김경종
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<details>
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<summary>line</summary>
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| d | f (Line 1) | f (Line 2) | f (Line 3) | f (Line 4) | f (Line 5) |
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|------|------------|------------|------------|------------|------------|
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| -2.0 | -3.0 | -3.0 | -3.0 | -3.0 | -3.0 |
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| -1.5 | -2.0 | -1.5 | -1.0 | -0.5 | 0.0 |
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| -1.0 | -1.0 | -0.5 | 0.0 | 0.5 | 1.0 |
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| -0.5 | 0.0 | 0.5 | 1.0 | 1.5 | 2.0 |
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| 0.0 | 1.0 | 1.5 | 2.0 | 2.5 | 3.0 |
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| 0.5 | 1.5 | 2.0 | 2.5 | 3.0 | 3.5 |
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| 1.0 | 2.0 | 2.5 | 3.0 | 3.5 | 4.0 |
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| 1.5 | 2.5 | 3.0 | 3.5 | 4.0 | 4.5 |
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| 2.0 | 3.0 | 3.5 | 4.0 | 4.5 | 5.0 |
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</details>
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(c) α = 0.5, β = -0.5
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<details>
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<summary>line</summary>
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| d | f (Line 1) | f (Line 2) | f (Line 3) | f (Line 4) | f (Line 5) |
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|------|------------|------------|------------|------------|------------|
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| -2.0 | -5.0 | -5.0 | -5.0 | -5.0 | -5.0 |
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| -1.5 | -3.0 | -2.5 | -2.0 | -1.5 | -1.0 |
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| -1.0 | -1.0 | -0.5 | 0.0 | 0.5 | 1.0 |
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| -0.5 | 0.5 | 1.0 | 1.5 | 2.0 | 2.5 |
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| 0.0 | 1.0 | 1.5 | 2.0 | 2.5 | 3.0 |
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| 0.5 | 1.5 | 2.0 | 2.5 | 3.0 | 3.5 |
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| 1.0 | 2.0 | 2.5 | 3.0 | 3.5 | 4.0 |
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| 1.5 | 2.5 | 3.0 | 3.5 | 4.0 | 4.5 |
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| 2.0 | 3.0 | 3.5 | 4.0 | 4.5 | 5.0 |
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</details>
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(d) α = 0.25, β = -0.75
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그림 2.8.16 이력거동에 의한 변위-내력 관계 (r = 0, k = Fy = s = 1.0)
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<summary>text_image</summary>
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f
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s=∞
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Fy
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s=2
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s=1
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r·k
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k
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k
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d
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</details>
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<details>
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<summary>line</summary>
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| d | s = 1.0 | s = 2.0 | s = 10.0 | s = 100.0 |
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| ---- | ------- | ------- | -------- | --------- |
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| 0.0 | 0.0 | 0.0 | 0.0 | 0.0 |
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| 0.2 | 0.2 | 0.2 | 0.2 | 0.2 |
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| 0.4 | 0.4 | 0.4 | 0.4 | 0.4 |
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| 0.6 | 0.6 | 0.6 | 0.6 | 0.6 |
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| 0.8 | 0.8 | 0.8 | 0.8 | 0.8 |
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| 1.0 | 1.0 | 1.0 | 1.0 | 1.0 |
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| 1.2 | 1.0 | 1.0 | 1.0 | 1.0 |
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| 1.4 | 1.0 | 1.0 | 1.0 | 1.0 |
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| 1.6 | 1.0 | 1.0 | 1.0 | 1.0 |
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| 1.8 | 1.0 | 1.0 | 1.0 | 1.0 |
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| 2.0 | 1.0 | 1.0 | 1.0 | 1.0 |
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</details>
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그림 2.8.17 탄성변형과 소성변형 사이의 전이구간 (항복구간)
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# 8-5-11 납삽입 고무베어링형 면진장치 (Lead Rubber Bearing Type Isolator)
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면진장치는 지반의 진동으로부터 구조물을 보호하기 위해 진동의 전달을 차단하는장치로서 교량의 교각과 상판 사이, 혹은 건축물의 지상구조와 기초 사이에 설치합니다. 납삽입 고무베어링형 면진장치는 납의 낮은 항복 후 강성에 의해 구조물의 고유진동수를 지반 진동의 주요 진동수 성분과 격리시키고 이력거동에 의해 면진장치 내에서 진동에너지를 소산시키는 작용을 합니다.
