김경종
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factorial design)과 중심점(center point) 및 별점(star point)에서 평가한다. 이때실험점의 위치에 따라 모서리법(faced)과 내접법(inscribed)으로 구분된다. 모서리법은 중심점을 제외한 실험점이 모두 설계공간의 경계에 존재하며, 내접법은 회전성(rotatability)를 만족하도록 실험점을 설계공간의 안쪽에 배치한다.
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► 라틴방격 계획법 : 강도(strength) 1의 직교배열표로, 난수를 생성하여 각 설계변수에 대해 골고루 평가하는 것을 목적으로 한다. 실험점의 개수를 사용자가임의로 결정할 수 있다는 장점이 있다. 공간 충진성(space-filling)이 좋아 크리깅근사모델을 만들기 위한 실험계획법으로 많이 사용된다.
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► 다구찌 직교배열표 : 각 설계변수의 직교성(orthogonality)를 만족시켜 주효과와 교호작용을 효과적으로 평가하도록 만들 직교배열표를 이용하여 실험계획법을 수행한다. 직교배열표는 2수준에서 5수준까지 구성되어 있으며, 최대 48개의설계변수까지 처리할 수 있다.
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# • 상관도 분석
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실험점 추출을 통해 설계변수와 설계응답간의 관계를 평가할 수 있다. 각 설계응답에 대해 어떤 설계변수가 큰 영향을 주는지 파악하는데 활용한다. 향후 근사모델 기반 치수최적화를 수행하기에 앞서 중요한 설계변수들을 추출할 수 있어서 효율적인 최적화를 가능하게 해준다.
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Midas NFX에서의 각 설계변수 와 설계응답 Y 의 상관도는 Coefficient ofImportance(CoI)로 부터 다음과 같이 얻을 수 있다.
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$$
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C o I (X _ {i}, Y) = C o I _ {Y, X _ {i}} = R _ {Y, \mathbf {X}} ^ {2} - R _ {Y, \mathbf {X} \sim i} ^ {2} \tag {5.12.1}
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$$
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여기에서 는 Coefficient of Determination(CoD)로 다음과 같이 얻을 수 있다.
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$$
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R ^ {2} = \frac {S S _ {R}}{S S _ {T}} = 1 - \frac {S S _ {E}}{S S _ {T}}, \quad 0 \leq R ^ {2} \leq 1 \tag {5.12.2}
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$$
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$$
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S S _ {T} = \sum_ {i = 1} ^ {N} (y _ {i} - \mu_ {Y}), \quad S S _ {R} = \sum_ {i = 1} ^ {N} (y _ {i} - \mu_ {Y}), \quad S S _ {E} = \sum_ {i = 1} ^ {N} (y _ {i} - y _ {i}) \tag {5.12.3}
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$$
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$R _ { Y , { \bf X } } ^ { 2 }$ 는 $\Xi \in$ 설계변수를 고려하여 생성한 다항회귀모델의 CoD이며, $R _ { Y , { \bf X } \sim i } ^ { 2 }$ 는 설계변수 $X _ { i }$ 를 제외하고 생성한 다항회귀모델의 CoD이다. 다라서 CoI는 간접적으로 다항회귀모델에서 설계변수 $X _ { i }$ 의 영향을 파악할 수 있다. 이때 생성하는다항회귀모델의 종류에 따라 1차 상관도 혹은 2차 상관도를 얻을 수 있다.
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# 5.12.2 근사모델기반 치수최적화
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항공기 혹은 자동차 산업에서 CAE를 효과적으로 사용하여 설계를 하기 위하여근사모델의 개념이 도입되었다. 근사모델은 구조해석을 통해 암시적(implicit)으로 파악하던 설계변수와 설계응답간의 관계를 수학식을 통해 명시적(explicit)으로 파악하도록 한다. 이때의 수학식을 근사모델(approximate model) 혹은 반응표면모델(response surface model)이라 부른다. 근사모델은 크게 회귀모델(regression model)과 보간모델(interpolation model)로 나눌 수 있다. 회귀모델은실험점의 결과를 비슷하게 따르는 근사모델을 의미하며, 보간모델은 각 실험점의 결과를 완벽히 추종하는 근사모델을 의미한다.
