김경종
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# Analysis and Algorithm Manual
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# Part 7 Contact Analysis
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# Chapter 1. Static Contac Analysis
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# Chapter 1. Static Contact Analysis
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# 1-1 개요
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접촉해석(contact analysis)은 공간상의 두 물체가 서로 맞닿을 수는 있으나, 관통할 수 없다는 가정에 따라 해석을 수행하는 것이다. 접촉의 종류에는 일반접촉(general contact) 혹은 접합접촉(weld contact) 해석 등 다양한 종류가 있을 수있으며, 이를 해석적으로 고려하기 위해서는 비선형해석을 수행하여야 한다.
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공간상에서 물체 A와 B가 서로 접촉할 가능성이 있는 경우, 물체 A를 주물체(master body), 물체 B를 종속물체(slave body)로 정의한다. 알고리즘 상에서는주물체/종속물체의 개념은 서로 뒤바뀌어도 상관없다. 그러나 수치해석에서는 주물체와 종속물체를 선택할 때에 강체, 상대적으로 밀도나 강성이 큰 물체, 또는 상대적으로 요소가 조밀하지 않는 물체를 주물체로 설정하면 더 나은 결과를 얻을수 있다. 접촉해석에서는 주물체에 접촉하는 절점을 종속절점(slave node), 주물체의 접촉면을 주접촉면(master surface)으로 지정하는 알고리즘을 주로 사용한다midas FEA에서는 접촉에 의한 비선형해석을 위하여 벌칙방법(penalty method)을사용한다. 이 기법은 접촉면과 그 면을 관통하는 절점 사이에 관통을 방지하기 위한 벌칙 스프링(penalty spring)을 사용하는 방법이다. 이 방법은 구현하기가 쉬우며, 동해석의 경우에 시간 증분에 영향을 받지 않는 장점이 있다.
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# 1-2 접촉 검색(Contact search)
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접촉해석의 과정에서 접촉이 발생할 위치를 미리 알 수 없기 때문에 접촉검색을실행하여야 한다. midas FEA는 접촉검색(contact search)을 위하여, 다음과 같은세 단계의 검색을 수행한다.
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(1) 전역검색(global search): 종속절점에 가장 가까운 주절점을 검색하는 단계이며, 해석의 효율을 위하여 버켓분류(bucket sort) 알고리즘을 사용한다.
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(2) 국부검색(local search): 주절점에 연결되어 있는 접촉면(contact surface) 중에서 종속절점과 가장 가까운 접촉면을 검색한다.
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(3) 접촉점 검색(contact search): 주접촉면 위에서 종속절점에 가장 가까운 접촉점(contact point)을 계산한다.
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# 1-2-1. 전역검색
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전역검색을 위해서는 접촉의 가능성이 있는 N 개의 절점들을 대상으로 가장 가까운 절점을 찾기 위하여, 다음 식과 같은 계산을 N −1번 실행하여야 한다.
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$$
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l ^ {2} = \left(x _ {i} - x _ {j}\right) ^ {2} + \left(y _ {i} - y _ {j}\right) ^ {2} + \left(z _ {i} - z _ {j}\right) ^ {2} \tag {1.2.1}
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$$
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따라서 N N( ) −1 번 계산을 수행해야 하기 때문에 검색이 실제 해석 시간의 대부분을 차지할 수도 있다. 따라서 midas FEA에서는 효율적인 검색을 위해 버켓분류알고리즘을 사용한다.
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버켓분류 알고리즘은 절점들을 몇 개의 그룹(bucket)으로 분류하고, 가장 가까운그룹들끼리만 거리를 계산하는 방법이다. 예를 들면 1차원 해석일 경우에는 검색하여야 하는 그룹의 개수가 자신과 좌우에 인접한 그룹을 포함해서 총 3개이다. 이와 유사한 방법으로 2차원 해석의 경우 9개의 그룹, 3차원 해석의 경우 27개의 그룹을 검색하여야 한다. 그러므로 요구되는 계산량은 각각 다음과 같다.
