김경종
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# 3.11 Shell 요소
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Shell 요소는 곡면 상에 위치한 3/4/6/8 개의 절점으로 이루어지는 삼각형 또는사각형 요소이다. 압력용기 등과 같이 두께가 얇은 구조물이 굽힘 변형을 받을때 주로 이용하며, 2차원 응력상태 및 굽힘, 전단 변형을 고려할 수 있다.
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# • 좌표계
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Shell 요소는 곡면 상에 위치하는 경우가 많기 때문에 절점이 동일한 평면 상에존재하지 않을 수 있으며, ECS의 정의에서도 이를 반영해야 한다. 삼각형 shell요소의 ECS는 절점 1에서 절점 2를 향하는 방향을 x 축으로 하며, 이 벡터와 절점 1에서 3을 향하는 벡터의 외적 방향을 z 축으로 한다. 사각형 요소의 경우에는 절점 1에서 3을 향하는 대각선과 절점 4에서 2를 향하는 대각선이 이루는각을 이등분하는 방향을 x축으로 하며, 이들 두 벡터의 외적 방향을 z축으로 한다. Shell 요소의 유한요소 정식화는 ECS에 대해 수행한다.
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ECS - z
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ECS - y
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ECS - x
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ECS - x
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ECS - y
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ECS - z
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ECS - y
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ECS - x
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그림 3.11.1 Shell 요소의 좌표계
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Shell 요소에서 직교이방성 재료를 사용하려면 재료의 주축을 적절한 방향으로향하게 해야 한다. 재료의 방향(MCS)을 정의하는 방법은 membrane 요소와 동일하게 절점 1과 2 사이를 연결하는 변으로부터의 각도 또는 임의의 좌표계를이용할 수 있다.
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• 곡면 모델링
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midas NFX에서 사용하는 shell 요소는 각 절점마다 디렉터(director)라 불리는고유의 수직 벡터21가 존재한다고 가정하며 이 벡터의 움직임으로 변형을 표현한다. 요소 절점에서의 회전자유도 방향은 디렉터를 기준으로 정의하기 때문에요소 내력 중에서 디렉터 방향의 모멘트는 존재하지 않는다. 이 벡터는 요소면에 수직한 경우도 있으나, 곡면을 shell 요소로 모델링한 경우에는 그렇지 않다.
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Surface normal t
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Element normal n₁ β₁ β₂ Element normal n₂
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Shell 1 Shell 2
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그림 3.11.2 곡면을 모델링한 shell 요소 사이의 각도
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예를 들어 그림 3.11.2 와 같이 인접한 요소간에 작은 꺾임각이 존재하는 경우다음과 같이 곡면 수직벡터를 계산할 수 있다.
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\mathbf {t} = \frac {\sum \mathbf {n} _ {i}}{\left\| \sum \mathbf {n} _ {i} \right\|} \tag {3.11.1}
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t : 곡면 수직 벡터
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ni : 요소면에 수직한 벡터
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이 때, t 와 n 가 이루는 각도 가 허용치를 넘어서게 되면 곡면의 일부분이아닌 실제로 꺾인 구조물로 간주하여 곡면 수직 벡터를 정의하지 않는다. 곡면수직 벡터가 정의되지 않은 절점에서는 요소면에 수직한 벡터를 디렉터로 간주한다.
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곡면 수직 벡터를 생성하여 기하학적 형상을 정확하게 표현하는 것은 결과의 정확도에 큰 기여를 하기도 하지만, 대칭 조건을 이용하여 원통 모양의 절반 또는 1/4을 모델링 하였을 경우에는 주의가 필요하다. 대칭 조건이 부여된 변에는 그림 3.11.2의 shell 2가 존재하지 않기 때문에 기하학적으로 정확한 곡면 수직 벡터를 얻을 수 없다. 이러한 경우에는 오히려 곡면 수직 벡터를 생성하지 않는 것이 좋다.
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\- 자유도
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Shell 요소는 ECS의 x, y, z축 모든 방향 변위를 자유도로 가진다.