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납삽입 고무베어링형은 2개의 전단 성분에 대해서는 상호 연관된 2축 소성(BiaxialPlasticity)의 특성을 가지며, 나머지 축력, 비틀림과 2개의 휨 성분에 대해서는 상호 독립된 선형탄성 스프링의 특성을 갖습니다.
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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Elastic Axial Spring
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kₓ
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Nonlinear Shear Spring
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(Hysteretic System)
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d₃
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f₃
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f₂
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d₂
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x
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y
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z
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Fᵧ
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Kᵧ
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K₀
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dᵧ
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그림 2.8.18 납삽입면진장치의 스프링 구성
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납삽입 고무베어링형 면진장치의 두 전단 성분의 힘-변형 관계식은 다음과 같습니다.
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$$
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f _ {y} = r _ {y} k _ {y} \cdot d _ {y} + (1 - r _ {y}) F _ {y, y} z _ {y}
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$$
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$$
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f _ {z} = r _ {z} k _ {z} \cdot d _ {z} + (1 - r _ {z}) F _ {y, z} z _ {z}
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$$
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여기서 $k _ { _ { y } } , k _ { z }$ : 요소좌표계 y, z방향 전단 성분의 초기 강성
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$F _ { _ { y , y } } , \ F _ { _ { y , z } }$ : 요소좌표계 y, z방향 전단 성분의 항복 강도
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$r_{y}$ , $r_{z}$ : 요소좌표계 y, z방향 전단 성분의 항복 후 강성 저하율
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$d_{y}$ , $d_{z}$ : 요소좌표계 y, z방향 전단 성분의 두 절점 사이의 변형
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$z_{y}$ , $z_{z}$ : 요소좌표계 y, z방향 전단 성분의 이력거동 내부변수
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$z_{y}$ , $z_{z}$ 는 이력거동을 나타내는 내부변수로서, 1축 소성에 대한 Wen(1976)의 모델을 확장시킨 Park, Wen, and Ang(1986)의 2축 소성(Biaxial Plasticity) 모델에 의해 다음의 미분방정식으로 정의됩니다.
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$$
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\left\{ \begin{array}{l} \dot {z} _ {y} \\ \dot {z} _ {z} \end{array} \right\} = \left[ \begin{array}{l l} 1 - z _ {y} ^ {2} \left\{\alpha_ {y} \operatorname{sgn} \left(\dot {d} _ {y} z _ {y}\right) + \beta_ {y} \right\} & - z _ {y} z _ {z} \left\{\alpha_ {z} \operatorname{sgn} \left(\dot {d} _ {z} z _ {z}\right) + \beta_ {z} \right\} \\ - z _ {y} z _ {z} \left\{\alpha_ {y} \operatorname{sgn} \left(\dot {d} _ {y} z _ {y}\right) + \beta_ {y} \right\} & 1 - z _ {z} ^ {2} \left\{\alpha_ {z} \operatorname{sgn} \left(\dot {d} _ {z} z _ {z}\right) + \beta_ {z} \right\} \end{array} \right] \left\{ \begin{array}{l} \frac {k _ {y}}{F _ {y , y}} \dot {d} _ {y} \\ \frac {k _ {z}}{F _ {y , z}} \dot {d} _ {z} \end{array} \right\}
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$$
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여기서
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$\alpha_{y}$ , $\beta_{y}$ , $\alpha_{z}$ , $\beta_{z}$ : 요소좌표계 y, z방향 전단 성분의 이력곡선 형상 관련 상수
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$\dot{d}_{y}$ , $\dot{d}_{z}$ : 요소좌표계 y, z방향 전단 성분의 변형 변화율
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위 모델은 비선형 전단 성분이 1개인 경우 이력거동 시스템(Hysteretic System)에서 s=2 인 경우와 동일해 지며, 각 상수들의 역할도 이력거동 시스템과 동일하므로 설명은 생략합니다.
