김경종
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( ) q t , ( ) q t , ( ) q t : i -번째 모드의 일반화 변위, 속도, 가속도
따라서, 응답 스펙트럼 해석 및 모드중첩법에 의한 진동해석에서는 감쇠의 방법에관계없이 모드 감쇠비 i 에 의해 감쇠가 고려됨을 알 수 있습니다.
직접적분법에 의한 시간이력해석은 수치적분법에 의해 2계의 운동 방정식 (1)의해를 직접 구합니다. 따라서, 운동 방정식 구성시에 감쇠행렬을 작성할 필요가 있습니다.
이하에서는 각 해석방법과 감쇠방법에 대한 감쇠비 와 감쇠행렬 C 의 작성방법에대해 설명합니다.
4-2 비례감쇠
질량 비례형 감쇠는 공기 저항 등에 의한 외부 점성 감쇠를 표현한 것으로, 감쇠 행렬이 질량에 비례한다고 가정하고 있습니다. 한편 강성 비례형 감쇠는 일산감쇠 효과(진동에너지의 지반에의 방출 효과)가 직접 표현되기 어려우므로 그 효과를 강성에 비례한다고 가정하기 때문에 고차 모드의 감쇠를 과대평가할 우려가 있습니다.
비례 감쇠 매트릭스 C 의 일반형태는, Caughey에 의해 다음과 같이 정의됩니다.
C = M \cdot \sum_ {j = 0} ^ {N - 1} a _ {j} \left(M ^ {- 1} K\right) ^ {j} \tag {3}
여기서, j, N: 절점의 자유도(모드 차수)
식(1)에서 M^{-1}K 는 이하와 같이 비감쇠계의 자유진동식에서 구할 수 있습니다.
M \{\ddot {y} \} + K \{y \} = 0 \tag {4}
\{y \} = \{u \} e ^ {i a x} \tag {5}
로 가정하고, 이것을 식 (4)에 대입하면
\left(- \omega^ {2} M + K\right) \{u \} = \{0 \} \tag {6}
로 되어 식 (6)로부터 M^{-1}K = \omega^{2} 로 됩니다. 여기서, \omega^{2} 는 모드 수만큼 존재하기 때문에 모드 차수를 고려하여 \omega_{s}^{2} 로 표기합니다.
식 (4)~(6)에서 구한 M^{-l}K 을 식 (3)에 대입하고, 좌측에 \{u_{s}\}^{T} 을 곱하고 우측에 \{u_{s}\} 을 곱하면 식 (3)은 다음과 같이 표현됩니다.
\left\{u _ {s} \right\} ^ {T} C \left\{u _ {s} \right\} = C _ {s} = \sum_ {j = 0} ^ {N - 1} a _ {j} \cdot \omega_ {s} ^ {2 j} \cdot \left\{u _ {s} \right\} ^ {T} M \left\{u _ {s} \right\} = \sum_ {j = 0} ^ {N - 1} a _ {j} \cdot \omega_ {s} ^ {2 j} \cdot M _ {s} \tag {7}
또한 s차 모드의 감쇠 정수, \xi_{s} 는 다음과 같이 표현할 수 있습니다.
C _ {s} = 2 \xi_ {s} \cdot \omega_ {s} \cdot M _ {s} \tag {8}
식(7), (8)에서 N개의 고유 모드에 대한 감쇠정수 \xi_{s} 는 다음과 같이 결정됩니다.
\begin{array}{l} \xi_ {s} = \frac {C _ {s}}{2 \omega_ {s} \cdot M _ {s}} = \frac {1}{2 \omega_ {s}} \sum a _ {j} \cdot \omega_ {s} ^ {2 j} \\ = \frac {1}{2} \left(\frac {a _ {0}}{\omega_ {s}} + a _ {1} \cdot \omega_ {s} + a _ {2} \cdot \omega_ {s} ^ {3} + \dots + a _ {N - 1} \cdot \omega_ {s} ^ {2 N - 3}\right), \quad s = 1 - N \tag {9} \\ \end{array}
질량 비례형, 강성 비례형태의 감쇠 정수 및 감쇠 행렬은 각각 다음과 같이 표현됩니다.
