김경종
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ECS - z
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ECS - y
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ECS - x
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Mz, κz
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Qz, γzx
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Mx, φx
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Nxx, εxx
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1
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2
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My, κy
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Qy, γxy
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My, κy
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Mx, φx
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Qy, γxy
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그림 3.6.3 Bar 요소의 좌표계와 응력/변형률
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• 하중
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Bar 요소에 적용되는 하중은 다음과 같다.
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표 3.6.1 Bar 요소에 적용되는 하중
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<table><tr><td>하중 종류</td><td>설명</td></tr><tr><td>종력</td><td>재료의 밀도와 비구조 질량에 대해 적용</td></tr><tr><td>회전 관성력</td><td>재료의 밀도와 비구조 질량에 대해 적용</td></tr><tr><td>Bar 요소 하중</td><td>요소의 절점 사이 임의 구간에 작용하는 분포하중또는 요소의 절점 사이 임의 위치에 작용하는 집중하중</td></tr><tr><td>Bar 요소 온도 하중</td><td>축방향 변형을 유발하는 단면 평균 온도굽힘을 유발하는 단면 온도 구배</td></tr><tr><td>Bar 선행 하중</td><td>축방향 초기 부재력을 유발하는 하중 (볼트 하중)</td></tr><tr><td>초기 힘/스트레스</td><td>선행하중으로 축방향에 대한 초기 하중으로 재하재하된 초기 하중으로부터 요소의 내력이 증분됨</td></tr><tr><td>프리텐션</td><td>선행하중으로 축방향에 대한 초기 하중으로 재하재하된 초기 하중이 유지되며, 해당 요소의 축방향강성이 무시됨</td></tr></table>
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Bar 요소 하중은 그림 3.6.4와 같이 분포하중 또는 집중하중의 형태로 재하할수 있으며, ECS 또는 GCS에 대하여 방향을 설정할 수 있다. 여기서 하중 방향을GCS에 대하여 설정하는 경우에는 GCS와 ECS x축 간의 각도를 이용하여 크기를스케일링 할 수 있다.(그림 3.6.5)
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p₁
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p₂
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1
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m₁
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m₂
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2
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<summary>text_image</summary>
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P
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M
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1
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2
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그림 3.6.4 Bar 요소 하중의 적용 예
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GCS
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x
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z
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w
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w
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θ
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L
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θ
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L
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그림 3.6.5 하중 방향에 따른 bar 요소 하중의 스케일링
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• 요소 결과
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Bar 요소를 사용했을 경우에 확인할 수 있는 결과 항목은 다음과 같으며 기준좌표계는 항상 ECS이다.
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표 3.6.2 Bar 요소의 결과 항목
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<table><tr><td colspan="2">결과 항목</td><td>설명</td></tr><tr><td rowspan="6">Stress</td><td>Axial stress</td><td>위치 : A-B 단 $\sigma_{xx}$ </td></tr><tr><td>Torsional stress</td><td>위치 : A-B 단비틀림 응력 계수 $c$ 로부터 계산( $\tau = Tc / J$ )</td></tr><tr><td>Shear stress</td><td>위치 : A-B 단전단 단면적 계수와 단면적으로 부터 계산 $\tau_{xy} = Q_y / (S_{ky}A)$ , $\tau_{xz} = Q_z / (S_{xz}A)$ </td></tr><tr><td>Point stress</td><td>위치 : A-B 단사용자 지정 위치(C,D,E,F)에서 굽힘에 의한 응력 $\sigma_{xx}$ </td></tr><tr><td>Max/Min stress</td><td>위치 : A-B 단C~F 위치 중 Axial stress 와 Point stress 합의 최대/최소</td></tr><tr><td>Von-mises stress</td><td>위치 : A-B 단 $\sigma_v = \sqrt{\sigma_{xx}^2 + 3(\tau_{xy}^2 + \tau_{xz}^2 + \tau^2)}$ </td></tr><tr><td rowspan="6">Strain</td><td>Axial strain</td><td>위치 : A-B 단 $\varepsilon_{xx}$ </td></tr><tr><td>Torsional strain</td><td>위치 : A-B 단</td></tr><tr><td>Shear strain</td><td>위치 : A-B 단</td></tr><tr><td>Point strain</td><td>위치 : A-B 단사용자 지정 위치(C,D,E,F)에서 굽힘에 의한 변형률 $\varepsilon_{xx}$ </td></tr><tr><td>Max/Min strain</td><td>위치 : A-B 단C~F 위치 중 Axial strain 과 Point strain 합의 최대/최소</td></tr><tr><td>Von-mises strain</td><td>위치 : A-B 단3 개의 응력 성분을 이용하여 계산 ( $\varepsilon_v$ )</td></tr></table>
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<table><tr><td rowspan="4">Force/Moment</td><td>Axial force</td><td>위치 : A-B 단 $N_{xx}$ </td></tr><tr><td>Bending moment</td><td>위치 : A-B 단, $M_y$ , $M_z$ </td></tr><tr><td>Torque</td><td>위치 : A-B 단, $M_x$ </td></tr><tr><td>Shear force</td><td>위치 : A-B 단, $Q_y$ , $Q_z$ </td></tr><tr><td rowspan="3">Misc.</td><td>Strain energy</td><td>위치 : 요소 중심</td></tr><tr><td>Total percent energy</td><td>위치 : 요소 중심</td></tr><tr><td>Energy density</td><td>위치 : 요소 중심</td></tr></table>
