김경종
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# Analysis and Algorithm Manual
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# Part 6 Potential Flow Analysis
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Chapter 1. General Heat Transfer Analysis
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Chapter 2. Heat of Hydration Analysis
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# Chapter 1. General Heat Transfer Analysis
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# 1-1 개요
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토목 및 건축구조물 중에서 고온에 노출 가능성이 있는 구조물에는 시간에 따른온도 변화 및 구배(gradient)가 심하게 발생한다. 열전달(heat transfer) 해석은 이러한 구조물의 시간에 따른 온도 분포를 계산함으로써 구조물의 열전달 특성을 파악하고 나아가 온도 변화에 기인한 구조적 반응(변형, 응력)을 알아내기 위한 것이다. 짧은 기간 안에 막대한 양의 콘크리트를 타설할 때 발생하는 수화열 또는 화재등으로 인한 구조물의 국소적 가열은 열전달 해석을 필요로 하는 대표적인 예이다.
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열전달의 메커니즘(mechanism)에는 전도(conduction), 대류(convection) 그리고복사(radiation) 현상이 있다. 분자나 전자의 진동이 연쇄반응에 의해 고온에서 저온구역으로 에너지를 전달하는 현상을 전도라 하며, 액체나 기체와 같이 매질의이동에 의해 에너지가 전달되는 것을 대류라 한다. 서로 떨어져 있는 물체는 그 사이에 매질이 존재하지 않아도 전자기파 형태의 에너지를 교환하며 이를 복사 현상이라 한다.
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midas FEA 에서는 고체 물질에서 가장 활발한 메커니즘인 전도에 기초하여 열전도 방정식을 유한요소법으로 해석하고, 대류 현상은 경계조건 또는 하중의 형태로고려한다.
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# 1-2 열전달 방정식
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전도에 의해 지배되는 열전달 방정식은 에너지 보존 법칙에 근거한다. 예를 들어일정한 부피 V 와 이를 둘러 싸고 있는 면적 S 가 있을 때, 에너지 보존은 다음과같이 만족한다.
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\text { 열증가율 } (V) = \text { 열유량 } (S) + \text { 발열률 } (V)
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부피 V 에서의 열증가율은 비열(specific heat)과 밀도(density)에 의해 다음과 같이 계산할 수 있다.
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\text { rate of increase of heat in } V = \int_ {V} \rho c \frac {\partial T}{\partial t} d V \tag {1.2.1}
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여기서,
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c \quad : \text { 비열 } (J / k g \cdot {} ^ {\circ} C)
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\rho \quad : \text { 밀도 } (k g / m ^ {3})
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전도에 의해 전달되는 열유량(heat flow rate)은 Fourier의 법칙에 의해 온도구배(temperature gradient)와 열전도율(thermal conductivity)를 이용하여 계산된다.
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\text { rate of heat conduction across } S = \int_ {S} k (\nabla T) \cdot \mathbf {n} d S \tag {1.2.2}
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여기서,
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k \quad : \text { 열전도율 } (J / m \cdot h r \cdot {} ^ {\circ} C)
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\nabla T \quad : \text { 온도구배 } (^ {\circ} C / m)
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단위 부피당 발열률을 Q 라 하고 열전도율이 공간상에서 일정하고 방향 별로 같다고 가정하면 식 (1.2.1)과 (1.2.2)에 의해 열전달 지배방정식을 다음과 같이 얻을수 있다.
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\rho c \frac {\partial T}{\partial t} = k \nabla^ {2} T + Q \tag {1.2.3}
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위 식을 유한요소법에 의한 공간이산화 하면 다음과 같이 시간에 대한 행렬 미분방정식이 되며 해석결과는 각 시간 별 절점 온도이다.
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\mathrm{CT} + \mathrm{KT} = \mathrm{R} \tag {1.2.4}
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여기서,
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C : 열용량(capacitance) 행렬
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K : 열전도(conduction) 행렬
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R : 열하중 벡터
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열용량 행렬은 밀도와 비열에 의해 계산되는 요소별 행렬이며 midas FEA에서는분포행렬(consistent matrix) 형태를 사용하고 있다. 열전도 행렬은 일반적으로 열전도율에 의해 계산되는 요소별 행렬이며, 대류 경계조건에 의한 영향이 반영된다.열하중 벡터는 발열(heat source), 열속(heat flux), 열유량 하중에 의해 계산되며대류 경계조건에 의한 영향이 반영된다.