\xi_ {s} = \frac {a _ {0}}{2 \omega_ {s}}, \quad C = a _ {0} M = 2 \xi_ {s} \omega_ {s} M: \text {질량 비례형} \tag {10}
\xi_ {s} = \frac {a _ {I} \cdot \omega_ {s}}{2}, \quad C = a _ {I} K = \frac {2 \xi_ {s}}{\omega_ {s}} K: \text { 강성 비례형 } \tag {11}
질량비례형 혹은 강성비례형 감쇠는 Response Spectrum Load Cases 혹은 Time History Load Cases에서 Damping Method를 Mass & Stiffness Proportional로 선택하고, 질량비례형은 Mass Proportional, 강성비례형은 Stiffness Proportional을 선택하여 설정합니다. 구체적인 설정방법은 Rayleigh감쇠에서 다루고 있습니다.
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| Natural frequencies ωs | ξs | | --------------------- | ------ | | ω₁ | High | | ω₂ | Medium | | ω₃ | Low | | ω₄ | Very Low |(a) Mass Proportional Damping
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| Natural frequencies ωs | Stiffness Proportional |
|---|---|
| ω₁ | ξs |
| ω₂ | ξs = (a₁·ωs)/2 |
| ω₃ | ξs |
| ω₄ | ξs |
(b) Stiffness Proportional Damping
그림 2.4.1 모드별 감쇠율
4-3 Rayleigh 감쇠
Rayleigh형 감쇠는 강성 비례형 감쇠에서의 고차 모드의 감쇠 정수를 수정한 것으로, 그림 2.4.2(b)에 나타낸 것과 같이 감쇠행렬을 구조물의 질량행렬과 강성행렬의 선형합으로서 구성합니다. i차모드의 감쇠정수 \xi_{i} 와 고유진동수 \omega_{i} 및 j차 모드의 감쇠정수 \xi_{j} 와 고유진동수 \omega_{j} 가 주어졌을 때 Rayleigh형 감쇠의 감쇠행렬은 다음과 같이 표현됩니다. 단, i, j차 모드는 구조물의 주요한 2개의 모드를 의미합니다.
C = a _ {0} M + a _ {I} K \tag {12}
\xi_ {s} = \frac {1}{2} \left(\frac {a _ {0}}{\omega_ {s}} + a _ {1} \cdot \omega_ {s}\right) \tag {13}
여기서,
a _ {0} = \frac {2 \cdot \omega_ {i} \cdot \omega_ {j} \left(\xi_ {i} \cdot \omega_ {j} - \xi_ {j} \cdot \omega_ {i}\right)}{\left(\omega_ {j} ^ {2} - \omega_ {i} ^ {2}\right)} \tag {14}
a _ {I} = \frac {2 \left(\xi_ {j} \cdot \omega_ {j} - \xi_ {i} \cdot \omega_ {i}\right)}{\left(\omega_ {j} ^ {2} - \omega_ {i} ^ {2}\right)} \tag {15}
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| Natural frequencies ωs | Mass Proportional (C = a₀M) | Stiffness Proportional (C = a₁K) | | --------------------- | --------------------------- | ------------------------------- | | ω₁ | ~0 | ~0 | | ω₂ | ~-0.5 | ~0.5 | | ω₃ | ~-1.5 | ~1.5 | | ω₄ | ~-2.5 | ~2.5 |(a) Mass Proportional Damping과 Stiffness Proportional Damping
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| Natural frequencies ωs | ξs (solid line) | ξs (dashed line) |
|---|---|---|
| ωi | High | Low |
| ωj | Low | High |
(b) Rayleigh Damping
그림 2.4.2 모드별 감쇠율과 고유진동수와의 관계
a_{0} 과 a_{1} 은 Response Spectrum Load Cases 혹은 Time History Load Cases에서 다음과 같은 방법으로 설정할 수 있습니다.
1. Direct Specification
사용자가 a_{0} , a_{1} 값을 직접 입력합니다.
2. Calculate from Modal Damping
고유치해석을 통해 얻어진 진동수 혹은 고유주기, 그리고 i, j차 모드의 감쇠비를 사용자가 입력하면, 식 (14), (15)를 이용하여 a_{0} , a_{1} 값을 자동계산합니다.
