김경종
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ECS z-axis
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MCS y-axis
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ECS y-axis
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MCS x-axis
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ECS x-axis
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MCS
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projection
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z
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y
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x
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그림 1.5.7 재료좌표계가 요소로 투영된 경우
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판요소는 그림 1.5.8과 같이 절점으로부터 옵셋(offset)을 부여할 수 있다. 옵셋은 절점으로부터 실제로 구조물이 존재하는 위치까지의 거리를 의미하며 요소좌표계의 z방향을 ‘+’ 방향으로 정의한다.
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Part 1 Element Library
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Z₁
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1
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Z₃
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3
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Z₂
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2
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Z₁
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1
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Z₂
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2
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Z₃
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Z₄
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그림 1.5.8 판요소에서 옵셋의 정의
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# 1-5-5 요소결과
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판요소의 해석 결과로는 절점에서의 응력/변형률, 요소내력을 출력하며, 부호와 방향은 요소좌표계를 따른다. 요소좌표계를 기준으로 출력된 결과는 전체좌표계 또는 출력좌표계로 변환하여 볼 수 있다. 응력과 변형률은 z 축을 따라 두 지점에서 계산하며, 면내거동에 대한 두께를 기준으로 상단(z = t/2)과 하단(z = -t/2)이 기본 위치이다. 주변형률 성분 중 $E_{3}$ 은 선형해석의 경우 0으로 간주하였음에 주의해야 한다. 판요소에서 출력되는 응력/변형률, 요소내력의 종류는 다음과 같다.
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• 응력 성분 $\sigma_{xx}, \sigma_{yy}, \tau_{xy}$
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- Von-Mises 응력 $\sqrt{\left(P_{1}^{2}+P_{2}^{2}-P_{1}P_{2}\right)}$
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• 최대 전단응력 $\sqrt{\left(\frac{\sigma_{xx}-\sigma_{yy}}{2}\right)^{2}+\tau_{xy}^{2}}$
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• 주응력 $P_{1}, P_{2}$
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$$
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P _ {i} = \frac {\sigma_ {x x} + \sigma_ {y y}}{2} \pm \sqrt {\left(\frac {\sigma_ {x x} - \sigma_ {y y}}{2}\right) ^ {2} + \tau_ {x y} ^ {2}}
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$$
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- 변형률 성분 $\varepsilon_{xx}, \varepsilon_{yy}, \gamma_{xy}$
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- Von-Mises 변형률 $\frac{2}{3}\sqrt{\left(E_{1}^{2}+E_{2}^{2}-E_{1}E_{2}\right)}$
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• 체적(volumetric) 변형률 $E_{1} + E_{2}$
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• 주변형률 $E_{1}, E_{2}$
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$$
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E _ {i} = \frac {\varepsilon_ {x x} + \varepsilon_ {y y}}{2} \pm \sqrt {\left(\frac {\varepsilon_ {x x} - \varepsilon_ {y y}}{2}\right) ^ {2} + \frac {\gamma_ {x y} ^ {2}}{4}}
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$$
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• 면내방향 내력 $N_{xx}, N_{yy}, N_{xy}$
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- 힘모멘트 $M_{xx}, M_{yy}, M_{xy}$
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- 전단력 $Q_{yz}, Q_{zx}$
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절점에서의 응력/변형률 및 요소내력은 적분점에서 계산된 결과를 이용하여 외삽법 (extrapolation)에 의해 산출된다. 판요소의 적분점은 다음과 같다.
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• 3절점 삼각형 요소: 3 점 가우스 적분
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• 4절점 사각형 요소: 4 점 가우스 적분
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• 6절점 삼각형 요소: 3 점 가우스 적분
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• 8절점 사각형 요소: 4 점 가우스 적분
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응력과 변형률에 대한 부호규약은 평면응력요소와 동일하며, 휨모멘트와 전단력의 방향은 그림 1.5.1과 같다. 그림 1.5.9는 요소내력 중 면내방향 성분의 방향을 나타내며,화살표 방향이 ‘+’ 부호를 의미한다.
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z
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y
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x
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Nxy
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ECS
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Nx
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Nx
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Nxy
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Nyy
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그림 1.5.9 판요소의 결과 방향과 성분(면내 성분)
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# 1-6 평면변형요소
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# 1-6-1 개요
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평면변형요소는 동일 평면상에 위치한 3, 4, 6, 8개의 절점에 의해 정의되는 삼각형또는 사각형 요소가 있으며, 주로 댐(dam) 또는 터널(tunnel) 등과 같이 일정한 단면을 유지하면서 길이가 긴 구조물의 해석에 사용된다. 요소의 두께방향 변형률 성분은존재하지 않으며, 두께방향 응력은 포아송(Poisson) 효과에 의해 존재한다. 평면변형요소는 면내응력만을 고려할 수 있으며, 정적(선형/비선형) 해석 및 동적 해석에 모두 사용할 수 있다. 평면변형요소에서 변형을 정의하는 응력과 변형률은 다음과 같다.
