김경종
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요소전체의 소성화 고려
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비선형 힌지의 초기강성 : 요소의 초기강성행렬(탄성상태) 구성시에직접 반영됨.
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비선형 힌지의 위치 : 요소내 적분점
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# (3) 트러스 및 범용연결요소
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비선형 힌지 : 일축(Single Component)모델
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비선형 힌지의 위치 : 요소중앙
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골격곡선 : Bilinear, Trilinear, FEMA, Slip 타입
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비선형 힌지의 초기강성 : 요소의 초기강성행렬(탄성상태)구성시 반영
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# 2D 보요소 및 3D 보-기둥요소
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보요소 및 보-기둥요소는 동일한 방법으로 정식화할 수 있기 때문에 그림 2.8.49와같은 절점력과 절점변위를 대상으로 수식화하며, 유연도법(Flexibility Method)에 의해 정식화 됩니다. 유연도법은 요소내력(Element Section Force)의 분포에 근거하여정식화 되므로, 강성도법에 비해서 정확한 해석이 가능합니다. 또한 변위법(강성도법)에 비하여 적은 수의 요소로 모델링 한 경우에도 강성도법과 거의 같은 정도의결과를 얻을 수 있는 수치해석적인 이점이 있습니다.
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보요소 및 보-기둥요소에서는 다음과 같은 3차원 공간에서의 하중과 변위를 사용합니다. 보요소는 축력이 작용하지 않는 경우에 사용할 수 있습니다.
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$$
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\boldsymbol {f} ^ {T} = \left\{F _ {x i}, F _ {y i}, F _ {z i}, M _ {x i}, M _ {y i}, M _ {z i}, F _ {x j}, F _ {y j}, F _ {z j}, M _ {x j}, M _ {y j}, M _ {z j} \right\} \tag {56a}
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$$
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$$
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\boldsymbol {u} ^ {T} = \left\{u _ {i}, v _ {i}, w _ {i}, \theta_ {x i}, \theta_ {y i}, \theta_ {z i}, u _ {j}, v _ {j}, w _ {j}, \theta_ {x j}, \theta_ {y j}, \theta_ {z j} \right\} \tag {56b}
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$$
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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Moment_z (+)
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Shear_z (-)
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Axial (-)
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Moment_x
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y
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Moment_y (+)
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Shear_y (-)
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z
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Moment_x
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<summary>text_image</summary>
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Moment_y
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(-)
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Shear_y
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(+)
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Shear_z
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(+)
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Axial
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(+)
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Moment_x
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y
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z
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Moment_z
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(-)
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<summary>text_image</summary>
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i
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L
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j
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그림 2.8.49 2D 보요소 및 3D 보-기둥요소의 절점력 및 절점변위
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비선형 보요소는 모멘트 성분의 비선형 힌지 정의방법에 따라서, 모멘트-회전각 관계요소와 모멘트-곡률관계 요소로 구분됩니다. 또한, 이들 요소는 비선형 힌지의위치와 정식화방법에 따라서 집중형 힌지모델(Lumped Type Hinge Model)과 분포형힌지모델(Distributed Hinge Model)로 구분됩니다.
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# (1) 비선형 보요소의 해석 과정
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비선형 보요소의 해석과정은 다음과 같습니다. 다음의 해석과정에서 수렴계산과정은 포함되어 있지 않습니다. 실제 해석시에는 아래의 과정에 수렴계산과정이 추가적으로 수행되므로 주의할 필요가 있습니다.
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# ① 절점변위 계산
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식 (57)의 비선형 정적증분방정식을 이용하여 전체구조물의 절점증분변위 벡터 U 를 구합니다. 전체좌표계에서의 증분변위벡터 U 를 요소좌표계로 변환하여 요소 양절점의 증분변위 Δu 를 구합니다. 단, 요소의 좌단을 i, 우단을 j로 나타냅니다.
