김경종
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Nₓ
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-u₀
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F₀
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kₐ
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kₑ
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xₑ - xₐ
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closed
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open
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(a) 축방향 거동
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| Point | Qy | yB - yA |
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|-------|--------|---------|
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| 1 | μsNx | |
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| 2 | μkNx | |
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| 3 | kt | |
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| 4 | -μkNx | |
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| 5 | -μsNx | |
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(b) 전단방향 거동
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그림 3.18.8 Gap 요소의 방향별 거동
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여기서,
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$u _ { 0 } :$ 갭 초기 열림(gap initial opening)
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$F _ { 0 } :$ : 초기 하중(Preload)
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k : 갭이 닫혔을 때 축강성
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k : 갭이 열렸을 때 축강성
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$k _ { \iota }$ : 갭이 닫혔을 때 전단강성
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$\mu _ { s }$ : 정지마찰 계수
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$\mu _ { k } :$ : 동마찰 계수
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마찰에 의한 미끄러짐을 반영하기 위해 일반접촉과 동일한 파괴함수(식 5.8.10참고)를 사용한다.
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초기 열림길이를 자동으로 설정하면 초기의 절점 거리의 요소축방향 성분을 사용하므로 일반접촉과 유사한 거동을 모사할 수 있으며, 열린상태의 축방향 강성을 입력하지 않은 경우는 닫힌상태 축강성의 1e-10만큼을 사용한다.
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# 3.19 기하강성
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기하강성(geometric stiffness) 또는 응력강성(stress stiffness)은 내력을 지니고 있는 구조물에 기하학적 형상변화가 발생했을 때 유발되는 내력 변화에 의한 강성이다. 기하강성은 선형 좌굴해석과 기하학적 비선형 해석에서 사용되며, midasNFX의 요소 중에서 기하강성을 고려하는 요소는 다음과 같다.
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표 3.19.1 기하강성을 고려하는 요소 종류
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<table><tr><td>요소 종류</td><td>내력 성분</td><td>자유도 성분</td></tr><tr><td>Rod</td><td>축방향 힘 $N_{xx}$ </td><td> $v, w$ </td></tr><tr><td>Bar</td><td>축방향 힘 $N_{xx}$ </td><td> $v, w, \theta_{y}, \theta_{z}$ </td></tr><tr><td>Pipe</td><td>축방향 힘 $N_{xx}$ </td><td> $v, w, \theta_{y}, \theta_{z}$ </td></tr><tr><td>Membrane, Plane strain</td><td>면내방향 합력 $N_{xx}, N_{yy}, N_{xy}$ </td><td> $u, v, w$ </td></tr><tr><td>Shell</td><td>면내방향 합력 $N_{xx}, N_{yy}, N_{xy}$ 급힘 모멘트 $M_{xx}, M_{yy}, M_{xy}$ 전단력 $Q_{zx}, Q_{yz}$ </td><td> $u, v, w, \theta_{x}, \theta_{y}$ </td></tr><tr><td>Axisymmetric solid</td><td>면내 응력 $\sigma_{xx}, \sigma_{yy}, \tau_{xy}$ 둘레방향 응력 $\sigma_{\theta\theta}$ </td><td> $u, w$ </td></tr><tr><td>Solid</td><td>응력 성분 $\sigma_{xx}, \sigma_{yy}, \sigma_{zz}, \tau_{xy}, \tau_{yz}, \tau_{zx}$ </td><td> $u, v, w$ </td></tr></table>
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이 밖에 spring, bush, rigid 요소 및 접촉조건에 대해서는 기하학적 비선형 해석에 대해서만 기하강성을 고려한다.
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• 구조 요소에 대한 기하강성 계산방법
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midas NFX에서는 Jaumann 응력률(stress rate)을 객관(objective) 응력률로 가정한 개정 라그란지안 방법(updated Lagrangian formulation)에 기초하여 기하강성을 계산한다. 예를 들어 solid 요소의 내력은 다음과 같이 응력과 가상 변형으로
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부터 계산한다.
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$$
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\delta u _ {i} f _ {i} = \int \sigma_ {i j} \delta D _ {i j} d V \tag {3.19.1}
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$$
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$\delta D_{ij}$ : 가상 변형 $\frac{1}{2}\left(\frac{\partial\delta u_{i}}{\partial x_{j}}+\frac{\partial\delta u_{j}}{\partial x_{i}}\right)$
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내력의 접선(tangent) 기울기가 강성에 해당하므로 다시 한번 변분을 취하면 피적분항은 다음과 같다.