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\mathbf {u} _ {i} = \left\{u _ {i} \quad v _ {i} \quad w _ {i} \right\} ^ {T} \tag {3.11.2}
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회전 자유도는 디렉터에 수직한 두 방향으로 정의된다.
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\boldsymbol {\theta} _ {i} = \left\{ \begin{array}{l l} \theta_ {\bar {x} i} & \theta_ {\bar {y} i} \end{array} \right\} \tag {3.11.3}
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디렉터는 앞서 설명한 바와 같이 곡면 수직 벡터 또는 요소면 수직 벡터이다. 절점 당 6 자유도를 가지는 6DOF(drilling DOF 포함) 옵션을 사용하면 회전 자유도가 모든 방향으로 정의된다.
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$$
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\boldsymbol {\theta} _ {i} = \left\{\theta_ {\bar {x} i} \quad \theta_ {\bar {y} i} \quad \theta_ {\bar {z} i} \right\} ^ {T} \tag {3.11.4}
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$$
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\- 응력과 변형률
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Shell 요소는 그림 3.11.3과 같이 ECS에서 정의된 2차원 응력 상태와 굽힘, 전단 변형을 고려할 수 있다. midas NFX의 shell 요소는 전단 변형을 항상 고려한다.
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$$
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\mathbf {N} = \left\{ \begin{array}{l} N _ {x x} \\ N _ {y y} \\ N _ {x y} \end{array} \right\}, \quad \boldsymbol {\varepsilon} = \left\{ \begin{array}{l} \varepsilon_ {x x} \\ \varepsilon_ {y y} \\ \gamma_ {x y} \end{array} \right\} \quad (\text {면내방향 합력과 변형률}) \tag {3.11.5}
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$$
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$$
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\mathbf {M} = \left\{ \begin{array}{l} M _ {x x} \\ M _ {y y} \\ M _ {x y} \end{array} \right\}, \quad \mathbf {K} = \left\{ \begin{array}{l} \kappa_ {x x} \\ \kappa_ {y y} \\ \kappa_ {x y} \end{array} \right\} \quad (\text { 굽힘 모멘트와 곡률 }) \tag {3.11.6}
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$$
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$$
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\mathbf {Q} = \left\{ \begin{array}{l} Q _ {x x} \\ Q _ {y z} \end{array} \right\}, \quad \boldsymbol {\gamma} = \left\{ \begin{array}{l} \gamma_ {z x} \\ \gamma_ {y z} \end{array} \right\} \quad (\text {전단력과 전단변형률}) \tag {3.11.7}
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$$
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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M_{xy},\kappa_{xy}\nN_{yy},\varepsilon_{yy}\nN_{xy},\gamma_{xy}\nM_{yy},\kappa_{yy}\nQ_{zx},\gamma_{zx}\nM_{xy},\kappa_{xy}\nN_{xx},\varepsilon_{xx}\nN_{xy},\gamma_{xy}\nM_{xx},\kappa_{xx}\nECS-y\nECS-x\nQ_{yz},\gamma_{yz}\nM_{xx},\kappa_{xx}\nN_{xy},\gamma_{xy}\nN_{xx},\varepsilon_{xx}\nM_{xy},\kappa_{xy}\nM_{yy},\kappa_{yy}\nN_{xy},\gamma_{xy}\nN_{yy},\varepsilon_{yy}\nM_{xy},\kappa_{xy}
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</details>
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그림 3.11.3 Shell 요소의 응력/변형률
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\- 하중
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Shell 요소에 적용되는 하중은 다음과 같다.
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표 3.11.1 Shell 요소에 적용되는 하중
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<table><tr><td>하중 종류</td><td>설명</td></tr><tr><td>중력</td><td>재료의 밀도와 비구조 질량에 대해 적용</td></tr><tr><td>회전 관성력</td><td>재료의 밀도와 비구조 질량에 대해 적용</td></tr><tr><td>압력 하중</td><td>요소면에 작용하는 분포하중또는 요소의 변에 작용하는 분포하중</td></tr></table>
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<table><tr><td>요소 온도 하중</td><td>면내방향 변형을 유발하는 요소 온도급힘 변형을 유발하는 온도 구배</td></tr></table>
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# • 요소 결과
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midas NFX의 shell 요소는 요소의 두께 방향으로 두 곳(상/하단)에서 요소결과를제공한다. Shell 요소를 사용했을 경우에 결과 항목은 다음과 같으며 기준 좌표계는 사용자가 지정할 수 있다. 사용자가 선택할 수 있는 좌표계는 ECS, MCS그리고 임의의 좌표계이다.
