 시간에 따른 구조부재의 물리적 성질변화까지도 발생한다. 구조물의 시공과정에서 필요로 하는 임시 구조물의 설치와제거, 구조부재의 단계적인 설치 등이 구조계의 변화를 유발한다. 그리고 콘크리트의 경우에는 시간에 따른 물성의 변화를 나타낸다. 이와 같이 시공의 진행에 따라지속적으로 구조계가 변화할 경우에 실제 구조물의 거동은 시공단계를 고려하지않은 경우와 다를 수 있다. 또한 부재설계에 사용되는 최대 부재력이 시공이 완료된 시점이 아니라 시공 중간에도 발생할 수 있다.
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구조물이 완성되기까지 다양한 시공과정을 거치는 구조물의 경우에는 시공단계를고려한 시간의존해석(time-dependent analysis)을 수행하여 완성된 후의 부재력뿐 아니라 시공과정에서 발생하는 부재력을 설계에 포함하여야 한다. 콘크리트의시간의존 특성에는 탄성계수의 변화, 크리이프(creep), 건조수축(shrinkage) 등이있다. 이러한 시공단계를 고려해야 하는 경우는 신규 구조물뿐 만 아니라 기존 구조물의 보수나 보강과정에서도 발생한다.
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midas FEA의 시공단계 해석에서 고려하는 구조계의 변화는 다음과 같다.
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\- 구조 부재의 생성 및 제거
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\- 하중의 재하 및 제거
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\- 경계조건의 변화
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midas FEA의 시공단계 해석에서 고려하는 콘크리트의 시간의존 특성은 다음과같다.
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\- 시간에 따른 콘크리트 부재의 강도발현
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\- 콘크리트 부재의 크리이프 변형
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\- 콘크리트 부재의 건조수축 변형
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midas FEA에서 콘크리트의 시간의존 특성을 고려한 시공단계 해석을 위한 절차는 다음과 같다.
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1. 구조물을 모델링한다. 이때 임의의 시공단계에서 함께 생성 또는 제거할 요소,하중 및 경계조건들을 그룹으로 지정한다.
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2. 크리이프나 건조수축과 같은 시간의존적 재질 특성을 정의한다. 시간의존적 재질은 ACI209나 CEB-FIP 등과 같은 기준을 선택하여 생성하거나 사용자가 직접 정의할 수 있다.
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3. 실제 시공순서에 따른 시공단계를 구성한다.요소그룹, 경계조건그룹, 하중그룹을 이용하여 시공단계를 정의한다.
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4. 선택사항들을 지정하여 해석의 조건을 구성하고 구조해석을 수행한다.
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# 1-2 시공단계의 구성
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시공단계 모델의 구성에 필요한 것은 기본모델(base model)의 생성과 세부 시공단계(construction stage)의 구성이다.
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# 1-2-1 기본모델의 생성
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구재부재가 단계별로 생성과 제거 가능하도록 전체 구조물을 요소그룹, 경계조건그룹, 하중그룹으로 분리하여 모델링한다.
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# 1-2-2 시공단계의 구성
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각각의 시공단계를 구성하는 부분으로 요소그룹, 경계조건그룹, 하중그룹의 추가와삭제를 통하여 사용자가 원하는 시공단계를 구성한다. 시공단계는 하위의 시간구간을 추가할 수 있고, 각 구간에는 하중 그룹의 추가와 삭제가 가능하다. 구조계의변화를 유발하는 요소그룹과 경계조건그룹의 추가나 삭제는 시공단계의 첫 번째시간구간에만 입력이 가능하다. 시간의존 특성을 반영하지 않아도 되는 구조물인경우에는 시공단계에 시간을 입력할 필요는 없다. 그러나 한 개의 시공단계에 여러 개의 하중그룹을 순차적으로 재하 할 경우에는 시간구간을 입력하여야 한다.
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각 시공단계는 요소그룹, 경계조건그룹, 하중그룹의 활성화(activation)와 비활성화(deactivation) 정의에 의하여 구성된다. 각 시공단계는 이전 시공단계의 구조물에추가나 제거되는 요소, 경계조건, 하중 그룹을 누적한 구조물로 구성된다.
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각각의 시공단계별로 반영할 수 있는 내용은 다음과 같다.
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- 임의의 재령을 가지는 부재의 생성 및 제거
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- 임의의 재하시점을 가지는 하중의 재하 및 제거
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\- 경계조건의 변화
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midas FEA에서 사용하는 시공단계 구성의 개념도는 그림 1.2.1과 같다. 시공단계는 각 단계별 기간(duration)만 가지고 쉽게 정의된다. 기간이 ‘0’인 시공단계도 가능하며, 시공단계가 정의되면 기본적으로 시간구간인 first step과 last step이 생성된다. 실질적인 요소, 경계조건 및 하중의 생성과 제거는 각각의 시간구간에서이루어진다.
