김경종
317 lines
11 KiB
Markdown
317 lines
11 KiB
Markdown
<!-- source-page: 91 -->
|
||
|
||
# 1-6-4 요소결과
|
||
|
||
평면변형요소의 해석 결과로는 절점에서의 응력과 변형률을 출력한다. 평면변형요소를 이용한 해석은 전체좌표계의 X-Y, Y-Z, X-Z 중 하나의 평면에서 수행하므로, 응력과 변형률의 결과를 전체좌표계에서 출력한다. 전체좌표계를 기준으로 출력된 결과는 요소좌표계 또는 출력좌표계로 변환하여 볼 수 있다.
|
||
|
||
다음은 X-Y 평면에서 해석하였을 경우, 요소에서 출력되는 응력과 변형률의 종류이다.
|
||
|
||
• 응력 성분 $\sigma_{XX}, \sigma_{YY}, \sigma_{ZZ}, \tau_{XY}$
|
||
- Von-Mises 응력 $\sqrt{\left(P_{1}^{2}+P_{2}^{2}+P_{3}^{2}-P_{1}P_{2}-P_{2}P_{3}-P_{3}P_{1}\right)}$
|
||
• 최대 전단응력 $\frac{\max(|P_{1}-P_{2}|,|P_{2}-P_{3}|,|P_{3}-P_{1}|)}{2}$
|
||
• 주응력 $P_{1}, P_{2}, P_{3}$
|
||
|
||
$$
|
||
P _ {i} = \frac {\sigma_ {X X} + \sigma_ {Y Y}}{2} \pm \sqrt {\left(\frac {\sigma_ {X X} - \sigma_ {Y Y}}{2}\right) ^ {2} + \tau_ {X Y} ^ {2}} \quad \text {과} \quad \sigma_ {Z Z} \quad \text {중 큰 값부터} \quad P _ {1}, P _ {2}, P _ {3} \text {이}
|
||
$$
|
||
|
||
다.
|
||
|
||
• 변형률 성분 $\varepsilon_{XX}, \varepsilon_{YY}, \gamma_{XY}$
|
||
- Von-Mises 변형률 $\frac{2}{3}\sqrt{\left(E_{1}^{2}+E_{2}^{2}-E_{1}E_{2}\right)}$
|
||
• 체적(volumetric) 변형률 $E_{1} + E_{2}$
|
||
|
||
<!-- source-page: 92 -->
|
||
|
||
\- 주변형률
|
||
|
||
$$
|
||
E _ {1}, E _ {2}
|
||
$$
|
||
|
||
$$
|
||
E _ {i} = \frac {\varepsilon_ {X X} + \varepsilon_ {Y Y}}{2} \pm \sqrt {\left(\frac {\varepsilon_ {X X} - \varepsilon_ {Y Y}}{2}\right) ^ {2} + \frac {\gamma_ {X Y} ^ {2}}{4}}
|
||
$$
|
||
|
||
절점에서의 응력/변형률 및 요소내력은 적분점에서 계산된 결과를 이용하여 외삽법 (extrapolation)에 의해 산출된다. 평면변형요소의 적분점은 다음과 같다.
|
||
|
||
• 3절점 삼각형 요소: 1 점 가우스 적분
|
||
• 4절점 사각형 요소: 4 점 가우스 적분
|
||
• 6절점 삼각형 요소: 3 점 가우스 적분
|
||
• 8절점 사각형 요소: 9 점 가우스 적분
|
||
|
||
응력과 변형률에 대한 부호규약은 그림 1.6.3과 같고, 화살표 방향이 ‘+’ 부호를 의미한다.
|
||
|
||
|
||
|
||
<details>
|
||
<summary>text_image</summary>
|
||
|
||
σ_zz
|
||
(ε_zz = 0)
|
||
τ_xy, γ_xy
|
||
σ_xx, ε_xx
|
||
τ_xy, γ_xy
|
||
σ_yy, ε_yy
|
||
GCS
|
||
X
|
||
Y
|
||
Z
|
||
</details>
|
||
|
||
그림 1.6.3 평면변형요소의 결과 방향과 성분
|
||
|
||
<!-- source-page: 93 -->
|
||
|
||
# 1-7 축대칭요소
|
||
|
||
# 1-7-1 개요
|
||
|
||
축대칭요소는 형상, 재질, 하중 조건 등이 임의의 축에 대해 회전대칭 조건을 만족하는 구조물(deep well, circular foundation 및 circular tunnel 등)의 해석에 사용한다. 축대칭요소는 다른 종류의 요소들과 혼용할 수 없으며, 정적(선형/비선형) 해석에사용 가능하다. 축대칭요소는 구조물의 축대칭적 특성을 근거로 하기 때문에 원주방향 전단변형을 고려하지 않는다. 축대칭요소에서 변형을 정의하는 응력과 변형률은다음과 같다.
