김경종
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<table><tr><td>Section Shape</td><td>Torsional Resistance</td><td>Section Shape</td><td>Torsional Resistance</td></tr><tr><td>1. Solid Round Bar<img src="images/bfebb7c3e5e4061c1d28581a95df6b7b019a24e1dedac52b57a29baee9fc5ca8.jpg"/></td><td> $I_{xx} = \frac{1}{2} \pi r^{2}$ </td><td>2. Solid Square Bar<img src="images/1d58c80a2f9d98514ebb3ac98a936fb3259793c223f660105ec9bbfa5d3157d3.jpg"/></td><td> $I_{xx} = 2.25a^{4}$ </td></tr><tr><td>3. Solid Rectangular Bar<img src="images/9c67197fcf9c0e6a1274af5deec6e9e4f43e66876531b0c7ed6d5d915485372c.jpg"/></td><td colspan="3"> $I_{xx} = ab^{3} \left[ \frac{16}{3} - 3.36 \frac{b}{a} \left( I - \frac{b^{4}}{12a^{4}} \right) \right]$ (where, $a \geq b$ )</td></tr></table>
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표 1.5.3 Solid Section의 비틀림강성
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<table><tr><td>Section Shape</td><td>Torsional Resistance</td><td>Section Shape</td><td>Torsional Resistance</td></tr><tr><td>1. Rectangular Tube (Box)<img src="images/165e4d1b53f69b2d35d026e1dd6fd668718bafbfe7be4be4cc4a8035c8fc3155.jpg"/></td><td> $I_{xx} = \frac{2(b \times h)^2}{\left(\frac{b}{t_f} + \frac{h}{t_w}\right)}$ </td><td>2. Circular Tube(Pipe)[IMAGE]</td><td> $I_{xx} = \frac{1}{2} \pi \left[ \left( \frac{D_o}{2} \right)^4 - \left( \frac{D_i}{2} \right)^4 \right]$ </td></tr></table>
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표 1.5.4 두께가 얇은 폐쇄형 단면의 비틀림 강성
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<table><tr><td>Section Shape</td><td>Torsional Resistance</td></tr><tr><td>1. Angle<img src="images/bfd47b83e6815256eeec355ae2f9c989c36ae190d5127623ce25e32994e47af9.jpg"/></td><td> $I_{xx} = I_1 + I_2 + \alpha D^4$ $I_1 = ab^3 \left[ \frac{1}{3} - 0.21 \frac{b}{a} \left( 1 - \frac{b^4}{12a^4} \right) \right]$ $I_2 = cd^3 \left[ \frac{1}{3} - 0.105 \frac{d}{c} \left( 1 - \frac{d^4}{192c^4} \right) \right]$ $\alpha = \frac{d}{b} \left( 0.07 + 0.076 \frac{r}{b} \right)$ $D = 2 \left[ d + b + 3r - \sqrt{2(2r + b)(2r + d)} \right]$ (where, $b < 2(d + r)$ )</td></tr><tr><td>2. Tee<img src="images/baf7529d6a5641e09a1d00a5c75ec02d6a251a0a3516d4a0d07021975fc06d6a.jpg"/>IF $b < d$ : $t = b$ , $t_1 = d$ IF $b > d$ : $t = d$ , $t_1 = b$ </td><td> $I_{xx} = I_1 + I_2 + \alpha D^4$ $I_1 = ab^3 \left[ \frac{1}{3} - 0.21 \frac{b}{a} \left( 1 - \frac{b^4}{12a^4} \right) \right]$ $I_2 = cd^3 \left[ \frac{1}{3} -0.105 \frac{d}{c} \left( 1 - \frac{d^4}{192c^4} \right) \right]$ $\alpha = \frac{t}{t_1} \left( 0.15 + 0.10 \frac{r}{b} \right)$ $D = \frac{(b + r)^2 + rd + \frac{d^2}{4}}{(2r + b)}$ (where, $d < 2(b + r)$ )</td></tr><tr><td>3. Chain<img src="images/cf6befe7afd37218166f67a07a228ecd521f1715c62bc3956d1a9b6bb1400c92.jpg"/></td><td>Sum of torsional stiffnesses of 2 angles</td></tr><tr><td>4. I-Section<img src="images/f3cde8678bf59affe96b2fb57ef650e24a774844fffa9d08d437123ab02092cc.jpg"/></td><td> $I_{xx} = 2I_1 + I_2 + 2\alpha D^4$ $I_1 = ab^3 \left[ \frac{1}{3} - 0.21 \frac{b}{a} \left( 1 - \frac{b^4}{12a^4} \right) \right]$ $I_2 = \frac{1}{3} cd^3$ $\alpha = \frac{t}{t_1} \left( 0.15 + 0.10 \frac{r}{b} \right)$ $D = \frac{(b + r)^2 + rd + \frac{d^2}{4}}{(2r + b)}$ (where, $d < 2(b + r)$ )</td></tr></table>