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$$
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\Delta \boldsymbol {u} ^ {T} = \left\{\Delta u _ {i}, \Delta v _ {i}, \Delta w _ {i}, \Delta \theta_ {x i}, \Delta \theta_ {y i}, \Delta \theta_ {z i}, \Delta u _ {j}, \Delta v _ {j}, \Delta w _ {j}, \Delta \theta_ {x j}, \Delta \theta_ {y j}, \Delta \theta_ {z j} \right\} \tag {57}
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$$
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# ② 증분절점변위를 변형으로 변환(절대변위 상대변위)
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요소증분변위 Δu 는 증분하중에 의해 발생한 양절점의 절대변위로서 강체이동모드(Rigid-Body Mode)가 포함된 변위입니다. 요소가 강체이동하면 변위가발생해도 변형은 0이 되므로, 강체이동에 의한 내력 역시 0이 됩니다. 따라서,비선형 힌지의 내력을 계산할 때는 요소의 증분절점변위 Δu 에서 강체이동모드에 의한 변위를 제외한 변위, 즉 상대변위를 이용하여 계산할 필요가 있습니다.
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비선형 보요소의 요소증분변위 Δu 에서 강체이동모드를 제외하면, 1개의 축성분과 1개의 비틀림성분 그리고 양 절점에서 각각 2개의 변형각이 얻어집니다.각 성분별 상대변위 u 는 다음과 같이 정의할 수 있습니다.
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축성분
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양절점의 축방향 변위의 차이가 요소의 축방향 변형입니다.
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$$
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\overline {{u}} = u _ {j} - u _ {i} \tag {58}
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$$
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# ■ 비틀림성분
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양절점의 비틀림 회전각의 차이로 구합니다.
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$$
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\overline {{\theta}} _ {x} = \theta_ {x j} - \theta_ {x i} \tag {59}
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$$
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# ■ 회전성분
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한 절점에서 요소의 회전각은 그림 2.8.50에 나타낸 것과 같이 모멘트와 전단에 의한 변형각과 강체이동에 의한 회전각으로 구성됩니다.
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$$
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\theta = \overline {{\theta}} - \theta_ {s} \tag {60}
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$$
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여기서 θ : 절점에서의 총회전각
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$\overline{\theta}$ : 모멘트와 전단에 의한 변형각
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$\theta_{s}$ : 강체이동에 의한 회전각, 단, $\theta_{sy} = \frac{w_{j} - w_{i}}{L}$ , $\theta_{sz} = \frac{v_{j} - v_{i}}{L}$
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hover성분 비선형 힌지의 내력-변형관계는 모멘트와 강체이동을 제외한 변형각으로 정의해야 하므로, 각 절점에서의 변형각은 다음과 같이 정의합니다.
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$$
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\overline {{\theta}} = \theta_ {s} + \theta \tag {61}
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$$
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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Momentz
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(+)
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y
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Shearz
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(-)
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Momenty
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(+)
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Sheary
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(-)
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Axial
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(-)
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Momentx
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(+)
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x
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</details>
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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Momentz
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(-)
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y
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Shearz
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(+) +
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Momenty
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(-)
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Sheary
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(+) +
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Axial
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(+) +
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Momentx
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(-)
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</details>
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<summary>text_image</summary>
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i
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L
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j
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w_j - w_i
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(-)
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y
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x
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w_j - w_i
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(-)
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w_j
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L_y
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w_j
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w_i
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w_i
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θ_i
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θ_i
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θ_i
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θ_i
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θ_i
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θ_i
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θ_i
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θ_i
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θ_i
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θ_i
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θ_i
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θ_i
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θ_i
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θ_i
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θ_i
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θ_i
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θ_i
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θ_i
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θ_i
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θ_i
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θ_i
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θ_i
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θ_i
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θ_i
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θ_i
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θ_i
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θ_i
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θ_i
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θ_i
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θ_i
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θ_i
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θ_i
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θ_i
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θ_j
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L_y
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θ_j
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L_y
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θ_j
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θ_j
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θ_j
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θ_j
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θ_j
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θ_j
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θ_j
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θ_j
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θ_j
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θ_j
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θ_j
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θ_j
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θ_j
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θ_j
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θ_j
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θ_j
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θ_j
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θ_j
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θ_j
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θ_j
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θ_j
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θ_j
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θ_j
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θ_j
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θ_j
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θ_j
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θ_j
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θ_j
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θ_j
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θ_j
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θ_j
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θ_j
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θ_j
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θ_j
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</details>
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그림 2.8.50 요소의 절대변위와 상대변위와의 관계
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식 (58)\~(61)의 관계를 이용하여 각 성분별 상대변위의 증분벡터 $\Delta\overline{u}$ 는 다음과 같이 얻을 수 있습니다.