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<details>
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<summary>line</summary>
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| Point | X | Y |
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|---|---|---|
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| 1 | 0.5 | 0.3 |
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| 2 | 0.6 | 0.2 |
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| 3 | 0.7 | 0.1 |
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</details>
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Regression model
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<details>
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<summary>line</summary>
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| Point | X | Y |
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|---|---|---|
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| 1 | 0.5 | 0.5 |
|
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| 2 | 0.6 | 0.4 |
|
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| 3 | 0.7 | 0.3 |
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| 4 | 0.8 | 0.5 |
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| 5 | 0.9 | 0.7 |
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| 6 | 1.0 | 0.9 |
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| 7 | 1.1 | 1.1 |
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| 8 | 1.2 | 1.3 |
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| 9 | 1.3 | 1.5 |
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| 10 | 1.4 | 1.7 |
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| 11 | 1.5 | 1.9 |
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| 12 | 1.6 | 2.1 |
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| 13 | 1.7 | 2.3 |
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| 14 | 1.8 | 2.5 |
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| 15 | 1.9 | 2.7 |
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| 16 | 2.0 | 2.9 |
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| 17 | 2.1 | 3.1 |
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| 18 | 2.2 | 3.3 |
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| 19 | 2.3 | 3.5 |
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| 20 | 2.4 | 3.7 |
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| 21 | 2.5 | 3.9 |
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| 22 | 2.6 | 4.1 |
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| 23 | 2.7 | 4.3 |
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|
| 24 | 2.8 | 4.5 |
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| 25 | 2.9 | 4.7 |
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| 26 | 3.0 | 4.9 |
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|
| 27 | 3.1 | 5.1 |
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| 28 | 3.2 | 5.3 |
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| 29 | 3.3 | 5.5 |
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| 30 | 3.4 | 5.7 |
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| 31 | 3.5 | 5.9 |
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| 32 | 3.6 | 6.1 |
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| 33 | 3.7 | 6.3 |
|
|
| 34 | 3.8 | 6.5 |
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| 35 | 3.9 | 6.7 |
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| 36 | 4.0 | 6.9 |
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| 37 | 4.1 | 7.1 |
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| 38 | 4.2 | 7.3 |
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| 39 | 4.3 | 7.5 |
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| 40 | 4.4 | 7.7 |
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| 41 | 4.5 | 7.9 |
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| 42 | 4.6 | 8.1 |
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|
| 43 | 4.7 | 8.3 |
|
|
| 44 | 4.8 | 8.5 |
|
|
| 45 | 4.9 | 8.7 |
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|
| 46 | 5.0 | 8.9 |
|
|
| 47 | 5.1 | 9.1 |
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| 48 | 5.2 | 9.3 |
|
|
| 49 | 5.3 | 9.5 |
|
|
| 50 | 5.4 | 9.7 |
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| 51 | 5.5 | 9.9 |
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|
| 52 | 5.6 | 10.1 |
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| 53 | 5.7 | 10.3 |
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| 54 | 5.8 | 10.5 |
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| 55 | 5.9 | 10.7 |
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| 56 | 6.0 | 10.9 |
