김경종
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\varepsilon (z) = \varepsilon_ {o} + z \mathbf {k} \tag {4.7.1}
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\pmb {\sigma} ^ {(i)} (z) = \mathbf {C} ^ {(i)} \left(\pmb {\varepsilon} _ {o} + z \pmb {\kappa}\right)
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$\varepsilon_{0}, \kappa$ : 면내 변형률과 굽힘
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$\mathbf{C}^{(i)}$ : i 번째 층의 탄성 강성
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면내 합력과 굽힘 모멘트는 두께방향 적분을 통하여 계산된다.
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\mathbf {N} = \left\{ \begin{array}{l} N _ {x x} \\ N _ {y y} \\ N _ {x y} \end{array} \right\} = \int_ {- h / 2} ^ {h / 2} \boldsymbol {\sigma} ^ {(i)} (z) d z = \int_ {- h / 2} ^ {h / 2} \mathbf {C} ^ {(i)} \left(\boldsymbol {\varepsilon} _ {o} + z \boldsymbol {\kappa}\right) d z \tag {4.7.2}
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\mathbf {M} = \left\{ \begin{array}{l} M _ {x x} \\ M _ {y y} \\ M _ {x y} \end{array} \right\} = \int_ {- h / 2} ^ {h / 2} z \boldsymbol {\sigma} ^ {(i)} (z) d z = \int_ {- h / 2} ^ {h / 2} z \mathbf {C} ^ {(i)} \left(\boldsymbol {\varepsilon} _ {o} + z \mathbf {k}\right) d z
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이를 행렬 형식으로 표현하면 다음과 같다.
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\left\{ \begin{array}{l} \mathbf {N} \\ \mathbf {M} \end{array} \right\} = \left[ \begin{array}{l l} \int_ {- h / 2} ^ {h / 2} \mathbf {C} ^ {(i)} d z & \int_ {- h / 2} ^ {h / 2} z \mathbf {C} ^ {(i)} d z \\ \int_ {- h / 2} ^ {h / 2} z \mathbf {C} ^ {(i)} d z & \int_ {- h / 2} ^ {h / 2} z ^ {2} \mathbf {C} ^ {(i)} d z \end{array} \right] \left\{ \begin{array}{l} \boldsymbol {\varepsilon} _ {\mathbf {0}} \\ \boldsymbol {\kappa} \end{array} \right\} = \left[ \begin{array}{l l} \mathbf {A} & \mathbf {B} \\ \mathbf {B} & \mathbf {D} \end{array} \right] \left\{ \begin{array}{l} \boldsymbol {\varepsilon} _ {\mathbf {0}} \\ \boldsymbol {\kappa} \end{array} \right\} \tag {4.7.3}
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여기서 A, B, D 행렬은 각각 적층판의 면내강성, 굽힘강성, 그리고 면내/굽힘 연계 강성 (coupling stiffness)를 의미하며, layered shell 요소의 강성 평가를 위한 기본 정보가 된다.
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횡방향 전단 강성의 경우에는 1차 전단변형 이론(first-order shear deformation theory)을 근거로 횡방향 전단변형률이 두께 방향으로 일정하다는 가정하게 계산할 수 있다.
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\left\{ \begin{array}{l} Q _ {x} \\ Q _ {y} \end{array} \right\} = \left\{ \begin{array}{l} \int_ {- h / 2} ^ {h / 2} \sigma_ {x z} d z \\ \int_ {- h / 2} ^ {h / 2} \sigma_ {x y} d z \end{array} \right\} = \mathbf {G} \left\{ \begin{array}{l} \gamma_ {z x} \\ \gamma_ {y z} \end{array} \right\} \tag {4.7.4}
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사용환경에 의한 온도 요인을 고려할 경우, 구성방정식은 다음과 같이 평균적인 열팽창 계수를 포함하게 된다.