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$$
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\Delta \overline {{\boldsymbol {u}}} ^ {T} = \left\{\Delta \bar {u} \quad \Delta \bar {\theta} _ {y i} \quad \Delta \bar {\theta} _ {z i} \quad \Delta \bar {\theta} _ {y j} \quad \Delta \bar {\theta} _ {z j} \mid \Delta \bar {\theta} _ {x} \right\} \tag {62}
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$$
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여기서 $\Delta\overline{u} = \Delta u_{j} - \Delta u_{i}$
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$$
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\Delta \overline {{\theta}} _ {y i} = \frac {\Delta w _ {j} - \Delta w _ {i}}{L _ {y}} + \Delta \theta_ {y i}
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$$
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$$
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\Delta \overline {{\theta}} _ {z i} = \frac {\Delta v _ {j} - \Delta v _ {i}}{L _ {z}} + \Delta \theta_ {z i}
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$$
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$$
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\Delta \bar {\theta} _ {y j} = \frac {\Delta w _ {j} - \Delta w _ {i}}{L _ {y}} + \Delta \theta_ {y j}
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$$
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$$
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\Delta \bar {\theta} _ {z j} = \frac {\Delta v _ {j} - \Delta v _ {i}}{L _ {z}} + \Delta \theta_ {z j}
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$$
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$$
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\Delta \bar {\theta} _ {x} = \Delta \theta_ {x j} - \Delta \theta_ {x i}
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$$
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# ③ 증분변형 $\Delta\overline{u}$ 를 이용하여 증분내력 $\Delta\overline{q}$ 계산
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비선형 한지의 증분내력 $\Delta\overline{q}$ 는 요소의 증분변형 $\Delta\overline{u}$ 에 강체이동모드(Rigid-Body Mode)를 제외한 접선강성행렬 $\overline{k}_{AB}$ 를 곱하여 구합니다. 증분내력 $\Delta\overline{q}$ 는 축성분, 비틀림성분, 전단성분의 경우에는 요소중앙, 그리고 모멘트 성분의 경우에는 양단에서의 내력입니다.
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$$
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\boldsymbol {\Delta} \overline {{\boldsymbol {q}}} _ {A B} = \overline {{\boldsymbol {k}}} _ {A B} \cdot \boldsymbol {\Delta} \overline {{\boldsymbol {u}}} \tag {63}
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$$
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여기서 $\Delta\overline{q}_{AB}^{T}=\{\Delta\overline{n}\quad\Delta\overline{m}_{yi}\quad\Delta\overline{m}_{zi}\quad\Delta\overline{m}_{yj}\quad\Delta\overline{m}_{zj}\quad\Delta\overline{m}_{x}\}$
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: 축력, 모멘트성분의 증분내력 벡터
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$\Delta\overline{u}$ : 비선형 흰지의 증분변형 벡터
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$\overline{k}_{AB}$ : 강체이동모드를 제외한 접선강성행렬
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전단성분의 증분내력 $\Delta\overline{q}_{S}$ 는 증분모멘트를 이용하여 다음과 같이 계산됩니다.
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$$
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\Delta \overline {{{\boldsymbol {q}}}} _ {S} ^ {T} = \left\{\Delta \overline {{{q}}} _ {y} \Delta \overline {{{q}}} _ {z} \right\} \tag {64}
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$$
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여기서, $\Delta\overline{q}_{y}=\frac{\Delta\overline{m}_{zi}+\Delta\overline{m}_{zj}}{L_{z}}$ , $\Delta\overline{q}_{z}=\frac{\Delta\overline{m}_{yi}+\Delta\overline{m}_{yj}}{L_{y}}$
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④ 증분내력 Δq 과 힌지의 유연도를 이용하여 비선형 힌지의 증분변형계산
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증분내력 $\Delta \overline { { q } }$ 를 비선형 힌지의 증분내력 Δq 로 변환하는 방법은 비선형요소의 종류(모멘트-회전각요소와 모멘트-곡률관계요소)에 따라서 다릅니다. 이에대해서는 해당요소에 설명되어 있습니다.
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각 성분의 비선형 힌지의 증분내력 Δq 가 구해지면 비선형 힌지의 현재상태의 유연도를 이용하여 비선형 힌지의 증분변형량 Δd 를 구합니다.
