김경종
330 lines
13 KiB
Markdown
330 lines
13 KiB
Markdown
<!-- source-page: 131 -->
|
||
|
||
격자는 xˆ , yˆ 방향 요소축이 있고, 각 요소축 방향으로만 강성이 존재하므로 전단력에 대해서는 저항하지 못한다. 이 때 직교성 재료를 사용하고 있는 격자의 경우 각요소축 방향에 서로 다른 두께(thickness)를 사용할 수 있다. 그리고 하나의 요소축에 입력되는 두께를 등가두께라고 한다.
|
||
|
||
<!-- source-page: 132 -->
|
||
|
||
# 2-3 유한요소 정식화
|
||
|
||
철근의 공간상 위치는 철근을 구성하는 세그먼트들의 위치절점들로 정의된다. 철근세그먼트가 n개의 위치절점으로 구성되어 있고, 각각의 점은 $X_{re}^{i}, Y_{re}^{i}, Z_{re}^{i}$ 로 정의되어 있다고 하면, 철근세그먼트의 위치점을 식 (2.3.1) 과 같은 행렬로 정리할 수 있다. 여기서 위 첨자는 철근세그먼트의 위치점 번호를 나타낸다.
|
||
|
||
$$
|
||
\mathbf {X} _ {r e} = \left\{ \begin{array}{c c c c} X _ {r e} ^ {1} & X _ {r e} ^ {2} & \dots & X _ {r e} ^ {n} \\ Y _ {r e} ^ {1} & Y _ {r e} ^ {2} & \dots & Y _ {r e} ^ {n} \\ Z _ {r e} ^ {1} & Z _ {r e} ^ {2} & \dots & Z _ {r e} ^ {n} \end{array} \right\} \tag {2.3.1}
|
||
$$
|
||
|
||
철근세그먼트의 형상함수는 식 (2.3.2) 와 같이 나타낼 수 있다.
|
||
|
||
$$
|
||
\mathbf {N} = \left\{N _ {1} \quad N _ {2} \quad \dots \quad N _ {n} \right\} \tag {2.3.2}
|
||
$$
|
||
|
||
여기서 형상함수의 구성성분 $N_{i}(i=1,2,\ldots,n)$ 는 철근의 형태에 따라 다르며, 각 형상함수는 다음과 같다.
|
||
|
||
2절점 선 형상의 철근바세그먼트의 형상함수
|
||
|
||
$$
|
||
N _ {1} (\xi) = \frac {1}{2} (1 - \xi), N _ {2} (\xi) = \frac {1}{2} (1 + \xi) \tag {2.3.3}
|
||
$$
|
||
|
||
3절점 선 형상의 철근바세그먼트의 형상함수
|
||
|
||
$$
|
||
N _ {1} (\xi) = - \frac {1}{2} (1 - \xi) \xi , N _ {2} (\xi) = \frac {1}{2} (1 + \xi) \xi , N _ {3} (\xi) = \left(1 - \xi^ {2}\right) \tag {2.3.4}
|
||
$$
|
||
|
||
4절점 형상의 철근격자세그먼트의 형상함수
|
||
|
||
$$
|
||
N _ {1} (\xi , \eta) = \frac {1}{4} (1 - \xi) (1 - \eta), N _ {2} (\xi , \eta) = \frac {1}{4} (1 + \xi) (1 - \eta)
|
||
$$
|
||
|
||
$$
|
||
N _ {3} (\xi , \eta) = \frac {1}{4} (1 + \xi) (1 + \eta), N _ {4} (\xi , \eta) = \frac {1}{4} (1 - \xi) (1 + \eta) \tag {2.3.5}
|
||
$$
|
||
|
||
<!-- source-page: 133 -->
|
||
|
||
8절점 형상의 철근격자세그먼트의 형상함수
|
||
|
||
$$
|
||