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$$
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d \sigma_ {i j} \delta D _ {i j} + \sigma_ {i j} d \delta D _ {i j} \tag {3.19.2}
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$$
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위식에서 적분 영역의 변분은 무시하였다. Solid 요소는 EFCS가 GCS이므로 구조물의 변형과 무관하게 고정되어 있다. 그러므로 $d\delta D_{ij}=0$ 이고, 첫 번째 항에서 객관 응력률에 의한 응력 증분(increment)는 다음과 같다.
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$$
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d \sigma_ {i j} = d w _ {i k} \sigma_ {k j} + \sigma_ {i j} d w _ {j k} + C _ {i j k l} d D _ {k l} \tag {3.19.3}
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$$
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$\delta w_{ij}$ : 증분 스픈(spin) $\frac{1}{2}\left(\frac{\partial\delta u_{i}}{\partial x_{j}}-\frac{\partial\delta u_{j}}{\partial x_{i}}\right)$
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(3.19.2)와 (3.19.3)을 (3.19.1)에 대입하여 정리하면 다음의 접선강성을 얻을 수 있다.
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$$
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\delta u _ {i} K _ {i j} d u _ {j} = \int \delta D _ {i j} C _ {i j k l} d D _ {k l} + \sigma_ {i j} \left(\delta L _ {k i} d L _ {k j} - 2 \delta D _ {i k} d D _ {k j}\right) d V \tag {3.19.4}
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$$
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$\delta L_{ij}$ : 증분 변위 구배(displacement gradient) $\delta D_{ij} + \delta w_{ij}$
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피적분 값의 첫 번째 항은 재료강성(material stiffness)이라 하며 두 번째 항이 기하강성이다. 식에서도 알 수 있듯이 기하강성은 응력의 크기에 비례하기 때문에 이 성질을 이용하여 선형 좌굴해석이 가능하다.
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\- 강체 요소에 대한 기하강성 계산방법
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강체 요소에 대한 기하강성은 종속절점에 작용하는 힘에 의해 만들어진다. 종속절점에 작용하는 힘과 모멘트를 $f^{s}, m^{s}$ 라 할 때 이로 인한 가상일은 다음과 같다.
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$$
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\delta W = \mathbf {f} ^ {s} \cdot \delta \mathbf {u} ^ {s} + \mathbf {m} ^ {s} \cdot \delta \boldsymbol {\theta} ^ {s} \tag {3.19.5}
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$$
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$\delta\mathbf{u}^{s},\delta\boldsymbol{\theta}^{s}$ : 종속절점의 변위와 회전
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가상일에 대해 다시 변분을 취하면 다음과 같이 강성 계산을 위한 기본 식을 얻을 수 있다.
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$$
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d \delta W = \mathbf {f} ^ {s} \cdot d \delta \mathbf {u} ^ {s} + \mathbf {m} ^ {s} \cdot d \delta \boldsymbol {\theta} ^ {s} = \mathbf {f} ^ {s} \cdot d \delta \mathbf {u} ^ {s} \tag {3.19.6}
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$$
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종속절점 변위를 주절점 변위와 회전으로 치환하기 위해 다음 식을 이용한다.
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$$
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\delta \mathbf {u} ^ {s} = \delta \mathbf {u} ^ {m} + \delta \boldsymbol {\theta} ^ {m} \times (\mathbf {x} ^ {s} - \mathbf {x} ^ {m}) \tag {3.19.7}
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$$
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위식을 다시 변분하여 (3.17.6)에 대입하면 강성을 계산할 수 있다.
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$$
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d \delta W = \mathbf {f} ^ {s} \cdot d \delta \mathbf {u} ^ {s} = \mathbf {f} ^ {s} \cdot (\delta \boldsymbol {\theta} ^ {m} \times (d \boldsymbol {\theta} ^ {m} \times (\mathbf {x} ^ {s} - \mathbf {x} ^ {m}))) \tag {3.19.8}
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$$
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강체요소의 기하강성은 종속절점에 작용하는 힘과 상대거리에 의해 구성되며 주절점의 회전 자유도와 관련 있음을 알 수 있다.
