김경종
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\- 체적력
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$$
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\mathbf {F} _ {i} = A \int_ {L _ {e}} N _ {i} \left\{ \begin{array}{l} \omega_ {x} \\ \omega_ {y} \\ \omega_ {z} \end{array} \right\} d L \tag {1.3,20}
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$$
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여기서,
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$$
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\omega_ {x}, \omega_ {y}, \omega_ {z} \quad : \text { 단위 체적당 자중(방향별) }
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$$
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\- 프리스트레스
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$$
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\mathbf {F} _ {i} = - \int_ {L _ {e}} \mathbf {B} _ {i} ^ {T} P d L \quad \left(\mathbf {B} _ {i}: \text {트러스요소와 동일}\right) \tag {1.3.21}
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$$
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여기서,
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$$
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P \quad : \text { 축방향 프리스트레스 (힘) }
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$$
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\- 온도하중
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$$
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\mathbf {F} _ {i} = \int_ {L _ {e}} \mathbf {B} _ {i} ^ {T} E A \alpha \Delta T d L \tag {1.3.22}
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$$
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여기서,
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$$
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\alpha \quad : \text { 열팽창계수 }
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\Delta T \quad : \text { 온도변화 }
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$$
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보요소의 질량은 집중질량(lumped mass)과 분포질량(consistent mass)을 반영할 수 있다. 집중질량은 x,y,z 의 이동변위에 대해서 구성되고, 트러스요소와 같이 크기 $\left(\rho AL_{e}\right)/2$ 로 방향에 무관하게 동일한 값을 갖는다. 보요소의 분포질량은 이동변위와 회전변위에 대하여 모두 반영된다.
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# - 분포질량
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$$
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\mathbf {M} = \frac {\rho A L _ {e}}{4 2 0} \left[ \begin{array}{c c c c c c c c c c c c} 1 4 0 & & & & & & & & & & \\ 0 & 1 5 6 & & & & & & & & & \text {symm.} \\ 0 & 0 & 1 5 6 & & & & & & & & \\ 0 & 0 & 0 & 1 4 0 \frac {J}{A} & & & & & & & \\ 0 & 0 & - 2 2 L _ {e} & 0 & 4 L _ {e} ^ {2} & & & & & & \\ 0 & 2 2 L _ {e} & 0 & 0 & 0 & 4 L _ {e} ^ {2} & & & & & \\ 7 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 4 0 & & & & \\ 0 & 5 4 & 0 & 0 & 0 & 1 3 L _ {e} & 0 & 1 5 6 & & & \\ 0 & 0 & 5 4 & 0 & - 1 3 L _ {e} & 0 & 0 & 0 & 1 5 6 & & \\ 0 & 0 & 0 & 7 0 \frac {J}{A} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 4 0 \frac {J}{A} & & \\ 0 & 0 & 1 3 L _ {e} & 0 & - 3 L _ {e} ^ {2} & 0 & 0 & 0 & 2 2 L _ {e} & 0 & 4 L _ {e} ^ {2} \\ 0 & - 1 3 L _ {e} & 0 & 0 & 0 & - 3 L _ {e} ^ {2} & 0 & - 2 2 L _ {e} & 0 & 0 & 0 & 4 L _ {e} ^ {2} \end{array} \right] \tag {1.3.23}
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$$
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여기서,
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J : 극관성 모멘트(polar moment of inertia)
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# 1-3-4 경계조건
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보요소의 내부 경계조건으로는 단부 해제조건(end release)과 옵셋(offset)이 있다.부재의 양단부가 핀접합 또는 슬롯홀(slot hole) 등에 의해 연결될 경우에 그림 1.3.6과 같은 단부 해제조건을 사용한다. 단부 해제조건은 요소를 구성하는 모든 자유도에대하여 입력이 가능하다. 단부 해제가 수행되는 방향은 요소좌표계를 따르므로, 전체좌표계에 대한 강성의 연결해제를 입력할 경우에는 요소좌표계와의 관계에 주의하여야 한다. 또한 요소의 단부 해제에 따른 강성의 변화가 특이성오류를 발생시킬 수 있으므로, 전체구조물에 대한 충분한 고려가 필요하다.