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\left\{ \begin{array}{l} \mathbf {N} \\ \mathbf {M} \end{array} \right\} = \left[ \begin{array}{l l} \mathbf {A} & \mathbf {B} \\ \mathbf {B} & \mathbf {D} \end{array} \right] \left\{ \begin{array}{l} \boldsymbol {\varepsilon} _ {\mathbf {0}} \\ \boldsymbol {\kappa} \end{array} \right\} - \left[ \begin{array}{l l} \int_ {- h / 2} ^ {h / 2} \mathbf {C} ^ {(i)} \boldsymbol {\alpha} ^ {(i)} d z & \int_ {- h / 2} ^ {h / 2} z \mathbf {C} ^ {(i)} \boldsymbol {\alpha} ^ {(i)} d z \\ \int_ {- h / 2} ^ {h / 2} z \mathbf {C} ^ {(i)} \boldsymbol {\alpha} ^ {(i)} d z & \int_ {- h / 2} ^ {h / 2} z ^ {2} \mathbf {C} ^ {(i)} \boldsymbol {\alpha} ^ {(i)} d z \end{array} \right] \left\{ \begin{array}{l} \Delta T _ {0} \\ \Delta T _ {1} \end{array} \right\} \tag {4.7.5}
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$\Delta T_{0}$ : 평균 온도변화
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$\Delta T_{1}$ : 두께방향 온도구배
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# 4.8 복합재료 파손이론
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복합재료 적층판 강도해석의 핵심은 적층판의 파손이론(failure criteria)에 있으며, 이를 근거로 주어진 응력 또는 변형률 상태에 대해 적층판의 안전여부를 판단한다. 현재 여러 가지 파손이론이 존재하며, 일반적으로 다양한 적층판, 즉 다양한 구성재료와 적층각에 대해 모두 정확한 파손을 예측할 수 있는 파손식은 없는 것으로 알려져 있다. 따라서 파손이론을 선택하는데 있어서, 재료의 특성, 파손이론이 필요로 하는 실험치(강도 데이터 및 파라미터)의 존재여부, 등 다양한 측면을 고려해야 한다.
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midas NFX 에서 제공하는 파손이론으로는 파손의 계산에 있어서 응력 또는 변형률 성분간의 연관성이 없는 최대응력 파손이론(maximum stress failure criteria)과 최대 변형률 파손이론(maximum strain failure criteria), 연계 항이 존재하는 Tsai-Hill, Tsai-Wu, Hoffman 파손이론 그리고NASA LaRC02 파손이론이 있다. 이중 LaRC02 파손이론의 경우에는 파손 모드의 정보를 제공한다는 장점을 갖는다.
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\- 모드 사이의 연계가 없는(non-interactive) 파손이론 : 최대 응력(maximum stress), 최대 변형률 (maximum strain)
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표 4.8.1 Non-interactive 파손이론
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<table><tr><td>파손이론</td><td>주축방향</td><td>횡방향</td><td>전단방향</td></tr><tr><td>Max stress</td><td> $-X' < \sigma_x < X$ </td><td> $-Y' < \sigma_y < Y$ </td><td> $-S < \sigma_s < S$ </td></tr><tr><td>Max strain</td><td> $-E_x' < \varepsilon_x < E_x$ </td><td> $-E_y' < \varepsilon_y < E_y$ </td><td> $-E_s < \varepsilon_s < E_s$ </td></tr></table>
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\- 등방성 von-Mises 파손이론을 이방성 재료로 확장한 2차 파손이론(quadratic failure criterion) : Tsai-Hill, Hoffman, Tsai-Wu