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<summary>text_image</summary>
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ECS - y
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ECS - z
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ECS - x
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Mz
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Qz
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Mx
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Nxx
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B
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Mz
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Mz
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My
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Qy
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My
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Nxx
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A
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Qy
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My
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Mx
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Mz
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ECS - y
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F
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C
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E
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D
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Recovery point
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(I-section)
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ECS - z
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그림 3.6.6 Bar 요소의 결과 출력 위치와 방향
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# • 단부 해제조건(release)
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단부 해제조건은 부재의 양단이 핀접합과 같이 특정 방향의 운동에 대해 상호구속이 발생하지 않는 경우에 사용한다. 단부 해제조건은 ECS에 대해 적용되기때문에 GCS에 대한 연결 해제를 입력하고자 하는 경우에는 좌표계 상호관계를정확히 파악하여 사용해야 한다. 또한 단부 해제가 적용된 절점에는 구속되지않은 추가 자유도가 발생하므로 전체 구조물에 대한 충분한 고려가 필요하다.
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<summary>text_image</summary>
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Rotation DOF
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released
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Sliding joint
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Pin joint
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Translation DOF
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released
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</details>
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그림 3.6.7 단부 해제조건의 적용 예
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• 오프셋(offset)
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Bar 요소의 중립축이 절점과 격리되어 있는 경우 또는 연결되는 요소간의 중립축이 일치하지 않는 경우에는 오프셋을 사용할 수 있다. 오프셋은 bar 요소의절점에 설정되어 있는 NCS에 대해 적용되며, 오프셋이 요소의 축방향으로 설정된 경우에는 요소의 길이에 변화가 있는 것으로 간주한다.
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<summary>text_image</summary>
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eccentricity in
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the Y-direction
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eccentricity in
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the Z-direction
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ECS - z
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ECS - y
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ECS - x
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eccentricity in
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the X-direction
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그림 3.6.8 오프셋의 적용 예
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• 비선형 해석
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Bar 요소는 기하학적 비선형성만을 고려할 수 있으며, 비선형 또는 비탄성 재료를 사용할 수 없다. 그러므로 비선형 해석 시에 추가적인 결과 항목은 없다.
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# 3.7 Embedded Bar 요소
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Embedded Bar 요소의 형상, 좌표계, 물성치 등의 입력 변수와 요소 결과는 Bar요소의 그것과 동일하다. 또한, Bar 요소와 마찬가지로 단부 해제조건, 오프셋을적용할 수 있다. Bar 요소를 다른 요소와 함께 사용할 때에는 반드시 절점을 공유해야 하는 반면, Embedded Bar 요소는 절점을 공유하지 않아도 되기 때문에편리하게 모델링 및 해석을 할 수 있다.
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<summary>text_image</summary>
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Mother
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Element 1
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1
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2
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Mother
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Element 2
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그림 3.7.1 모체 요소 안의 Embedded Bar 요소
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Embedded Bar 요소는 그림 3.7.1과 같이 모체 요소(mother element)에 매립된형태로 사용되며, plate, membrane, axisymmetric, plane strain, solid 요소에 매립될 수 있다. Embedded Bar 요소의 모체 요소는 Embedded Bar 요소의 각 절점을 포함 하는 요소로 결정된다.