\begin{array}{l} N _ {1} (\xi , \eta) = \frac {1}{4} (1 - \xi) (1 - \eta) - \frac {1}{2} N _ {5} - \frac {1}{2} N _ {8} \\ N _ {2} (\xi , \eta) = \frac {1}{4} (1 + \xi) (1 - \eta) - \frac {1}{2} N _ {5} - \frac {1}{2} N _ {6} \tag {2.3.6} \\ N _ {3} (\xi , \eta) = \frac {1}{4} (1 + \xi) (1 + \eta) - \frac {1}{2} N _ {6} - \frac {1}{2} N _ {7} \\ N _ {4} (\xi , \eta) = \frac {1}{4} (1 - \xi) (1 + \eta) - \frac {1}{2} N _ {7} - \frac {1}{2} N _ {8} \\ N _ {5} (\xi , \eta) = \frac {1}{2} (1 - \xi^ {2}) (1 - \eta) \\ N _ {6} (\xi , \eta) = \frac {1}{2} (1 + \xi) (1 - \eta^ {2}) \\ N _ {7} (\xi , \eta) = \frac {1}{2} (1 - \xi^ {2}) (1 + \eta) \\ N _ {8} (\xi , \eta) = \frac {1}{2} (1 - \xi) (1 - \eta^ {2}) \\ \end{array}
|
||
$$
|
||
|
||
3절점 삼각형 형상의 철근격자세그먼트의 형상함수
|
||
|
||
$$
|
||
N _ {1} (\xi , \eta) = 1 - \xi - \eta
|
||
$$
|
||
|
||
$$
|
||
N _ {2} (\xi , \eta) = \xi
|
||
$$
|
||
|
||
$$
|
||
N _ {3} (\xi , \eta) = \eta \tag {2.3.7}
|
||
$$
|
||
|
||
6절점 삼각형 형상의 철근격자세그먼트의 형상함수
|
||
|
||
$$
|
||
N _ {1} = (1 - \xi - \eta) (1 - 2 \xi - 2 \eta), N _ {2} = \xi (2 \xi - 1), N _ {3} = \eta (2 \eta - 1)
|
||
$$
|
||
|
||
<!-- source-page: 134 -->
|
||
|
||
$$
|
||
N _ {4} = 4 \xi (1 - \xi - \eta), N _ {5} = 4 \xi \eta , N _ {6} = 4 \eta (1 - \xi - \eta) \tag {2.3.8}
|
||
$$
|
||
|
||
철근세그먼트의 j 번째 수치 적분점에서
|
||
|
||
$$
|
||
\mathbf {N} (j) \mathbf {X} _ {r e} \tag {2.3.9}
|
||
$$
|
||
|
||
는 각각 철근세그먼트의 j 번째 적분점의 위치를 의미한다. 철근의 세그먼트는 모재요소의 내부에 삽입되어 있기 때문에 철근세그먼트의 적분점도 모재요소의 내부에 존재한다.
|
||
|
||
midas FEA 에서 사용하는 각 요소들은 등매개 맵핑(isoparametric mapping) 기법을 사용하고 있다. 이 때 앞서 구한, 모재요소의 내부에 존재하는 철근의 적분점도 모재요소가 맵핑된 등매개 좌표 상에서의 위치를 계산할 수 있다.
|
||
|
||
모재요소가 3차원 요소일 경우 모재요소의 등매개 좌표 상에서 철근세그먼트의 j 번째 수치 적분점은 다음과 같다.
|
||
|
||
$$
|
||
\mathbf {G} _ {j} (\xi , \eta , \varsigma) \tag {2.3.10}
|
||
$$
|
||
|
||
2차원 모재요소에 삽입되는 철근세그먼트의 j 번째 수치 적분점은 다음과 같다.
|
||
|
||
$$
|
||
\mathbf {G} _ {j} (\xi , \eta) \tag {2.3.11}
|
||
$$
|
||
|
||
철근세그먼트의 j 번째 적분점에서 철근세그먼트의 변형률과 모재요소 변위와의 관계를 나타낸 변형률-변위 행렬은 다음과 같다.
