김경종
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서 정의된 면내 방향 변형률과 응력을 고려할 수 있다.
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$$
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\boldsymbol {\sigma} = \left\{ \begin{array}{l} \sigma_ {x x} \\ \sigma_ {y y} \\ \tau_ {x y} \end{array} \right\}, \quad \boldsymbol {\varepsilon} = \left\{ \begin{array}{l} \varepsilon_ {x x} \\ \varepsilon_ {y y} \\ \gamma_ {x y} \end{array} \right\} \quad (\text {면내방향 응력과 변형률}) \tag {3.12.2}
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$$
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σₓₓ,εₓₓ
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τₓᵧ,γₓᵧ
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σᵧᵧ,εᵧᵧ
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σₓᵧ,γₓᵧ
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ECS - y
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ECS - x
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τₓᵧ,γₓᵧ
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σₓₓ,εₓₓ
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τₓᵧ,γₓᵧ
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σᵧᵧ,εᵧᵧ
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</details>
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그림 3.12.2 Surface 요소의 응력/변형률
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# - 하중
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Surface 요소는 전체 구조 모델에 영향을 주지 않아야 하기 때문에, 하중을 재하할 수 없으며 질량 효과가 없다. 단, 온도 변화에 따른 열하중은 전체 모델에 영향을 주지 않도록 계산하지 않으나, 응력과 변형률의 올바른 계산을 위해 열 팽창을 반영한다.
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# - 요소 결과
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midas NFX의 surface 요소는 면내 방향의 응력, 변형률 등의 결과를 제공하며 두께가 정의되지 않기 때문에 합력은 존재하지 않는다. Surface 요소를 사용했을 경우에 결과 항목은 다음과 같으며 기준 좌표계는 사용자가 지정할 수 있다. 사용자가 선택할 수 있는 좌표계는 ECS, MCS 그리고 임의의 좌표계이다.
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표 3.12.1 Surface 요소의 결과 항목
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<table><tr><td colspan="2">결과 항목</td><td>설명</td></tr><tr><td rowspan="5">Stress</td><td>In-plane stress</td><td>위치: 꼭지점/요소중심 $\sigma_{xx}$ , $\sigma_{yy}$ , $\tau_{xy}$ </td></tr><tr><td>Principal stress</td><td>위치: 꼭지점/요소중심 $P_1$ , $P_2$ , 주응력 방향</td></tr><tr><td>Von-Mises stress</td><td>위치: 꼭지점/요소중심 $\sigma_v$ </td></tr><tr><td>Max shear stress</td><td>위치: 꼭지점/요소중심 $\tau_{max}$ </td></tr><tr><td>Safety factor</td><td>위치: 꼭지점/요소중심 $\sigma_v$ 또는 $P_1$ , $P_2$ 와 한계응력(limit stress)을 이용하여 계산등방성 재료에 대해서만 계산</td></tr><tr><td rowspan="4">Strain</td><td>In-plane strain</td><td>위치: 꼭지점/요소중심 $\varepsilon_{xx}$ , $\varepsilon_{yy}$ , $\gamma_{xy}$ </td></tr><tr><td>Principal strain</td><td>위치: 꼭지점/요소중심 $E_1$ , $E_2$ , 주변형률 방향</td></tr><tr><td>Von-Mises strain</td><td>위치: 꼭지점/요소중심 $\varepsilon_v$ </td></tr><tr><td>Max shear strain</td><td>위치: 꼭지점/요소중심 $\gamma_{max}$ </td></tr></table>
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• 비선형 해석
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Surface 요소는 기하학적 비선형성을 고려할 수 있으며, 탄소성 재료를 적용할수 있다. 비선형 해석에서의 결과 항목은 다음과 같다.