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표 1.5.5 두께가 두꺼운 개방형 단면의 비틀림강성
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<table><tr><td>Section Shape</td><td>Torsional Resistance</td></tr><tr><td>1. Angle<img src="images/ea5b1a689cb5394ce6f1a126a272daa17d0a2bc452825a3f8f8b1d707a3c407c.jpg"/></td><td> $I_{xx} = \frac{1}{3} \left( h \times t_{w}^{3} + b \times t_{f}^{3} \right)$ </td></tr><tr><td>2. Channel<img src="images/f9bc340488b7a8dfafe36feabfb949629c400321215411e35c5f15e387491d6b.jpg"/></td><td> $I_{xx} = \frac{1}{3} \left( h \times t_{w}^{3} + 2 \times b \times t_{f}^{3} \right)$ </td></tr><tr><td>3. I-Section<img src="images/15d2298bbbf92022aa56864d7d7ae66a99c724cb6aa1b3aea4ad9d8283ab57b6.jpg"/></td><td> $I_{xx} = \frac{1}{3} \left( h \times t_{w}^{3} + 2 \times b \times t_{f}^{3} \right)$ </td></tr><tr><td>4. Tee<img src="images/831bde407cfdd77e046822367b000635c81ce0ca581c2717785042e6d55217d2.jpg"/></td><td> $I_{xx} = \frac{1}{3} \left( h \times t_{w}^{3} + b \times t_{f}^{3} \right)$ </td></tr><tr><td>5. I-Section<img src="images/8c4fd8aacdc35ab5baeb62c1005f322495f63cd6e423415158151a6b6170f46c.jpg"/></td><td> $I_{xx} = \frac{1}{3} \left( h \times t_{w}^{3} + b_{1} \times t_{f1}^{3} + b_{2} \times t_{f2}^{3} \right)$ </td></tr></table>
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표 1.5.6 두께가 얇은 개방형 단면의 비틀림강성
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2개 이상의 형강을 조합하여 하나의 단면으로 만들 경우, 조합하는 형태에 따라 폐쇄형 단면과 개방형 단면이 동시에 생길 수 있습니다. 이 경우 비틀림강성의 계산은 폐쇄형 단면 부분과 개방형 단면 부분으로 나누어 각각 계산한 다음 그 값을 더하는 방법을 사용합니다.
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예를 들면, 이종 H형 단면(Double H-section)의 경우 1.5.3(a)와 같이 단면의 중앙에는 폐쇄형 단면이 형성되고, 외곽 플랜지들은 개방형 단면이 됩니다.
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-폐쇄형 단면 부분(빗금친 부분)의 비틀림강성
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$$
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I _ {C} = \frac {2 (b _ {1} \times h _ {1}) ^ {2}}{\left(\frac {b _ {1}}{t _ {f}} + \frac {h _ {1}}{t _ {w}}\right)} \tag {4}
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$$
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-개방형 단면 부분(돌출된 플랜지 부분)의 비틀림강성
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$$
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I _ {o} = 2 \left[ \frac {1}{3} \left(2 b - b _ {1} - t _ {w}\right) \times t _ {w} ^ {3} \right] \tag {5}
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$$
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\- 전체단면에 대한 비틀림강성
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$$
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I _ {x x} = I _ {C} + I _ {O} \tag {6}
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$$
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H형 단면을 2개의 Flat Bar로 보강할 경우에는 그림 1.5.3(b)와 같이 폐쇄형 단면이 2개 이상 생길 수 있으며 이 때의 단면 비틀림강성은 다음과 같이 계산합니다.