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Embedded Bar 요소의 절점의 변위는 모체요소의 내부 변위와 일치하도록 다절점 구속식(multo-point constraint)을 통해 자동 구속된다.
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• 좌표계, 자유도, 응력과 변형률, 하중, 요소 결과
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좌표계, 자유도, 응력과 변형률, 하중, 그리고 요소 결과에 대한 설명의 Bar 요소와 동일하다.
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# 3.8 Pipe 요소
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Pipe 요소는 2/3개의 절점에 의해 정의되는 1차원 선 요소로서 bar 요소와 유사한 성질을 가지지만 파이프 내압을 고려할 수 있는 특징이 있다. Pipe 요소 단면의 형상은 그림 3.8.1과 같이 실린더(cylinder) 모양으로 가정한다.
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<summary>text_image</summary>
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Outer diameter (d_out)
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Wall thickness ( t_wall )
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그림 3.8.1 Pipe 요소의 단면 정의
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• 좌표계
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Pipe 요소의 ECS는 bar 요소와 동일한 방법으로 정의하며, 유한요소 정식화는ECS를 기준으로 한다.
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• 자유도
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Pipe 요소는 ECS의 모든 축 방향으로 변위와 회전을 자유도로 가진다.
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$$
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\mathbf {u} _ {i} = \left\{u _ {i} \quad v _ {i} \quad w _ {i} \right\} ^ {T}, \quad \boldsymbol {\theta} _ {i} = \left\{\theta_ {x i} \quad \theta_ {y i} \quad \theta_ {z i} \right\} ^ {T} \tag {3.8.1}
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$$
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• 응력과 변형률
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Pipe 요소는 bar 요소와 동일하게 ECS에서 정의된 축방향 변형, 굽힘, 비틀림,전단 변형 등을 고려할 수 있다.
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$$
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\mathbf {N} = \left\{N _ {x x} \right\}, \varepsilon = \left\{\varepsilon_ {x x} \right\} \quad \text {(축방향 힘과 변형률)} \tag {3.8.2}
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$$
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$$
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\mathbf {M} = \left\{ \begin{array}{l} M _ {y} \\ M _ {z} \end{array} \right\}, \quad \mathbf {K} = \left\{ \begin{array}{l} \kappa_ {y} \\ \kappa_ {z} \end{array} \right\} \quad \text {(급힘 모멘트와 곡률)} \tag {3.8.3}
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$$
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$$
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||
\mathbf {T} = \left\{M _ {x} \right\}, \quad \boldsymbol {\varphi} = \left\{\phi_ {x} \right\} \quad (\text {비틀림 모멘트와 비틀림}) \tag {3.8.4}
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$$
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$$
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\mathbf {Q} = \left\{ \begin{array}{l} Q _ {y} \\ Q _ {z} \end{array} \right\}, \quad \boldsymbol {\gamma} = \left\{ \begin{array}{l} \gamma_ {x y} \\ \gamma_ {z x} \end{array} \right\} \quad \text {(전단력과 전단변형률)} \tag {3.8.5}
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$$
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\- 하중
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Pipe 요소에 적용되는 하중은 다음과 같다.
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표 3.8.1 Pipe 요소에 적용되는 하중
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<table><tr><td>하중 종류</td><td>설명</td></tr><tr><td>중력</td><td>재료의 밀도와 비구조 질량에 대해 적용</td></tr><tr><td>회전 관성력</td><td>재료의 밀도와 비구조 질량에 대해 적용</td></tr><tr><td>Bar 요소 하중</td><td>요소의 절점 사이 임의 구간에 작용하는 분포하중또는 요소의 절점 사이 임의 위치에 작용하는 집중하중</td></tr><tr><td>Bar 요소 온도 하중</td><td>축방향 변형을 유발하는 단면 평균 온도굽힘을 유발하는 단면 온도 구배</td></tr><tr><td>Pipe 요소 내압</td><td>Pipe 의 둘레방향 또는 길이방향 변형을 유발하는 하중</td></tr></table>
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Pipe 요소의 내압은 요소의 끝단이 막혀 있는지 여부에 따라 구조물의 변형에 미치는 효과가 달라진다. 아래의 식은 내압에 의해 발생하는 요소 둘레방향 응력을 나타낸다.