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$$
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N \left(\frac {3 N}{N B _ {x}} - 1\right), \quad N \left(\frac {9 N}{N B _ {x} \cdot N B _ {y}} - 1\right), \quad N \left(\frac {2 7 N}{N B _ {x} \cdot N B _ {y} \cdot N B _ {z}} - 1\right) \tag {1.2.2}
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$$
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여기서,
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$N B _ { x } , N B _ { y } , N B _ { z } \quad \mathrm { ~ : ~ x , ~ y ~ , ~ z ~ } \stackrel { \forall \dag } { \sim } \stackrel { \triangledown } { \cong } \ 7 \sharp \widehat { \mp }$
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# 1-2-2. 국부검색
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3차원해석에서 3차원 요소가 종속절점과 만나게 되는 접촉면은 2차원의 평면이 되며, 이 면이 주접촉면(master surface)으로 정의된다. 국부검색은 종속절점으로부터 가장 가까운 곳에 위치하는 주접촉면을 찾는 과정이다.
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c_{i+1}
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x_{sr}
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n_s
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S
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c_i
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x_m
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Z
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Y
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X
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그림 1.2.1 국부 검색
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국부검색을 위하여 그림 1.2.1에서와 같이 종속절점 sn 의 절점벡터 sx 와 주접촉면의 절점벡터 $\mathbf { X } _ { m }$ 는 다음과 같이 나타낼 수 있다.
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$$
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\mathbf {x} _ {s} = \left\{x _ {s} \quad y _ {s} \quad z _ {s} \right\} ^ {T} \tag {1.2.3}
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$$
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$$
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\mathbf {x} _ {m i} = \left\{x _ {m i} \quad y _ {m i} \quad z _ {m i} \right\} ^ {T} \tag {1.2.4}
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$$
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여기서, i ( ) =1,2,3,4 는 절점번호를 의미한다. 또한 주접촉면에 포함되어 있는 주절점 $n _ { { \scriptscriptstyle m } }$ 의 절점벡터는 다음과 같이 나타낼 수 있다.
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$$
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\mathbf {x} _ {m} = \left\{x _ {m} \quad y _ {m} \quad z _ {m} \right\} ^ {T} \tag {1.2.5}
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$$
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그리고 주절점 $n _ { m }$ 에서부터 종속절점 ns 까지의 벡터 $\mathbf { X } _ { s m }$ 는 다음과 같이 계산된다.
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$$
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\mathbf {X} _ {s m} = \mathbf {X} _ {s} - \mathbf {X} _ {m} \tag {1.2.6}
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$$
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주절점과 종속절점을 연결하는 벡터 $\mathbf { x } _ { \scriptscriptstyle s m }$ 을 주접촉면 위에 투영시킨 벡터 s 는 다음 과 산정할 수 있다.
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$$
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\mathbf {s} = \mathbf {x} _ {s m} - \left(\mathbf {x} _ {s m} \cdot \mathbf {m}\right) \mathbf {m} \tag {1.2.7}
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$$
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여기서,
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$\begin{array}{c} \begin{array}{c} \mathbf { c } _ { i } , \mathbf { c } _ { i + 1 } \quad \quad : \ \overset { \triangledown } \end{ \cong } \ \begin{array} { l } { \underline { { \ b { \ b { \ b { \ b { \ b { \ b { \ b { \ b { \ b { \ b { \ b { \ b { \ b { \ b { \ b { \ b { \ b { \ b { \ b { \ b } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } \end{array} \ \begin{array} { l } \underline { { { \ b { \ b { \ b { \ b { \ b { \ b { \ b { \ b { \ b { \ b { \ b { \ b { \ b { \ b { \ b { \ b { \ b } } } } } } } } } } } } } } } } } } } \end{array} \ \begin{array} { l } { \underline { { { \ b { \ b { \ b { \ b { \ b { \ b { \ b { \ b { \ b { \ b { \ b { \ b { \ b { \ b { \ b } } } } } } } } } } } } } } } } } \end{array} \begin{array} { l } { \underline { { { \ b { \ b { \ b { \ b { \ b { \ b { \ b { \ b { \ b { \ b { \ b { \ b { \ b } } } } } } } } } } } } } } } \end{array} \begin{array} { l } { \underline { { { \ b { \ b { \ b { \ b { \ b { \ b { \ b { \ b { \ b { \ b { \ b { \ b } } } } } } } } } } } } } } \end{array} \begin{array} { l } { \underline { { { \ b { \ b { \ b { \ b { \ b { \ b { \ b { \ b { \ b { \ b { \ b } } } } } } } } } } } } } \end{array} } } \end{array} } } \end{array}$
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$\begin{array} { r } { \textbf { m } \qquad : \mathbf { c } _ { i } , \mathbf { c } _ { i + 1 } \ 0 \nparallel \nleftrightarrow \pm \frac { \mathbf { \ell } _ { \mathbf { \hat { \mathbf { \phi } } } } | \bar { \mathbf { \phi } } _ { \mathbf { \phi } } \ y | } { \mathbf { c } _ { i } \times \mathbf { c } _ { i + 1 } } \ \frac { \mathbf { c } _ { i } \times \mathbf { c } _ { i + 1 } } { \left| \mathbf { c } _ { i } \times \mathbf { c } _ { i + 1 } \right| } } \end{array}$
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따라서 다음 식 (1.2.8)을 이용해서 주절점 $n _ { { } _ { m } }$ 주위의 주접촉면 중에서 가장 가까운주접촉면 is 를 찾을 수 있다.
