김경종
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3.4 Rod 요소
Rod 요소는 2/3개의 절점에 의해 정의되는 1차원 선 요소이며, 일반적으로 공간트러스(space truss) 또는 대각부재(diagonal brace) 등 단면적에 비해 길이가긴 부재를 모델링하는데 사용된다.
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M_x, \u0394_x N_xx, \u0394_xx ECS - x 2 3 1 M_x, \u0394_x N_xx, \u0394_xx
그림 3.4.1 Rod 요소의 좌표계와 응력/변형률
• 좌표계
Rod 요소의 ECS에서 x축 방향은 절점 1에서 2 방향을 향한다. 유한요소 정식화는 ECS를 기준으로 한다.
• 자유도
Rod 요소는 ECS의 x축 방향으로 변위와 회전을 자유도로 가진다.
\mathbf {u} _ {i} = \left\{u _ {i} \right\}, \quad \mathbf {0} _ {i} = \left\{\theta_ {x i} \right\} \tag {3.4.1}
• 응력과 변형률
Rod 요소는 그림 3.4.1과 같이 ECS에서 정의된 축방향 변형와 비틀림을 표현한다.
\mathbf {N} = \left\{N _ {x x} \right\}, \varepsilon = \left\{\varepsilon_ {x x} \right\} \quad \text {(축방향 힘과 변형률)} \tag {3.4.2}
\mathbf {T} = \left\{M _ {x} \right\}, \quad \boldsymbol {\varphi} = \left\{\phi_ {x} \right\} (\text { 비틀림 모멘트와 비틀림 }) \tag {3.4.3}
• 하중
Rod 요소에 적용되는 하중은 다음과 같다.
표 3.4.1 Rod 요소에 적용되는 하중
| 하중 종류 | 설명 |
| 중력 | 재료의 밀도와 비구조 질량에 대해 적용 |
| 회전 관성력 | 재료의 밀도와 비구조 질량에 대해 적용 |
| 초기 힘/스트레스 | 선행하중으로 축방향에 대한 초기 하중으로 재하재하된 초기 하중으로부터 요소의 내력이 증분됨 |
| 프리텐션 | 선행하중으로 축방향에 대한 초기 하중으로 재하재하된 초기 하중이 유지되며, 해당 요소의 축방향 강성이 무시됨 |
• 요소 결과
Rod 요소를 사용했을 경우에 요소 결과 항목은 다음과 같으며 기준 좌표계는항상 ECS이다.
표 3.4.2 Rod 요소의 결과 항목
| 결과 항목 | 설명 | |
| Stress | Axial stress | 위치 : A-B 단, $\sigma_{xx}$ |
| Torsional stress | 위치 : A-B 단,비틀림 응력 계수 $c$ 로부터계산( $\tau = Tc / J$ ) | |
| Strain | Axial strain | 위치 : A-B 단, $\varepsilon_{xx}$ |
| Torsional strain | 위치 : A-B 단 | |
| Force/Moment | Axial force | 위치 : A-B 단, $N_{xx}$ |
| Torque | 위치 : A-B 단, $M_x$ | |
| Misc. | Strain energy | 위치 : 요소 중심 |
| Total percent energy | 위치 : 요소 중심 | |
| Energy density | 위치 : 요소 중심 |
• 비선형 해석
Rod 요소는 기하학적 비선형성을 고려할 수 있으며, 탄소성 재료를 적용할 수있다. 또한, 인장전담/훅, 압축전담/갭 과 같은 비선형 강성 모델도 고려할 수 있다.
그림 3.4.2에서 h _ { 0 } 와 c _ { 0 } 는 훅길이, 허용 압축 하중을 의미하며, g _ { 0 } 와 t _ { 0 } 는 갭길이, 허용 인장 하중을 의미한다.
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fₓₓ c₀ h₀ δₓₓ
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f_{xx} t_0 g_0 \delta_{xx}
그림 3.4.2 Rod 요소의 인장전담/훅, 압축전담/갭 거동
비선형 해석에서의 결과 항목은 다음과 같다.
표 3.4.3 Rod 요소의 비선형해석 결과 항목
| 결과 항목 | 설명 | |
| Stress | Equivalent stress | 위치 : A-B 단,소성 모델에 따라 계산, $\sigma_{eq}$ |
| Plastic status | 위치 : A-B 단,탄성/소성, 0/1 | |
| Strain | Equivalent strain | 위치 : A-B 단,소성 모델에 따라 계산, $\varepsilon_{eq}$ |
| Effective plastic strain | 위치 : A-B 단, $e_{p}$ | |
3.5 Embedded Rod 요소
Embedded Rod 요소의 형상, 좌표계, 물성치와 같은 입력변수는 Rod 요소의 그것과 동일하다. 하지만 Rod 요소를 다른 요소와 함께 사용할 때에는 반드시 절점을 공유해야 하는 반면, Embedded Rod 요소는 절점을 공유하지 않아도 되기때문에 편리하게 모델링 및 해석을 할 수 있다. Embedded Rod 요소는 그림3.5.1과 같이 모체 요소(mother element)에 매립된 형태로 사용되며, plate,membrane, axisymmetric, plane strain, solid 요소에 매립될 수 있다.
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Mother Element 1 1 2 Mother Element 2
그림 3.5.1 모체 요소 안의 Embedded Rod 요소
Embedded Rod 요소의 모체 요소는 Embedded Rod 요소의 각 절점을 포함 하는 요소로 결정되며, 각 절점의 변위는 모체요소의 내부 변위와 일치하도록 다절점 구속식(multi-point constraint)을 통해 자동 구속된다.
• 좌표계
Embedded Rod 요소의 ECS에서 x축 방향은 절점 1에서 2 방향을 향한다. 유한요소 정식화는 ECS를 기준으로 한다.