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$$
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\sigma_ {h o o p} = \frac {\int_ {0} ^ {\pi} r _ {m} P \sin \theta d \theta}{2 t _ {w a l l}} \tag {3.8.6}
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$$
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P : Pipe 요소의 내압
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$r_{m}$ : Pipe 평균 반지름 $(d_{out} - t_{wall}) / 2$
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둘레방향 응력은 프와송비에 의해 길이방향 초기응력을 발생시키며 그 크기는다음과 같다.
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$$
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\sigma_ {L} = \nu \sigma_ {\text { hoop }} \tag {3.8.7}
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$$
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Pipe 요소의 끝단이 막혀 있는 경우에는 내압에 의한 하중이 길이 방향으로추가 작용하게 된다.
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||
$$
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F _ {L} = \pi r _ {m} ^ {2} P \tag {3.8.8}
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$$
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• 요소 결과
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Pipe 요소를 사용했을 경우에 요소 결과 항목은 다음과 같으며 기준 좌표계는항상 ECS이다.
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표 3.8.2 Pipe 요소의 결과 항목
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<table><tr><td colspan="2">결과 항목</td><td>설명</td></tr><tr><td rowspan="6">Stress</td><td>Longitudinal stress</td><td>위치 : A-B 단 굽힘응력(최대굽힘 방향)과 길이방향 응력의 합 ( $\sigma_{xx}$ )</td></tr><tr><td>Torsional stress</td><td>위치 : 요소 중심 비틀림에 의한 전단응력 ( $\tau_{x\theta}$ )</td></tr><tr><td>Hoop stress</td><td>위치 : A-B 단 내압에 의한 응력 ( $\sigma_{\theta\theta}$ )</td></tr><tr><td>Max principal stress</td><td>위치 : A-B 단 3 개의 응력 성분을 이용하여 계산 ( $P_{1}$ )</td></tr><tr><td>Max shear stress</td><td>위치 : A-B 단 3 개의 응력 성분을 이용하여 계산 ( $\tau_{max}$ )</td></tr><tr><td>Von-mises stress</td><td>위치 : A-B 단 3 개의 응력 성분을 이용하여 계산 ( $\sigma_{v}$ )</td></tr></table>
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<table><tr><td rowspan="6">Strain</td><td>Longitudinal strain</td><td>위치 : A-B 단급힘변형률과 길이방향 변형률의 합 ( $\varepsilon_{xx}$ )온도구배에 의한 변형률은 반영되지 않음</td></tr><tr><td>Torsional strain</td><td>위치 : 요소 중심비틀림에 의한 전단변형률 ( $\gamma_{x\theta}$ )</td></tr><tr><td>Hoop strain</td><td>위치 : A-B 단내압에 의한 변형률 ( $\varepsilon_{\theta\theta}$ )</td></tr><tr><td>Max principal strain</td><td>위치 : A-B 단3 개의 응력 성분을 이용하여 계산 ( $E_1$ )</td></tr><tr><td>Max shear strain</td><td>위치 : A-B 단3 개의 응력 성분을 이용하여 계산 ( $\gamma_{\text{max}}$ )</td></tr><tr><td>Von-mises strain</td><td>위치 : A-B 단3 개의 응력 성분을 이용하여 계산 ( $\varepsilon_v$ )</td></tr><tr><td rowspan="4">Force/Moment</td><td>Axial force</td><td>위치 : A-B 단 $N_{xx}$ </td></tr><tr><td>Bending moment</td><td>위치 : A-B 단 $M_y$ , $M_z$ </td></tr><tr><td>Torque</td><td>위치 : A-B 단 $M_x$ </td></tr><tr><td>Shear force</td><td>위치 : A-B 단 $Q_y$ , $Q_z$ </td></tr><tr><td rowspan="3">Misc.</td><td>Strain energy</td><td>위치 : 요소 중심</td></tr><tr><td>Total percent energy</td><td>위치 : 요소 중심</td></tr><tr><td>Energy density</td><td>위치 : 요소 중심</td></tr></table>
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• 비선형 해석
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Pipe 요소는 기하학적 비선형성만을 고려할 수 있으며, 비선형 또는 비탄성재료를 사용할 수 없다. 그러므로 비선형 해석 시에 추가적인 결과 항목은 없다.
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