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플랜지 끝단부의 개방형 단면에 대한 비틀림강성이 전체단면의 비틀림강성에 비해 무시할 정도로 작은 값일 경우, H형 단면의 상 하 플랜지와 보강재로 사용된 2개의 Flat Bar에 의해 형성되는 최외곽의 폐쇄 단면에 대하여 비틀림강성을 계산하면 다음과 같습니다.
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$$
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I _ {x x} = \frac {2 (b _ {1} \times h _ {1}) ^ {2}}{\left(\frac {b _ {1}}{t _ {f}} + \frac {h _ {1}}{t _ {w}}\right)} \tag {7}
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$$
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그리고 전체단면을 구성하는 요소중에서 개방형 단면의 비틀림강성이 무시할 수 없을 정도로 큰 값일 경우 개방형 단면에 대한 비틀림강성을 계산하여 더합니다.
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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z
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b
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t_f
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h_l
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y
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t_w
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h
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b_l
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</details>
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(a) 폐쇄형과 개방형 단면이 함께 존재하는 경우
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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z
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h₁
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tₛ
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tᵥ
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y
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h
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b₁
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b
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</details>
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(b) 폐쇄형 단면이 2개 이상 존재하는 경우
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그림 1.5.3 두개 이상의 형강을 조합한 단면의 비틀림강성
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# 5-4 단면2차모멘트 ( $I_{yy}$ , $I_{zz}$ : Area Moment of Inertia)
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단면2차모멘트(Area Moment of Inertia)는 힘모멘트(Bending Moment)에 저항하는 강성(Flexural Stiffness)을 계산하는데 사용되며, 해당 단면의 도심축에서 다음의 식에 따라 계산됩니다.- 요소좌표계 y축에 대한 단면2차모멘트
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$$
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I _ {y y} = \int z ^ {2} d A \tag {8}
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$$
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\- 요소좌표계 z축에 대한 단면2차모멘트
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$$
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I _ {z z} = \int y ^ {2} d A \tag {9}
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$$
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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8
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z
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③
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②
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Centroid
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y
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10
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3
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17
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Neutral axis
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z'
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2
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4
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y'
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①
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y
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Reference point
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for the centroid position
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calculation
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y
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10
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</details>
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<table><tr><td></td><td>1</td><td>2</td><td>3</td><td>Total</td></tr><tr><td> $b$ </td><td>10</td><td>2</td><td>8</td><td>-</td></tr><tr><td> $h$ </td><td>4</td><td>10</td><td>3</td><td>-</td></tr><tr><td> $A_{i}$ </td><td>40</td><td>20</td><td>24</td><td>84</td></tr><tr><td> $\overline{z}_{i}$ </td><td>2</td><td>9</td><td>15.5</td><td>-</td></tr><tr><td> $Q_{yi}$ </td><td>80</td><td>180</td><td>372</td><td>63.2</td></tr><tr><td> $\overline{y}_{i}$ </td><td>5</td><td>5</td><td>5</td><td>-</td></tr><tr><td> $Q_{zi}$ </td><td>200</td><td>100</td><td>120</td><td>420</td></tr></table>
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$A_{i}$ : area
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$\overline{z}_{i}$ : distance from the reference point to the centroid of the section element in the $z'$ -axis direction
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$\overline{y}_{i}$ : distance from the reference point to the centroid of the section element in the $y'$ -axis direction
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$Q_{yi}$ : first moment of area relative to the reference point in the $y'$ -axis direction
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$Q_{zi}$ : first moment of area relative to the reference point in the $z'$ -axis direction
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\- 중립축 위치 계산 ( $\bar{Z}$ , $\bar{Y}$ )
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$$