|
||
|
||
$$
|
||
\boldsymbol {\sigma} = \left\{ \begin{array}{l} \sigma_ {x x} \\ \sigma_ {y y} \\ \sigma_ {z z} \\ \tau_ {x y} \end{array} \right\}, \quad \boldsymbol {\varepsilon} = \left\{ \begin{array}{l} \varepsilon_ {x x} \\ \varepsilon_ {y y} \\ \varepsilon_ {z z} \\ \gamma_ {x y} \end{array} \right\} (\text {단면내방향 응력/변형률과 원주방향 수직응력/변형률})
|
||
$$
|
||
|
||
응력과 변형률에 대한 부호규약은 그림 1.7.1과 같고, 화살표 방향이‘+’를 의미한다.
|
||
|
||
|
||
|
||
<details>
|
||
<summary>text_image</summary>
|
||
|
||
GCS → X
|
||
z
|
||
y
|
||
ECS
|
||
x
|
||
z
|
||
σxx, εxx
|
||
τxy, γxy
|
||
σyy, εyy
|
||
τxy, γxy
|
||
</details>
|
||
|
||
그림 1.7.1 축대칭요소의 응력/변형률
|
||
|
||
<!-- source-page: 94 -->
|
||
|
||
요소좌표계는 오른손법칙에 준한 x, y, z 축의 직교좌표계를 따르며, 방향은 그림1.7.2와 같이 설정된다. 사각형 요소는 절점 1과 절점 4의 중점에서 절점 2와 절점 3의 중점 방향을 x 축을 향하는 방향으로 하며, 삼각형 요소는 절점 1에서 2를 향하는 방향을 x 축 방향으로 설정한다.
|
||
|
||
|
||
|
||
<details>
|
||
<summary>text_image</summary>
|
||
|
||
3 ECS y-axis
|
||
1 ECS x-axis
|
||
(1 → 2 direction)
|
||
2
|
||
</details>
|
||
|
||
|
||
|
||
<details>
|
||
<summary>text_image</summary>
|
||
|
||
ECS y-axis
|
||
4
|
||
3
|
||
ECS x-axis
|
||
1
|
||
2
|
||
</details>
|
||
|
||
<!-- source-page: 95 -->
|
||
|
||
|
||
|
||
<details>
|
||
<summary>text_image</summary>
|
||
|
||
ECS y-axis
|
||
ECS x-axis
|
||
(1→2 direction)
|
||
1
|
||
2
|
||
3
|
||
4
|
||
5
|
||
6
|
||
</details>
|
||
|
||
|
||
|
||
<details>
|
||
<summary>text_image</summary>
|
||
|
||
ECS y-axis
|
||
3
|
||
7
|
||
4
|
||
8
|
||
6
|
||
ECS x-axis
|
||
1
|
||
5
|
||
2
|
||
</details>
|
||
|
||
그림 1.7.2 축대칭요소의 좌표계
|
||
|
||
<!-- source-page: 96 -->
|
||
|
||
축대칭요소는 전체좌표계에서 Z 축에 대한 대칭 구조만을 모사하므로, X Z − 평면에존재하여야 한다. 요소의 두께는 그림 1.7.3과 같이 단위 폭( 1.0radian )만큼 자동으로 고려된다.
|
||
|
||
|
||
|
||
<details>
|
||
<summary>text_image</summary>
|
||
|
||
Z(axis of rotation)
|
||
1.0 radian (unit width)
|
||
an axisymmetric element
|
||
X
|
||
Y
|
||
</details>
|
||
|
||
그림 1.7.3 축대칭요소의 강성 계산영역
|
||
|
||
축대칭요소의 종류는 연결된 절점 수에 따라 두 가지로 구분할 수 있다. 3절점 삼각형 요소와 4절점 사각형 요소는 1차(linear) 요소이며, 6절점 삼각형 요소와 8절점사각형 요소는 2차(quadratic) 요소이다. 축대칭요소에는 원주방향으로 수직응력과변형률이 존재함에 주의해야 한다.
