김경종
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5-6 단면1차모멘트 ( Q_{y} , Q_{z} : First Moment of Area)
단면 1차모멘트(First Moment of Area)는 단면의 임의 위치에서의 전단응력을 계산하는데 사용되며 아래와 같이 계산합니다.
Q _ {y} = \int z d A \tag {16}
Q _ {z} = \int y d A \tag {17}
단면이 y, z 양축 중에서 어느 한 축에 대하여 대칭일 경우, 임의 위치에서의 전단응력은 다음과 같이 계산합니다.
\tau_ {y} = \frac {V _ {y} \cdot Q _ {z}}{I _ {z z} \cdot b _ {z}} \tag {18}
\tau_ {z} = \frac {V _ {z} \cdot Q _ {y}}{I _ {y y} \cdot b _ {y}} \tag {19}
여기서, V_{y} : 요소좌표계 y축 방향으로 작용하는 전단력
V_{z} : 요소좌표계 z축 방향으로 작용하는 전단력
I_{yy} : 요소좌표계 y축에 대한 단면2차모멘트
I_{zz} : 요소좌표계 z축에 대한 단면2차모멘트
b_{y} : 전단응력을 계산하고자 하는 위치에서의 요소좌표계 z축과 직각을 이루는 단면의 두께
b_{z} : 전단응력을 계산하고자 하는 위치에서의 요소좌표계 y축과 직각을 이루는 단면의 두께
5-7 전단계수 ( Q_{yb} , Q_{zb} : Shear Factors of Shear Stress due to Bending)
전단계수는 힘모멘트에 의한 전단응력을 계산하는데 사용되며 부재단면중 전단응력을 계산하고자 하는 위치에서의 단면1차모멘트를 동일한 위치의 단면두께로 나눈 값입니다.
\tau_ {y} = \frac {V _ {y} \cdot Q _ {z}}{I _ {z z} \cdot b _ {z}} = \frac {V _ {y}}{I _ {z z}} \left(\frac {Q _ {z}}{b _ {z}}\right) = \frac {V _ {y}}{I _ {z z}} Q _ {z b}, Q _ {z b} = \frac {Q _ {z}}{b _ {z}} \tag {20}
\tau_ {z} = \frac {V _ {z} \cdot Q _ {y}}{I _ {y y} \cdot b _ {y}} = \frac {V _ {z}}{I _ {y y}} \left(\frac {Q _ {y}}{b _ {y}}\right) = \frac {V _ {z}}{I _ {y y}} Q _ {y b}, Q _ {y b} = \frac {Q _ {y}}{b _ {y}} \tag {21}
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point of shear stress calculation τz = VzQy / Iyyby = Vz / IyyQyb Qy = ∫zdA = (B×tf)×z̄ by = tw Qyb = {(B·tf)×z̄} / tw
그림 1.5.5 전단계수의 계산 예
5-8 합성단면의 강성계산
midas Civil에서 철골-철근콘크리트 합성부재의 강성은 콘크리트 단면(철근의 단면은 콘크리트단면에 포함됨)과 철골단면이 구조적으로 완전 합성된 것으로 가정하여 등가환산단면성질(Equivalent Sectional Properties) 형태로 고려됩니다.
등가환산 단면성질의 계산에서 강재의 탄성계수(Es)와 콘크리트의 탄성계수(Ec)는 철골-철근콘크리트규준(SSRC79(Structural Stability Research Council, 1979, USA))에 명기된 수치를 사용하되, Ec값은 Eurocode 4에 따라 20% 감소한 값을 사용합니다.
- 등가환산 단면적
\text { Area } _ {e q} = A _ {s t l} + \frac {0 . 8 E _ {c}}{E _ {s}} A _ {c o n} = A _ {s t l} + 0. 8 \frac {A _ {c o n}}{R E N}
- 등가환산 유효전단면적
A s _ {e q} = A s _ {s t l} + \frac {0 . 8 E _ {c}}{E _ {s}} A s _ {c o n} = A s _ {s t l} + \frac {A s _ {c o n}}{R E N}
- 등가환산 단면2차모멘트
I _ {e q} = I _ {s t l} + \frac {0 . 8 E _ {c}}{E _ {s}} I _ {c o n} = I _ {s t l} + 0. 8 \frac {I _ {c o n}}{R E N}
여기서, A_{stl} : 철골의 단면적
A_{con} : 콘크리트의 단면적
As_{stl} : 철골의 유효전단면적
As_{con} : 콘크리트의 유효전단면적
I_{stl} : 철골의 단면2차모멘트
I_{con} : 콘크리트의 단면2차모멘트
REN : 콘크리트의 탄성계수(Ec)에 대한 철골의 탄성계수(Es)의 비 (Es/Ec)
Chapter 6. 경계조건
6-1 경계조건
midas Civil에서 경계조건은 다음과 같이 절점 경계조건과 요소의 경계조건으로 구분할 수 있습니다.