|
||
|
||
$$
|
||
\widehat {\mathbf {B}} _ {\text {Re in..}} ^ {j} = \mathbf {B} _ {\text {mother}} \left(\mathbf {G} _ {j}\right) \tag {2.3.12}
|
||
$$
|
||
|
||
이와 같이 구해진 철근세그먼트의 변형률-변위 행렬은 모재요소의 요소좌표계를 사용한다. 철근세그먼트의 강성은 철근의 요소좌표계에서의 변형률 $\varepsilon_{xx}$ , $\varepsilon_{yy}$ 를 사용하여 나타내어 진다. 따라서 앞서 구한 $\hat{B}_{rein}$ 은 모재요소의 요소좌표계에서 철근세그먼트의 요소좌표계로 회전시켜주어야 한다.
|
||
|
||
<!-- source-page: 135 -->
|
||
|
||
모재요소가 3차원 요소라면 다음과 같이 모재요소의 요소좌표계에서의 변형률을 철근세그먼트의 요소좌표계에서의 변형률로 변환 할 수 있다.
|
||
|
||
$$
|
||
\mathbf {T} \left\{ \begin{array}{c} \varepsilon_ {x x} \\ \varepsilon_ {y y} \\ \vdots \\ \varepsilon_ {z z} \end{array} \right\} = \left\{ \begin{array}{c} \varepsilon_ {\widehat {x x}} \\ \varepsilon_ {\widehat {y y}} \end{array} \right\} \tag {2.3.13}
|
||
$$
|
||
|
||
여기서,
|
||
|
||
T : 모재요소의 등매개좌표계와 철근세그먼트의 요소좌표계
|
||
사이의 회전변환 행렬
|
||
|
||
같은 변환이 B 행렬의 변환에도 사용될 수 있다.
|
||
|
||
$$
|
||
\mathbf {B} _ {\text { Re in. }} ^ {j} = \mathbf {T} \widehat {\mathbf {B}} _ {\text { Re in. }} ^ {j} \tag {2.3.14}
|
||
$$
|
||
|
||
철근세그먼트의 구성행렬(constitutive matrix)은 다음과 같이 나타낼 수 있다.
|
||
|
||
철근바 일 경우
|
||
|
||
$$
|
||
\mathbf {D} = \mathbf {E} _ {\tilde {x} \tilde {x}} A _ {e} \tag {2.3.15}
|
||
$$
|
||
|
||
여기서,
|
||
|
||
$A_{e}$ : 철근바의 단면적
|
||
|
||
등방성 재료를 사용하는 철근격자일 경우
|
||
|
||
$$
|
||
\mathbf {D} = \left[ \begin{array}{c c} \mathbf {E} _ {\hat {x} \hat {x}} t _ {\hat {x} \hat {x}} & 0 \\ 0 & \mathbf {E} _ {\hat {x} \hat {x}} t _ {\hat {x} \hat {x}} \end{array} \right] \tag {2.3.16}
|
||
$$
|
||
|
||
이방성 재료를 사용하는 철근격자일 경우
|
||
|
||
$$
|
||
\mathbf {D} = \left[ \begin{array}{c c} \mathbf {E} _ {\hat {x} \hat {x}} t _ {\hat {x} \hat {x}} & 0 \\ 0 & \mathbf {E} _ {\hat {y} \hat {y}} t _ {\hat {y} \hat {y}} \end{array} \right] \tag {2.3.17}
|
||
$$
|
||
|
||
여기서,
|
||
|
||
<!-- source-page: 136 -->
|
||
|
||
$$
|
||
\begin{array}{l} \mathbf {E} _ {\hat {x} \hat {x}} \quad : \hat {x} \text { 축 영 계수(Young's moduls) } \\ \mathbf {E} _ {\hat {y} \hat {y}} \quad : \hat {y} \text { 축영계수 } \\ t _ {\hat {x} \hat {x}} \quad : \hat {x} \text { 축 두께 } \\ t _ {\hat {y} \hat {y}} \quad : \hat {y} \text { 축 두께 } \\ \end{array}
|
||
$$
|
||
|
||
철근세그먼트의 요소좌표계에서의 응력은 다음과 같이 구할 수 있다.
