MultiPhysicsVault/.raw/MidasCivilAnalysisReference/MidasCivilAnalysisReference_022.md

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# 6-1 모드 중첩법

구조물의 변위를 서로 직교성을 갖는 변위형상의 선형조합 형태로 구하는 방법으로 다음 식과 같이 표현됩니다. 이 방법에서는 감쇠행렬이 질량행렬과 강성행렬의 선형조합으로 이루어질 수 있다고 가정합니다.

$$
[ C ] = \alpha [ M ] + \beta [ K ] \tag {1}
$$

$$
\Phi^ {T} M \Phi \dot {q} (t) + \Phi^ {T} C \Phi \dot {q} (t) + \Phi^ {T} K \Phi q (t) = \Phi^ {T} F (t) \tag {2}
$$

$$
m _ {i} \ddot {q} _ {i} (t) + c _ {i} \dot {q} _ {i} (t) + k _ {i} q _ {i} (t) = P _ {i} (t) \quad (i = 1, 2, 3, \dots , m) \tag {3}
$$

$$
u (t) = \sum_ {i = j} ^ {m} \Phi_ {i} q _ {i} (t) \tag {4}
$$

$$
q _ {i} (t) = e ^ {- \xi_ {i} \omega_ {i} t} \left[ q _ {i} (0) \cos \omega_ {D i} t + \frac {\xi_ {i} \omega_ {i} q _ {i} (0) + q _ {i} (0)}{\omega_ {D i}} \sin \omega_ {D i} t \right] \tag {5}
$$

$$
+ \frac {1}{m _ {i} \omega_ {D i}} \int_ {0} ^ {t} P _ {i} (\tau) e ^ {- \xi_ {i} \omega_ {i} (t - \tau)} \sin \omega_ {D i} (t - \tau) d \tau
$$

$$
\text { 여기서 } \quad \omega_ {D i} = \omega_ {i} \sqrt {1 - \xi_ {i} ^ {2}}
$$

α, β : Rayleigh 계수

ξi : i 번째 모드의 감쇠비

ωi : i 번째 모드의 고유주기

$\Phi_{i}$ : i 번째 모드 형상

$q_{i}(t)$ : i 번째 모드에 의한 단자유도 방정식의 해

시간이력해석에서 구조물의 변위는 식 (4)와 같이 모드 형상과 단일자유도계 방정식의 해와의 곱으로 결정되고, 변위의 정확성은 사용하는 모드 수에 영향을 받습니다. 이 방법은 구조해석 프로그램에서 가장 많이 사용되는 것으로 대형구조물의 선형 동적해석에 매우 효과적인 방법입니다. 그러나 비선형 동적해석이나 특별한 감쇠장치가 포함되어 감쇠를 강성과 질량의 선형 조합으로 가정할 수 없을 경우 사용할 수 없는 단점이 있습니다.

모드중첩법을 이용할 경우 요구되는 데이터와 입력시 주의사항은 다음과 같습니다.

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 전체 해석시간(또는 해석횟수) : 해석하고자 하는 시간이나 해석횟수  
 해석시간 간격 : 해석에 사용되는 시간간격으로, 해석의 정확성에 상당 한영향을 미칠 수 있으며, 시간간격의 크기는 구조물의 고차모드의 주기나하중의 주기와 밀접한 관계를 갖습니다. 해석시간 간격은 식 (5)의 적분항에 직접적인 영향을 주게 되어 부적절한 값이 입력되는 경우 부정확한 결과를 나타낼 수 있습니다. 일반적으로 고려하고자 하는 최고차모드 주기의1/10 정도의 시간간격이 타당합니다. 또한, 해석시간 간격은 입력된 하중의 시간간격보다는 작아야 합니다.

$$
\Delta t = \frac {T _ {p}}{1 0}
$$

Tp = 고려하고자 하는 최고차모드 주기

 모드별 감쇠비(또는 Rayleigh 계수) : 구조물의 감쇠를 결정하기 위해 필요로 하는 값으로 전체 구조물의 감쇠비나 각 모드별 감쇠비  
 동적하중 : 구조물의 절점이나 기초부에 직접 가해지는 동적하중으로 시간의 함수로 표시되며, 전체 하중 변화를 충분히 나타낼 수 있어야 합니다.입력되지 않은 시간에서의 하중 값은 선형보간하여 사용합니다.