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| 57 | 6.1 | 11.1 |
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| 58 | 6.2 | 11.3 |
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| 59 | 6.3 | 11.5 |
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| 60 | 6.4 | 11.7 |
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| 61 | 6.5 | 11.9 |
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| 62 | 6.6 | 12.1 |
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| 63 | 6.7 | 12.3 |
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| 64 | 6.8 | 12.5 |
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| 65 | 6.9 | 12.7 |
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| 66 | 7.0 | 12.9 |
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| 67 | 7.1 | 13.1 |
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| 68 | 7.2 | 13.3 |
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| 69 | 7.3 | 13.5 |
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| 70 | 7.4 | 13.7 |
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| 71 | 7.5 | 13.9 |
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| 72 | 7.6 | 14.1 |
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| 73 | 7.7 | 14.3 |
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| 74 | 7.8 | 14.5 |
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| 75 | 7.9 | 14.7 |
|
|
| 76 | 8.0 | 14.9 |
|
|
| 77 | 8.1 | 15.1 |
|
|
| 78 | 8.2 | 15.3 |
|
|
| 79 | 8.3 | 15.5 |
|
|
| 80 | 8.4 | 15.7 |
|
|
| 81 | 8.5 | 15.9 |
|
|
| 82 | 8.6 | 16.1 |
|
|
| 83 | 8.7 | 16.3 |
|
|
| 84 | 8.8 | 16.5 |
|
|
| 85 | 8.9 | 16.7 |
|
|
| 86 | 9.0 | 16.9 |
|
|
| 87 | 9.1 | 17.1 |
|
|
| 88 | 9.2 | 17.3 |
|
|
| 89 | 9.3 | 17.5 |
|
|
| 90 | 9.4 | 17.7 |
|
|
| 91 | 9.5 | 17.9 |
|
|
| 92 | 9.6 | 18.1 |
|
|
| 93 | 9.7 | 18.3 |
|
|
| 94 | 9.8 | 18.5 |
|
|
| 95 | 9.9 | 18.7 |
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| 96 | 10.0 | 18.9 |
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| 97 | 10.1 | 19.1 |
|
|
| 98 | 10.2 | 19.3 |
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|
| 99 | 10.3 | 19.5 |
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| 100 | 10.4 | 19.7 |
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</details>
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Interpolation model
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그림 5.12.1 회귀모델과 보간모델
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회귀모델은 각 실험점에서의 랜덤오차의 효과를 저감시킬 수 있으며, 보간모델은 결정론적인 해석(deterministic analysis)에 사용되었을 때 장점이 있다. midasNFX에서는 회귀모델과 보간모델로써 각각 다항회귀모델(polynomial regression)과 크리깅모델(Kriging model)을 제공한다.
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# • 다항회귀모델
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다항회귀모델은 설계변수와 설계응답간의 관계를 설계변수의 다항식의 형태로표현하며 이때 다항식의 종류에 따라 1) 선형다항회귀모델(linear polynomialregression), 2) 순수이차다항회귀모델(pure quadratic polynomial regression), 3)완전이차다항회귀모델(full quadratic polynomial regression), 4)순수삼차다항회귀모델(pure cubic polynomial regression)으로 나뉜다.
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다항회귀모델은 다음과 같이 표현할 수 있다.
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$$
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\tilde {y} = \mathbf {f} ^ {T} \mathbf {b} \tag {5.12.4}
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$$
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: 설계응답 예상 값
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f : 설계 벡터 (design vector)
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b : 계수(regressor)
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결국, 다항회귀모델은 위의 항에서 계수를 결정하는 문제를 푸는 것이며 이때의계수는 최소자승법(least squares)에 의해 다음과 같이 구해진다.
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$$
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\mathbf {b} = \left(\mathbf {F} ^ {T} \mathbf {F}\right) ^ {- 1} \mathbf {F} ^ {T} \mathbf {y} _ {\exp} \tag {5.12.5}
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$$
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yexp : 실험점에서의 설계응답 값
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F : 설계 행렬(design matrix)
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이때 (5.12.2)에서 역행렬은 특이값 분해(singular value decomposition, svd)를 이용한다.
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-크리킹 모델
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크리킹 모델은 가장 보편적인 보간모델로서, 전역모델과 지역적인 잔차(residual)로 표현할 수 있다.
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$$
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y (\mathbf {x}) = G (\mathbf {x}) + z (\mathbf {x}) \tag {5.12.6}
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$$
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이때 지역적인 잔차는 평균은 0으로, 분산은 다음과 같이 가정한다.