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표 3.11.2 Shell 요소의 결과 항목
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<table><tr><td colspan="2">결과 항목</td><td>설명</td></tr><tr><td rowspan="8">Stress</td><td>In-plane stress</td><td>위치 : 상/하단, 꼭지점/요소중심 $\sigma_{xx}$ , $\sigma_{yy}$ , $\tau_{xy}$ </td></tr><tr><td>Normal stress</td><td>위치 : 상/하단, 꽃지점/요소중심 $\sigma_{zz}$ </td></tr><tr><td>Principal stress</td><td>위치 : 상/하단, 꽃지점/요소중심 $P_1$ , $P_2$ , 주응력 방향</td></tr><tr><td>Von-Mises stress</td><td>위치 : 상/하단, 꽃지점/요소중심 $\sigma_v$ </td></tr><tr><td>Max shear stress</td><td>위치 : 상/하단, 꽃지점/요소중심 $\tau_{max}$ </td></tr><tr><td>Fiber distance</td><td>위치 : 상/하단, 꽃지점/요소중심두께 방향으로 응력 계산 위치</td></tr><tr><td>Maximum values</td><td>위치 : 꽃지점/요소중심상/하단 중 최대값, $(P_1$ , $P_2$ , $\sigma_v$ , $\tau_{max}$ )</td></tr><tr><td>Safety factor</td><td>위치 : 꽃지점/요소중심 $\sigma_v$ 또는 $P_1$ , $P_2$ 와 한계응력(limit stress)을 이용하여 계산등방성 재료에 대해서만 계산상/하단 중 최소값</td></tr></table>
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<table><tr><td rowspan="6">Strain</td><td>In-plane strain</td><td>위치:상/하단, 꼭지점/요소중심 $\varepsilon_{xx}$ , $\varepsilon_{yy}$ , $\gamma_{xy}$ </td></tr><tr><td>Normal strain</td><td>위치:상/하단, 꼭지점/요소중심 $\varepsilon_{zz}$ </td></tr><tr><td>Principal strain</td><td>위치:상/하단, 꼭지점/요소중심 $E_1$ , $E_2$ , 주변형률 방향</td></tr><tr><td>Von-Mises strain</td><td>위치:상/하단, 꼭지점/요소중심 $\varepsilon_v$ </td></tr><tr><td>Max shear strain</td><td>위치:상/하단, 꼭지점/요소중심 $\gamma_{\text{max}}$ </td></tr><tr><td>Maximum values</td><td>위치: 꼭지점/요소중심상/하단 중 최대값, $(E_1, E_2, \varepsilon_v, \gamma_{\text{max}})$ </td></tr><tr><td rowspan="3">Force/Moment</td><td>In-plane force</td><td>위치: 꼭지점/요소중심 $N_{xx}$ , $N_{yy}$ , $N_{xy}$ </td></tr><tr><td>Bending moment</td><td>위치: 꼭지점/요소중심 $M_{xx}$ , $M_{yy}$ , $M_{xy}$ </td></tr><tr><td>Shear force</td><td>위치: 꼭지점/요소중심 $Q_{zx}$ , $Q_{zy}$ </td></tr><tr><td rowspan="3">Misc.</td><td>Strain energy</td><td>위치: 요소 중심</td></tr><tr><td>Total percent energy</td><td>위치: 요소 중심</td></tr><tr><td>Energy density</td><td>위치: 요소 중심</td></tr></table>
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<summary>text_image</summary>
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Mxy, Kxy
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Nxy
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Mxy
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Qzx
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Nxy
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Mxx
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ERCS - y
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Qyz
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Mxy
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Nxy
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Mxy
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Qzx
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Nxy
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Mxy
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ERCS - x
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Qyz, γyz
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Top
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Myy
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Nxy
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Nyy
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Mxy
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Bottom
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그림 3.11.4 Shell 요소의 결과 출력 방향
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• 요소 두께 및 재질
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Shell 요소에서는 membrane 요소와 동일한 방법으로 꼭지점에서의 두께를 정의할 수 있다. 또한 굽힘과 전단변형에 대한 재료 및 유효두께를 각각 지정할수 있다. 예를 들어, 면내방향 거동에 대한 두께(membrane 두께)를 라 할 때다음과 같은 값을 설정할 수 있다.