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$$
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\boldsymbol {\sigma} = \left\{ \begin{array}{l} \sigma_ {x x} \\ \sigma_ {y y} \\ \tau_ {x y} \end{array} \right\}, \quad \boldsymbol {\varepsilon} = \left\{ \begin{array}{l} \varepsilon_ {x x} \\ \varepsilon_ {y y} \\ \gamma_ {x y} \end{array} \right\}
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$$
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(면내방향 응력과 변형률)
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응력과 변형률에 대한 부호규약은 그림 1.6.1과 같고, 화살표 방향이 ‘+’를 의미한다.
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y
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x
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τxy,γxy
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σxx,εxx
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τxy,γxy
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σyy,εyy
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그림 1.6.1 평면변형 요소의 응력/변형률
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요소좌표계는 오른손법칙에 준한 x, , y z 축의 직교좌표계를 따르며, 방향은 그림1.6.2와 같이 설정된다. 사각형 요소는 절점 1과 절점 4의 중점에서 절점 2와 절점 3의 중점을 향하는 방향을 x 축 방향으로 하며, 삼각형 요소는 절점 1에서 2를 향하는 방향을 x 축 방향으로 설정한다.
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<summary>text_image</summary>
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3 ECS y-axis
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1 ECS x-axis
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(1→2 direction)
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2
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ECS y-axis
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3
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ECS x-axis
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1
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2
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ECS y-axis
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ECS x-axis
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(1→2 direction)
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1
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3
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4
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5
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6
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ECS y-axis
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3
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7
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4
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ECS x-axis
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1
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2
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그림 1.6.2 평면변형요소의 좌표계
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평면변형요소의 종류는 연결된 절점 수에 따라 두 가지로 구분할 수 있다. 3절점 삼각형 요소와 4절점 사각형 요소는 1차(linear) 요소이며, 6절점 삼각형 요소와 8절점사각형 요소는 2차(quadratic) 요소이다. 1차 요소의 경우 4절점 사각형 요소는 변위및 응력값의 정확도가 높지만, 3절점 삼각형 요소는 변위에 비해 응력의 정확도가낮은 경향이 있다. 따라서 정밀한 해석결과가 필요한 부위에서는 3절점 삼각형 요소의 사용을 피하는 것이 바람직하다. 평면변형요소는 면외방향으로 변형률이 없지만,응력 $\sigma _ { z z }$ 는 존재함에 주의하여야 한다.
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# 1-6-2 유한요소 정식화
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평면변형요소는 등매개변수(isoparametric) 요소로 구성되어 있으며, 4절점 사각형요소의 경우에는 비적합(incompatible) 모드를 이용한다. 그러나, 요소의 정식화 과정은 평면응력요소와 동일하므로 동일하므로 “1.4 평면응력요소”에서 설명했다.등방성(isotropic) 재료인 경우 평면변형요소에서 사용하는 응력과 변형률의 관계는다음과 같다.
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\mathbf {D} = \frac {E (1 - \nu)}{(1 + \nu) (1 - 2 \nu)} \left[ \begin{array}{c c c} 1 & \frac {\nu}{1 - \nu} & 0 \\ \frac {\nu}{1 - \nu} & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \frac {1 - 2 \nu}{2 (1 - \nu)} \end{array} \right] \tag {1.6.1}
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$$
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강성과 변형을 계산하는데 사용되는 변위는 모두 면내에서 정의하지만, 두께 방향의응력이 존재한다. 두께 방향 응력은 등방성 재료인 경우 다음과 같이 계산할 수 있다.
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$$
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\sigma_ {z z} = \nu \left(\sigma_ {x x} + \sigma_ {y y}\right) \tag {1.6.2}
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# 1-6-3. 하중과 질량
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평면변형요소에 적용되는 하중은 체적력(body force), 모서리하중 (edge load), 온도하중(thermal load), 프리스트레스하중(prestress load) 등이 있다. 체적력은 요소의 자중이나 관성력을 표현하고자 하는 하중이고, 모서리하중은 요소의 변에 가해지는 분포하중이다. 온도하중에는 절점온도, 요소온도 하중과 같은 면내방향 열 변형하중이 있다. 체적력과 모서리하중, 온도하중은 평면응력요소와 유사한 방법으로 계산한다. 온도하중의 경우 포아송 효과에 의한 면내 변형을 고려한다.
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평면변형요소의 질량은 집중질량(lumped mass)과 분포질량(consistent mass)을 사용할 수 있으며, x,y 방향의 이동변위만을 반영한다.
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\- 분포질량
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\mathbf {M} _ {i j} = \rho t \int_ {A _ {e}} N _ {i} N _ {j} d A \tag {1.6.3}
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\- 집중질량
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집중질량은 요소 전체질량( $\rho tA_{e}$ )을 분포질량의 대각 항 비율로 분배하여 사용한다
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