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$$
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\boldsymbol {\Delta} d = f _ {n} \cdot \boldsymbol {\Delta} q \tag {65}
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$$
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여기서 $f _ { n }$ : 비선형 힌지의 유연도( $f _ { n } = 1 / k _ { n } )$
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⑤ 성분별 비선형 힌지의 총내력과 총변형 누적
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성분별 비선형 힌지의 총내력과 총변형량은 직전스텝까지의 내력과 변형에현재스텝의 증분내력과 증분변형을 더하여 다음과 같이 구합니다.
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$$
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d _ {n} = d _ {n - 1} + \Delta d \tag {66}
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$$
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$$
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q _ {n} = q _ {n - 1} + \Delta q \tag {67}
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$$
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여기서 $d _ { n - 1 }$ : 비선형 힌지의 직전스텝까지의 총변형
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$q _ { n - 1 }$ : 비선형 힌지의 직전스텝까지의 총내력
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⑥ 비선형 힌지의 유연도와 내력의 산정
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비선형 힌지의 유연도와 내력은 그림 2.8.51에 나타낸 것과 같이 미리 설정된골격곡선을 이용하여 다음의 과정으로 산정합니다.
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1) 직전스텝(n-1)에서 현재스텝(n)으로 이동하는 사이에 비선형 힌지의 변형$d _ { n }$ 이 항복변형 $d _ { y }$ 를 초과했는지 판정합니다. 현재스텝에서 항복변형 $d _ { y }$ 를 초과했다는 것은 비선형 힌지의 내력이 항복내력을 초과한 것으로 요소의 항복을 의미합니다.
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2) 비선형 힌지의 변형 $d _ { n } 0 |$ 항복변형 $d _ { y } \triangleq$ 초과한 경우, 강성 $k _ { n } \in$ 미리설정한 강성저감율에 따라서 새로운 강성 $k _ { n } ^ { * }$ 로 갱신합니다. 갱신된 강성$k _ { n } ^ { * }$ 를 이용하여 유연도 $f _ { n } ^ { * } \equivq$ 구합니다.
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3) 새로운 강성 $k _ { n } ^ { * } \equiv 0$ 용하여 비선형 힌지의 내력 $q _ { n } ^ { * } \frac { \circ } { \equiv }$ 구합니다.
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4) 불평형력 r 을 계산합니다. 단, $r = q _ { n } - q _ { n } ^ { * }$
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<details>
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<summary>line</summary>
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| Point | Hinge Deform. | Hinge Force | Annotation |
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|-------|---------------|-------------|------------|
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| q_n | d_{n-1} | q_n | Δq |
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| q_y | d_y | q_y | Δq |
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| q_{n-1}| d_{n-1} | q_{n-1} | Δd |
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| k_n | d_y | k_n | Δd |
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| k_n* | d_n | k_n* | r |
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| q_n* | d_n | q_n* | Δd |
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</details>
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그림 2.8.51 비선형 힌지의 내력과 변형의 관계(골격곡선)
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# ⑦ 비선형 보요소의 요소강성과 내력계산
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골격곡선을 통하여 얻어진 비선형 힌지의 유연도와 내력을 이용하여 요소의유연도 행렬과 요소내력을 구합니다. 요소의 강성행렬은 유연도 행렬의 역행렬로 계산됩니다.
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$$
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\boldsymbol {K} _ {n} = \boldsymbol {F} _ {n} ^ {- 1} \tag {68}
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$$
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여기서 $F _ { n }$ : 비선형 보요소의 유연도 행렬
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$\pmb { K } _ { n }$ : 비선형 보요소의 강성 행렬
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# (2) 모멘트-회전각 관계 비선형 보요소
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횡력을 받는 골조구조물의 정적증분해석에서는 보요소에 역대칭 모멘트가 작용하므로 요소양단에 모멘트가 집중되어 소성힌지가 발생합니다. 이와 같은골조구조물의 해석에서는 탄성 보요소의 양단에 모멘트-회전각 관계로 정의되는 회전 비탄성 스프링을 설정하여 요소단에서 발생하는 소성힌지를 효과적으로 모델링한 모멘트-회전각 관계 비선형 보요소가 주로 사용됩니다. 모멘트-회전각 관계요소는 모멘트 성분의 비선형 힌지가 요소양단에 설정되기 때문에, 집중형힌지모델(Lumped Type Hinge Model)이라고도 합니다.
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# 모멘트-회전각 관계 비선형 보요소의 성분별 비선형 힌지 특성
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모멘트-회전각 관계 비선형 보요소는 소성변형이 가능한 길이가 0인 병진또는 회전 비탄성스프링을 탄성 보요소에 삽입하며 이를 제외한 나머지 부분은 탄성 보요소로 모델링합니다.