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\begin{array}{l} \left(\mathbf {c} _ {i} \times \mathbf {s}\right) \cdot \left(\mathbf {c} _ {i} \times \mathbf {c} _ {i + 1}\right) > 0 \\ \left(\mathbf {c} _ {i} \times \mathbf {s}\right) \cdot \left(\mathbf {s} \times \mathbf {c} _ {i + 1}\right) > 0 \tag {1.2.8} \\ \end{array}
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$$
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# 1-2-3. 접촉점 검색
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midas FEA 에서는 주접촉면이 4절점으로 이루어진 등매개변수로 표현되는 것으로 가정하고, 접촉점 검색을 수행한다.
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n_s
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4
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η
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∂r/∂η
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1
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∂r/∂ξ
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3
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x_m
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Y
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ξ
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Z
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2
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X
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그림 1.2.2 접촉 점의 위치
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종속절점 $n _ { s }$ 의 절점변위 및 주접촉면 요소의 절점변위는 다음과 같이 나타낼 수있다.
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\mathbf {u} _ {s} = \left\{u _ {s} \quad v _ {s} \quad w _ {s} \right\} ^ {T} \tag {1.2.9}
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$$
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$$
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\mathbf {u} _ {m i} = \left\{u _ {m i} \quad v _ {m i} \quad w _ {m i} \right\} ^ {T} \tag {1.2.10}
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$$
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또한 주접촉면 요소 상의 임의의 점 $n _ { m }$ 에서 절점좌표는 형상함수 ( ) 1, 2,3, 4 N i i =를 이용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.
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$$
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x _ {m} = \sum_ {i = 1} ^ {4} N _ {i} x _ {m i}, y _ {m} = \sum_ {i = 1} ^ {4} N _ {i} y _ {m i}, z _ {m} = \sum_ {i = 1} ^ {4} N _ {i} z _ {m i} \tag {1.2.11}
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$$
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또한 주접촉면 요소 상의 임의의 점 $n _ { { } _ { m } }$ 에서 절점좌표는 형상함수 ( ) 1, 2,3, 4 N i i =를 이용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.
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$$
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\mathbf {X} = \left( \begin{array}{c c c c c} \mathbf {X} _ {s} & \mathbf {X} _ {m 1} & \mathbf {X} _ {m 2} & \mathbf {X} _ {m 3} & \mathbf {X} _ {m 4} \end{array} \right) \tag {1.2.12}
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$$
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$$
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\mathbf {p} = \left( \begin{array}{c c c c c} \mathbf {u} _ {s} & \mathbf {u} _ {m 1} & \mathbf {u} _ {m 2} & \mathbf {u} _ {m 3} & \mathbf {u} _ {m 4} \end{array} \right)
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$$
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절점변위를 고려한 현재상태에서 벡터 $\mathbf { X } _ { m }$ 와 $\mathbf { X } _ { s m }$ 에 대한 변분은 다음과 같다.