|
||
|
||
$$
|
||
\left\{ \begin{array}{l} \sigma_ {x x} \\ \sigma_ {y y} \end{array} \right\} = \mathbf {D} \left\{ \begin{array}{l} \varepsilon_ {x x} \\ \varepsilon_ {y y} \end{array} \right\} \tag {2.3.18}
|
||
$$
|
||
|
||
철근세그먼트에 의한 강성행렬 식은 다음과 같다.
|
||
|
||
$$
|
||
\mathbf {K} _ {\text { rein }} ^ {e} = \int_ {V} \mathbf {B} _ {\text { Rein }} ^ {T} \mathbf {D} \mathbf {B} _ {\text { Rein }} d V \tag {2.3.19}
|
||
$$
|
||
|
||
그리고 철근세그먼트에 의한 내력(internal force)식은 다음과 같이 구해진다.
|
||
|
||
$$
|
||
\int_ {V} \mathbf {B} _ {\text { Rein }} ^ {T} \boldsymbol {\sigma} d V = \mathbf {F} _ {\text { rein }} \tag {2.3.20}
|
||
$$
|
||
|
||
여기서,
|
||
|
||
σ : 철근세그먼트의 응력
|
||
|
||
식 (2.3.19)와 식 (2.3.20) 을 수치적분 식으로 다시 전개하면, 철근세그먼트의 강성행렬과 내력행렬의 수치적분 식을 다음과 같이 나타낼 수 있다.
|
||
|
||
$$
|
||
\sum_ {j = 1} ^ {N i p} \mathbf {B} _ {R r e i n} ^ {j} {} ^ {T} \mathbf {D} \mathbf {B} _ {R e i n} ^ {j} \det \mathbf {J} ^ {j} \tag {2.3.21}
|
||
$$
|
||
|
||
$$
|
||
\sum_ {j = 1} ^ {N i p} \mathbf {B} _ {R r e i n} ^ {j} {} ^ {T} \boldsymbol {\sigma} \det \mathbf {J} ^ {j} \tag {2.3.22}
|
||
$$
|
||
|
||
여기서,
|
||
|
||
Nip : 철근세그먼트의 적분점 수
|
||
|
||
<!-- source-page: 137 -->
|
||
|
||
# 2-4 평면변형요소에 삽입되는 철근
|
||
|
||
2-4-1 철근바
|
||
|
||
평면변형요소에 삽입되는 철근요소는 그림 2.4.1과 같이 점 형상을 가진다.
|
||
|
||
|
||
|
||
<details>
|
||
<summary>text_image</summary>
|
||
|
||
Y
|
||
t
|
||
X
|
||
Z
|
||
X
|
||
</details>
|
||
|
||
|
||
|
||
<details>
|
||
<summary>text_image</summary>
|
||
|
||
σₓₓ
|
||
</details>
|
||
|
||
element node
|
||
location point
|
||
|
||
그림 2.4.1 평면변형요소에 삽입되는 철근바
|
||
|
||
평면변형요소에 삽입되는 철근바는 점 형상을 가지므로 철근바를 섹션으로 분할하는 별도의 분할이 필요하지 않다.
|
||
|
||
<!-- source-page: 138 -->
|
||
|
||
그림 2.4.2의 왼쪽 그림은 고차 평면변형요소에 삽입된 철근바를 보이고 있으며오른쪽 그림은 여러 개의 철근바가 평면변형요소 1, 2, 3, 4 에 삽입이 된 모델을 보이고 있다.
|
||
|
||
|
||
|
||
<details>
|
||
<summary>text_image</summary>
|
||
|
||
1
|
||
</details>
|
||
|
||
|
||
|
||
<details>
|
||
<summary>text_image</summary>
|
||
|
||
2
|
||
26
|
||
4
|
||
25
|
||
1
|
||
3
|
||
24
|
||
</details>
|
||
|
||
|
||
|
||
element node
|
||
|
||
bar location
|
||
|
||
그림 2.4.2 평면변형요소에 삽입되는 철근바와 위치절점
|
||
|
||
평면변형요소에서의 철근바는 축방향 변형률 성분 $\varepsilon _ { x x }$ 와 응력성분 $\sigma _ { x x }$ 를 가지게 된다.