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종속절점의 일부 자유도를 구속으로부터 해제한 경우 강체요소의 움직임을 따라 해제된 자유도 방향 또한 회전하게 된다. 그림 3.19.1과 같이 주절점의 회전에 의해 종속절점의 절점변위 좌표계(NDCS)가 움직임을 알 수 있으며, 구속 해제 또한 변화하는 좌표계를 따라 이루어진다. 또는, 강체 요소를 이용하여 일부 자유도만을 구속했을 때, 구속 방향이 일정하게 유지되지 않고 계속적으로 변화하게 된다.
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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NDCS
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x
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z
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y
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Translation
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Rotation
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Rotated NDCS
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x'
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y'
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z'
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그림 3.19.1 주절점의 회전에 의해 변화하는 종속절점의 자유도 방향
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# 3.20 열전도 요소
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midas NFX의 열전달 해석은 과도상태(transient)와 정상상태(steady-state)에 대한 열평형 방정식을 기초로 하며, 본 절에서는 유한요소법에 의한 공간 이산화와 시간적분 방법에 대해 설명한다. 열전도 요소는 기본적으로 선형성을 가지지만, 온도 의존성(temperature dependency)을 부여하는 경우에는 비선형성이 지배적으로 나타난다. 또한 형상 함수 또는 수치 적분 등의 방법이 구조요소와 크게 다르지 않으며, 자유도가 절점당 1개(온도)로 표현되기 때문에 구조해석에 비해 상대적으로 작은 계산 비용으로 해석을 수행할 수 있다.
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• 유한요소 정식화
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경계로 전달되는 열속(heat flux), 내부발열, 그리고 비열(specific heat)에 의한 내부 열 에너지의 증감을 고려한 과도상태 에너지 평형식은 다음과 같다.
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$$
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\int_ {\partial \Omega} q d S + \int_ {\Omega} r d \Omega = \int_ {\Omega} c \rho \dot {T} d \Omega \tag {3.20.1}
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$$
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q : 열속
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r : 단위 부피당 생성되는 열량
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C : 비열
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p : 질량 밀도 (mass density)
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midas NFX에서는 상변화에서 발생하는 잠열(latent heat) 효과를 고려할 수 있다.상변화가 일어나기 시작하는 온도와 끝나는 온도 그리고 상변화에 사용되는 내부 에너지를 사용하여 상변화 구간에서의 비열을 다음과 같이 구한다.
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$$
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c ^ {\prime} = c + \frac {L}{T _ {l} - T _ {s}} \tag {3.20.2}
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$$
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c : 상변화 구간에서 사용되는 비열
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L : 상변화에 사용되는 내부 에너지
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:상변화가 시작되는 온도
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$T_{s}$
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$T_{l}$ : 상변화가 끝나는 온도
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열속과 온도의 관계는 Fourier 법칙에 근거하여 다음과 같이 표현된다.
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$$
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f _ {i} = - k _ {i j} (T) \frac {\partial T}{\partial x _ {j}} = - k _ {i j} (T) g _ {j} \tag {3.20.3}
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$$
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$k_{ij}(T)$ : 열전도율 (conductivity)
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$g_{j}$ : 온도구배 (temperature gradient)
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Fourier 법칙을 에너지 평형식에 대입하고 변분을 취하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.
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$$
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\int_ {\Omega} c \rho \dot {T} \delta T d \Omega + \int_ {\Omega} \frac {\partial \delta T}{\partial x _ {i}} k _ {i j} (T) \frac {\partial T}{\partial x _ {j}} d \Omega = \int_ {\partial \Omega_ {q}} q _ {e x t} \delta T d S + \int_ {\Omega} r \delta T d \Omega \tag {3.20.4}
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$$
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$q_{ext}$ : 외부에서 유입되는 열속
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온도를 $T = N_{i}(\mathbf{x})T_{i}$ 형태의 형상함수로 보간하면, 다음과 같이 시간에 대한 온도의 미분항을 포함한 절점온도로 이루어진 비선형 연립방정식이 된다.
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$$
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\mathbf {C} \left(T _ {i}\right) \dot {\mathbf {T}} + \mathbf {K} \left(T _ {i}\right) \mathbf {T} = \mathbf {R} \left(q _ {\text {ext}}, r\right) \tag {3.20.5}
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$$
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위 식을 기초로 온도분포의 시간 이력을 계산하기 위해 후진 차분법(backward difference method)을 적용하였다. 후진 차분법은 내연적 시간 적분방법의 하나로 긴 시간간격에 대한 해석이 가능하고, 해의 진동이 발생하지 않는다. 후진 차분법을 적용한 방정식은 다음과 같다.