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F I = \frac {\sigma_ {x} ^ {2}}{X X ^ {\prime}} + 2 F _ {x y} \sigma_ {x} \sigma_ {y} + \frac {\sigma_ {y} ^ {2}}{Y Y ^ {\prime}} + \frac {\sigma_ {s} ^ {2}}{S ^ {2}} + \left(\frac {1}{X} - \frac {1}{X ^ {\prime}}\right) \sigma_ {x} + \left(\frac {1}{Y} - \frac {1}{Y ^ {\prime}}\right) \sigma_ {y} \tag {4.8.1}
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표 4.8.2 2 차 파손이론
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<table><tr><td>파손이론</td><td>단축 강도</td><td>Fxy</td><td>Fxy* (all materials)</td></tr><tr><td>Tsai-Hill</td><td> $X = X', Y = Y'$ </td><td> $-\frac{1}{2X^{2}}$ </td><td> $-0.014 \leq -\frac{Y}{2X} \leq -0.008$ </td></tr><tr><td>Hoffman</td><td> $X \neq X', Y \neq Y'$ </td><td> $-\frac{1}{2X X'}$ </td><td> $-0.041 \leq -\frac{1}{2} \sqrt{\frac{YY'}{XX'}} \leq -0.022$ </td></tr><tr><td>Tsai-Wu</td><td> $X \neq X', Y \neq Y'$ </td><td> $\frac{F_{xy}^{*}}{\sqrt{XX'YY'}}$ </td><td> $-1 \leq F_{xy}^{*} \leq 1$ </td></tr></table>
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# - LaRC02 파손이론
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Hashin 파손이론을 기반으로 미국 NASA Langley 연구소에서 개발된 LaRC02 파손이론은 가정된 파손면을 기반으로 한다. LaRC02의 특징으로는 섬유복합재료 각 층의 파손여부 정보뿐만 아니라 복합재를 구성하는 섬유(fiber)와 기지 (matrix)의 파손여부까지 제공한다는 점이다. 복합재료 구성원의 파손여부는 다음의 판단식을 기준으로 한다.
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표 4.8.3 LaRC02 파손 판단식
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<table><tr><td rowspan="3">Matrix cracking</td><td>Matrix tension $\sigma_{22} \geq 0$ </td><td colspan="2">Matrix compression, $\sigma_{22} < 0$ </td></tr><tr><td rowspan="2"> $FI_M = \left( \frac{\sigma_{22}}{Y} \right)^2 + \left( \frac{\tau_{12}}{S^L} \right)^2$ </td><td> $\sigma_{11} < Y'$ </td><td> $\sigma_{11} \geq Y'$ </td></tr><tr><td> $FI_M = \left( \frac{\tau_{eff}^{mT}}{S^T} \right)^2 + \left( \frac{\tau_{eff}^{mL}}{S^L} \right)^2$ </td><td> $FI_M = \left( \frac{\tau_{eff}^T}{S^T} \right)^2 + \left( \frac{\tau_{eff}^L}{S^L} \right)^2$ </td></tr><tr><td rowspan="3">Fiber failure</td><td>Fiber tension $\sigma_{11} \geq 0$ </td><td colspan="2">Fiber compression, $\sigma_{11} < 0$ </td></tr><tr><td rowspan="2"> $FI_F = \frac{\varepsilon_{11}}{\varepsilon_1^T}$ </td><td> $\sigma_{22}^{m} < 0$ </td><td> $\sigma_{22}^{m} \geq 0$ </td></tr><tr><td> $FI_F = \left\langle \frac{\left| \tau_{12}^{m} \right| + \eta^L \sigma_{22}^{m}}{S^L} \right\rangle$ </td><td> $FI_F = \left( \frac{\sigma_{22}^{m}}{Y} \right)^2 + \left( \frac{\tau_{12}^{m}}{S^L} \right)^2$ </td></tr></table>
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위 표에서 유효응력과 횡방향 전단 강도는 각각 다음과 같이 표현된다.