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$$
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\delta \mathbf {x} _ {m} = \mathbf {x} _ {m, \xi} \delta \xi + \mathbf {x} _ {m, \eta} \delta \eta + \sum_ {i = 1} ^ {4} N _ {i} \mathbf {I} \delta \mathbf {u} _ {m i} \tag {1.2.13}
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$$
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$$
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\delta \mathbf {x} _ {s m} = \delta \mathbf {x} _ {s} - \delta \mathbf {x} _ {m} = \delta \mathbf {u} _ {s} - \left(\mathbf {x} _ {m, \xi} \delta \xi + \mathbf {x} _ {m, \eta} \delta \eta + \sum N _ {i} \mathbf {I} \delta \mathbf {u} _ {i}\right) \tag {1.2.14}
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$$
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여기서,
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\mathbf {x} _ {m, \xi} \quad : \quad \sum_ {i = 1} ^ {4} N _ {i, \xi} \mathbf {x} _ {m i}
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$$
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\mathbf {x} _ {m, \eta} \quad : \quad \sum_ {i = 1} ^ {4} N _ {i, \eta} \mathbf {x} _ {m i}
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따라서 통합벡터를 이용하면 다음과 같이 나타낼 수 있다.
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\delta \mathbf {x} _ {m} = \mathbf {x} _ {m, \xi} \delta \xi + \mathbf {x} _ {m, \eta} \delta \eta + \mathbf {C} \delta \mathbf {p} \tag {1.2.15}
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$$
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\delta \mathbf {x} _ {s m} = \mathbf {F} \delta \mathbf {p} - \left(\mathbf {x} _ {m, \xi} \delta \xi + \mathbf {x} _ {m, \eta} \delta \eta\right) \tag {1.2.16}
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$$
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여기서,
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$$
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\mathbf {C} \quad : \left[ \begin{array}{c c c c c} \mathbf {0} & N _ {1} \mathbf {I} & N _ {2} \mathbf {I} & N _ {3} \mathbf {I} & N _ {4} \mathbf {I} \end{array} \right]
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$$
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$$
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\mathbf {F} \quad : \left[ \begin{array}{c c c c c} \mathbf {I} & - N _ {1} \mathbf {I} & - N _ {2} \mathbf {I} & - N _ {3} \mathbf {I} & - N _ {4} \mathbf {I} \end{array} \right]
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$$
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또한 $\delta \mathbf { x } _ { m }$ 의 ξ , η 에 대한 미분은 다음과 같다.
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\delta \mathbf {x} _ {m, \xi} = \mathbf {x} _ {m, \xi \eta} \delta \eta + \mathbf {C} _ {, \xi} \delta \mathbf {p} \tag {1.2.17}
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$$
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$$
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\delta \mathbf {x} _ {m, \eta} = \mathbf {x} _ {m, \xi \eta} \delta \xi + \mathbf {C} _ {, \eta} \delta \mathbf {p} \tag {1.2.18}
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$$
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종속절점 $n _ { s }$ 로부터 최단거리에 위치하는 주접촉면의 점인 주절점 $n _ { m }$ 의 좌표 $\mathbf { X } _ { m }$
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을 알고 있다면, smx 은 m,ξ x 및 m,η x 에 각각 수직이 된다. 따라서 이는 다음과 같이 나타낼 수 있다.
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$$
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a = \mathbf {x} _ {m, \xi} ^ {T} \mathbf {x} _ {s m} = 0 \tag {1.2.19}
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$$
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$$
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b = \mathbf {x} _ {m, \eta} ^ {T} \mathbf {x} _ {s m} = 0 \tag {1.2.20}
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$$
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접촉점을 찾기 위해서는 뉴턴 랩슨(Newton-Raphson)법에 따른 반복법을 사용할수 있다. 이를 위하여 변분을 구한다.
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$$
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\delta a = \mathbf {x} _ {m, \xi} ^ {T} \left[ \mathbf {F} \delta \mathbf {p} - \mathbf {x} _ {m, \xi} \delta \xi - \mathbf {x} _ {m, \eta} \delta \eta \right] + \mathbf {x} _ {s m} ^ {T} \left(\mathbf {x} _ {m, \xi \eta} \delta \eta + \mathbf {C} _ {, \xi} \delta \mathbf {p}\right) \tag {1.2.21}
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$$
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$$
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\delta b = \mathbf {x} _ {m, \eta} ^ {T} \left[ \mathbf {F} \delta \mathbf {p} - \mathbf {x} _ {m, \xi} \delta \xi - \mathbf {x} _ {m, \eta} \delta \eta \right] + \mathbf {x} _ {s m} ^ {T} \left(\mathbf {x} _ {m, \xi \eta} \delta \xi + \mathbf {C} _ {, \eta} \delta \mathbf {p}\right) \tag {1.2.22}
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$$
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반복계산에 의해서 새로운 좌표 (ξ,η) 를 찾기 위하여 δp 0 = 으로 가정하면, 변분의 결과는 다음과 같다.