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$$
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C o v \Big [ z (\mathbf {x} ^ {i}), z (\mathbf {x} ^ {j}) \Big ] = \sigma^ {2} \Big [ R (\mathbf {x} ^ {i}, \mathbf {x} ^ {j}) \Big ] \tag {5.12.7}
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$$
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이러한 분산은 연관성 모델(correlation model) R 에 따라 결정되며, 연관성 모델의 종류는 다음과 같다.
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$$
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\text { Exponential: } \quad R (\mathbf {d}) = \prod_ {i = 1} ^ {n d v} \exp \left(- \theta_ {i} | d _ {i} |\right) = \exp \left(- \sum_ {i = 1} ^ {n d v} \theta_ {i} | d _ {i} |\right) \tag {5.12.8}
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$$
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$$
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|
\text { Gaussian: } \quad R (\mathbf {d}) = \prod_ {i = 1} ^ {n d v} \exp \left(- \theta_ {i} \left| d _ {i} \right| ^ {2}\right) = \exp \left(- \sum_ {i = 1} ^ {n d v} \theta_ {i} \left| d _ {i} \right| ^ {2}\right) \tag {5.12.9}
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$$
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|
$$
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\text { Exponential General: } \quad R (\mathbf {d}) = \prod_ {i = 1} ^ {n d v} \exp \left(- \theta_ {i} | d _ {i} | ^ {p _ {i}}\right) = \exp \left(- \sum_ {i = 1} ^ {n d v} \theta_ {i} | d _ {i} | ^ {p _ {i}}\right) \tag {5.12.10}
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|
$$
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각 실험점에 대하여 연관성 모델을 적용하여 연관성 행렬 R (correlation matrix)을 만들 수 있다. 이때 최대우도추정법(maximum likelihood estimation, mle)을 통해 연관성 모델의 미지수인 $\theta_{i}$ 와 $p_{i}$ 를 구할 수 있다. 최대우도추정법은 다음과 같은 최적화 문제로 귀결된다.
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Find $\theta_{i}$
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$$
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\begin{array}{l} \text { to maximize } \quad - \frac {1}{2} \left(n e x p \cdot \ln \left(\sigma^ {2}\right) + \ln | \mathbf {R} |\right) \\ \text { subject to } \quad \theta_ {i} \geq 0 \quad i = 1, \dots , n d v \end{array} \tag {5.12.11}
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$$
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|
$$
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\text { where } \quad \sigma^ {2} = \frac {\left(\mathbf {y} _ {\exp} - \mathbf {F} \boldsymbol {\beta} ^ {*}\right) ^ {t} \mathbf {R} ^ {- 1} \left(\mathbf {y} _ {\exp} - \mathbf {F} \boldsymbol {\beta} ^ {*}\right)}{n e x p} \text { and } \left| \mathbf {R} \right| \text { is determinant of } \mathbf {R}
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$$
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(5.12.8)의 문제는 유전자 알고리즘(genetic algorithm) $^{16}$ 이나 다이렉트방법 (DIRECT method) $^{17}$ 과 같은 전역 최적화 알고리즘을 통하여 해를 얻는다.
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결국 크리킹을 통한 설계응답의 예상값은 다음 식의 최량선형불편추정량(best linear unbiased estimator, BLUE)을 통해 구할 수 있다.
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$$
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\mathbf {y} = \mathbf {f} ^ {t} (\mathbf {x}) \boldsymbol {\beta} ^ {*} + \mathbf {r} ^ {t} (\mathbf {x}) \mathbf {R} ^ {- 1} \left\{\mathbf {y} _ {\exp} - \mathbf {F} \boldsymbol {\beta} ^ {*} \right\} \tag {5.12.12}
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|
$$
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|
$$
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|
\text { where } \quad \boldsymbol {\beta} ^ {*} = \left(\mathbf {F} ^ {T} \mathbf {R} ^ {- 1} \mathbf {F}\right) ^ {- 1} \mathbf {F} ^ {T} \mathbf {R} ^ {- 1} \mathbf {y} _ {\exp}
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|
$$
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설계변수의 조합에 대한 설계응답의 관계를 근사모델로 대체하고, 이 근사모델로 표현된 최적화 문제를 구성하고 최적화를 수행하면, 근사 최적설계점을 얻게 된다. 이러한 근사모델 기반 최적화는 사용자가 원하는 성능을 가지는 시스템을 효율적으로 얻을 수 있도록 한다.