• 자유도
Embedded Rod 요소는 ECS의 x축 방향으로 변위를 자유도로 가진다.
\mathbf {u} _ {i} = \left\{u _ {i} \right\} \tag {3.5.1}
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Nₓₓ, εₓₓ Nₓₓ, εₓₓ 1 2 ECS-x
그림 3.5.2 Embedded Rod 요소의 좌표계와 응력/변형률
• 응력과 변형률
Embedded Rod 요소는 그림 3.5.2과 같이 ECS에서 정의된 축방향 변형와 비틀림을 표현한다.
\mathbf {N} = \left\{N _ {x x} \right\}, \varepsilon = \left\{\varepsilon_ {x x} \right\} \tag {3.5.2}
(축방향 힘과 변형률)
• 하중
Embedded Rod 요소에 적용되는 하중은 다음과 같다.
표 3.5.1 Embedded Rod 요소에 적용되는 하중
| 하중 종류 | 설명 |
| 중력 | 재료의 밀도와 비구조 질량에 대해 적용 |
| 요소 온도 하중 | 축방향 변형을 유발하는 요소 온도 |
| 초기 힘/스트레스 | 선행하중으로 축방향에 대한 초기 하중으로 재하재하된 초기 하중으로부터 요소의 내력이 증분됨 |
| 프리텐션 | 선행하중으로 축방향에 대한 초기 하중으로 재하재하된 초기 하중이 유지되며, 해당 요소의축방향 강성이 무시됨 |
• 요소 결과
Embedded Rod 요소를 사용했을 경우에 요소 결과 항목은 다음과 같으며 기준좌표계는 항상 ECS이다.
표 3.5.2 Rod 요소의 결과 항목
| 결과 항목 | 설명 | |
| Stress | Axial stress | 위치 : A-B 단, $\sigma_{xx}$ |
| Strain | Axial strain | 위치 : A-B 단, $\varepsilon_{xx}$ |
| Force | Axial force | 위치 : A-B 단, $N_{xx}$ |
• 비선형 해석
Embedded Rod 요소는 Rod 요소와 마찬가지로, 기하학적 비선형성과 재료적인비선형성을 고려할 수 있다. 이에 대한 설명과 결과 항목은 Rod 요소와 일치한다.
3.6 Bar 요소
Bar 요소는 2/3개의 절점에 의해 정의되는 1차원 선요소이며, 단면의 치수에 비하여 길이가 긴 부재가 굽힘 변형을 받을 때 주로 사용된다. 길이에 대한 단면의 폭 또는 높이비가 대략 1/5 보다 커질 경우에는 전단변형에 의한 영향이 매우 커지게 되므로, bar 요소를 사용하지 않고 shell 요소나 solid 요소를 사용하는 것이 바람직하다.
• 좌표계
Bar 요소의 ECS에서 x축 방향은 절점 1에서 2 방향을 향한다. ECS에서 y축과 z축의 방향은 기준 절점 또는 기준 벡터를 이용하여 결정한다. 그림 3.6.1은 기준절점을 이용하여 x-y 평면을 결정하는 방법을 보여주고 있다. 이 때 기준 절점은 ECS의 x축 선상에 있지 않아야 한다. 그림 3.6.2는 기준 벡터를 이용하여 x-y평면을 결정하는 방법을 나타내고 있다. 기준 벡터 역시 ECS의 x축과 평행하게정의할 수 없다. Bar 요소의 유한요소 정식화는 ECS에 대하여 수행한다.
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ECS - y ECS - z Reference node ECS - x 1 2 3 z y GCS x
그림 3.6.1 기준절점을 이용한 bar 요소의 좌표계 설정
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ECS - y ECS - z Reference vector ECS - x 1 2 3 z y GCS x
그림 3.6.2 기준벡터를 이용한 bar 요소의 좌표계 설정
- 자유도
Bar 요소는 ECS의 모든 축 방향으로 변위와 회전을 자유도로 가진다.
\mathbf {u} _ {i} = \left\{u _ {i} \quad v _ {i} \quad w _ {i} \right\} ^ {T}, \quad \boldsymbol {\theta} _ {i} = \left\{\theta_ {x i} \quad \theta_ {y i} \quad \theta_ {z i} \right\} ^ {T} \tag {3.6.1}
- 응력과 변형률
Bar 요소는 그림 3.6.3과 같이 ECS에서 정의된 축방향 변형, 굽힘, 비틀림, 전단 변형 등을 고려할 수 있다. 전단 변형을 고려하지 않는 Euler 이론을 적용할 경우에는 전단 단면적 계수(shear area factor)에 0을 입력하면 된다.
\mathbf {N} = \left\{N _ {x x} \right\}, \varepsilon = \left\{\varepsilon_ {x x} \right\} \quad \text {(축방향 힘과 변형률)} \tag {3.6.2}
\mathbf {M} = \left\{ \begin{array}{l} M _ {y} \\ M _ {z} \end{array} \right\}, \quad \mathbf {K} = \left\{ \begin{array}{l} \kappa_ {y} \\ \kappa_ {z} \end{array} \right\} \quad (\text { Golf림 모멘트와 곡률 }) \tag {3.6.3}
\mathbf {T} = \left\{M _ {x} \right\}, \quad \boldsymbol {\varphi} = \left\{\phi_ {x} \right\} \quad (\text {비틀림 모멘트와 비틀림 }) \tag {3.6.4}
\mathbf {Q} = \left\{ \begin{array}{l} Q _ {y} \\ Q _ {z} \end{array} \right\}, \quad \boldsymbol {\gamma} = \left\{ \begin{array}{l} \gamma_ {x y} \\ \gamma_ {z x} \end{array} \right\} \quad \text {(전단력과 전단변형률)} \tag {3.6.5}