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# 8-5-12 마찰진자형 면진장치 (Friction Pendulum System Type Isolator)
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마찰진자형 면진장치는 납삽입고무베어링형과 같은 목적으로 사용되는 면진장치로써 고유진동수 이동과 이력거동에 의한 에너지 소산에 의해 구조물을 지반진동으로부터 보호합니다. 마찰진자형 면진장치는 마찰면의 곡률반경에 의해 복원력을발생시키며 이 곡률반경의 조정을 통해 전체구조물의 고유진동수를 원하는 값으로이동시킬 수 있습니다. 또한 이력거동에 의한 에너지 소산작용은 마찰면의 미끄러짐 현상을 통해 이루어집니다.
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마찰진자형 면진장치는 2개의 전단 성분에 대해서는 상호 연관된 2축 소성(BiaxialPlasticity)의 특성을 가지며, 축 성분에 대해서는 갭(Gap)과 동일한 비선형 특성을가지고 나머지 3개의 성분에 대해서는 상호 독립된 선형탄성 스프링의 특성을 가집니다.
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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P
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R
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P
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P
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μ
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P
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k
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f
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N1
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N2
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f
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</details>
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그림 2.8.19 마찰진자형 면진장치 전단스프링
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마찰진자형 면진장치의 축 성분의 힘-변형 관계식은 다음과 같이 초기간격이 0인갭(Gap)과 같습니다.
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여기서, $f _ { x } = P = { \left\{ \begin{array} { l l } { k _ { x } d _ { x } } & { i f ~ d _ { x } < 0 } \\ { 0 } & { o t h e r w i s e } \end{array} \right. }$
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$P$ : 마찰진자형 진동격리장치에 작용하는 축방향 하중
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$k _ { x }$ : 선형 강성
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$d _ { x }$ : 변형
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마찰진자형 면진장치의 두 전단 성분의 힘-변형 관계식은 다음과 같습니다.
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$$
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f _ {y} = \frac {| P |}{R _ {y}} d _ {y} + | P | \mu_ {y} z _ {y}
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$$
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$$
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f _ {z} = \frac {| P |}{R _ {z}} d _ {z} + | P | \mu_ {z} z _ {z}
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$$
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여기서 P : 마찰진자형 면진장치에 작용하는 축방향 하중
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$R_{y}$ , $R_{z}$ : 요소좌표계 y, z방향 전단 성분의 마찰면 곡률반경
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$\mu_{y}$ , $\mu_{z}$ : 요소좌표계 y, z방향 전단 성분의 마찰면 마찰계수
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$d_{y}$ , $d_{z}$ : 요소좌표계 y, z방향 전단 성분의 두 절점 사이의 변형
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$z_{y}$ , $z_{z}$ : 요소좌표계 y, z방향 전단 성분의 이력거동 내부변수
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마찰면의 마찰계수를 나타내는 $\mu_{y}$ , $\mu_{z}$ 는 2개 전단 변형의 속도와 관련되며 Constantinou, Mokha and Reinhorn(1990)에 의해 제안된 다음 식에 의해 결정됩니다.