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# 6-2 직접적분법

직접적분법은 동적평형방정식을 시간에 따라 점진적으로 적분하여 해를 구하는 방법입니다. 평형방정식의 형태 변화 없이 시간단계마다 적분을 사용하여 해를 구하게 되고 사용방법에 따라 다양한 적분방법이 사용될 수도 있습니다. midas Civil 에서는 수렴성이 좋은 Newmark 방법을 사용하여 직접적분법을 수행하고 있습니다. 기본적인 가정과 적분방법은 아래와 같습니다.

[기본가정]

$$
{ } ^ { t + \Delta t } \dot { u } = { } ^ { t } \dot { u } + [ ( 1 - \delta ) { } ^ { t } \ddot { u } + \delta { } ^ { t + \Delta t } \ddot { u } ] \Delta t \tag {6}
$$

$$
u ^ {t + \Delta t} = ^ {t} u + ^ {t} \dot {u} \Delta t + \left[ \left(\frac {1}{2} - \alpha\right) ^ {t} \ddot {u} + \alpha^ {t + \Delta t} \ddot {u} \right] \Delta t ^ {2} \tag {7}
$$

식 (7)에서 $t+\Delta t$ $\ddot{u}$ 를 구하고 이 값을 식 (6)에 대입하여 $t+\Delta t$ $\dot{u}$ 를 계산하면 식 (8)과 같이 이전 단계의 변위, 속도, 가속도와 현재의 변위로 표현할 수 있습니다.

$$
{ } ^ { t + \Delta t } \ddot { u } = f \left( \begin{array} { c c c c c c } { } ^ { t + \Delta t } u & , & ^ { t } u & , & ^ { t } \dot { u } & , & ^ { t } \ddot { u } \end{array} \right)
$$

$$
{ } ^ { t + \Delta t } \dot { u } = f \left( { } ^ { t + \Delta t } u , { } ^ { t } u , { } ^ { t } \dot { u } , { } ^ { t } \ddot { u } \right) \tag {8}
$$

식 (8)의 값들을 식 (9)와 같은 동적 평형방정식에 대입하면 이전 단계의 변위, 속도, 가속도와 현단계 변위에 대한 식으로 나타낼 수 있고, 식 (11)과 같은 식으로 현단계의 변위를 계산할 수 있습니다. 현단계의 변위를 구하면 이 값과 이전 단계의 값들을 사용하여 식 (12)과 같이 현단계의 가속도와 속도를 계산할 수 있습니다. 감쇠는 식 (13)과 같이 강성과 질량을 사용하여 비례식으로 계산합니다.

$$
[ M ] ^ {t + \Delta t} \ddot {u} + [ C ] ^ {t + \Delta t} \dot {u} + [ K ] ^ {t + \Delta t} u = ^ {t + \Delta t} p \tag {9}
$$

$$
\left[ [ K ] + a _ {0} [ M ] + a _ {1} [ C ] \right] ^ {t + \Delta t} u = ^ {t + \Delta t} p + [ M ] \left(a _ {0} ^ {t} u + a _ {2} ^ {t} \dot {u} + a _ {3} ^ {t} \ddot {u}\right) \tag {10}
$$

$$
+ [ C ] (a _ {1} ^ {t} u + a _ {4} ^ {t} \dot {u} + a _ {5} ^ {t} \ddot {u})
$$

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$$
[ \hat {K} ] ^ {t + \Delta t} u = ^ {t + \Delta t} \hat {p} \tag {11}
$$

$$
[ \hat {K} ] = [ K ] + a _ {0} [ M ] + a _ {1} [ C ]
$$

$$
{ } ^ { t + \Delta t } \hat { p } = { } ^ { t + \Delta t } p + [ M ] ( a _ { 0 } { } ^ { t } u + a _ { 2 } { } ^ { t } \dot { u } + a _ { 3 } { } ^ { t } \ddot { u } ) + [ C ] ( a _ { 1 } { } ^ { t } u + a _ { 4 } { } ^ { t } \dot { u } + a _ { 5 } { } ^ { t } \ddot { u } )
$$