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\overline {{{Y}}} = \frac {\int \overline {{{z}}} d A}{A r e a} = \frac {Q _ {y}}{A r e a} = \frac {6 3 2}{8 4} = 7. 5 2 3 8
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$$
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$$
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\overline {{{Z}}} = \frac {\int \overline {{{y}}} d A}{A r e a} = \frac {Q _ {z}}{A r e a} = \frac {4 2 0}{8 4} = 5. 0 0 0 0
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$$
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\- 단면 2차 모멘트 계산 (Iyy, Izz)
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<table><tr><td>Section element</td><td> $A_i$ </td><td> $\overline{Z} - \overline{z}_i$ </td><td> $I_{y1}$ </td><td> $I_{y2}$ </td><td> $I_{yy}$ </td><td> $\overline{Y} - \overline{y}_i$ </td><td> $I_{z1}$ </td><td> $I_{z2}$ </td><td> $I_{zz}$ </td></tr><tr><td>1</td><td>40</td><td>5.5328</td><td>1224.5</td><td>53.3</td><td>1277.8</td><td>0</td><td>0</td><td>333.3</td><td>333.3</td></tr><tr><td>2</td><td>20</td><td>1.4672</td><td>43.1</td><td>166.7</td><td>209.8</td><td>0</td><td>0</td><td>6.7</td><td>6.7</td></tr><tr><td>3</td><td>24</td><td>7.9762</td><td>1526.9</td><td>18.0</td><td>1544.9</td><td>0</td><td>0</td><td>128.0</td><td>128.0</td></tr><tr><td colspan="2">Total</td><td></td><td>2794.5</td><td>238.0</td><td>3032.5</td><td></td><td>0</td><td>468.0</td><td>468.0</td></tr></table>$$
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I _ {y 1} = A _ {i} \times (\overline {{{Z}}} - \overline {{{z}}} _ {i}) ^ {2}, \quad I _ {y 2} = \frac {b h ^ {3}}{1 2}, \quad I _ {y y} = I _ {y 1} + I _ {y 2}
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$$
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$$
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I _ {z 1} = A _ {i} \times (\overline {{{Y}}} - \overline {{{y}}} _ {i}) ^ {2}, \quad I _ {z 2} = \frac {h b ^ {3}}{1 2}, \quad I _ {z z} = I _ {z 1} + I _ {z 2}
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$$
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# 5-5 단면상승모멘트 ( $I_{yz}$ : Area Product Moment of Inertia)
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단면상승모멘트(Area Product Moment of Inertia)는 비대칭단면의 응력성분을 계산하는데 사용되며 그 정의는 식 (10)과 같습니다.
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$$
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I _ {y z} = \int y \cdot z d A \tag {10}
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$$
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H, Pipe, Box, Channel, Tee형 단면과 같이 요소좌표계 y, z축 어느 1개의 축에 대해서 대칭인 경우에는 $I_{yz}=0$ 이 되며, Angle형 단면과 같이 어느 1개 축에 대해서도 대칭이 아닌 경우에는 $I_{yz} \neq 0$ 이므로 응력성분 계산시 고려하여야 합니다.
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Angle형 단면의 단면상승모멘트의 계산방법은 아래와 같습니다.
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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z
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B
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①
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tf
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centroid
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H
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②
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y
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Z
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tw
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Y
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</details>
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$$
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\begin{array}{l} I _ {y z} = \sum A _ {i} \times e _ {y i} \times e _ {z j} \\ = (B \times t _ {f}) \times (B / 2 - \bar {Y}) \times \{(H - t _ {f} / 2) - \bar {Z} \} \\ + \left\{\left(H - t _ {f}\right) \times t _ {w} \right\} \times \left\{t _ {w} / 2 - \bar {Y}\right) \times \left\{\left(H - t _ {f} / 2\right) - \bar {Z} \right\} \\ \end{array}
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$$<table><tr><td>Section Element</td><td> $A_i$ </td><td> $e_{yi}$ </td><td> $e_{zi}$ </td></tr><tr><td>1</td><td> $B \times t_f$ </td><td> $B/2-\overline{Y}$ </td><td> $(H-t_f/2)-\overline{Z}$ </td></tr><tr><td>2</td><td> $(H-t_f) \times t_w$ </td><td> $t_w/2-\overline{Y}$ </td><td> $(H-t_f/2)-\overline{Z}$ </td></tr></table>
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<!-- source-page: 119 -->
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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z
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m
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φ
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x
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y
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φ
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n
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z
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|
x
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|
y
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M_y
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V_y
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M
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M_z
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V_z
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|
V
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</details>
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그림 1.5.4 비대칭형 단면에서의 휈응력 분포도
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중립축(Neutral Axis)은 휨모멘트에 의한 부재내 휨응력이 '0(Zero)' 이 되는 위치를 통과하는 축을 말하며, 그림 1.5.4의 우측 그림에서와 같이 n-축이 중립축이 됩니다. m-축은 n-축에 대하여 수직을 이루는 축입니다.