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$$
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\mu_ {y} = \mu_ {\text { fast }, y} - \left(\mu_ {\text { fast }, y} - \mu_ {\text { slow }, y}\right) e ^ {- r | v |}
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$$
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$$
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\mu_ {z} = \mu_ {\text { fast }, z} - \left(\mu_ {\text { fast }, z} - \mu_ {\text { slow }, z}\right) e ^ {- r | v |}
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$$
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여기서 $v=\sqrt{\dot{d}_{y}^{2}+\dot{d}_{z}^{2}}$ , $r=\frac{r_{y}\dot{d}_{y}^{2}+r_{z}\dot{d}_{z}^{2}}{v^{2}}$
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$\mu_{fast,y}$ , $\mu_{fast,z}$ : 요소좌표계 y, z방향 마찰면의 고속변형 마찰계수
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$\mu_{slow,y}$ , $\mu_{slow,z}$ : 요소좌표계 y, z방향 마찰면의 저속변형 마찰계수
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$r_{y}$ , $r_{z}$ : 요소좌표계 y, z방향 마찰계수 변화율
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$\dot{d}_{y}$ , $\dot{d}_{z}$ : 요소좌표계 y, z방향 전단 성분의 변형 변화율
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$z_{y}$ , $z_{z}$ 는 이력거동을 나타내는 내부변수로서, 1축 소성에 대한 Wen(1976)의 모델을 확장시킨 Park, Wen, and Ang(1986)의 2축 소성(Biaxial Plasticity) 모델에 의해 다음의 미분방정식으로 정의됩니다.
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$$
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\left\{ \begin{array}{l} \dot {z} _ {y} \\ \dot {z} _ {z} \end{array} \right\} = \left[ \begin{array}{l l} 1 - z _ {y} ^ {2} \left\{\alpha_ {y} \operatorname{sgn} \left(\dot {d} _ {y} z _ {y}\right) + \beta_ {y} \right\} & - z _ {y} z _ {z} \left\{\alpha_ {z} \operatorname{sgn} \left(\dot {d} _ {z} z _ {z}\right) + \beta_ {z} \right\} \\ - z _ {y} z _ {z} \left\{\alpha_ {y} \operatorname{sgn} \left(\dot {d} _ {y} z _ {y}\right) + \beta_ {y} \right\} & 1 - z _ {z} ^ {2} \left\{\alpha_ {z} \operatorname{sgn} \left(\dot {d} _ {z} z _ {z}\right) + \beta_ {z} \right\} \end{array} \right] \left\{ \begin{array}{l} \frac {k _ {y}}{| P | \mu_ {y}} \dot {d} _ {y} \\ \frac {k _ {z}}{| P | \mu_ {z}} \dot {d} _ {z} \end{array} \right\}
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$$
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여기서 $k_{y}, k_{z}$ : 미끄러짐 발생 이전의 요소좌표계 y, z방향 전단 성분의 초기 강성(연결부재 강성)
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$\alpha_{y}, \beta_{y}, \alpha_{z}, \beta_{z}$ : 요소좌표계 y, z방향 전단 성분의 이력곡선 형상 관련상수
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$\dot{d}_{y}, \dot{d}_{z}$ : 요소좌표계 y, z방향 전단 성분의 두 절점 사이의 변형 변화율
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위 모델은 항복강도에 해당하는 값이 축방향하중의 절대값과 마찰계수의 곱으로 표현된 점을 제외하면 납삽입고무베어링과 동일한 형태를 가지므로 각 상수들의 작용에 대한 설명은 생략하며 비선형 전단 성분이 1개인 경우에는 s=2 인 1축 소성 특성과 동일해집니다.
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# 8-5-13 Runge-Kutta Method
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경계비선형 해석에서는 상미분방정식의 수치해석 기법으로 Runge-Kutta Method을사용합니다. 상미분방정식을 풀기 위해서는 구간간격을 설정할 필요가 있습니다.시간이력해석인 경계비선형 해석에서의 구간간격은 일정한 시간증분 간격이 됩니다. 그러나, 그림 2.8.20에 나타낸 것과 같이 미분방정식의 해가 급격히 변하는 경우는 일정한 구간간격으로 해를 구할 때, 심각한 제한성을 가질 수 있습니다. 따라서, midas Civil에서는 비선형 경계요소의 수치해를 구할 때, Runge-Kutta Method의수렴성을 향상시키기 위하여, 구간간격인 입력된 시간증분 t 를 세분하는 수렴기법을 사용합니다. 여기서, 구간간격인 t 를 세분한다는 것은 전체 구조물의 운동방정식을 풀 때 시간증분 간격을 세분하는 것이 아니고, 일정한 시간증분 t 를 이용하여 전체 구조물의 운동 방정식을 풀어 변형을 구하고, Runge-Kutta Method를이용하여 비선형 경계요소의 요소내력을 구할 때, 구간간격인 t 를 세분한다는 의미입니다.