|
||
|
||
<!-- source-page: 97 -->
|
||
|
||
# 1-7-2 유한요소 정식화
|
||
|
||
축대칭요소는 등매개변수(isoparametric) 요소로 구성되어 있으며, 비적합 (incompatible) 모드는 사용하지 않는다. 그리고 요소좌표계에서 x, y 방향의 이동 변위(translation) u, v 만을 가진다.
|
||
|
||
$$
|
||
\mathbf {u} _ {i} = \left\{u _ {i} \quad v _ {i} \right\} ^ {T} \tag {1.7.1}
|
||
$$
|
||
|
||
축대칭요소는 절점 개수에 관계 없이 유사한 과정으로 강성을 계산할 수 있기 때문에, 절점 수 N 개를 가지는 요소에 대하여 일괄적으로 설명한다.
|
||
|
||
요소 내 임의의 좌표 x,y 와 이동변위 u,v 는 다음과 같이 나타낼 수 있다.
|
||
|
||
$$
|
||
x = \sum_ {i = 1} ^ {N} N _ {i} x _ {i}, y = \sum_ {i = 1} ^ {N} N _ {i} y _ {i}, u = \sum_ {i = 1} ^ {N} N _ {i} u _ {i}, v = \sum_ {i = 1} ^ {N} N _ {i} v _ {i} \tag {1.7.2}
|
||
$$
|
||
|
||
• 3절점 삼각형
|
||
|
||
$$
|
||
N _ {1} = 1 - \xi - \eta , N _ {2} = \xi , N _ {3} = \eta \tag {1.7.3}
|
||
$$
|
||
|
||
4절점 사각형
|
||
|
||
$$
|
||
N _ {1} = \frac {1}{4} (1 - \xi) (1 - \eta), N _ {2} = \frac {1}{4} (1 + \xi) (1 - \eta),
|
||
$$
|
||
|
||
$$
|
||
N _ {3} = \frac {1}{4} (1 + \xi) (1 + \eta), N _ {4} = \frac {1}{4} (1 - \xi) (1 + \eta) \tag {1.7.4}
|
||
$$
|
||
|
||
6절점 삼각형
|
||
|
||
$$
|
||
N _ {1} = (1 - \xi - \eta) (1 - 2 \xi - 2 \eta), N _ {2} = \xi (2 \xi - 1), N _ {3} = \eta (2 \eta - 1)
|
||
$$
|
||
|
||
$$
|
||
N _ {4} = 4 \xi (1 - \xi - \eta), N _ {5} = 4 \xi \eta , N _ {6} = 4 \eta (1 - \xi - \eta) \tag {1.7.5}
|
||
$$
|
||
|
||
<!-- source-page: 98 -->
|
||
|
||
• 8절점 사각형
|
||
|
||
$$
|
||
N _ {1} = \frac {1}{4} (1 - \xi) (1 - \eta) - \frac {1}{2} N _ {5} - \frac {1}{2} N _ {8}, \quad N _ {2} = \frac {1}{4} (1 + \xi) (1 - \eta) - \frac {1}{2} N _ {5} - \frac {1}{2} N _ {6}
|
||
$$
|
||
|
||
$$
|
||
N _ {3} = \frac {1}{4} (1 + \xi) (1 + \eta) - \frac {1}{2} N _ {6} - \frac {1}{2} N _ {7}, \quad N _ {4} = \frac {1}{4} (1 - \xi) (1 + \eta) - \frac {1}{2} N _ {7} - \frac {1}{2} N _ {8}
|
||
$$
|
||
|
||
$$
|
||
N _ {5} = \frac {1}{2} (1 - \xi^ {2}) (1 - \eta), N _ {6} = \frac {1}{2} (1 + \xi) (1 - \eta^ {2}), N _ {7} = \frac {1}{2} (1 - \xi^ {2}) (1 + \eta)
|
||
$$
|
||
|
||
$$
|
||
N _ {8} = \frac {1}{2} (1 - \xi) (1 - \eta^ {2}) \tag {1.7.6}
|
||
$$
|
||
|
||
절점 변위와 변형률 ε 의 관계는 $B_{i}$ 에 의하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.
|
||
|
||
$$
|
||
\boldsymbol {\varepsilon} = \sum_ {i = 1} ^ {N} \mathbf {B} _ {i} \mathbf {u} _ {i} \tag {1.7.7}
|
||
$$
|
||
|
||
행렬 $B_{i}$ 는 형상함수의 미분값으로 다음과 같이 표현된다.