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► 312 / I t : 실제 굽힘 강성 와 를 이용해 계산한 굽힘 강성의 비율
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► /t t : 실제 전단변형 두께 와 의 비율
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위의 유효두께는 강성 및 내력 계산에만 이용되면 질량행렬의 계산에는 적용되지 않는다. 또한 중력, 회전 관성력 그리고 그 밖의 질량 효과를 반영하는 경우에는 면내방향 재료(membrane material)를 사용한다.
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• 오프셋(offset)
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Shell 요소의 중립면이 절점과 격리되어 있는 경우 또는 연결되는 요소간의 중립면이 일치하지 않는 경우에는 오프셋을 사용할 수 있다. Shell 요소의 오프셋은 디렉터 방향으로 요소 내에서 일정한 값을 가질 수 있다.
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# • 요소 기법의 선택
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midas NFX에서 사용할 수 있는 shell 요소는 요소의 성능향상 기법에 따라 여러가지 종류가 있다. 특히 shell 요소는 변형이 발생하는 방향 별로, 예를 들어 면내 방향과 횡방향에 따라 서로 다른 기법들이 적용되기 때문에 그 종류가 매우다양하다. 다음은 각각에 대해 midas NFX에서 통칭하는 명칭과 관련 유한요소기법 그리고 적분 방법 등을 정리한 것이며, 진하게 표시된 것이 기본값이다.
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표 3.11.3 Shell 요소에 사용된 성능향상 기법
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<table><tr><td></td><td>절점수</td><td>절점 자유도</td><td>명칭</td><td>요소기법(면내/횡방향)</td><td>강성행렬수치적분</td><td>집중질량계산방법</td></tr><tr><td rowspan="4">삼각형</td><td rowspan="4">3</td><td rowspan="2">5 DOF</td><td>Full integration</td><td>변위가정법/ANS</td><td>1 점</td><td>Lobatto</td></tr><tr><td>Hybrid</td><td>혼합법/ANS+혼합법</td><td>3 점</td><td>Lobatto</td></tr><tr><td rowspan="2">6 DOF</td><td>Full integration</td><td>연계보간법</td><td>3 점</td><td>Lobatto</td></tr><tr><td>Hybrid</td><td>연계보간법+혼합법</td><td>6 점</td><td>Lobatto</td></tr><tr><td rowspan="5">사각형</td><td rowspan="5">4</td><td rowspan="3">5 DOF</td><td>Full integration</td><td>변위가정법/ANS</td><td>2X2 점</td><td>Lobatto</td></tr><tr><td>Reduced integration(stabilized)</td><td>감차적분법/ANS(안정화 기법)</td><td>1x1 점</td><td>Lobatto</td></tr><tr><td>Hybrid</td><td>혼합법/ANS+혼합법</td><td>2X2 점</td><td>Lobatto</td></tr><tr><td rowspan="2">6 DOF</td><td>Full integration</td><td>연계보간법</td><td>2X2 점</td><td>Lobatto</td></tr><tr><td>Hybrid</td><td>연계보간법+혼합법</td><td>3X3 점</td><td>Lobatto</td></tr><tr><td>삼각형</td><td>6</td><td>5 DOF</td><td></td><td>변위가정법/ANS</td><td>3 점</td><td>대각항스케일링</td></tr><tr><td rowspan="3">사각형</td><td rowspan="3">8</td><td rowspan="3">5 DOF</td><td>Full integration</td><td>변위가정법/ANS</td><td>3X3 점</td><td>대각항스케일링</td></tr><tr><td>Reduced integration</td><td>감차적분법</td><td>2X2 점</td><td>대각항스케일링</td></tr><tr><td>Hybrid</td><td>혼합법/ANS+혼합법</td><td>3X3 점</td><td>대각항스케일링</td></tr></table>
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각 요소 기법의 특징 및 사용 시 주의 사항은 다음과 같다.