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\left\{ \begin{array}{l} \tau_ {e f f} ^ {T} = \left\langle - \sigma_ {2 2} \cos \alpha \left(\sin \alpha - \eta^ {T} \cos \alpha\right) \right\rangle \\ \tau_ {e f f} ^ {L} = \left\langle \cos \alpha \left(\left| \tau_ {1 2} \right| + \eta^ {L} \sigma_ {2 2} \cos \alpha\right) \right\rangle \end{array} \right. \tag {4.8.2}
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S ^ {T} = Y ^ {\prime} \cos \alpha_ {0} \left(\sin \alpha_ {0} + \frac {\cos \alpha_ {0}}{\tan 2 \alpha_ {0}}\right) \tag {4.8.3}
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$\alpha_{0}$ 는 기지방향 단축 압축 하중 하에서 파손면의 각도이며 일반적으로 53°가 사용된다. $\alpha$ 는 파손 지수가 최대가 되도록 결정되며 $\eta^{T}, \eta^{L}$ 는 다음과 같다.
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\eta^ {T} = - 1 / \tan 2 \alpha_ {0}, \eta^ {T} = \left. ^ {- S ^ {L} \cos 2 \alpha_ {0}} \right/ _ {Y ^ {\prime} \cos^ {2} \alpha_ {0}} \tag {4.8.4}
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또한 파손면에서의 응력은 다음과 같다.
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\sigma_ {1 1} ^ {m} = \cos^ {2} \varphi \sigma_ {1 1} + \sin^ {2} \varphi \sigma_ {2 2} + 2 \sin \varphi \cos \varphi \tau_ {1 2}
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\sigma_ {2 2} ^ {m} = \sin^ {2} \varphi \sigma_ {1 1} + \cos^ {2} \varphi \sigma_ {2 2} - 2 \sin \varphi \cos \varphi \tau_ {1 2} \tag {4.8.5}
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\tau_ {1 2} ^ {m} = - \sin \varphi \cos \varphi \sigma_ {1 1} + \sin \varphi \cos \varphi \sigma_ {2 2} + (\cos^ {2} \varphi - \sin^ {2} \varphi) \tau_ {1 2}
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\varphi = \frac {\tau_ {1 2} + (G _ {1 2} - X ^ {\prime}) \varphi^ {c}}{G _ {1 2} + \sigma_ {1 1} - \sigma_ {2 2}}, \varphi^ {c} = \tan^ {- 1} \left(\frac {1 - \sqrt {1 - 4 \left(\frac {S ^ {L}}{X ^ {\prime}} + \eta^ {L}\right) \left(\frac {S ^ {L}}{X ^ {\prime}}\right)}}{2 \left(\frac {S ^ {L}}{X ^ {\prime}} + \eta^ {L}\right)}\right) \tag {4.8.6}
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midas NFX에서는 복합재료 파손이론을 근거로 복합재료의 파손여부 판단을 위하여 유한요소 파손지수(FE failure index), 파손지수(failure index, k ), 또는 강도비(strength ratio, R) 값을 출력할 수 있다. 유한요소 파손지수는 파손식에서 직접 추출된다. 따라서 주어진 파손이론에 따라서 물리적인 의미가 부족한 경우가 발생할 수 있다. 파손에 이르렸을 때의 응력상태, 즉 파손식을 만족하는 응력을 $\sigma'$ 라고 했을 경우 파손지수 k 는 $\sigma' = \frac{1}{k} \sigma_{FE}$ 를 만족하도록 결정되며, 유사하게
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강도비 R 은 ${ \bf { \sigma } } ^ { \prime } = R { \bf { \sigma } } _ { F E }$ 를 만족하도록 결정된다. 즉, 파손지수 와 강도비값은 주어진 응력상태가 어느 정도 배분되었을 때 파손될지 판단하는데 도움이된다.
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# 5. Algorithm
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# 5.1 연립방정식 해법
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연립방정식의 해법(system of equation solver)은 (5.1.1)과 같은 선형 행렬식의해 를 구하는 방법이다.