- 절점 경계조건
자유도 구속 (Support)
탄성 경계요소 (Spring Support)
탄성연결요소 (Elastic Link)
비선형연결요소 (General Link)
▪ 요소의 경계조건
요소의 단부해제 조건 (Beam End Release, Plate End Release)
강성역 (Beam End Offsets 참조)
강체연결기능 (Rigid Link 참조)
6-2 자유도 구속조건
자유도 구속(Constraint) 기능은 임의 절점의 변위를 구속시키거나 자유도가 부족한 요소(트러스, 평면응력, 판요소 등)끼리 접합될 때 해당 자유도성분을 구속하는데 사용됩니다.
자유도 구속조건은 임의 절점에 전체좌표계(Global Coordinate System) 또는 절점좌표계(Node Local Coordinate System)를 기준으로 6개 자유도에 대해 입력됩니다.
예를 들어 그림 1.6.1과 같은 평면골조모델에 자유도 구속조건을 부여하는 방법은 다음과 같습니다.
이 모델은 전체좌표계 X-Z 평면내에서만 거동이 허용되는 2차원 모델이기 때문에 Boundary 탑>Supports그룹>Supports 기능으로 모든 절점에 대해 전체좌표계 Y방향 변위자유도와 X방향 및 Z방향에 대한 회전자유도를 구속하여야 합니다.
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N2 N4 N6 N1 N3 z angle of inclination y x N5 NCS z Y GCS X •: fixed support condition ○: pinned support condition ▲: roller support condition
그림 1.6.1 자유도 구속조건이 고려된 평면골조모델
그리고 고정지지조건인 N1 절점에 대해서는 Supports 기능으로 전체좌표계 X, Z방향 변위자유도와 Y방향에 대한 회전자유도를 추가로 구속합니다.
핀접합이면서 로울러 지지조건인 N3에 대해서는 Z방향 변위자유도를 추가로 구속합니다.
절점좌표계에 대해 로울러 지지조건이 부여된 N5 절점에 대해서는 전체좌표계 X축에 대해 경사각만큼 회전한 절점좌표계를 설정한 다음, Supports기능으로 전체좌표계 Z축 방향 변위자유도를 구속합니다. 절점좌표계가 선언되어 있는 절점에 입력되는 구속조건은 절점좌표계를 따라 구속을 수행하게 됩니다.
절점변위를 구속하는 기능은 변위를 무시할 수 있는 지지조건(Supports) 등에 주로이용되며 임의 절점에 대해 구속조건이 주어지면 해당절점에 대한 반력이 발생합니다.
절점에서의 반력은 전체좌표계를 기준으로 출력되며, 절점좌표계가 부여된 경우에는 절점좌표계 기준으로 반력을 출력할 수 있습니다.
그림 1.6.2는 Supports기능을 부족한 자유도의 구속조건에 사용한 예입니다.
그림 1.6.2(a)의 경우는 트러스요소가 축방향의 변위자유도만 가지기 때문에 연결절점에서의 X방향 변위와 모든 회전방향 변위성분은 구속되었습니다.
그림 1.6.2(b)는 상 하부 플랜지를 보요소로 대신한 예로써 보요소가 절점당 6개의 자유도를 가지기 때문에 보요소와 연결되는 절점에서는 별도의 구속조건이 필요없고, 평면응력요소끼리 만나는 절점에 대해서는 평면응력요소가 면내의 거동에대한 자유도만 가지기 때문에 면외변위성분인 Y방향 변위자유도와 모든 회전자유도를 구속해야 합니다.
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connecting node (DX, RX, RY and RZ are constrained) supports (all degrees of freedom are constrained)
(a) 트러스요소끼리 접합된 경우
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supports (all degrees of freedom are constrained) top flange (beam element) Z web (plane stress element) Y bottom flange (beam element) X in-plane vertical load ●: nodes with ○: DY, RX, R DX: displaced DY: displaced DZ: displaced RX: rotation a RY: rotation a
(b) H형 외팔보를 상/하부 플랜지를 보요소로 모델링하고 웨브를 평면응력요소로 모델링한 경우
그림 1.6.2 자유도 구속조건의 사용 예
6-3 탄성경계요소
탄성경계요소는 모델의 경계부분에 위치한 인접구조 또는 지반 등의 강성을 고려할 때나 자유도가 부족한 요소(트러스, 평면응력, 판요소 등)가 상호 접합될 경우 접합절점에서 발생할 수 있는 특이성 오류(Singular Error)를 방지하기위해 주로 사용됩니다.
탄성경계요소는 임의 절점당 전체좌표계 기준의 6개 자유도(선방향 3개성분, 회전방향 3개성분)에 대해 모두 입력이 가능하며 선방향 탄성성분은 단위길이당 힘의 단위로 입력되고 회전방향 탄성성분은 단위각도(Radian)당 모멘트단위로 입력됩니다.