$$
{ } ^ { t + \Delta t } \ddot { u } = a _ { 0 } \left( { } ^ { t + \Delta t } u - { } ^ { t } u \right) - a _ { 2 } { } ^ { t } \dot { u } - a _ { 3 } { } ^ { t } \ddot { u } \quad { } ^ { t + \Delta t } \dot { u } = { } ^ { t } \dot { u } + a _ { 6 } { } ^ { t } \ddot { u } + a _ { 7 } { } ^ { t + \Delta t } \ddot { u } \tag {12}
$$

$$
\text { 여기서   } a _ {0} = \frac {l}{\alpha \Delta t ^ {2}} \quad a _ {1} = \frac {\delta}{\alpha \Delta t} \quad a _ {2} = \frac {l}{\alpha \Delta t} \quad a _ {3} = \frac {l}{2 \alpha} - l
$$

$$
a _ {4} = \frac {\delta}{\alpha} - 1 \quad a _ {5} = \frac {\Delta t}{2} \left(\frac {\delta}{\alpha} - 2\right) \quad a _ {6} = \Delta t (1 - \delta) \quad a _ {7} = \delta \Delta t
$$

α, δ : Newmark 적분 변수 (α = 0.5, δ = 0.25 인 경우에는 항상 안정)

Δt : 적분 시간간격

$$
[ C ] = a [ K ] + b [ M ] \tag {13}
$$

여기서 a, b : 감쇠계산을 위한 질량과 강성의 비례상수

강성이나 감쇠의 비선형성을 고려한 해석을 위해서는 대부분의 경우 직접적분방법을 사용해야 합니다. 직접적분법의 경우는 모든 시간단계에 대하여 해석을 수행하기 때문에 시간단계의 수에 비례하여 해석시간이 소요됩니다. 직접적분방법의 사용시에 요구되는 데이터와 입력시 주의사항은 다음과 같습니다.

▪ 전체 해석시간(또는 해석횟수): 해석하고자 하는 시간이나 해석횟수  
- 해석시간 간격 : 해석에 사용되는 시간간격으로, 해석의 정확성에 상당 한 영향을 미칠 수 있으며, 시간간격의 크기는 구조물의 고차모드의 주기나 하중의 주기와 밀접한 관계를 갖습니다. 해석시간 간격은 식 (10)의 적분 항에 직접적인 영향을 주게 되어 부적절한 값이 입력되는 경우 부정확한 결과를 나타낼 수 있습니다. 일반적으로 고려하고자 하는 최고차모드 주기

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의 1/10 정도의 시간간격이 타당합니다. 또한, 해석시간 간격은 입력된 하중의 시간간격보다는 작아야 합니다.

$$
\Delta t = \frac {T _ {p}}{1 0}
$$

Tp = 고려하고자 하는 최고차모드 주기

 해석시간 간격의 수에 따라 해석 소요시간이 비례하여 증가하기 때문에필요이상으로 작게 하지 않는 것이 적합합니다.  
 강성과 질량을 사용한 감쇠의 정의 : 강성과 질량의 비례식으로 감쇠를 정의합니다.  
 시간적분방법 : Newmark 방법의 적용 시 필요한 적분변수를 입력합니다.Constant Acceleration 인 경우에는 모든 조건하에서 발산하지 않고 안정적으로 수렴한 값을 계산하지만 Linear Acceleration 인 경우에는 조건에 따라서 수렴하지 않을 수도 있습니다. 가능한 Constant Acceleration에 해당하는 적분변수를 사용하는 것이 타당합니다.  
 동적하중 : 구조물의 절점이나 기초부에 직접 가해지는 동적하중으로 시간의 함수로 표시되며, 전체 하중 변화를 충분히 나타낼 수 있어야 합니다.입력되지 않은 시간에서의 하중 값은 선형보간하여 사용합니다.

다음은 사용자의 이해를 돕기 위해 구조물의 동적해석에 필요한 기초적인 사항을서술한 것입니다.