예를 들어, i, j차 진동수와 모드의 감쇠비가 각각 f_{i}=1.0Hz , f_{j}=1.25Hz \xi_{i}=0.05 , \xi_{j}=0.05 라 할 때, a_{0} , a_{1} 값을 구하면 다음과 같습니다.
■ 고유진동수
\omega_ {1} = \frac {2 \pi}{1 . 0} = 6. 2 8, \omega_ {2} = \frac {2 \pi}{0 . 8} = 7. 8 5
■ 식(14), (15)를 이용한 a_{0} , a_{1} 의 수계산
a _ {0} = \frac {2 \cdot 6 . 2 8 \cdot 7 . 8 5 (0 . 0 5 \cdot 7 . 8 5 - 0 . 0 5 \cdot 6 . 2 8)}{7 . 8 5 ^ {2} - 6 . 2 8 ^ {2}} = 0. 3 4 9
a _ {I} = \frac {2 (0 . 0 5 \cdot 7 . 8 5 - 0 . 0 5 \cdot 6 . 2 8)}{7 . 8 5 ^ {2} - 6 . 2 8 ^ {2}} = 0. 0 0 7
- midas Civil에서의 a_{0}, a_{1} 의 자동계산
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Damping Damping Method : Mass & Stiffness Proportional Mass and Stiffness Coefficients Damping Type : Mass Proportional Stiffness Proportional Direct Specification : 0,3492 0,0052 Calculate from Modal Damping : 0,34906584444 0,00707355314 Coefficients Calculation Frequency [Hz] : 1 1,25 Period [sec] : 1,0 0,8 Damping Ratio : 0,05 0,05
Rayleigh형 감쇠는 응답 스펙트럼해석, 모드중첩법 및 직접적분법에 의한 시간이력해석에서 사용가능하며, Response Spectrum Load Cases 혹은 Time History Load Cases에서 Damping Method를 Mass & Stiffness Proportional로 선택하고, Mass Proportional과 Stiffness Proportional을 모두 선택하여 설정합니다. 해석방법에 따른 감쇠의 고려방법은 다음과 같습니다.
4-3-1 응답 스펙트럼 해석 및 모드중첩법에서의 Rayleigh 감쇠의 고려
응답 스펙트럼 해석 및 모드중첩법에 의한 진동해석은 구조물의 운동방정식을고유치해석시에 설정한 모드의 수만큼 분해하여 각 모드의 운동 방정식을 중첩하여 해석합니다. 따라서, Rayleigh형 감쇠를 사용할 경우, 주요한 2개의 모드만으로 결정된 a_{0} , a_{1} 값을 식(13)에 대입하여 사용하는 모드의 수만큼의 감쇠비를 구할 필요가 있습니다.
midas Civil에서 주요한 2개의 모드만으로 결정된 a_{0} , a_{1} 값을 이용하여 모드별 감쇠비를 구하는 방법은 이하와 같습니다.
예를 들어, a_{0}=0.35 , a_{1}=0.005 이고, 3차 모드까지를 고려할 경우의 모드별 감쇠 비 \xi_{s} 를 구하면 다음과 같습니다. 단, 고유진동수는 \omega_{1}=4.59215 , \omega_{2}=9.81814 , \omega_{3}=14.57793 라 가정합니다.