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# 5.13성형 한계도
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# 5.13.1 성형 한계도 정의
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성형한계도(Forming limit diagram, FLD)는 박강판 성형 공정(Sheet metalforming process) 판금의 파손 여부를 판단하기 위해서 사용되는 척도이다1819.FLD(그림 5.13.1)에서 성형 한계 곡선(Forming limit curve, FLC)은 파손이 일어나기 시작하는 변형률을 나타내며 재료의 특성에 따라서 달라진다. 변형률 대신응력을 기준으로 하는 성형 한계 곡선을 구할 수도 있다. 최대 주변형률(majorprincipal strain)과 최소 주변형률(minor principal strain)의 조합이 성형 한계 곡선의 하단에 위치한 경우 안전하다고 평가하고, 성형 한계 곡선 부근 혹은 상단에 위치한 경우 파손이 일어난다고 평가하며 후자인 경우에는 파손을 예방하기위해서 공정을 변경해야 한다. 예를 들면 그림 5.13.1에 사용된 박강판의 특정지점에서 최소 변형률이 0.3이고 최대 변형률이 0.5인 경우에는 성형 한계 곡선에 매우 가깝기 때문에 불안정한 설계이며, 공정을 수정해야 할 것이다.
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<details>
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<summary>line</summary>
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| Minor Strain | Major Strain |
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| ------------ | ------------ |
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| -0.3 | 0.65 |
|
|
| -0.2 | 0.55 |
|
|
| -0.1 | 0.40 |
|
|
| 0.0 | 0.25 |
|
|
| 0.1 | 0.35 |
|
|
| 0.2 | 0.45 |
|
|
| 0.3 | 0.50 |
|
|
| 0.4 | 0.55 |
|
|
| 0.5 | 0.60 |
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</details>
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그림 5.13.1 성형 한계도
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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σ₁
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σ₂
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</details>
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그림 5.13.2 박강판 인장 시험
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# 5.13.2 MMFC 배경 이론
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본 제품에서는 FLC를 계산하기 위한 알고리즘으로 MMFC 모델(modifiedmaximum force criterion) 를 사용한다202122. 이 모델은 그림 5.13.2와 같은 인장시험에서 발생한 최대 주변형률이 최소 주변형률에 비해서 매우 클 때에 국부적네킹(local necking)이 일어난다고 가정한다. 국부적 네킹이 일어나는 과정은 두단계로 요약 할 수 있다. 첫번째 단계는 박강판 내에 최대 하중(maximum force)이 발생하기 전까지의 과정이며, 이 때에는 균일한 변형만 발생한다. 최대 하중에 도달 한 후에는 두번째 단계에 진입하며 이 때에는 변형이 점차적으로 평면변형(plane strain) 상태에 도달 하면서 추가적인 하중을 견디게 된다.
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# 5.13.3 MMFC 알고리즘
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$\varepsilon _ { 1 }$ 와 $\varepsilon _ { 2 }$ 를 각각 최대 주변형률과 최소 주변형률이라 하자. 주변형률 증가량 비
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$\beta=\Box\varepsilon_{2}/\Box\varepsilon_{1}$ 의 변화 과정은 다음 식을 이용해서 표현 할 수 있다.