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중립축에서는 휨모멘트에 의한 휨응력이 '0' 이므로 식 (11)로부터 중립축 방향을 구할 수 있습니다.
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$$
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\left(M _ {y} \times I _ {z z} + M _ {z} \times I _ {y z}\right) \times z - \left(M _ {z} \times I _ {y y} + M _ {y} \times I _ {y z}\right) = 0
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$$
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$$
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\tan \phi = \frac {y}{z} = \frac {M _ {y} \times I _ {z z} + M _ {z} \times I _ {y z}}{M _ {z} \times I _ {y y} + M _ {y} \times I _ {y z}} \tag {11}
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$$
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힘모멘트에 의한 단면의 힜응력을 계산하는데 적용되는 일반식은 식 (12)와 같습니다.
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$$
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f _ {b} = \frac {M _ {y} - M _ {z} \left(I _ {y z} / I _ {z z}\right)}{I _ {y y} - \left(I _ {y z} ^ {2} / I _ {z z}\right)} \cdot z + \frac {M _ {z} - M _ {y} \left(I _ {y z} / I _ {y y}\right)}{I _ {z z} - \left(I _ {y z} ^ {2} / I _ {y y}\right)} \cdot y \tag {12}
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$$
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만일 H형 단면일 경우에는 $I_{yz}=0$ 이 되므로,
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$$
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f _ {b} = \frac {M _ {y}}{I _ {y y}} \cdot z + \frac {M _ {z}}{I _ {z z}} \cdot y = f _ {b y} + f _ {b x} \tag {13}
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$$
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여기서, $l_{yy}$ : 요소좌표계 y축에 대한 단면2차모멘트
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$I_{zz}$ : 요소좌표계 z축에 대한 단면2차모멘트
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$I_{yz}$ : 단면상승모멘트
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y : 요소단면의 중립축으로부터 힘응력을 계산하고자 하는 위치까지의 요소좌 표계 y축 방향의 거리
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z : 요소단면의 중립축으로부터 휈응력을 계산하고자 하는 위치까지의 요소좌 표계 z축 방향의 거리
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$M_{y}$ : 요소좌표계 y축에 대한 힘모멘트
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$M_{z}$ : 요소좌표계 z축에 대한 힘모멘트
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요소좌표계 y축 및 z축 방향으로 작용하는 전단력에 대한 전단응력을 계산하는데 적용되는 일반식은 식 (14), (15)와 같습니다.
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$$
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\tau_ {y} = \frac {V _ {y}}{b _ {z} \times \left(I _ {y y} \cdot I _ {z z} - I _ {y z} ^ {2}\right)} \times \left(I _ {y y} \cdot Q _ {z} - I _ {y z} \cdot Q _ {y}\right) = \left(\frac {I _ {y y} \cdot Q _ {z} - I _ {y z} \cdot Q _ {y}}{I _ {y y} \cdot I _ {z z} - I _ {y z} ^ {2}}\right) \times \left(\frac {V _ {y}}{b _ {z}}\right) \tag {14}
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$$
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|
$$
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|
\tau_ {z} = \frac {V _ {z}}{b _ {y} \times \left(I _ {y y} \cdot I _ {z z} - I _ {y z} ^ {2}\right)} \times \left(I _ {z z} \cdot Q _ {y} - I _ {y z} \cdot Q _ {z}\right) = \left(\frac {I _ {z z} \cdot Q _ {y} - I _ {y z} \cdot Q _ {z}}{I _ {y y} \cdot I _ {z z} - I _ {y z} ^ {2}}\right) \times \left(\frac {V _ {z}}{b _ {y}}\right) \tag {15}
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$$
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여기서,Vy : 요소좌표계 y축 방향으로 작용하는 전단력
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Vz : 요소좌표계 z축 방향으로 작용하는 전단력
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Qy : 요소좌표계 y축에 대한 단면 1차모멘트
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Qz : 요소좌표계 z축에 대한 단면 1차모멘트
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by : 전단응력을 계산하는 위치에서의 요소좌표계 z축과 직각을 이루는 단면의 두께
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bz : 전단응력을 계산하는 위치에서의 요소좌표계 y축과 직각을 이루는 단면의 두께
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