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midas FEA에서는 정상상태(steady state) 온도응답과 과도(transient)응답의 해를모두 계산할 수 있다. 정상상태의 해는 식 (1.2.4)에서 열용량 행렬의 효과를 무시하면 간단하게 계산할 수 있다.
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\mathrm{KT} = \mathrm{R} \tag {1.2.5}
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과도응답의 해는 다음과 같은 시간에 대한 수치적분을 통하여 계산한다. 시간 it 에서의 온도상태( Ti )와 시간 i+1t 에서의 온도상태( Ti+1 )가 식 (1.2.4)를 각각 만족한다고 가정하면 다음과 같다.
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\mathrm{CT} _ {i} + \mathrm{KT} _ {i} = \mathrm{R} _ {i} \tag {1.2.6}
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\mathrm{CT} _ {i + 1} + \mathrm{KT} _ {i + 1} = \mathrm{R} _ {i + 1}
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$$
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식 (1.2.6)을 α 와 1− α 로 가중평균하면 다음과 같다.
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\mathrm{C} \left(\alpha \dot {\mathrm{T}} _ {i + 1} + (1 - \alpha) \dot {\mathrm{T}} _ {i}\right) + \mathrm{K} \left(\alpha \mathrm{T} _ {i + 1} + (1 - \alpha) \mathrm{T} _ {i}\right) \tag {1.2.7}
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= \alpha \mathrm{R} _ {i + 1} + (1 - \alpha) \mathrm{R} _ {i}
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식 (1.2.7)에 다음의 관계를 적용하면 Ti 와 Ti+1 로 이루어진 방정식을 얻을 수 있다.
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\alpha \dot {\mathrm{T}} _ {i + 1} + (1 - \alpha) \dot {\mathrm{T}} _ {i} = \frac {\mathrm{T} _ {i + 1} - \mathrm{T} _ {i}}{\Delta t _ {i + 1}} \tag {1.2.8}
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\left[ \mathrm{C} + \alpha \Delta t _ {i + 1} \mathrm{K} \right] \mathrm{T} _ {i + 1} = \tag {1.2.9}
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\left[ \mathrm{C} - (1 - \alpha) \Delta t _ {i + 1} \mathrm{K} \right] \mathrm{T} _ {i} + \Delta t _ {i + 1} \left[ \alpha R _ {i + 1} + (1 - \alpha) R _ {i} \right]
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또는 다음과 같이 등가의 행렬로 치환하여 간단하게 표현할 수 있다.
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\overline {{{\mathrm{K}}}} \mathrm{T} _ {i + 1} = \overline {{{R}}}
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\overline {{{\mathbf {K}}}} = \left[ \mathbf {C} + \alpha \Delta t _ {i + 1} \mathbf {K} \right] \mathrm{T} _ {i + 1} \tag {1.2.10}
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\overline {{{\mathrm{R}}}} = \left[ \mathrm{C} - (1 - \alpha) \Delta t _ {i + 1} \mathrm{K} \right] \mathrm{T} _ {i} + \Delta t _ {i + 1} \left[ \alpha \mathrm{R} _ {i + 1} + (1 - \alpha) \mathrm{R} _ {i} \right]
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$$
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식 (1.2.10)은 도입한 적분변수(α )에 따라서 아래와 같이 구분이 되고 적분변수에따라서 수렴조건이 달라진다.
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\alpha = 0. 0: \text { 전향 차분(forward difference) } (\Delta t \text { 의 크기에 따라 수렴 })
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\alpha = 0. 5: \text {Crank - Nicolson (무조건 수렴)}
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\alpha = 2 / 3: \text { Galerkin 법 (무조건 수렴) }
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\alpha = 1. 0: \text { 후방 차분(backward difference) } (\text { 무조건 수렴 })
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midas FEA 에서는 α = 0.0인 경우를 제외하고 모든α 값을 사용할 수 있다. α에 따른 1차 미분방정식의 비정상해석 결과의 특징은 다음과 같은 간단한 1차원확산방정식(1-dimensional diffusion equation)의 해를 비교함으로써 확인할 수있다.