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\mathbf {K} \mathbf {u} = \mathbf {p} \tag {5.1.1}
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연립방정식 해법은 선형정적 구조해석뿐만 아니라, 고유치/좌굴 해석, 동적 해석,비선형 해석 등 모든 해석에 이용되며, 일반적으로 가우스 소거법(Gausselimination) 또는 분해법에 기반한 직접해법(direct solver)과 반복 계산을 통해 오차를 최소화하는 해로 수렴시켜 가는 반복해법(iterative solver)이 있다. 직접해법은 행렬의 수치적 특성에 영향을 받지 않고 안정적으로 해를 구할 수 있어 구조해석에 일반적으로 많이 사용되고 있으나 문제의 규모가 커지는 경우 기억용량과 계산량이 급격하게 증가하는 경향이 있다. 따라서 대형 문제의 경우에는 상대적으로 기억용량이 적게 요구되는 반복해법을 적용하는 것이 좋다. 그러나 구조해석의 경우 반복해법은 행렬의 수치적 특성으로 인하여 원하는 해를 얻을 수 없거나, 수렴된 해를 얻기 위한 반복 계산이 많아질 수 있음에 주의해야한다. midas NFX에서는 해석하고자 하는 문제의 규모에 따라 직접해법과 반복해법을 자동으로 결정해 주는 기능을 제공하고 있다.
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직접해법에서는 연립방정식의 해를 두 단계에 걸쳐 구하게 된다. 첫 번째 단계는 행렬 분해 (decomposition) 이고, 두 번째 단계는 전-후진 대입(forward-backward substitution : FBS) 과정이다. 일반적인 비대칭 행렬에 적용되는 분해법은 유한요소 해석 과정에서 발생되는 대칭 강성행렬 의 경우 다음과 같은 형태의 행렬 분해로 적용될 수 있다.
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\mathbf {L} \mathbf {L} ^ {T} \mathbf {u} = \mathbf {p} \quad \text { or } \quad \mathbf {L} \mathbf {D} \mathbf {L} ^ {T} \mathbf {u} = \mathbf {p} \tag {5.1.2}
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L : 하삼각 행렬(lower triangular matrix)
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D : 대각 행렬(diagonal matrix)
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일반적으로 가 포함된 행렬 분해법은 강성행렬이 양의 정부호(positivedefinite)가 아닌 경우에 필요하다. midas NFX에서는 선형정적 구조해석의 경우형태의 행렬 분해법(Cholesky 분해법)을 사용하고 고유치 해석 또는 비선형 해석의 경우는 양의 정부호를 보장할 수 없기 때문에 형태의 행렬 분해법을 사용한다.
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직접해법 적용 시 중요한 점은 행렬의 희소성(sparsity)을 적절히 이용해야 하는것이다. 일반적으로 유한요소해석 시에 발생하는 강성행렬 K 는 행렬 내에 다수의 0이 존재하는 희소행렬(sparse matrix)이며, 이 희소성을 활용하는 방법에따라 계산량과 요구되는 기억 용량이 현저하게 달라진다. 따라서 midas NFX에서는 행렬의 희소성을 활용하지 않는 일반적인 조밀행렬(dense matrix)에 대한직접해법(dense solver) 외에 행렬의 희소성을 적절히 활용해 계산량과 기억 용량을 획기적으로 줄일 수 있는 다중프런트 해법(multi-frontal solver)을 기본 직접해법으로 지원하고 있다.
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다중프런트 해법에서는 행렬의 희소성을 활용해 계산량과 기억용량을 최소화하기 위해 자유도의 재배치(ordering)가 필요하며 이렇게 재배치된 정보에 따라 행렬을 여러 개의 프런트 행렬로 분리하여 행렬 분해를 수행한다. 그림 5.1.1은 자유도의 재배치에 의한 직사각형 요소망에서의 효과적인 계산 순서를 도식적으로표현한 것이다. 자유도 재배치를 구현하기 위한 알고리즘은 재귀 이분할법(recursive bisection)을 이용하며, 전진 대입은 행렬의 분해와 같은 순서로, 후진대입은 그 역순으로 계산하게 된다.