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표 3.12.2 Surface 요소의 비선형해석 결과 항목
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<table><tr><td colspan="2">결과 항목</td><td>설명</td></tr><tr><td rowspan="2">Stress</td><td>Equivalent stress</td><td>위치 : 적분점소성 모델에 따라 계산, $\sigma_{eq}$ </td></tr><tr><td>Plastic status</td><td>위치 : 적분점탄성/소성, 0/1</td></tr><tr><td rowspan="2">Strain</td><td>Equivalent strain</td><td>위치 : 적분점소성 모델에 따라 계산, $\varepsilon_{eq}$ </td></tr><tr><td>Effective plastic strain</td><td>위치 : 적분점 $e_{p}$ </td></tr></table>
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# 3.13 Plane Strain 요소
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Plane strain 요소는 평면 상에 위치한 3/4/6/8 개의 절점으로 이루어지는 삼각형 또는 사각형 요소이다. 주로 댐(dam) 또는 터널(tunnel) 등과 같이 일정한 단면을 유지하면서 길이가 긴 구조물의 해석에 사용된다. 요소의 두께방향 응력이존재하기 때문에 엄밀한 의미에서 2차원 응력상태가 아니다. Plane strain 요소는3차원 공간 상에 모델링 할 수 있으나, 요소의 성질에 근거하여 GCS 상의 특정좌표 평면(x-y, x-z, y-z) 에 놓이도록 하는 것이 일반적이다.
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# • 좌표계
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Plane strain 요소의 ECS는 membrane 요소와 동일한 방법으로 정의하며, 유한요소 정식화는 ECS에 대해 수행한다.
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Plane strain 요소에서 직교이방성 재료를 사용하려면 재료의 주축을 적절한 방향으로 향하게 해야 한다. 재료의 방향(MCS)을 정의하는 방법은 membrane 요소와 동일하며, 횡방향 재료 성질( $E _ { 3 3 } , \nu _ { 2 3 } , \nu _ { 3 1 }$ )을 입력해야 타당한 응력과 변형률결과를 얻을 수 있다.
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# • 자유도
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Plane strain 요소는 ECS의 x축과 y축 방향 변위를 자유도로 가진다.
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\mathbf {u} _ {i} = \left\{u _ {i} \quad v _ {i} \right\} ^ {T} \tag {3.13.1}
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$$
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연계 보간법에 의해 요소에 수직한 방향의 회전을 고려하는 옵션을 사용하는 경우에는 다음의 추가 자유도를 가진다.
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\boldsymbol {\theta} _ {i} = \left\{\theta_ {z i} \right\} \tag {3.13.2}
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$$
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# • 응력과 변형률
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Plane strain 요소는 2차원 응력 상태와 횡방향 수직응력을 표현하지만 유한요소정식화에는 2차원 응력만을 사용하므로, ECS에서 정의된 면내 방향 변형률과 합력(resultant force)을 반영한다.
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$$
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\mathbf {N} = \left\{ \begin{array}{l} N _ {x x} \\ N _ {y y} \\ N _ {x y} \end{array} \right\}, \quad \boldsymbol {\varepsilon} = \left\{ \begin{array}{l} \varepsilon_ {x x} \\ \varepsilon_ {y y} \\ \gamma_ {x y} \end{array} \right\} \quad (\text {면내방향 합력과 변형률}) \tag {3.13.3}
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$$
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• 하중
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Plane strain 요소에 적용되는 하중은 다음과 같다.
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표 3.13.1 Plane strain 요소에 적용되는 하중
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<table><tr><td>하중 종류</td><td>설명</td></tr><tr><td>중력</td><td>재료의 밀도와 비구조 질량에 대해 적용</td></tr><tr><td>회전 관성력</td><td>재료의 밀도와 비구조 질량에 대해 적용</td></tr><tr><td>압력 하중</td><td>요소면에 작용하는 분포하중또는 요소의 변에 작용하는 분포하중</td></tr><tr><td>요소 온도 하중</td><td>면내방향 변형을 유발하는 요소 온도</td></tr></table>
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Plane strain 요소에 온도 하중이 가해진 경우 평면 변형 상태에 의해 두께방향열팽창이 억제되므로, 프와송 효과에 의한 면내 방향 변형이 더욱 커지게 된다.
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• 요소 결과
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midas NFX의 plane strain 요소는 shell 요소와 동일한 결과 출력물을 제공한다.Shell 요소는 요소의 두께 방향으로 두 곳(상/하단)에서 요소결과를 제공하지만,엄밀한 의미에서 plane strain 요소는 두께 방향으로 응력과 변형률이 일정하기때문에 상단과 하단의 결과는 항상 같다.