그림 2.6.1은 단일자유도 구조물의 운동을 이상화한 것입니다. 단일자유도계에 작용하는 힘들에 대한 평형방정식은 다음과 같습니다.

$$
f _ {I} (t) + f _ {D} (t) + f _ {E} (t) = f (t) \tag {14}
$$

( ) f t (관성력)는 구조물의 운동속도가 변화하는데 대해 저항하려는 관성효과를 힘으로 나타낸 것으로, 크기는 mu t ( ) 가 되며 작용방향은 가속도의 반대방향입니다.( ) Ef t (탄성력)는 구조물에 변형이 발생하면 구조계가 이에 저항하여 원위치로 복귀하려는 성질에 따른 탄성복원력으로, 그 크기는 ku t( ) 이며 작용방향은 변위와

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반대방향입니다. ( ) Df t (감쇠력)는 구조물에 추가의 외력을 가하지 않을 경우, 내부마찰 등으로 인한 운동에너지의 소멸로 운동의 진폭이 점점 작아지는 현상을 고려하기 위한 구조계 내부의 가상의 힘이며, 그 크기는 cu t ( ) 이고, 작용방향은 운동속도와 반대방향입니다.

![](images/page-216_82e614e33e9d0f3985b022eb427682e3c4e8fcb60acd5c1d5e05399ccded40b7.jpg)

<details>
<summary>text_image</summary>

(a) 모델
(b) 평형 상태도
</details>

그림 2.6.1 단일자유도 구조물 운동계

위의 각 힘들을 정리하면 다음과 같습니다.

$$
f _ {I} = m \ddot {u} (t)
$$

$$
f _ {D} = c \dot {u} (t) \tag {15}
$$

$$
f _ {E} = k u (t)
$$

위에서 m은 질량, c는 감쇠계수, k는 탄성계수입니다. 그림 2.6.1(b)의 힘의 평형관계로부터 변위에 대한 단일자유도 구조물의 운동방정식은 다음과 같습니다.

$$
m \ddot {u} + c \dot {u} + k u = f (t) \tag {16}
$$

위 식에서 f t( ) 0  으로 두면 자유진동에 대한 방정식이 되고, 여기에 c  0 인조건을 추가하면 비감쇠 자유진동방정식이 됩니다. 그리고 f ( )t 를 임의 시간에 대한 가진력(또는 가진변위, 속도, 가속도 등)으로 두면 강제진동 해석문제가 되며,모드중첩법(Mode Superposition Method) 또는 직접적분법(Direct Integration Method)을 이용하여 해를 구할 수 있습니다.

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# 6-3 다중지점 지진입력 하중에 대한 해석

장대교량과 같이 지지점이 공간적으로 멀리 떨어져 있는 경우에 구조물에 입력되는 지진하중에 시간지연효과가 발생하게 됩니다. 이러한 경우에는 각 지지점 별로 해당 지지점에 맞는 지진하중을 입력하여 해석하는 것이 좀더 나은 해를 구할 수 있습니다. 다중지점의 지진하중을 받는 구조물의 운동방정식은 식 (27)과 같습니다. 다중지점의 지진하중 입력을 고려한 해석시에는 모든 변위, 속도, 가속도값이 절대값에 대하여 계산됩니다. 다중지점 지진하중을 고려한 해석 결과는 여러 개의 지지점에서 지진하중이 입력되기 때문에 기준점을 정할 수 없어 절대값에 대하여 결과를 출력합니다. 절대값으로 결과를 출력하면 변위, 속도, 가속도 결과값이 지반거동을 포함하게 됩니다. 부재력이나 반력의 경우에는 절점간의 상대변위를 사용하여 계산하므로 절대값이나 상대값 출력에 영향을 받지 않습니다.

$$
\left[ \begin{array}{l l} M _ {s s} & M _ {s g} \\ M _ {g s} & M _ {g g} \end{array} \right] \left\{ \begin{array}{l} \ddot {u} _ {s} ^ {t} (t) \\ \ddot {u} _ {g} ^ {t} (t) \end{array} \right\} + \left[ \begin{array}{l l} C _ {s s} & C _ {s g} \\ C _ {g s} & C _ {g g} \end{array} \right] \left\{ \begin{array}{l} \dot {u} _ {s} ^ {t} (t) \\ \dot {u} _ {g} ^ {t} (t) \end{array} \right\} + \left[ \begin{array}{l l} K _ {s s} & K _ {s g} \\ K _ {g s} & K _ {g g} \end{array} \right] \left\{ \begin{array}{l} u _ {s} ^ {t} (t) \\ u _ {g} ^ {t} (t) \end{array} \right\} = \left\{ \begin{array}{l} 0 \\ P _ {g} (t) \end{array} \right\} \tag {17}
$$

여기에서 s 와 g 는 각각 상부구조물과 지점부를 의미합니다. t 는 절대변위를 의미합니다.