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$$
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\delta a = \mathbf {x} _ {m, \xi} ^ {T} \left[ - \mathbf {x} _ {m, \xi} \delta \xi - \mathbf {x} _ {m, \eta} \delta \eta \right] + \mathbf {x} _ {s m} ^ {T} \left(\mathbf {x} _ {m, \xi \eta} \delta \eta\right) \tag {1.2.23}
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$$
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$$
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\delta b = \mathbf {x} _ {m, \eta} ^ {T} \left[ - \mathbf {x} _ {m, \xi} \delta \xi - \mathbf {x} _ {m, \eta} \delta \eta \right] + \mathbf {x} _ {s m} ^ {T} \left(\mathbf {x} _ {m, \xi \eta} \delta \xi\right) \tag {1.2.24}
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$$
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따라서 이를 벡터로 나타내면 다음과 같다.
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$$
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\delta \mathbf {a} = \mathbf {D} \delta \boldsymbol {\xi} \tag {1.2.25}
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$$
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여기서,
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$$
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\begin{array}{l} \delta \mathbf {a} \quad : \left\{\delta a \quad \delta b \right\} ^ {T} \\ \mathbf {D} \quad : \left\{- \mathbf {A} ^ {T} \mathbf {A} + \mathbf {x} _ {s m} ^ {T} \mathbf {x} _ {m, \xi \eta} \left[ \begin{array}{c c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right] \right\} \\ d \xi \quad : \left\{d \xi d \eta \right\} ^ {T} \\ \mathbf {A} \quad : \left[ \begin{array}{c c} \mathbf {x} _ {m, \xi} & \mathbf {x} _ {m, \eta} \end{array} \right] \\ \end{array}
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$$
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Truncated Taylor series 를 이용하여 ∆ξ 를 계산하고 (ξ,η) 를 갱신할 수 있다.
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$$
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\mathbf {a} _ {i + 1} = \mathbf {a} _ {i} + \mathbf {D} \Delta \boldsymbol {\xi} _ {i} = \mathbf {0} \tag {1.2.26}
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$$
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여기서,
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$$
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\mathbf {a} _ {i} \qquad \qquad : \quad \left\{\mathbf {X} _ {m, \xi} ^ {T} \mathbf {X} _ {s m} \quad \mathbf {X} _ {m, \eta} ^ {T} \mathbf {X} _ {s m} \right\} _ {i}
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$$
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종속절점이 주접촉면을 관통하는가를 판별하고, 관통이 발생하는 경우에는 접촉점에 접촉력(contact force)를 작용하게 한다. 이 때 적용되는 힘은 관통한 정도에비례한다. 다음 식에서 $g _ { N }$ 은 종속절점이 주접촉면을 관통하는 거리를 나타낸다.
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$$
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\mathbf {g} _ {N} = \mathbf {n} ^ {T} \mathbf {x} _ {s m} \tag {1.2.27}
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$$
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여기서,
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$$
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\mathbf {n} = \frac {\mathbf {X} _ {s m}}{\left| \mathbf {X} _ {s m} \right|} \quad : g _ {N} \text { 의 방향벡터 }
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$$
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만약 종속절점 $n _ { s }$ 가 주접촉면 ${ \cal { S } } _ { i } \equiv \equivq$ 관통했다면, 다음 식과 같은 힘을 종속절점과주접촉면 $s _ { i }$ 에 더해준다.
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$$
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\mathbf {f} _ {s} = - g _ {N} k _ {i} \mathbf {n} _ {i} \tag {1.2.28}
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$$
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여기서,
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$$
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k _ {i} = f _ {s i} \frac {K _ {i} A _ {i} ^ {2}}{V _ {i}} \quad : \text { 주접촉면 } s _ {i} \text { 의 강성 벡터 }
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$$
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$$
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K _ {i} \quad : \text { 벌크 계수(bulk modulus) }
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$$
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A _ {i} \quad : \text { 주접촉면 } s _ {i} \text { 의 면적 }
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V _ {i} \quad : \text { 부피 }
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f _ {s i} \quad : \text { 비례 계수(기본값은 } 0. 1 \text { 이다.) }
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