■ 1, 2, 3차 모드의 감쇠비 계산
\xi_ {s} = \frac {1}{2} \left(\frac {a _ {0}}{\omega_ {s}} + a _ {1} \cdot \omega_ {s}\right)
\xi_ {1} = \frac {1}{2} \left(\frac {1}{4 . 5 9 2 1 5} 0. 3 5 + 0. 0 0 5 \cdot 4. 5 9 2 1 5\right) = 0. 0 4 9 5 9
\xi_ {2} = \frac {1}{2} \left(\frac {1}{9 . 8 1 8 1 4} 0. 3 5 + 0. 0 0 5 \cdot 9. 8 1 8 1 4\right) = 0. 0 4 2 3 7
\xi_ {3} = \frac {1}{2} \left(\frac {1}{1 4 . 5 7 7 9 3} 0. 3 5 + 0. 0 0 5 \cdot 1 4. 5 7 7 9 3\right) = 0. 0 4 8 4 5
1, 2, 3차 모드의 감쇠비 계산
RAYLEIGH DAMPING COEFFICIENT, TIME LOADCASE = 1
MASS COEFFICIENT. : 0.35000 STIFFNESS COEFFICIENT. : 0.00500
MODE FREQUENCY DAMPING RATIO NO. [RAD/SEC]
1 4.59215E+00 4.95889E-02
2 9.81814E+00 4.23695E-02
3 1.45779E+01 4.84493E-02
단, 위와 같이 구한 모드별 감쇠비가 s >1 인 경우는 s 0.9999 , \xi _ { s } < 0 인 경우는=0.0
4-3-2 직접적분법에서의 Rayleigh감쇠의 고려
직접적분법에서의 Rayleigh형 감쇠는 주요한 2개의 모드만으로 결정된 a _ { 0 } \ , a _ { 1 } 값을이용하여 C = a _ { \theta } M + a _ { I } K 와 같이 감쇠행렬을 작성하여 운동 방정식을 구성하고,수치적분법에 의해 해를 구합니다.
직접적분법을 이용한 비선형시간이력해석에서 구조물이 탄성한계를 넘어 소성영역으로 들어갈 경우, 감쇠행렬 C = a _ { \theta } M + a _ { I } K 에서 강성 K 를 초기상태의 강성을 그대로 사용하면 감쇠력이 과대하게 평가될 가능성이 있습니다.
midas Civil에서는 부재가 항복하여 강성이 갱신되면 갱신된 강성을 감쇠행렬 구성시에 반영하는 기능을 제공합니다. 감쇠행렬 구성시 강성의 갱신은 Rayleigh형 감쇠에 근거하여 감쇠행렬을 구성하는 Mass & Stiffness Proportional과 Element Mass& Stiffness Proportional 감쇠인 경우만 적용됩니다.
설정방법은 Time History Load Cases에서 감쇠방법을 Mass & Stiffness Proportional혹은 Element Mass & Stiffness Proportional을 선택하고, Damping Matrix Update를Yes로 선택하면 감쇠행렬 구성시 갱신된 강성을 사용하고, No로 선택하면 부재의상태에 관계없이 초기강성으로 감쇠행렬을 구성합니다.
4-4 변형율 에너지에 기초한 모드 감쇠
4-4-1 변형율 에너지에 기초한 모드 감쇠의 개요
실제 구조물은 재료에 따라서 감쇠특성이 상이하며 국부적으로 감쇠장치를 설치하기도 합니다. midas Civil에서는 Element Mass & Stiffness Proportional을 이용하여 요소별로 다른 감쇠 특성을 지정할 수 있습니다. 그러나 요소별로 감쇠 특성을 각각 고려할 경우, 감쇠 행렬은 대부분 비고전적 감쇠가 되어서 모드 분리가 되지 않습니다. 따라서 응답스펙트럼해석 및 모드중첩법을 이용한 해석에서는 요소별로 서로 다른 감쇠 특성을 반영하기 위해서 변형율에너지의 개념에 기초해 모드별 감쇠비를 산정합니다.
midas Civil에서는 변형율에너지에 기초한 모드감쇠는 응답스펙트럼해석 및 모드 중첩법, 직접 적분법에 의한 시간이력해석에 사용 가능합니다. 변형율에너지에 기초한 모드감쇠는 Response Spectrum Load Cases 혹은 Time History Load Cases에서 Damping Method를 Strain Energy Proportional로 선택하여 설정합니다. 단, 직접 적분법에 의한 시간이력해석에 변형율에너지에 기초한 모드감쇠를 고려할 경우, 감쇠행렬은 Full Matrix형태가 되므로, 모드 중첩법에 비해 계산시간이 과도하게 늘어나는 문제가 발생할 수 있습니다.
점성감쇠를 갖는 단자유도 진동계의 감쇠비는 조화운동(Harmonic Motion)에서 소산되는 에너지(Dissipated Energy)와 구조물에 저장되는 변형율에너지(Strain Energy) 사이의 비율로 정의할 수 있으며 다음 식과 같습니다.