지지점의 운동 $\ddot{u}_{g}^{t}(t)$ , $\dot{u}_{g}^{t}(t)$ , $u_{g}^{t}(t)$ 은 지지점별로 입력을 해야합니다. 절대변위를 지반변위에 의한 변위( $u_{s}^{s}(t)$ )와 이를 제외한 동적변위( $u_{s}(t)$ )로 구분하면 식(2)와 같습니다.

$$
\left\{ \begin{array}{l} u _ {s} ^ {t} (t) \\ u _ {g} ^ {t} (t) \end{array} \right\} = \left\{ \begin{array}{l} u _ {s} ^ {s} (t) \\ u _ {g} (t) \end{array} \right\} + \left\{ \begin{array}{c} u _ {s} (t) \\ 0 \end{array} \right\} \tag {18}
$$

$u_{g}(t)$ 는 지지점 변위이며 $u_{s}^{s}(t)$ 를 정적으로 구조물에 작용하였을 때 발생하는 상부구조물의 변위로서 유사정적변위(Quasi-static Displacement) 라고 하며 식 (19)와 같은 관계를 갖습니다. $P_{g}^{s}(t)$ 은 지지점의 변위( $u_{g}(t)$ )를 구조물에 가하기 위해 필요한 유사정적 지점하중(Quasi-static Support Force)입니다.

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$$
\left[ \begin{array}{l l} K _ {s s} & K _ {s g} \\ K _ {g s} & K _ {g g} \end{array} \right] \left\{ \begin{array}{l} u _ {s} ^ {s} (t) \\ u _ {g} (t) \end{array} \right\} = \left\{ \begin{array}{c} 0 \\ P _ {g} ^ {s} (t) \end{array} \right\} \tag {19}
$$

식 (17)의 첫번째 식을 전개하고 식 (18)를 적용하여 정리하면 식 (20)와 같습니다.

$$
M _ {s s} \left(\ddot {u} _ {s} ^ {s} (t) + \ddot {u} _ {s} (t)\right) + M _ {s g} \ddot {u} _ {g} (t) + C _ {s s} \left(\dot {u} _ {s} ^ {s} (t) + \dot {u} _ {s} (t)\right) + C _ {s g} \dot {u} _ {g} (t) \tag {20}
$$

$$
+ K _ {s s} \left(u _ {s} ^ {s} (t) + u _ {s} (t)\right) + K _ {s g} u _ {g} (t) = 0
$$

$$
M _ {s s} \ddot {u} _ {s} (t) + C _ {s s} \dot {u} _ {s} (t) + K _ {s s} u _ {s} (t) = P _ {e f f} (t)
$$

$$
P _ {e f f} (t) = - M _ {s s} \ddot {u} _ {s} ^ {s} (t) - M _ {s g} \ddot {u} _ {g} (t) - C _ {s s} \dot {u} _ {s} ^ {s} (t) \tag {21}
$$

$$
- C _ {s g} \dot {u} _ {g} (t) - K _ {s s} u _ {s} ^ {s} (t) - K _ {s g} u _ {g} (t)
$$

식 (19)의 첫번째 항을 정리하면 식 (6)과 같습니다.

$$
K _ {s s} u _ {s} ^ {s} (t) + K _ {s g} u _ {g} (t) = 0
$$

$$
u _ {s} ^ {s} (t) = I _ {f} u _ {g} (t) \tag {22}
$$

$$
I _ {f} = - K _ {s s} ^ {- 1} K _ {s g}
$$

$I_{f}$ 는 영향행렬이라 하며 지지점의 변위에 의한 구조물의 변위를 나타냅니다. 식 (22)을 식 (21)에 대입하여 정리하면 다음과 같습니다.

$$
P _ {e f f} (t) = - \left(M _ {s s} I _ {f} + M _ {s g}\right) \ddot {u} _ {g} (t) - \left(C _ {s s} I _ {f} + C _ {s g}\right) \dot {u} _ {g} (t) \tag {23}
$$