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$$
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\frac {\partial \beta}{\partial \varepsilon_ {1}} = \frac {\sigma_ {1} - \frac {\partial \sigma_ {1}}{\partial \varepsilon_ {1}}}{\frac {\partial \sigma_ {1}}{\partial \beta}} \tag {5.13.1}
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$$
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알고리즘과 필요한 관계식을 요약하여 아래의 순서도(그림 5.13.3)에 나타내었다. 이를 설명하면 다음과 같다. 우선 성형 한계 곡선 계산에 사용할 항복 폐곡선과 경화 모델을 선택하고 재료에 따라서 알맞은 매개 변수를 입력한다. 관련 수식 표현은 제5.13.4장과 제5.13.5장에 기술하였다. 다음으로 초기 주응력비 $\alpha=\sigma_{2}/\sigma_{1}(0<\alpha<1)$ 를 선택하고 이에 대응하는 초기값 $\beta$ 를 연관 유동 법칙 (associative flow rule)에서 구한다. While 루프를 통해 $\varepsilon_{1}$ 을 점차적으로 증가시키면서 $\beta$ 의 변화 과정을 확인한다. $\beta$ 가 기준값보다 작아졌을 때( $\beta\rightarrow0$ 일 때) 루프를 중단하고 $\varepsilon_{1}$ 와 $\varepsilon_{2}$ 를 구한다. For 루프를 이용해 여러 초기 주응력비 $\alpha$ 에 대해서 앞의 과정을 반복함으로써 성형 한계 곡선을 구할 수 있다.
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1: procedure FLC PREDICTION BY MMFC
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2: for $0 \leq \alpha \leq 1$ do
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3: $\beta = \beta(\alpha) = \frac{\partial \bar{\sigma} / \partial \sigma_2}{\partial \bar{\sigma} / \partial \sigma_1}$ 4: while $\beta > \beta_{cr}$ do
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5: $\triangle \varepsilon_2 = \beta \triangle \varepsilon_1, \varepsilon_1 = \varepsilon_1 + \triangle \varepsilon_1, \varepsilon_2 = \varepsilon_2 + \triangle \varepsilon_2$ 6: $\triangle \bar{\varepsilon} = (1 + \alpha \beta) f(\alpha) \varepsilon_1, \bar{\varepsilon} = \bar{\varepsilon} + \triangle \bar{\varepsilon}$ 7: $\bar{\sigma} = H(\bar{\varepsilon})$ and $\partial \bar{\sigma} / \partial \bar{\varepsilon} = H'(\bar{\varepsilon})$ 8: $\sigma_1 = f(\alpha) \bar{\sigma}, \triangle \sigma_1 / \triangle \varepsilon_1 = f^2(\alpha) (1 + \alpha \beta) \partial \bar{\sigma} / \partial \bar{\varepsilon}, \frac{\partial \sigma_1}{\partial \beta} = \bar{\sigma} \frac{\partial f}{\partial \beta} = f'(\alpha) \bar{\sigma} \frac{\partial \alpha}{\partial \beta}$ 9: if $(\sigma_1 < \triangle \sigma_1 / \triangle \varepsilon_1)$ goto line 5,
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10: else $\beta^{(\text{new})} = \triangle \varepsilon_1 \left( \sigma_1 - \frac{\triangle \sigma_1}{\triangle \varepsilon_1} \right) / \frac{\partial \sigma_1}{\partial \beta} + \beta^{(\text{old})}, \alpha = \alpha (\beta^{(\text{new})})$ and goto line 5.
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그림 5.13.3 MMFC를 이용한 성형 한계곡선 계산 알고리즘
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$\bar{\sigma}=H(\bar{\varepsilon})$ 은 경화 모델(hardening model)로써, $\bar{\sigma}$ 와 $\bar{\varepsilon}$ 은 각각 등가 응력과 등가 변화율을 의미한다. 참고로 위 알고리즘에서 $\alpha\rightarrow\beta$ 맹핑과 $\beta\rightarrow\alpha$ 맹핑을 수식적으로 표현하기 어려운 경우에는 수치적인 계산이 필요하다.
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# 5.13.4 등방성 재료 항복 곡선
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\- von Mises 항복 폐곡선
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소성 변형일 경우에는 응력이 항복 폐곡선 위에 위치 하기 때문에 등가 응력을 경화 모델에서 구할 수 있다. 따라서 von Mises 항복 폐곡선(yield locus)은 다음과 같이 표현된다.