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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rotational d.o.f. released
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girder
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beam
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</details>
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(a) 핀접합의 경우
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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girder
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axial direction
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d.o.f. released
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slot hole
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column
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</details>
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(b) 슬롯홀접합의 경우
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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rotational d.o.f. released
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rigid connection
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</details>
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(c) 여러 개의 보 요소가 한 절점에 핀접합으로 연결된 경우
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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beam
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wall
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rigid connection
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beam element
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rigid beam element
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for connectivity
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all rotational degree
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of freedom and
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vertical displacement
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degree of freedom
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released
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plane stress or plate element
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</details>
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(d) 절점자유도가 서로 다른 요소끼리 연결된 경우
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그림 1.3.6 보요소의 단부해제 조건
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보요소의 중립축이 절점과 격리되어 있는 경우 또는 연결되는 2개의 요소의 중립축이 일치하지 않는 경우에 별도 절점을 생성하지 않고 옵셋(offset)을 사용하여 모델링 할 수 있다. 옵셋은 Local Offset과 Global Offset으로 분류할 수 있다.
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Global Offset은 전체좌표계를 기준으로 보요소의 양 절점에서 옵셋거리를 정의한다.그림 1.3.7의 경우가 이에 해당되며, 강성과 요소하중의 변환은 강체연결과 같은 변환 관계를 갖는다. 부재의 분포하중, 체적력, 질량 등은 옵셋된 절점을 기준으로 계산되고 요소내력 출력도 옵셋된 요소좌표계에 따른다.
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그림 1.3.7 Global Offset
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Local Offset은 그림 1.3.8과 같이 요소의 길이 방향으로 옵셋을 정의한다. 요소의강성을 계산할 때, 축방향 강성과 비틀림 강성에 대해서는 양 절점 사이의 길이가 사용되고, 전단 강성과 휨 강성을 계산할 때는 옵셋을 제외한 길이를 사용한다.
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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column member
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beam member
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column member
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Rigid Zone
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Rigid Zone
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B
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A
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B
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clear length of beam
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A
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length between nodes (L)
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</details>
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그림 1.3.8 Local Offset (A, B: Local Offset Distance)
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Local Offset을 사용한 요소의 분포하중에 대한 계산은 그림 1.3.9와 같다. 옵셋 구간에 재하되는 하중은 절점상에 전단력만 고려하고, 나머지 구간에 재하된 분포하중은 전단력과 모멘트로 치환하여 고려한다. 체적력은 분포하중과 같은 방법으로 계산한다. 요소내력의 출력위치는 옵셋된 위치에서 출력한다.
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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rigid end offset location at i-th node
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rigid end offset location at j-th node
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distributed load on beam element
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i-th node
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L₁
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L₁ (length for shear/bending stiffness calculation)
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Lⱼ
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j-th node
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Story Level
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L
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zone in which load is converted into
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shear force only at i-th node
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zone in which load is converted into both
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shear and moment
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zone in which load is converted into
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shear force only at j-th node
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V₃
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V₁
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V₂
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V₄
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M₁
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M₂
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locations for member force output(▼)
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</details>
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L=1.0×R "Panel Zone"is selected for the locations of member force output Li=Z× Ri “Offset Position"is selected for the locations of member force output Li= 1.0 × Ri“Panel Zone"is selected for the locations of member force output Li=ZF×Ri “Offset Position"is selected for the locations of member force output R rigid end offset distance at i-th node R rigid end offset distance at j-th node Z rigid end Offset Factor Vi.V2 shear forces due to distributed load between the offset ends Mi,M2 moments due to distributed load between the offset ends V3.V4 shear forces due to distributed load between the offset ends and the nodal points
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그림 1.3.9 보요소의 분포하중 계산 방법
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# 1-3-5 요소결과
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보요소의 해석결과로는 요소당 5개 위치에서의 요소내력을 출력하고, 모든 내력은 요소좌표계를 따른다. 요소의 축방향으로 출력위치는 I-End, 1/4, 2/4, 3/4, J-End이며, 부호는 그림 1.3.10에서 화살표 방향을 향할 때 ‘+’ 부호로 한다. 출력되는 요소내력의 종류는 다음과 같다.