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• 요소 두께
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Plane strain 요소는 두께가 일정해야 평면 변형 조건을 만족할 수 있다. midasNFX에서는 plane strain 요소의 두께를 직접 입력할 수 있으며, 입력하지 않은경우에는 1로 가정한다.
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• 요소 기법의 선택
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midas NFX에서 사용할 수 있는 plane strain 요소의 종류는 membrane 요소와
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같으며 각각의 특징 또한 동일하다.
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• 비선형 해석
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Plane strain 요소는 기하학적 비선형성을 고려할 수 있으며, 탄소성 재료를 적용할 수 있다. 비선형 해석에서의 결과 항목은 shell 요소와 같다.
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# 3.14 Axisymmetric solid 요소
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Axisymmetric solid 요소는 형상, 재질, 하중 조건 등이 임의의 축에 대해 회전대칭 조건을 만족하는 구조물의 해석에 사용한다. Axisymmetric solid 요소는 다른종류의 요소들과 혼용할 수 없고 GCS 를 기준으로 x-z 평면에 모델링 해야 하며, 3/4/6/8 절점의 삼각형과 사각형 형상이 있다.
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• 좌표계
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ECS의 설정은 membrane 요소와 동일한 방법을 적용하며, 유한요소 정식화는GCS에 대해 수행한다.
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Axisymmetric solid 요소에 직교이방성 재료를 사용하려면 재료의 주축을 적절한방향으로 향하게 해야 한다. 이와 같은 경우 MCS를 사용하게 되는데, midasNFX의 axisymmetric solid 요소는 크게 두 가지 방법으로 재료의 방향을 결정할수 있다. 첫 번째로 그림 3.14.1 과 같이 GCS의 x축으로부터 회전각을 이용할수 있다.
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GCS - z
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MCS - y
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1
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GCS - x
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θ
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1
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2
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3
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4
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MCS - x
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그림 3.14.1 각도를 이용한 axisymmetric solid 요소의 재료축 정의
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두 번째 방법은 임의의 좌표계를 이용하는 방법인데, 이 경우에는 membrane요소와 같이 x축을 요소면에 투영하여 그 방향을 재료의 주축으로 가정한다. 좌표계의 x축을 요소면에 투영하는 방법은 요소 결과를 확인하기 위해 ERCS를 설정하는 데 있어서도 동일하게 적용된다.
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\- 자유도
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Axisymmetric solid 요소는 GCS의 x축(즉, 반경 방향)과 z축 방향 변위를 자유도로 가진다.
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\mathbf {u} _ {i} = \left\{u _ {i} \quad w _ {i} \right\} ^ {T} \tag {3.14.1}
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\- 응력과 변형률
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Axisymmetric solid 는 GCS에서 정의된 변형률과 응력을 고려하며 그 성분은 다음과 같다.
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\boldsymbol {\sigma} = \left\{ \begin{array}{l} \sigma_ {x x} \\ \sigma_ {\theta \theta} \\ \sigma_ {z z} \\ \tau_ {z x} \end{array} \right\}, \quad \boldsymbol {\varepsilon} = \left\{ \begin{array}{l} \varepsilon_ {x x} \\ \varepsilon_ {\theta \theta} \\ \varepsilon_ {z z} \\ \gamma_ {z x} \end{array} \right\} \quad (\text {면내방향 / 원주방향 응력과 변형률}) \tag {3.14.2}
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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GCS - z
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1
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2
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3
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4
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σ_zz, ε_zz
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τ_zx, γ_zx
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σ_xx, ε_xx
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τ_zx, γ_zx
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σ_xx, ε_xx
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σ_zz, ε_zz
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σ_θθ, ε_θθ
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GCS - x
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</details>
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그림 3.14.2 Axisymmetric solid 요소의 응력/변형률
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\- 하중
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Axisymmetric solid 요소에 적용되는 하중은 다음과 같다.