\xi = \frac {E _ {D}}{4 \pi E _ {S}} \tag {16}
여기서
E_{D} : 소산에너지
E_{S} : 변형율에너지
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- F = F_D + F_S
- E_D = 2\pi \cdot h \cdot KA^2
- Dissipated Energy F_S = K_S u u A E_S = \frac{1}{2} KA^2 : Strain Energy F_D = C u
그림 2.4.3 소산에너지와 변형율에너지
다자유도 구조물에 있어서, 특정 모드의 동적거동은 해당되는 고유진동수를 갖는 단자유도 진동계의 동적거동으로 파악될 수 있습니다. 이 때 특정 요소를 대상으로 소산에너지와 변형율에너지를 계산하는데 있어서 두 가지 가정을 사용합니다. 먼저 구조물의 변형은 모드형상에 비례한다고 가정합니다. i-번째 모드만이 해당 고유진동수로 조화진동을 하는 구조물에서 요소 절점의 변위 및 속도 벡터는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
\begin{array}{l} u _ {i, n} = \phi_ {i, n} \sin \left(\omega_ {i} t + \theta_ {i}\right) \\ \dot {u} _ {i, n} = \omega_ {i} \phi_ {i, n} \cos \left(\omega_ {i} t + \theta_ {i}\right) \tag {17} \\ \end{array}
여기서 u_{i,n} : i-번째 모드의 진동에 의한 n-번째 요소 절점 변위
\dot{u}_{i,n} : i -번째 모드의 진동에 의한 n-번째 요소 절점 속도
\phi_{i,n} : n-번째 요소의 자유도에 해당되는 i-번째 모드의 형상
\omega_{i} : i-번째 모드의 고유진동수
\theta_{i} : i-번째 모드의 위상각(Phase Angle)
두 번째로, 요소의 감쇠는 요소강성에 비례하는 점성감쇠로 가정합니다.
C _ {n} = \frac {2 h _ {n}}{\omega_ {i}} K _ {n} \tag {18}
여기서 C_{n} : n-번째 요소의 감쇠행렬
K_{n} : n-번째 요소의 강성행렬
h_{n} : n-번째 요소의 감쇠비
위 식의 가정에 의해, 요소의 소산에너지와 변형율 에너지는 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.
\begin{array}{l} E _ {D} (i, n) = \pi u _ {i, n} ^ {T} C _ {n} \dot {u} _ {i, n} = 2 \pi h _ {n} \phi_ {i, n} ^ {T} K _ {n} \phi_ {i, n} \\ E _ {S} (i, n) = \frac {1}{2} u _ {i, n} ^ {T} K _ {n} u _ {i, n} = \frac {1}{2} \phi_ {i, n} ^ {T} K _ {n} \phi_ {i, n} \tag {19} \\ \end{array}
여기서 E_{D}(i,n) : i-번째 모드의 진동에 의한 n-번째 요소의 소산에너지
ES (i, n) : i-번째 모드의 진동에 의한 n-번째 요소의 변형율에너지
전체구조물의 i-번째 모드 감쇠비는 모든 요소의 i-번째 모드에 해당되는 에너지의 합으로 계산할 수 있으며 다음과 같습니다.
\xi_ {i} = \frac {\sum_ {n = 1} ^ {N} E _ {D} (i , n)}{4 \pi \cdot \sum_ {n = 1} ^ {N} E _ {S} (i , n)} = \frac {\sum_ {n = 1} ^ {N} h _ {n} \phi_ {n , i} ^ {T} K _ {n} \phi_ {n , i}}{\sum_ {n = 1} ^ {N} \phi_ {n , i} ^ {T} K _ {n} \phi_ {n , i}} \tag {20}
4-4-2 변형율 에너지에 기초한 모드 감쇠의 설정 및 계산
midas Civil에서 변형율 에너지에 기초한 모드 감쇠의 설정은, 우선, Group에서 서로 다른 감쇠 특성을 지정할 요소와 경계를 그룹으로 지정합니다. Group Damping의 Damping Ratio for Specified Elements and Boundaries내의 Strain Energy Proportional Damping에서 요소그룹 및 경계그룹별로 Damping Ratio를 지정합니다. 요소그룹 및 경계그룹에 포함되지 않는 부분은 Default Values for Unspecified Elements and Boundaries의 Strain Energy Proportional Damping에서 Damping Ratio