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- 축방향 내력 $N_{x}$
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- 전단력 $Q_{y}, Q_{z}$
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• 비틀림모멘트 $M_{x}$
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• 힘모멘트 $M_{y}, M_{z}$
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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ECS x-axis
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ECS y-axis
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ECS z-axis
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1-End
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1/4 pt
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1/2 pt
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3/4 pt
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J-End
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Mx
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Mz
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Mx
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My
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Qy
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Qz
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Nx
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Qz
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</details>
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그림 1.3.10 보요소의 결과 출력위치 및 성분
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# 1-4 평면응력요소
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# 1-4-1 개요
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평면응력요소는 동일 평면상에 위치한 3, 4, 6, 8개의 절점에 의해 정의되는 삼각형혹은 사각형 요소이며, 두께가 균일한 박판(membrane)을 모델링하는데 주로 사용된다. 요소의 두께방향 응력성분은 존재하지 않으며, 두께방향의 변형률은 포아송(Poisson) 효과에 의해 존재하는 것으로 가정한다. 평면응력요소는 면내변형(in-plane deformation)만을 고려할 수 있으며, 정적(선형/비선형) 해석 및 동적 해석에모두 사용할 수 있다. 평면응력요소에서 변형을 정의하는 응력과 변형률은 다음과 같다.
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$$
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\boldsymbol {\sigma} = \left\{ \begin{array}{l} \sigma_ {x x} \\ \sigma_ {y y} \\ \tau_ {x y} \end{array} \right\}, \quad \boldsymbol {\varepsilon} = \left\{ \begin{array}{l} \varepsilon_ {x x} \\ \varepsilon_ {y y} \\ \gamma_ {x y} \end{array} \right\}
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$$
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(면내방향 응력과 변형률)
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응력과 변형률에 대한 부호규약은 그림 1.4.1과 같고, 화살표 방향이 ‘+’를 의미한다.
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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z
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y
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ECS
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x
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τxy, γxy
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σxx, εxx
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τxy, γxy
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σyy, εyy
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</details>
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그림 1.4.1 평면응력요소의 응력/변형률
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요소좌표계는 오른손법칙에 준한 x, , y z 축의 직교좌표계를 따르며, 방향은 그림1.4.2와 같이 설정된다. 사각형 요소는 절점 1과 절점 4의 중점에서 절점 2와 절점 3의 중점을 향하는 방향을 x 축 방향으로 하며, 삼각형 요소는 절점 1에서 2를 향하는 방향을 x 축 방향으로 설정한다.
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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ECS z-axis
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3
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ECS y-axis
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1
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ECS x-axis
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(1→2 direction)
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2
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</details>
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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ECS z-axis
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4
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||
ECS y-axis
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1
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3
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ECS x-axis
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2
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</details>
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<!-- source-page: 50 -->
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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ECS z-axis
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ECS y-axis
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ECS x-axis
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(1 → 2 direction)
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1
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2
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3
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4
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5
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6
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</details>
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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ECS z-axis
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4
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8
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7
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ECS y-axis
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1
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3
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6
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ECS x-axis
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5
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2
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</details>
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그림 1.4.2 평면응력요소의 좌표계
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평면응력요소의 종류는 연결된 절점 수에 따라 두 가지로 구분할 수 있다. 3절점 삼각형 요소와 4절점 사각형 요소는 1차(linear) 요소이며, 6절점 삼각형 요소와 8절점사각형 요소는 2차(quadratic) 요소이다. 1차 요소의 경우 4절점 사각형 요소는 변위및 응력값의 정확도가 높지만, 3절점 삼각형 요소는 변위에 비해 응력의 정확도가낮은 경향이 있다. 따라서 정밀한 해석결과가 필요한 부위에서는 3절점 삼각형 요소의 사용을 피하는 것이 바람직하다.
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