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1 \text { 차원 확산방정식 }: \frac {\partial^ {2} \phi}{\partial x ^ {2}} = \frac {\partial \phi}{\partial t}
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\text { 경계조건 }: \frac {\partial \phi (0 , t)}{\partial x} = 0 (t < 0), - \frac {\partial \phi (0 , t)}{\partial x} = 1 (t > 0), \frac {\partial \phi (L , t)}{\partial x} = 0
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초기조건 : φ( , 0) 0 x =
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다음의 그래프는 무조건 수렴이라는 특성을 갖는 세 가지의 알고리즘에 대해 두개의 시간증분에 대한 결과를 비교한 것이며, 그 특징은 다음과 같이 정리할 수 있다.
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\- Crank-Niconsol법 ( α = 0.5)
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시간증분이 클 경우, 시간이 지남에 따라 사라지기는 하지만 계산초기에 상대적으로 큰 오실레이션(oscillation) 현상을 보인다. 시간증분을 줄일 경우에는 결과의 정확도가 크게 개선된다.
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\- Galerkin법 ( α = 2/3)
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시간증분이 클 경우, 계산초기에 역시 오실레이션 현상을 보이기는 하지만Crank-Nicolson법에 비해 그 정도는 약하다. 시간증분과 무관하게 계산초기 결과의 정확도는 가장 좋다.
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\- 후방차분법 ( α = 1.0)
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오실레이션 현상을 보이지는 않지만, 상대적으로 결과를 과소평가한다. 시간증분을 줄일 경우에는 결과의 정확도가 개선되지만 상대적으로 미소하다.
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4가지 알고리즘 중에서 α =0.5인 Crank-Nicolson법이 무조건 수렴하고 시간증분에 대해 2차의 수렴도( 2 O t ( ) ∆ )를 제공한다는 특징으로 인해 일반적으로 가장 많이 사용된다. 하지만, 2차 요소를 사용하거나 파이프쿨링(pipe cooling)을 적용할경우에는 오실레이션 현상을 발생할 수 있으며, 이러한 오실레이션 현상을 방지하기 위하여 후방차분법을 사용하는 것이 좋다.
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<details>
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<summary>line</summary>
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| t | Analytical Solution | Crank-Nicolson (α=0.5) | Galerkin (α=2/3) | Backward Difference (α=1.0) |
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| ---- | ------------------- | ---------------------- | ---------------- | --------------------------- |
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| 0.1 | 0.38 | 0.43 | 0.38 | 0.32 |
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| 0.2 | 0.48 | 0.48 | 0.48 | 0.45 |
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| 0.3 | 0.60 | 0.65 | 0.62 | 0.58 |
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| 0.4 | 0.70 | 0.70 | 0.70 | 0.68 |
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| 0.5 | 0.80 | 0.82 | 0.80 | 0.78 |
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| 0.6 | 0.88 | 0.88 | 0.88 | 0.85 |
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| 0.7 | 0.95 | 0.95 | 0.95 | 0.92 |
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| t | 1.00 | 1.00 | 1.00 | 1.00 |
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</details>
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(a) Δt=0.10의 경우
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<details>
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<summary>line</summary>
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| t | Analytical Solution | Crank-Nicolson (α=0.5) | Galerkin (α=2/3) | Backward Difference (α=1.0) |
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| ---- | ------------------- | ---------------------- | ---------------- | --------------------------- |
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| 0.1 | 0.35 | - | 0.35 | 0.35 |
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| 0.2 | 0.50 | - | 0.50 | 0.50 |
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| 0.3 | 0.60 | - | 0.60 | 0.60 |
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| 0.4 | 0.70 | - | 0.70 | 0.70 |
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| 0.5 | 0.80 | - | 0.80 | 0.80 |
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| 0.6 | 0.90 | - | 0.90 | 0.90 |
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| 0.7 | 0.95 | - | 0.95 | 0.95 |
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| 1.0 | 1.00 | - | 1.00 | 1.00 |
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</details>
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(b) Δt=0.05의 경우
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그림 1.2.1. α값에 따른 이론치와의 해석결과 비교
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# 1-3 요소
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열전달 해석에 사용되는 요소는 1차원, 2차원 그리고 3차원 요소로 구분되며 특수한 효과를 얻기 위해 탄성연결(elastic link) 요소와 계면(interface) 요소를 사용할수 있다.