|
||
|
||
$$
|
||
\mathbf {B} _ {i} = \left[ \begin{array}{c c} \frac {\partial N _ {i}}{\partial x} & 0 \\ 0 & \frac {\partial N _ {i}}{\partial y} \\ \alpha \frac {N _ {i}}{X} & \beta \frac {N _ {i}}{X} \\ \frac {\partial N _ {i}}{\partial y} & \frac {\partial N _ {i}}{\partial x} \end{array} \right] \tag {1.7.8}
|
||
$$
|
||
|
||
$$
|
||
\alpha : \vec {x} \bullet \overrightarrow {X}
|
||
$$
|
||
|
||
$$
|
||
\beta \quad : \vec {y} \bullet \vec {X}
|
||
$$
|
||
|
||
요소좌표계 x,y 에서의 반지름으로 전체좌표계의 X 값을 사용하였다.
|
||
|
||
행렬 $B_{i}$ 를 이용하여 면내변형에 관계된 요소강성 행렬을 표현하면 다음과 같다.
|
||
|
||
$$
|
||
\mathbf {K} _ {i j} = \int_ {A _ {e}} X \mathbf {B} _ {i} ^ {T} \mathbf {D} \mathbf {B} _ {j} d A \tag {1.7.9}
|
||
$$
|
||
|
||
<!-- source-page: 99 -->
|
||
|
||
위 식은 1.0radian 에 대한 강성이 된다. 등방성(isotropic) 재료인 경우 축대칭요소에서 사용하는 응력과 변형률의 관계는 다음과 같다.
|
||
|
||
$$
|
||
\mathbf {D} = \frac {E (1 - \nu)}{(1 + \nu) (1 - 2 \nu)} \left[ \begin{array}{c c c c} 1 & \frac {\nu}{1 - \nu} & \frac {\nu}{1 - \nu} & 0 \\ \frac {\nu}{1 - \nu} & 1 & \frac {\nu}{1 - \nu} & 0 \\ \frac {\nu}{1 - \nu} & \frac {\nu}{1 - \nu} & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac {1 - 2 \nu}{2 (1 - \nu)} \end{array} \right] \tag {1.7.10}
|
||
$$
|
||
|
||
<!-- source-page: 100 -->
|
||
|
||
# 1-7-3 하중
|
||
|
||
축대칭요소에 적용되는 하중은 체적력(body force), 모서리하중(edge load), 온도하중(thermal load), 프리스트레스하중(prestress load) 등이 있다. 체적력은 요소의 자중이나 관성력을 표현하고자 하는 하중이고, 모서리하중은 요소의 변에 가해지는 분포하중이다. 축대칭요소에서 사용하는 모서리하중은 단위 면적당 힘을 의미하며, 절점에 입력된 하중은 원주(2πr)에 대해 적분된 값으로 간주하므로 입력 시에 주의해야 한다.
|
||
|
||
\- 체적력
|
||
|
||
$$
|
||
\mathbf {F} _ {i} = \int_ {A _ {e}} X N _ {i} \left\{ \begin{array}{l} \omega_ {x} \\ \omega_ {y} \\ \omega_ {z} \end{array} \right\} d A \tag {1.7.11}
|
||
$$
|
||
|
||
여기서,
|
||
|
||
$$
|
||
\omega_ {x}, \omega_ {y}, \omega_ {z} \quad : \text { 단위 체적당 자중(방향별) }
|
||
$$
|
||
|
||
\- 모서리하중
|
||
|
||
$$
|
||
\mathbf {F} _ {i} = \int_ {L} X N _ {i} \left\{ \begin{array}{l} P _ {x} \\ P _ {y} \\ 0 \end{array} \right\} d s \tag {1.7.12}
|
||
$$
|
||
|
||
여기서,
|
||
|
||
$$
|
||
P _ {x}, P _ {y} \quad : \text { 단위 면적당 하중(방향별) }
|
||
$$
|
||
|
||
\- 온도하중
|
||
|
||
$$
|
||
\mathbf {F} _ {i} = \int_ {A _ {e}} X \mathbf {B} _ {i} ^ {T} \mathbf {D} \left\{ \begin{array}{l} \alpha_ {x} \\ \alpha_ {y} \\ \alpha_ {z} \\ 0 \end{array} \right\} \Delta T d A \tag {1.7.13}
|
||
$$
|