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<details>
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<summary>flowchart</summary>
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```mermaid
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graph TD
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A["0days"] --> B["10days"]
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B --> C["20days"]
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C --> D["30days"]
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D --> E["40days"]
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F["Element, Load, Boundary Activate & Deactivate"] --> G["Element, Load, Boundary Activate & Deactivate"]
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H["Additional Load Activate & Deactivate"] --> I["Additional Load Activate & Deactivate"]
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J["Element, Load, Boundary Activate & Deactivate"] --> K["Element, Load, Boundary Activate & Deactivate"]
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L["First Step"] --> M["Additional Step"]
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N["Last Step"] --> O["First Step"]
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P["Last Step"] --> Q["..."]
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style A fill:#f9f,stroke:#333
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style B fill:#f9f,stroke:#333
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style C fill:#f9f,stroke:#333
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style D fill:#f9f,stroke:#333
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style E fill:#f9f,stroke:#333
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style F fill:#f9f,stroke:#333
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style G fill:#f9f,stroke:#333
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style H fill:#f9f,stroke:#333
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style I fill:#f9f,stroke:#333
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style J fill:#f9f,stroke:#333
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style K fill:#f9f,stroke:#333
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```
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</details>
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그림 1.2.1 시공단계 구성의 개념
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기본적으로 요소의 생성 및 제거, 경계조건의 변화, 하중의 재하 및 제거 등의 모든 변경사항은 매 시공단계의 first step에서 이루어진다. 따라서 실제 시공중에 여러가지 원인에 의하여 구조계의 변화가 발생하면, 구조계의 변화가 발생하는 시기를 반영하는 시공단계를 생성하여야 한다. 즉 구조계의 변화가 잦을수록 시공단계의 수는 많아지게 된다.
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요소 및 경계조건 등 구조계의 변화는 매 시공단계의 first step에서만 이루어진다.그러나 하중의 변화는 해석의 편의를 위하여 시공단계 내에 추가적인 단계를 만들
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어서 하중을 재하 및 제거할 수 있다. 즉, 임의의 시공단계에서 지연시간을 가지는하중을 가할 수 있다. 이 기능을 사용하면 구조계의 변화 없이 가설재의 설치나 소거로 인한 하중의 변화를 새로운 시공단계를 만들지 않고 쉽게 고려할 수 있다.또한 크리이프와 건조수축을 고려한 시간의존해석에서 시공단계 내에 추가적인 시간구간을 많이 정의하면 보다 정확한 해석결과를 얻을 수 있다. 그러나 추가 시간구간을 너무 많이 정의하면 해석시간이 증가하여 비효율적일 수 있으므로 주의해야 한다. 특히 시공단계해석 조건에서 시간의존적 특성을 고려하지 않도록 설정하고 해석을 수행하면 추가 시간구간이 많더라도 해석결과에는 영향을 주지 않는다.
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임의의 시공단계에서 지정한 재령을 가진 요소는 생성된 후에 매 시공단계마다 지속기간 만큼의 재령을 추가로 얻게 된다. 콘크리트 부재의 재령에 따른 물리적 특성의 변화는 각 시공단계에서 누적된 재령을 기준으로 계산하여 고려한다.
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임의의 시공단계에서 요소를 생성하는 경우에는 생성되는 요소의 재령을 지정하여야 한다. 재령이 ‘0’인 요소를 생성한다는 것은 콘크리트의 타설 순간부터 모사를하는 것이다. 그러나 일반적으로 구조물을 해석할 때 거푸집 등의 가설구조물은모델에 포함시키지 않기 때문에 경화되지 않은 상태의 콘크리트를 해석한다는 것은 의도하지 않은 결과를 가져올 수 있다. 특히 재령이 ‘0’인 요소를 생성시키고시간에 따른 강도발현을 고려하여 해석을 하면, 콘크리트 타설 후 24시간까지는강도를 발현하지 못하므로 의미 없는 큰 변위가 계산될 수 있다. 일반적으로 경화되기 전의 콘크리트는 가설 구조물과 함께 하중으로 고려하고, 거푸집을 제거한후에 실질적인 요소가 생성된다고 가정하는 것이 적절하다.
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임의의 시공단계에서 생성되는 요소는 이전 시공단계에서 발생한 변위나 내부응력에 영향을 받지 않는다. 즉, 새롭게 생성되는 요소는 그 시공단계에서 구조물이 이전에 어떠한 하중을 받고 있는지에 관계없이 요소의 내부 응력이 ‘0’인 상태에서생성된다.