|
||
|
||
# 2-4-2 철근격자
|
||
|
||
평면변형요소에 삽입되는 철근격자는 2점 혹은 3점으로 정의되는 선 형상을 가지고 있다. 평면변형요소에 삽입되는 철근격자는 평면응력요소에 삽입되는 철근격자와 다르게 정의된다. 평면변형요소에 삽입되는 철근격자는 평변변형요소의평면에 수직으로 삽입된다.
|
||
|
||
<!-- source-page: 139 -->
|
||
|
||
|
||
|
||
<details>
|
||
<summary>text_image</summary>
|
||
|
||
Y
|
||
Y
|
||
t
|
||
x
|
||
Z
|
||
X
|
||
element node
|
||
location point
|
||
integration point
|
||
</details>
|
||
|
||
그림 2.4.3 평면변형요소에 삽입되는 철근격자
|
||
|
||
평면변형요소와 삽입되는 철근격자가 정의된 선을 따라 수치적분을 수행하게 된다.평면변형요소에 삽입되는 철근격자는 요소축방향을 따라 변형률 성분 $\varepsilon _ { x x }$ 와 $\varepsilon _ { y y }$ 및응력성분 $\sigma _ { x x }$ 와 $\sigma _ { y y }$ 를 가진다. 평면변형요소에 삽입되는 철근격자의 x축은 철근격자와 평면변형요소가 접하는 선의 접선방향으로 자동적으로 설정된다. 따라서 다른철근격자와는 달리 별도의 요소축을 입력할 필요는 없다. 평면변형요소에 삽입되는철근격자는 선의 접선 방향이 보강재의 x축으로 자동적으로 설정되며 각각의 축방향으로 서로 다른 영 계수나 두께를 정의할 수 있다.
|
||
|
||
평면변형요소에 삽입되는 철근격자는 선으로 정의한 후에 자동메쉬(auto-mesh)기능을 사용하여 철근섹션으로 분할한다. 그리고 철근섹션은 평면변형요소에 따라 철근세그먼트로 분할된다. 분할된 철근섹션은 철근절점을 사용하여 정의되며,선 형상을 가지고 있다. midas FEA 에서 입력 가능한 평면변형요소의 격자섹션은 그림 2.4.4 와 같다. 생선의 뼈와 같은 형태는 철근격자를 이루고 있는 선이평면변형요소의 두께방향으로 연장되어 삽입되어 있는 것을 나타낸다.
|
||
|
||
<!-- source-page: 140 -->
|
||
|
||
|
||
|
||
<details>
|
||
<summary>text_image</summary>
|
||
|
||
1
|
||
2
|
||
1
|
||
2
|
||
3
|
||
Y
|
||
Z
|
||
X
|
||
</details>
|
||
|
||
그림 2.4.4 철근격자섹션과 철근절점
|
||
|
||
그림 2.4.5는 철근격자가 섹션 1과 섹션 2로 구성된 철근격자섹션으로 분할되는방식을 보이고 있다. 섹션 1은 고차 섹션이고, 섹션 2는 저차 섹션이다. 각각의섹션이 이루는 선과 평면변형요소의 테두리가 교차하는 점이 계산되고 섹션은세그먼트로 분할된다. 각각의 세그먼트들은 하나의 모체요소에 완전히 삽입되어있으며 위치절점을 사용하여 정의된다. 고차 세그먼트의 섹션에서 분할된 세그먼트는 중간 위치절점을 사용하여 정의된다.
|
||
|
||
|
||
|
||
<details>
|
||
<summary>line</summary>
|
||
|
||
| x | y |
|
||
|----|----|
|
||
| 24 | 24 |
|
||
| 25 | 25 |
|
||
| 26 | 26 |
|
||
| 27 | 27 |
|
||
</details>
|
||
|
||
그림 2.4.5 평면변형요소에 삽입되는 철근격자섹션
|