선방향 탄성경계요소는 해석대상 구조물 하부의 기둥이나 Pile 또는 지반강성을 반영하는데 유용하게 사용됩니다. 지반을 모델링할 때는 지반반력계수(Modulus of Subgrade Reaction)에 해당절점의 유효면적(Tributary Area)을 곱한 값이 사용됩니다. 이때 토질의 특성이 압축에는 유효한 반면, 인장력에 대해서는 저항할 수 없기 때문에 주의해야 합니다.
midas Civil에서는 토질과 접하는 면의 경계조건을 쉽게 모델링할 수 있도록 Surface Spring Supports 기능을 내장하고 있습니다. Boundary탭>Spring Supports그룹>Surface Spring Supports 기능에서 절점스프링을 선택하고 단위면적당 지반반력계수를 입력하면, 절점이 차지하고 있는 유효면적과 지반반력계수의 곱으로 강성을 계산하여 절점스프링 형태로 경계조건을 고려합니다. 또한 압축력만을 부담할 수 있는 지반의 특성을 고려한 해석을 수행하고자 할 경우, 탄성연결요소(압축전담)를 선택하고 지반반력계수를 입력하여 압축력만을 받을 수 있는 탄성연결요소로 경계조건을 구성하게 됩니다.
표 1.6.1는 실무설계시 일반적으로 접할 수 있는 토질의 종류에 대한 지반반력계 수를 정리한 것으로 표의 상한치와 하한치의 값을 사용하여 각각 해석을 수행한 다음, 불리한 값을 사용하여 설계에 적용합니다.
대상구조물과 접하는 기둥이나 Pile의 축방향 강성성분을 고려할 경우에 탄성경계 요소의 강성은 EA/H로 계산될 수 있고, 여기서 E는 지지부재의 탄성계수, A는 유
효단면적, H는 유효길이입니다.
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SRY SY SX SZ SRX SRZ Z Y X
(a) Point Spring Support 기능을 사용한 경계조건의 입력
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Diagram of a structural frame with springs labeled K and a rotation arrow indicating upward motion
(b) Surface Spring Supports 기능을 사용한 경계조건의 입력
그림 1.6.3 탄성경계요소의 입력 예
회전방향 탄성성분은 해석대상 구조물의 인접경계부위의 회전강성을 반영하는데주로 사용되며, 인접경계부위가 기둥일 경우에는 αEI/H의 값으로 결정됩니다. 여기서 α는 기둥의 연결상태에 따라 결정되는 회전강성성분계수이고, I는 유효단면2
"Foundation Analysis and Design" by Joseph E. Bowles 4th Edition 참조
차모멘트, 그리고 H는 기둥의 유효길이입니다.
절점에 사용되는 경계스프링은 일반적으로 각 자유도 방향별로 입력되는데, 정밀한 해석을 하고자 할 경우 다른 자유도와 연관(Coupled)되는 강성까지 고려해야합니다. 즉 이동변위가 발생할 때 동시에 발생되는 회전변위 등을 고려하기 위해서는 적절히 연관된 강성을 고려한 스프링의 입력이 필요합니다. 예를 들어 구조물의 기초에 사용되는 파일(Pile)을 경계스프링으로 모델링하고자 할 경우에 각 방향별 강성이외에 연관된 강성을 추가로 입력하여 보다 정밀한 해석을 수행할 수있습니다.
절점에 입력되는 경계스프링은 일반적으로 전체좌표계를 따르지만 절점에 절점좌표계가 도입된 경우 절점좌표계를 따릅니다.
해석단계에서 강성행렬의 조합후에 특정자유도에 대한 강성성분이 없을 경우 발생할 수 있는 특이성 오류(Singular Error)를 피하기 위해 회전탄성성분을 입력할 경우에는 사용단위계에 따라 차이가 있지만 0.0001 ~ 0.001의 값이 주로 사용됩니다.
midas Civil에서는 이와 같은 특이성오류를 방지하기 위해 해석결과에 거의 영향이없을 정도의 강성을 자동으로 부여하는 기능을 내장하고 있습니다.
| 토질종류 | 지반 반력계수( $tonf/m^{3}$ ) |
| 연약 점토 | 1200 ~ 2400 |
| 중간정도 점토 | 2400 ~ 4800 |
| 굳은 점토 | 4800 ~ 11200 |
| 느슨한 모래 | 480 ~ 1600 |
| 중간정도 다져진 모래 | 960 ~ 8000 |
| 실트질 중간정도 다져진 모래 | 2400 ~ 4800 |
| 점토질 자갈 | 4800 ~ 9600 |
| 점토질 중간정도 다져진 모래 | 3200 ~ 8000 |
| 다져진 모래 | 6400 ~ 13000 |
| 잘다져진 모래 | 8000 ~ 19000 |
| 실트질 자갈 | 8000 ~ 19000 |
표 1.6.1 토질종류별 대표적 지반 반력계수