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표 3.14.1 Axisymmetric solid 요소에 적용되는 하중
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<table><tr><td>하중 종류</td><td>설명</td></tr><tr><td>중력</td><td>재료의 밀도에 대해 적용</td></tr><tr><td>회전 관성력</td><td>재료의 밀도에 대해 적용</td></tr><tr><td>압력 하중</td><td>요소의 변에 작용하는 분포하중(축대칭을 고려하면 구조물의 바깥 면에 작용하는 하중이다.)</td></tr></table>
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# • 요소 결과
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midas NFX의 axisymmetric solid 요소의 결과는 사용자가 지정한 기준 좌표계에대한 값으로 출력된다. 사용자가 선택할 수 있는 좌표계는 ECS, MCS 그리고 임의의 좌표계이다. 요소 결과 성분의 방향은 요소 면내 방향을 $x , y$ 로 하고 원주방향을 로 한다.
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표 3.14.2 Axisymmetric solid 요소의 결과 항목
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<table><tr><td colspan="2">결과 항목</td><td>설명</td></tr><tr><td rowspan="5">Stress</td><td>Stress component</td><td>위치 : 꼭지점/요소중심 $\sigma_{xx}$ , $\sigma_{yy}$ , $\sigma_{\theta\theta}$ , $\tau_{xy}$ </td></tr><tr><td>Principal stress</td><td>위치 : 꼭지점/요소중심 $P_{1}$ , $P_{2}$ </td></tr><tr><td>Von-Mises stress</td><td>위치 : 꼭지점/요소중심 $\sigma_{v}$ </td></tr><tr><td>Max shear stress</td><td>위치 : 꼭지점/요소중심 $\tau_{\text{max}}$ </td></tr><tr><td>Safety factor</td><td>위치 : 꼭지점/요소중심 $\sigma_{v}$ 또는 $P_{1}$ , $P_{2}$ , $\sigma_{\theta\theta}$ 와 한계응력(limit stress)을 이용하여 계산등방성 재료에 대해서만 계산</td></tr><tr><td>Strain</td><td>Strain component</td><td>위치 : 꼭지점/요소중심 $\varepsilon_{xx}$ , $\varepsilon_{yy}$ , $\varepsilon_{\theta\theta}$ , $\gamma_{xy}$ </td></tr></table>
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<table><tr><td rowspan="3"></td><td>Principal strain</td><td>위치 : 꼭지점/요소중심 $E_1$ , $E_2$ </td></tr><tr><td>Von-Mises strain</td><td>위치 : 꼭지점/요소중심 $\varepsilon_v$ </td></tr><tr><td>Max shear strain</td><td>위치 : 꼭지점/요소중심 $\gamma_{\text{max}}$ </td></tr></table>
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• 요소 기법의 선택
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midas NFX에서 사용할 수 있는 axisymmetric solid 요소는 요소의 성능향상 기법에 따라 여러 가지 종류가 있다. 다음은 각각에 대해 midas NFX에서 통칭하는 명칭과 관련 유한요소 기법 그리고 적분 방법 등을 정리한 것이며, 진하게표시된 것이 기본값이다.
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표 3.14.3 Axisymmetric solid 요소에 사용된 성능향상 기법
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<table><tr><td>형상</td><td>절점수</td><td>명칭</td><td>요소기법</td><td>강성행렬수치적분</td><td>집중질량계산방법</td></tr><tr><td>삼각형</td><td>3</td><td></td><td>변위가정법</td><td>3 점</td><td>Lobatto</td></tr><tr><td rowspan="2">사각형</td><td rowspan="2">4</td><td>Full integration</td><td>변위가정법</td><td>2X2 점</td><td>Lobatto</td></tr><tr><td>Hybrid</td><td>혼합법</td><td>2X2 점</td><td>Lobatto</td></tr><tr><td>삼각형</td><td>6</td><td></td><td>변위가정법</td><td>3 점</td><td>대각항 스케일링</td></tr><tr><td>사각형</td><td>8</td><td></td><td>변위가정법</td><td>3X3 점</td><td>대각항 스케일링</td></tr></table>
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• 비선형 해석
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Axisymmetric solid 요소는 기하학적 비선형성을 고려할 수 있으며, 탄소성 재료를 적용할 수 있다. 비선형 해석에서의 결과 항목은 다음과 같다.
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