감쇠행렬이 강성비례감쇠 행렬이라고 가정하면 식 (24)로 나타낼 수 있습니다.

$$
\left(C _ {s s} I _ {f} + C _ {s g}\right) \dot {u} _ {g} (t) = \beta \left(K _ {s s} I _ {f} + K _ {s g}\right) \dot {u} _ {g} (t) = 0 \tag {24}
$$

$$
P _ {e f f} (t) = - \left(M _ {s s} I _ {f} + M _ {s g}\right) \ddot {u} _ {g} (t) \tag {25}
$$

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질량이 집중질량이라고 가정하면 식 (21)에서의 운동방정식과 유효지진하중은 식 (26)과 같습니다.

$$
\begin{array}{l} \begin{array}{l} M _ {s s} \ddot {u} _ {s} (t) + C _ {s s} \dot {u} _ {s} (t) + K _ {s s} u _ {s} (t) = P _ {\text {eff}} (t) \\ \text {P} _ {s s} (t) = M _ {s s} \ddot {u} _ {s} (t) \end{array} \tag {26} \\ P _ {e f f} (t) = - M _ {s s} I _ {f} \ddot {u} _ {g} (t) \\ \end{array}
$$

참고로 균등 지진하중이 입력되는 경우의 운동방정식은 다음과 같습니다.

$$
\begin{array}{l} \begin{array}{l} M \ddot {u} (t) + C \dot {u} (t) + K u (t) = P _ {\text {eff}} (t) \\ P _ {\text {eff}} (t) = M (1) \ddot {u} (t) \end{array} \tag {27} \\ P _ {e f f} (t) = - M \left\{1 \right\} \ddot {u} _ {g} (t) \\ \end{array}
$$

최종적인 절대값 기준의 변위, 속도, 가속도는 식 (28)과 같이 계산됩니다.

$$
\left\{ \begin{array}{l} u _ {s} ^ {t} (t) \\ \dot {u} _ {s} ^ {t} (t) \\ \ddot {u} _ {s} ^ {t} (t) \end{array} \right\} = \left\{ \begin{array}{l} u _ {s} ^ {s} (t) \\ \dot {u} _ {s} ^ {s} (t) \\ \ddot {u} _ {s} ^ {s} (t) \end{array} \right\} + \left\{ \begin{array}{l} u _ {s} (t) \\ \dot {u} _ {s} (t) \\ \ddot {u} _ {s} (t) \end{array} \right\} \tag {28}
$$

다중지점 지진입력에 대한 시간이력해석은 선형시간이력 해석에만 반영되고 있습니다.

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# Chapter 7. 좌굴해석

midas Civil의 선형좌굴해석기능(Linear Buckling Analysis)은 트러스, 보요소 판요소또는 솔리드요소로 구성된 구조물의 임계하중계수(Critical Load Factor)와 그에 해당되는 좌굴모드형상(Buckling Mode Shape)을 해석하는데 사용됩니다. 일정한 변형상태에서구조물의 정적 평형방정식은 다음과 같습니다.

$$
[ K ] \{U \} + [ K _ {G} ] \{U \} = \{P \} \tag {1}
$$

여기서 [ ] K : 구조물의 탄성강성행렬

[ ] K G : 구조물의 기하강성행렬

U : 구조물의 전체변위

P : 구조물에 작용하는 하중

구조물의 기하강성행렬은 각 요소의 기하강성행렬을 합하여 계산되고, 각 요소별기하강성 행렬은 다음과 같이 구해집니다. 여기에서 기하강성행렬은 구조물이 변형된 상태에서 강성이 변화된 상태를 나타내며 작용하는 하중과 직접적인 관계를갖습니다. 가령 임의의 부재에 압축력이 작용하면 강성이 감소하는 경향을 가지고,반면에 인장력이 작용하면 강성이 증가하는 경향을 가집니다.

$$
[ K _ {G} ] = \sum [ k _ {G} ]
$$

$$
[ k _ {G} ] = F [ \overline {{k}} _ {G} ]
$$

여기서 [ ] Gk : 각 부재별 표준 기하강성행렬

F : 부재력 (축력 - 트러스, 보요소의 경우)