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► 3절점 요소 : 5DOF요소는 면내 방향 거동을 표현하는 데 적절하지 않다.
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► 4절점 요소 : 연계보간법만을 이용한 6DOF 요소는 메쉬 형태에 민감하다. 혼합법을 적용한 6DOF 요소는 비틀림 거동을 가장 정확하게 나타낸다.
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► 6절점 요소 : 다른 요소에 비해 대체로 횡방향 변위가 큰 편이다. 요소 변에존재하는 절점이 변의 중앙에 위치하지 않는 경우 요소의 성능이 현저하게 저하될 수 있다.
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► 8절점 요소 : 모든 기법이 대체로 정확한 결과를 보인다. 감차적분을 사용한요소는 혼합법을 적용한 요소와 비슷한 성능을 보이며 계산 효율이 뛰어나지만가영 에너지 모드가 나타날 수 있다.
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• 비선형 해석
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Shell 요소는 기하학적 비선형성을 고려할 수 있으며, 탄소성 재료를 적용할 수있다. 탄소성 재료를 적용하게 되면 두께 방향으로 위치에 따라 서로 상이한 재료 거동이 나타나게 된다. 이 경우에는 면내방향 합력 및 굽힘 모멘트 또는 강성의 계산이 수치적으로 이루어져야 하며 midas NFX에서는 Simpson 적분법을이용하여 이를 수행한다. 특히 변형률로부터 응력을 계산하는 탄소성 구성방정식의 적용에 있어서는 전단변형을 제외한 평면응력 상태 가정을 기초로 한다.비선형 해석에서의 결과 항목은 다음과 같다.
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표 3.11.4 Shell 요소의 비선형해석 결과 항목
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<table><tr><td colspan="2">결과 항목</td><td>설명</td></tr><tr><td rowspan="2">Stress</td><td>Equivalent stress</td><td>위치 : 상/하단, 적분점소성 모델에 따라 계산, $\sigma_{eq}$ </td></tr><tr><td>Plastic status</td><td>위치 : 상/하단, 적분점탄성/소성, 0/1</td></tr><tr><td rowspan="2">Strain</td><td>Equivalent strain</td><td>위치 : 상/하단, 적분점소성 모델에 따라 계산, $\varepsilon_{eq}$ </td></tr><tr><td>Effective plastic strain</td><td>위치 : 상/하단, 적분점 $e_{p}$ </td></tr></table>
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# 3.12 Surface 요소
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Surface 요소는 평면 상에 위치한 3/4/6/8 개의 절점으로 이루어지는 삼각형 또는 사각형 요소이다. 강성 또는 질량을 가지지 않고 응력, 변형률 등의 요소 결과만을 제공하기 때문에 전체 해석 모델의 거동에는 영향을 주지 않는다. 그림3.12.1과 같이 사면체 요소로 모델링한 얇은 판의 표면 응력을 확인할 때 매우유용하다. Surface 요소는 2차원 응력상태를 가지기 때문에 매우 얇은membrane 요소와 비슷한 역할을 한다.
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<summary>text_image</summary>
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Surface element
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Tetrahedral
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mesh
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그림 3.12.1 사면체 요소망과 surface 요소
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• 좌표계
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Surface 요소의 ECS는 membrane 요소와 완전히 동일한 방법으로 정의한다. 직교이방성 재료의 사용에 있어서 MCS를 정의하는 방법과 요소 결과의 확인을위한 ERCS의 정의 방법 또한 membrane 요소와 동일하다.
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• 자유도
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Surface 요소는 ECS의 x축과 y축 방향 변위를 자유도로 가진다.
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$$
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\mathbf {u} _ {i} = \left\{u _ {i} \quad v _ {i} \right\} ^ {T} \tag {3.12.1}
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$$
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• 응력과 변형률
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Surface 요소의 기본 가정은 2차원 응력 상태이므로 그림 3.10.2와 같이 ECS에
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