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$$
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\left[ \frac {\mathbf {C} (T _ {i} (t + \Delta t))}{\Delta t} + \mathbf {K} (T _ {i} (t + \Delta t)) \right] \mathbf {T} (t + \Delta t) - \frac {\mathbf {C} (T _ {i} (t + \Delta t))}{\Delta t} \mathbf {T} (t) - \mathbf {R} (q _ {e x t}, r) = 0 \tag {3.20.6}
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$$
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위의 비선형 방정식에 반복적인 방법으로 다음 시간스텝에서의 온도를 계산하는 Newton-Raphson법을 적용하여 온도분포의 시간 이력을 계산한다.
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열전도(Conductivity)와 열용량(Capacitance) 행렬은 각각 다음과 같이 계산된다.
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▶ 1 차원 요소 (단면적 : A)
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$$
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K _ {i j} ^ {e} = \int k \frac {\partial N _ {i}}{\partial x} \frac {\partial N _ {j}}{\partial x} A d L, \mathbf {C} _ {i j} ^ {e} = \int \rho c N _ {i} N _ {j} A d L
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$$
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▶ 2 차원 요소 (두께 : t)
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$$
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K _ {i j} ^ {e} = \int k _ {k l} \frac {\partial N _ {i}}{\partial x _ {k}} \frac {\partial N _ {j}}{\partial x _ {l}} t d A, \mathbf {C} _ {i j} ^ {e} = \int \rho c N _ {i} N _ {j} t d A, k, l = 1, 2
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$$
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▶ 3 차원 요소
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$$
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K _ {i j} ^ {e} = \int k _ {k l} \frac {\partial N _ {i}}{\partial x _ {k}} \frac {\partial N _ {j}}{\partial x _ {l}} d V, \mathbf {C} _ {i j} ^ {e} = \int \rho c N _ {i} N _ {j} d V, k, l = 1, 2, 3
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$$
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\- 구조요소와의 관계
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구조 해석 모델과는 달리 열전달 해석 모델에서는 열하중과 열경계조건을 정의 해야 한다. 하지만, 열하중과 열경계조건을 제외하면 모델링에 있어서 구조해석과 차이가 없기 때문에 구조해석의 bar, shell, solid 등의 요소를 그대로 사용하여 열전달 해석을 수행할 수 있다. 다음은 구조 요소와 열전도 요소의 관계를 표로 정리한 것이다.
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표 3.20.1 열전도 요소와 구조 요소간의 관계
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<table><tr><td>열전도 요소</td><td>구조 요소</td></tr><tr><td>1 차원 요소</td><td>Rod, Bar, Pipe</td></tr><tr><td>2 차원 요소</td><td>Membrane, Shell, Plane strain, Axisymmetric solidLayered shell</td></tr><tr><td>3 차원 요소</td><td>Solid, Layered solid</td></tr></table>
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위 표의 요소 이외에 강체요소(rigid body, rigid bar)의 경우 온도 자유도의 일체거동을 묘사할 수 있다.
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• 열전도 요소 해석결과
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midas NFX 열전도 요소의 해석 결과는 사용자가 지정한 기준 좌표계에 대한 값으로 출력된다. 각 요소에 대한 좌표계의 적용 여부 또는 사용 방법은 구조 요소와 동일하다.
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표 3.20.2 열전도 요소의 해석 결과 항목
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<table><tr><td colspan="2">결과 항목</td><td>설명</td></tr><tr><td rowspan="4">Element thermal results</td><td>Flux component</td><td>위치 : 요소중심 $f_x$ , $f_y$ , $f_z$ </td></tr><tr><td>Flux resultant</td><td>위치 : 요소중심 $\| \mathbf{f} \| = \sqrt{f_x^2 + f_y^2 + f_z^2}$ </td></tr><tr><td>Thermal gradient component</td><td>위치 : 요소중심 $g_x$ , $g_y$ , $g_z$ </td></tr><tr><td>Thermal gradient resultant</td><td>위치 : 요소중심 $\| \mathbf{g} \| = \sqrt{g_x^2 + g_y^2 + g_z^2}$ </td></tr></table>
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