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\sigma_ {1} ^ {2} - \sigma_ {1} \sigma_ {2} + \sigma_ {2} ^ {2} = \overline {{\sigma}} ^ {2} \text { where } \overline {{\sigma}} = H (\overline {{\varepsilon}}). \tag {5.13.2}
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MMFC 모델에 사용된 관련 수식을 나타내면 아래와 같다.
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f (\alpha) = \frac {\sigma_ {1}}{\overline {{\sigma}}} = \frac {1}{\sqrt {1 - \alpha + \alpha^ {2}}}, \tag {5.13.3}
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\beta = \frac {\Box \varepsilon_ {2}}{\Box \varepsilon_ {1}} = \frac {\partial \overline {{{\sigma}}} / \partial \sigma_ {2}}{\partial \overline {{{\sigma}}} / \partial \sigma_ {1}} = \frac {2 \alpha - 1}{2 - \alpha}, \tag {5.13.4}
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f (\alpha (\beta)) = f ^ {*} (\beta) = \frac {2 + \beta}{\sqrt {3 (1 + \beta + \beta^ {2})}}. \tag {5.13.5}
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\- Hill 1979 항복 폐곡선
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Hill 1979 항복 폐곡선을 사용할 경우 관련된 수식은 아래와 같이 표현된다.
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\frac {1}{2 (1 + r)} \left| \sigma_ {1} + \sigma_ {2} \right| ^ {m} + \frac {(1 + 2 r)}{2 (1 + r)} \left| \sigma_ {1} - \sigma_ {2} \right| ^ {m} = \overline {{\sigma}} ^ {m}, m > 1, \tag {5.13.6}
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f (\alpha) = \left[ \frac {1}{2 (1 + r)} (1 + \alpha) ^ {m} + \frac {(1 + 2 r)}{2 (1 + r)} (1 - \alpha) ^ {m} \right] ^ {(- 1 / m)}, \tag {5.13.7}
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f ^ {\prime} (\alpha) = - f (\alpha) ^ {m + 1} \frac {(1 + \alpha) ^ {m - 1} - (1 + 2 r) (1 - \alpha) ^ {m - 1}}{2 (1 + r)}, \tag {5.13.8}
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\beta = \frac {\partial \overline {{{\sigma}}} / \partial \sigma_ {2}}{\partial \overline {{{\sigma}}} / \partial \sigma_ {1}} = \frac {(1 + \alpha) ^ {m - 1} - (1 + 2 r) (1 - \alpha) ^ {m - 1}}{(1 + \alpha) ^ {m - 1} + (1 + 2 r) (1 - \alpha) ^ {m - 1}}, \tag {5.13.9}
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\alpha = \frac {\left[ (1 + \beta) (1 + 2 r) \right] ^ {1 / (m - 1)} - (1 - \beta) ^ {1 / (m - 1)}}{\left[ (1 + \beta) (1 + 2 r) \right] ^ {1 / (m - 1)} + (1 - \beta) ^ {1 / (m - 1)}}, \tag {5.13.10}
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\frac {\partial \alpha}{\partial \beta} = \frac {\left[ (1 + \alpha) ^ {m - 1} + (1 + 2 r) (1 - \alpha) ^ {m - 1} \right] ^ {2}}{4 (1 - \alpha^ {2}) ^ {m - 2} (2 m r + m - 2 r - 1)}. \tag {5.13.11}
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이 모델을 사용하기 위해서는 매개변수 과 이 필요하며 이는 실험을 통해서 구한다.
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# 5.13.5 경화 모델
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와 을 제외한 나머지는 매개변수이며 실험을 통해서 구하는 값이다.
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• Ghosh 모델
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\bar {\sigma} = H (\overline {{{\varepsilon}}}) = A (\overline {{{\varepsilon}}} + \overline {{{\varepsilon}}} _ {0}) ^ {n} - C. \tag {5.13.12}
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• Hockett-Sherby 모델
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\overline {{{\sigma}}} = H (\overline {{{\varepsilon}}}) = \sigma_ {1} - (\sigma_ {1} - \sigma_ {0}) e ^ {- m \overline {{{\varepsilon}}} ^ {n}}. \tag {5.13.13}
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