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<details>
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<summary>line</summary>
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| x | y |
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|-------|-------|
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| x₀ | y₀ |
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| x₁ | y₁ |
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| x₂ | y₂ |
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</details>
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그림 2.8.20 미분방정식의 초기치 문제
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# 8-5-14 Cash-Karp (Adaptive Stepsize Control)
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차수가 다른 Runge-Kutta법의 예측값을 이용하여 오차를 구하여, 구간 간격을 자동으로 조절하는 방법입니다. Adaptive Stepsize Control의 기본 개념은 그림 2.8.21과 같이 오차가 너무 작으면 구간간격 크기를 크게 하고, 오차가 크면 구간간격을작게 하는 것입니다.
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<details>
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<summary>line</summary>
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| X | Y |
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| --- | --- |
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| 0 | 0.0 |
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| 1 | 0.1 |
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| 2 | 0.2 |
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| 3 | 0.3 |
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| 4 | 0.4 |
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| 5 | 0.5 |
|
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| 6 | 0.6 |
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||
| 7 | 0.7 |
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||
| 8 | 0.8 |
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||
| 9 | 0.9 |
|
||
| 10 | 1.0 |
|
||
| 11 | 0.9 |
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| 12 | 0.8 |
|
||
| 13 | 0.7 |
|
||
| 14 | 0.6 |
|
||
| 15 | 0.5 |
|
||
| 16 | 0.4 |
|
||
| 17 | 0.3 |
|
||
| 18 | 0.2 |
|
||
| 19 | 0.1 |
|
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| 20 | 0.0 |
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</details>
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그림 2.8.21 Cash-Karp(Adaptive Stepsize Control)
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구간간격의 설정은 Press et al.(1992)에 의해 제한된 다음 식을 사용합니다.
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$$
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h _ {n e w} = h _ {p r e s e n t} \left| \frac {\Delta_ {n e w}}{\Delta_ {p r e s e n t}} \right| ^ {a}
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$$
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여기서, $h _ { n e w }$ : 새로운 구간 간격
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$h _ { p r e s e n t }$ : 현재의 구간 간격
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new $\Delta _ { n e w }$ : 요구되는 $\mathop { \mathbb { X } } ^ { \bullet } \mathbin { \mathbb { \bar { \geq } } } \mathfrak { t } \mathop { \mathbb { E } } \big ( \Delta _ { n e w } = \varepsilon \Delta _ { s c a l } \big )$
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$\Delta _ { p r e s e n t }$ : 계산된 현재의 정확도
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a : 계산된 현재의 정확도
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$$
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\Delta_ {p r e s e n t} \leq \Delta_ {n e w}: a = 0. 2
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$$
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$$
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\Delta_ {p r e s e n t} > \Delta_ {n e w}: a = 0. 2 5
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$$
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：
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허용오차수준 는 작을수록 오차가 적어지지만, 해석시간과 수렴성을 고려하여경험치인 1.0e-8 전후의 값을 입력합니다.
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<!-- source-page: 270 -->
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# 8-5-15 Fehlberg (Stepsize Sub-Division for Non-convergence Control)
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이 방법은 초기의 구간간격을 시간증분 t 로 두고 Runge Kutta Method의 4차공식과 5차공식에 의한 예측값을 이용하여 오차를 구하고, 구해진 오차가 허용오차수준 를 만족할 때까지 구간간격을 1/2씩 분할하여 해를 구하는 방법입니다.
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<details>
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<summary>line</summary>
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| Iteration | Value |
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| --------- | ----- |
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| 1st Iteration | 0 |
|
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| 2nd Iteration | 0 |
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| 3rd Iteration | 0 |
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| 4th Iteration | 0 |
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</details>
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그림 2.8.22 Fehlberg(Stepsize Sub-Division for Non-convergence Control)
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