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모멘트-회전각 관계 비선형 보요소의 비선형 힌지의 설정위치는 그림2.8.48에 나타난 것과 같이 각 성분에 따라 다릅니다. 모멘트 성분은 요소양단에 방향별로 2개씩 설정되고, 축력, 비틀림성분의 경우는 요소중앙에1개씩 설정됩니다. 또한, 전단성분은 요소중앙에 방향별로 1개씩 설정됩니다.
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그림 2.8.52에서 스프링으로 표현되는 그림은 실제적인 스프링 요소의 존재를 나타내는 것이 아니라 해석방법의 의미전달을 위한 것으로 비탄성 스프링의 위치에서 소성변형이 집중되어 발생함을 의미합니다. 모멘트-회전각 관계 비선형 보요소의 각 성분별 비선형 힌지 특징은 표 2.8.2와 같습니다.
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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Flexural spring
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Torsional spring
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|
Shear spring
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</details>
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그림 2.8.52 모멘트-회전각 관계요소의 비선형 힌지 위치
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\*. 단, Masonry Type인 경우, 축력, 전단성분 힌지는 요소중앙에 위치
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<table><tr><td>성 분</td><td>비선형 히지 특성</td><td>초기강성</td><td>힌지의설정위치</td></tr><tr><td>축력(Fx)</td><td>축력-변형(상대변위)</td><td>EA/L</td><td rowspan="3">요소양단</td></tr><tr><td>전단력(Fy,Fz)</td><td>전단력-전단변형율</td><td>GAs</td></tr><tr><td>비틀림(Mx)</td><td>모멘트-회전각</td><td>GJ/L</td></tr><tr><td>모멘트(My,Mz)</td><td>모멘트-회전각</td><td>6EI/L3EI/L2EI/L</td><td>요소양단</td></tr></table>
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표 2.8.2 모멘트-회전각 관계요소의 성분별 비선형 힌지 특성
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# 모멘트-회전각 관계 비선형 보요소의 유연도 행렬
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모멘트-회전각 관계 비선형 보요소의 요소 유연도 행렬은 비탄성 스프링의유연도 행렬과 탄성보의 유연도 행렬을 더해서 구성됩니다. 이 때 비탄성스프링의 유연도는 사용자가 정의한 집중형 힌지의 접선 유연도와 초기 유연도의 차이로 정의되며 요소가 항복하기 전에는 0입니다. 비선형 힌지의접선 유연도 행렬은 일축(Single Component) 또는 다축-힌지(P-M-M) 모델에 의거한 상태판정으로부터 결정됩니다.
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모멘트-회전각 관계 비선형 보요소의 해석과정은 다음과 같습니다.
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① (1)비선형 보요소의 해석과정의 ①\~⑥의 과정을 통하여 비선형 힌지의유연도와 내력을 산정합니다. 단, 모멘트-회전각 관계 비선형 보요소는증분내력 Δq 를 구한 지점에 비선형 힌지가 위치하므로, Δq 를 비선형힌지의 증분내력Δq 로 그대로 사용합니다.
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② 그림 2.8.53(a)의 골격곡선을 통하여 얻어진 각 성분별 비선형 힌지의 유연도는 초기상태의 유연도와 비탄성스프링의 유연도로 구분하여 나타낼수 있습니다.
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$$
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f _ {n} = f _ {0} + f _ {s p r}; \frac {1}{k _ {n}} = \frac {1}{k _ {0}} + \frac {1}{k _ {s p r}} \tag {69a}
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$$
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$$
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d _ {n} = d _ {e l} + d _ {s p r} \tag {69b}
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$$
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여기서 $f _ { n }$ : 골격곡선을 통하여 얻어진 비선형 힌지의 유연도
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$$
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f _ {0}: \text { 초기 유연도 }
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f _ {s p r}: \text { 비탄성 스프링의 유연도 }
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$$
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$$
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d _ {n}: \text { 비선형 흰지의 변형 }
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d _ {e l}: \text { 탄성변형 }
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$$
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$$
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d _ {s p r}: \text { 비탄성 스프링의 소성변형 }
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$$
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<details>
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<summary>line</summary>
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| Hinge Deform. | Hinge Force |
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| ------------- | ----------- |
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| 0 | 0 |
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| d_el | d_el |
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| d_spr | d_spr |
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| k_n = 1/f_n | 1 |
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</details>
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Flexibility &Deformation of Inelastic Hinge based on Skeleton Curve
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<details>
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<summary>line</summary>
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| Hinge Deform | Hinge Force |
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| ------------ | ----------- |
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| 0 | 0 |
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| d_el | d_el |
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| k₀ | 1/f₀ |
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</details>
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Initial Flexibility& Elastic Deformation of Inelastic Hinge
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<details>
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<summary>line</summary>
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| Hinge Deform | Hinge Force |
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| ------------ | ----------- |
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| Low | Low |
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| Medium | Medium |
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| High | High |
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</details>
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Flexibility & Deformation of Inelastic Spring
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(a)
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(b)
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그림 2.8.53 비선형 힌지의 유연도
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③ 비탄성 스프링의 유연도는 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.