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# 1차원 요소
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열전달 해석에 사용되는 1차원 요소는 트러스요소, 보요소이다. 열전달 해석에서두 요소는 동일한 성질을 가지게 되며 열용량행렬과 열전도행렬은 다음과 같다.
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\mathrm{C} _ {i j} = \int_ {L _ {e}} \rho c A N _ {i} N _ {j} d L \tag {1.3.1}
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\mathrm{K} _ {i j} = \int_ {L _ {e}} k A \frac {\partial N _ {i}}{\partial x} \frac {\partial N _ {j}}{\partial x} d L \tag {1.3.2}
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여기서,
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A : 요소의 단면적
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# 2차원 요소
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열전달 해석에 사용되는 2차원 요소는 평면응력요소, 평면변형요소, 축대칭요소 그리고 판요소이다. 열전달 해석에서 3가지 요소는 모두 동일한 성질을 가지게 되며열용량행렬과 열전도행렬은 다음과 같다.
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\mathrm{C} _ {i j} = \int_ {A _ {e}} \rho c t N _ {i} N _ {j} d A \tag {1.3.3}
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\mathrm{K} _ {i j} = \int_ {A _ {e}} k t \left(\frac {\partial N _ {i}}{\partial x} \frac {\partial N _ {j}}{\partial x} + \frac {\partial N _ {i}}{\partial y} \frac {\partial N _ {j}}{\partial y}\right) d L \tag {1.3.4}
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여기서,
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t : 요소의 두께
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축대칭 요소의 경우 두께 대신 반지름을 이용한다.
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# 3차원 요소
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열전달 해석에 사용되는 3차원 요소는 입체요소이다. 열전달 해석에서 가장 많이사용되는 요소이며 열용량행렬과 열전도행렬은 다음과 같다.
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C _ {i j} = \int_ {V _ {e}} \rho c N _ {i} N _ {j} d V \tag {1.3.5}
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$$
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\mathrm{K} _ {i j} = \int_ {V _ {e}} k \left(\frac {\partial N _ {i}}{\partial x} \frac {\partial N _ {j}}{\partial x} + \frac {\partial N _ {i}}{\partial y} \frac {\partial N _ {j}}{\partial y} + \frac {\partial N _ {i}}{\partial z} \frac {\partial N _ {j}}{\partial z}\right) d V \tag {1.3.6}
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$$
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여기서,
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$$
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V _ {e} \quad : \text { 요소의 체적 }
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# 기타 요소
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열전달 해석에서 추가적으로 사용할 수 있는 요소는 탄성연결요소와 계면요소이다.탄성연결요소는 1차원 요소와 유사하지만, 열전도도(thermal conductance)를 입력해야 하고 열용량이 없다는 점이 다르다. 탄성연결요소의 열전도행렬은 다음과같다.
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\mathrm{K} _ {i i} = k _ {A}
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\mathrm{K} _ {i j} = - k _ {A} (i \neq j) \tag {1.3.7}
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여기서,
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$$
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k _ {e} \quad : \text { 열전도도 } (J / h r \cdot {} ^ {\circ} C)
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계면요소 역시 열용량이 없으며 대류계수(convection coefficient)를 입력 받아 열전도행렬에 반영한다. 계면요소의 열전도행렬은 다음과 같다.
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\mathrm{K} _ {i j} = \int_ {A _ {e}} h N _ {i} N _ {j} d A \quad (i, j \text { 가 같은 면의 절점일 때 })
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$$
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\mathrm{K} _ {i j} = - \int_ {A _ {e}} h N _ {i} N _ {j} d A \quad (i, j \text { 가 다른 면의 절점일 때 }) \tag {1.3.8}
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$$
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여기서,
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$$
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h \quad : \text { 대류계수 } (J / m ^ {2} \cdot h r \cdot {} ^ {\circ} C)
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