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임의의 시공단계에서 하중을 재하하면 이후의 시공단계에서는 재하된 하중을 소거하지 않는 한 계속해서 하중이 가해진 상태가 된다. 요소의 생성도 임의의 시공단
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계에서 필요한 모든 요소를 생성하는 것이 아니라, 그 시공단계에 필요한 요소만생성한다. 요소는 한번 생성이 되면 다시 생성할 수 없으며, 이미 생성된 요소만을제거할 수 있다.
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# 1-3 요소의 생성 및 제거
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요소의 추가 및 제거는 시공단계 구조물의 강성과 자중 및 경계조건에 영향을 준다. 여기서 자중 및 경계조건의 영향은 이어지는 장에서 설명하며, 이 장에서는 요소의 생성 및 제거에 대해서만 설명하도록 한다.
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현재 시공단계의 구조물 강성은 식 (1.3.1)과 같이 현재 시공단계에서 사용되는 요소들의 강성을 조합하여 계산한다. 전체 시공단계에 걸쳐 사용되는 모든 요소는데이타베이스로 저장되며, 현재 시공단계에 사용되는 요소정보는 전체 시공단계의요소 데이타베이스를 검색하여 초기단계부터 현재단계까지 활성화된 모든 요소를추가하고 비활성화된 모든 요소를 제거함으로써 정의한다.
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$$
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\mathbf {K} = \sum_ {i = 1} ^ {n} \mathbf {L} _ {i} ^ {T} \mathbf {k} _ {i} \mathbf {L} _ {i} \tag {1.3.1}
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$$
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여기서,
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K : 현재 시공단계의 구조물 강성
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$\mathbf { L } _ { \boldsymbol { i } }$ : 구조물 강성 내 요소 강성의 위치를 나타내는 행렬
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$\mathbf { k } _ { i }$ : 현재 시공단계에 활성화된 요소 강성
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n : 현재 시공단계에 활성화된 요소 개수
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요소 강성은 요소가 가지고 있는 모든 절점자유도 사이의 강성관계로 이산화되어계산된다. 계산된 요소강성은 식 (1.3.1)과 같이 동일한 절점자유도를 가지는 인접요소의 해당 강성에 누적함으로써 전체 구조물 강성으로 조합된다. 이때 인접 요소와의 절점자유도 관계를 나타내는 정보는 식 (1.3.1)의 행렬 $\mathbf { L } _ { i }$ 로 정의한다. 행렬 L 는 현재 시공단계에서 사용되는 절점의 절점자유도정보를 이용하여 요소 별로 정의되며, 매 시공단계마다 요소가 추가 및 제거됨으로써 새로이 갱신된다.
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현재 시공단계에서 새롭게 활성화된 요소는 내부적으로 초기응력이 0으로 초기화되며, 전 단계에서 이미 활성화된 요소의 초기응력은 전 단계에서 해석된 최종 응력값을 초기응력(initial stress)으로 사용한다.
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# 1-4 하중의 재하 및 제거와 적용
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시공단계해석은 단계별 증분형태의 해석으로 구성되며, 이러한 증분해석을 위해현재 시공단계의 증분하중이 요구된다. 현재 시공단계에서 증분하중 current ∆F 은 현재 단계의 총 하중 current F 와 이전단계의 총 하중 previous F 의 차를 통해 계산되며,다음과 같다.
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$$
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\Delta \mathbf {F} ^ {\text { current }} = \mathbf {F} ^ {\text { current }} - \mathbf {F} ^ {\text { previous }} \tag {1.4.1}
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$$
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전체 시공단계에 걸쳐 사용되는 모든 하중은 데이타베이스로 저장되며, 현재 시공단계의 총 하중 current F 은 전체 시공단계의 하중 데이타베이스를 검색하여 초기단계부터 현재단계까지 활성화된 모든 하중를 추가하고 비활성화된 모든 하중를 제거함으로써 정의한다.
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현재 시공단계의 총 하중은 다음과 같이 표면력(surface force)와 체적력(bodyforce)으로 구분할 수 있다.
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$$
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\mathbf {F} ^ {\text { current }} = \mathbf {F} _ {\text { surface }} ^ {\text { current }} + \mathbf {F} _ {\text { body }} ^ {\text { current }} \tag {1.4.2}
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$$
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이때 표면력에는 절점하중이나 분포하중등과 같이 절점과 관련된 하중이 포함되며,체적력에는 자중과 같이 요소와 관련된 하중이 포함된다. 표면력의 경우는 하중이작용되는 절점의 절점자유도 정보가 추가로 입력되기 때문에 이를 사용하여 조합하지만 체적력의 경우는 요소의 추가 및 제거와 관련되기 때문에 현재 시공단계에서 계산된 식 (1.3.1)의 행렬 Li 를 사용하여 조합한다.