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f _ {s p r} = f _ {n} - f _ {0} \tag {70}
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$$
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④ 전체 비선형 보요소의 유연도행렬은 탄성보의 유연도 행렬에 비탄성 스프링의 유연도 행렬을 더해서 구합니다.
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$$
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\boldsymbol {F} _ {n} = \boldsymbol {F} _ {0} + \sum f _ {s p r} \tag {71}
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$$
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여기서 $F _ { n }$ : 비선형 보요소의 유연도 행렬
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$$
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\boldsymbol {F} _ {0} \quad : \text { 탄성보의 유연도 행렬 }
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$$
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$$
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\sum f _ {s p r}: \text { 비탄성 스프링의 유연도 행렬(단, 탄성상태에서는 0) }
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$$
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비탄성 스프링은 비선형 힌지가 항복내력에 도달한 시점에서 발생하므로탄성범위에서 유연도는 0이 되어, 비선형 힌지가 항복하기 전에는 보요
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소의 유연도 행렬은 탄성보의 유연도와 같습니다. 따라서, 사용자가 설정한 비선형 힌지의 초기강성은 힌지가 항복하기 전에는 해석결과에 영향을 미치지 않음에 주의할 필요가 있습니다.
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⑤ 모멘트-회전각 관계 비선형 보요소의 강성행렬은 비선형 보요소의 유연도 행렬의 역행렬을 취하여 구합니다.
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\- 모멘트-회전각 관계 비선형 보요소의 모멘트 성분 비선형 힌지의 초기강성 휩 변형 힌지의 모멘트-회전각 관계는 단부의 휩 모멘트 뿐만 아니라 부재 중간의 휩 모멘트 분포에 의해서도 영향을 받습니다. 따라서 휩 변형 힌지의 모멘트-회전각 관계를 결정하기 위해서는 휩 모멘트의 분포를 가정할 필요가 있습니다. 일반적으로 그림 2.8.54 \~ 그림 2.8.56과 같이 모멘트가 작용하는 단순보를 기준으로 하여 모멘트 분포의 가정에 의해 초기유연도를 정의하고 초기강성을 설정합니다.
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① 직선분포로 가정된 휨모멘트의 양단값이 크기가 같고 방향이 반대인 경우
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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M_a \theta_a \rightarrow M_b
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\theta_b
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</details>
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(a) Deflection Shape
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(b) Moment Distribution
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그림 2.8.54 역대칭 모멘트를 받는 단순보의 변형상태
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2차원 탄성 보요소의 힘-변위의 관계는 다음과 같이 표현됩니다.
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\left\{ \begin{array}{l} V _ {a} \\ M _ {a} \\ V _ {b} \\ M _ {b} \end{array} \right\} = \frac {E I}{L ^ {3}} \left[ \begin{array}{c c c c} 1 2 & 6 L & - 1 2 & 6 L \\ 6 L & 4 L ^ {2} & - 6 L & 2 L ^ {2} \\ - 1 2 & - 6 L & 1 2 & - 6 L \\ 6 L & 2 L ^ {2} & - 6 L & 4 L ^ {2} \end{array} \right] \left\{ \begin{array}{l} v _ {a} \\ \theta_ {a} \\ v _ {b} \\ \theta_ {b} \end{array} \right\} \tag {72}
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$$
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그림 2.8.54의 경우, $v_{a} = v_{b} = 0$ 이고 $\theta_{a} = \theta_{b}$ 가 되므로, 웃 식는 다음과 같이 표현됩니다.
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