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<summary>text_image</summary>
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1 2 1 4 1 2 1
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3 3
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1 2 1 1 2 1
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그림 5.1.1 다중프런트 해법의 행렬 분해 순서 예시
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midas NFX에서 사용하는 다중프런트 해법은 전체 영역에 대한 강성행렬을 따로조립하여 저장하지 않음으로써 일반적인 다중프런트 해법에 비해 기억용량을 더적게 필요로 하며, 대형 문제의 해결을 위해 메모리가 부족한 경우 자동적으로하드디스크를 추가로 활용해서 계산을 진행할 수 있도록 하는 out-of-core 해석기능을 지원하고 있다.
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또한, 다중프런트 해법의 구현에 있어서 그래픽 처리 장치(Graphics ProcessingUnit: GPU)의 연산 능력을 활용하여 계산을 진행할 수 있도록 하였다. 최근 초대형 문제에 대한 수요가 많아짐에 따라 유한요소 해석의 가장 중심이 되는 연립방정식 해법의 성능에 대한 중요성이 더욱 부각되고 있다. GPU는 매우 많은 수의 계산 단위(core)로 이루어져 있으며 CPU에 비해 매우 높은 연산성능을 제공한다. 이러한 GPU의 높은 성능을 활용하여 가장 많은 연산시간을 차지하는 실수 행렬분해(real matrix decomposition) 과정에 대하여 적용하여, 전체적으로 개선된 연산성능을 제공한다.
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반복해법은 반복적인 계산에 의해 근사해의 오차를 줄여 수렴시켜 나가는 방법으로서 적은 반복계산으로 수렴 오차를 빠르게 줄이는 것이 매우 중요하다. 일반적으로 반복계산의 횟수는 예조건화(preconditioning) 기법에 의해 좌우된다.midas NFX에서는 요소의 형상에 관계 없이 안정적인 예조건화 기법으로 알려진
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SA(smoothed aggregation) AMG(algebraic multi-grid)1 방법을 이용한다. AMG방법은 다중격자(multi-grid)를 활용하기 때문에 반복회수가 자유도 개수의 영향을 크게 받지 않으며, shell 요소와 같이 절점당 자유도가 변위와 회전으로 이루어진 요소를 사용하는 경우에도 안정적인 수렴성을 보인다. AMG 방법을 이용한반복해법에서는 다중격자가 자동으로 구성되며, 이는 인접한 절점들의 집합과각 절점 집합을 대표하는 자유도에 의해 만들어진다. 그림 5.1.2는 다중격자를구성하는 절점 집합의 예를 보여주고 있다.
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<details>
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<summary>natural_image</summary>
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Geometric wireframe structure resembling a 3D polyhedron or tessellated polygon (no text or symbols)
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그림 5.1.2 다중격자 구성을 위한 절점 집합의 예시
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앞서 설명한 바와 같이 직접해법과 반복해법은 해석하고자 하는 문제의 규모에따라 그 성능이 달라지기 때문에 midas NFX에서는 이를 자동으로 결정해 주는기능을 제공한다. 방정식 해법의 자동선택 기능을 사용하는 경우에는 소규모의문제에 대해서는 조밀행렬을 이용한 직접해법, 중규모의 문제에 대해서는 다중프런트 해법, 그리고 대규모 문제에 대해서는 AMG 반복(해)법을 문제 규모에따라 자동으로 선택하여 사용한다. 자동 선택의 기준은 다음 사항을 고려하여결정된다.
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► 경험적인 조건을 알고 있는 경우 : 사용자가 입력한 절점 또는 요소개수를 기준으로 결정
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► 경험적인 조건을 모르는 경우 : 모델의 자유도 개수와 시스템 메모리 크기를기준으로 프로그램 내에서 결정
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