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하나의 시공단계 내에서 정의되는 부증분 하중단계(incremental load step)는 식(1.4.1)에서 계산된 시공단계 증분하중 current ∆F 에 미리 정의된 현재 시공단계 내에서의 하중계수(load factor) α 를 곱하여 계산하며, 이를 임의의 하중단계 i 에 대해 수식으로 표현하면 다음과 같다.
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$$
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\mathbf {F} _ {i} ^ {\text { current }} = \mathbf {F} ^ {\text { previous }} + \alpha_ {i} ^ {\text { current }} \cdot \Delta \mathbf {F} ^ {\text { current }} \tag {1.4.3}
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$$
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임의의 하중단계 i 에서 구조물의 응답을 계산하기 위한 정해석(static analysis)의선형대수방정식(linear algebraic equation)은 다음과 같다.
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\mathbf {F} _ {i} ^ {\mathrm{ubf}} = \mathbf {K} _ {i} \mathbf {d} _ {i} \tag {1.4.4}
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$$
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이때 $\mathbf { K } _ { i } \equiv \mathbf { \rho } _ { i }$ 번째 하중단계에서의 구조물 강성이며, di 는 i 번째 하중단계에서의절점변위를 나타낸다. $\mathbf { F } _ { i } ^ { \mathrm { u b f } }$ 은 i 번째 단계에서의 불평형력(unbalance force)이라하며, 현재 하중단계의 $\hat { \textmd s }$ 하중에서 이전단계 총 내력을 뻬줌으로써 다음과 같이정의한다.
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$$
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\mathbf {F} _ {i} ^ {\mathrm{ubf}} = \mathbf {F} _ {i} ^ {\text { current }} - \mathbf {F} _ {i - 1} ^ {\text { internal }} \tag {1.4.5}
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$$
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식 (1.4.5)에서 $\mathbf { F } _ { i } ^ { \mathrm { c u r r e n t } }$ 은 식 (1.4.3)에서 이미 정의되었으며, $\mathbf { F } _ { i - 1 } ^ { \mathrm { i n t e r n a l } }$ 은 이전 하중단계에 대한 구조물의 총 내력으로써 이전 하중단계의 요소 응력을 사용하여 다음과같이 계산된다.
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$$
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\mathbf {F} _ {i - 1} ^ {\text { internal }} = \sum_ {j = 1} ^ {n} \mathbf {L} _ {j} ^ {\mathrm{T}} \mathbf {f} _ {j} = \sum_ {j = 1} ^ {n} \mathbf {L} _ {j} ^ {T} \left(\int_ {V} \mathbf {B} _ {j} ^ {\mathrm{T}} \boldsymbol {\sigma} _ {j} \mathrm{d} V\right) \tag {1.4.6}
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$$
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여기서,
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$\mathbf { f } _ { j }$ : 요소의 부재력
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$\mathbf { L } _ { j }$ : 총하중 내 요소 하중의 위치를 나타내는 행렬
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$\mathbf { B } _ { j }$ : 변위-변형률 기울기행렬
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${ \pmb { \sigma } } _ { j }$ : 요소의 응력
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$V$ : 체적
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n : 현재 시공단계에 활성화된 요소 개수
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이때 i = 1인 경우 $\mathbf { F } _ { 0 } ^ { \mathrm { i n t e m a l } }$ 은 이전 시공단계의 최종 하중단계에 대한 총 내력을 나타낸다. 또한 요소의 응력은 시공단계 내에서 각 하중단계의 계산이 끝나는 시점에업데이트된다.
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# 1-5 경계조건의 추가 및 제거
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현재 시공단계의 경계조건 정보는 요소 및 하중과 마찬가지로 모든 시공단계의 경계조건을 데이타베이스로 만들고 초기단계부터 현재단계까지 검색하여 활성화된경계조건을 추가하고 비활성화된 경계조건을 제거함으로써 정의한다. 이때 현재단계에 추가된 경계조건과 제거된 요소에 의해 어떤 요소에도 포함되지 않는 절점인 자유절점(free node)이 발생할 수 있으며, 이러한 자유절점은 활성화된 요소에포함된 절점정보를 사용하여 제거함으로써 해석에 불필요한 절점자유도를 제거하여 해석 속도를 향상시킨다.
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