김경종
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여기서 \varepsilon _ { D } : 변위 Norm
\varepsilon _ { F } : 하중 Norm
\varepsilon _ { E } : 에너지 Norm
\Delta { \pmb U } _ { n } ^ { ( i ) } : 현재증분스텝(n)의 i번째 반복계산까지 누적된 증분변위벡터
\delta \pmb { U } _ { n } ^ { ( i ) } : 현재증분스텝(n)의 i번째 수렴계산에서의 변위벡터
\Delta F _ { n } ^ { ( i ) } : 현재증분스텝(n)의 i번째 반복계산까지 누적된 증분내력벡터
\delta F _ { n } ^ { ( i ) } : 현재증분스텝(n)의 i번째 수렴계산에서의 내력벡터
(3) 수렴판단조건의 설정
수렴판단 조건은 변위 Norm만을 선택하는 것이 일반적입니다. 복수의 Norm을 수렴판단 조건으로 설정하면, 하나의 조건을 선택한 경우에 비해서 수렴반복회수가 증가할 수 있습니다.
Substep에 의한 증분량의 자동분할
구조물의 비선형성이 매우 강한 경우, 수렴해석의 최대반복수까지 수렴하지 않는경우가 있습니다. midas Civil의 비선형 해석에서는 이와 같이 수렴이 되지 않는 경우에는 현재 증분량을 자동분할하여 수렴성능을 향상시키는 Substep기능을 제공합니다.
Substep기능은 현재스텝에서 수렴되지 않은 경우, 수렴된 직전 스텝으로 되돌아가현재 증분량을 0.5만큼만 계속 분할하여 해석을 수행하는 비선형 해석기법이며, 이와 같은 분할된 스텝을 Substep이라 합니다.
예를 들어 이전 증분 단계까지 누적된 총 증분(증분 하중파라메터 혹은 증분 변위량의 합)이 0.5이고, 현재 스텝의 증분량이 0.1인 경우, 수렴조건을 만족하지 않으면 내부적으로 증분량을 분할하여 0.05로 조절하여 해석을 수행합니다. 이 경우에도 수렴을 하지 않을 경우 0.025로 증분량을 조절하여 해석을 수행하는 방법입니다.
Substep에 의한 증분량 자동분할과정은 다음과 같습니다.
최대반복수까지 수렴되지 않은 경우, 현재상태 B*에서 직전스텝에서 수렴
된 A로 이동합니다.
현재 스텝의 증분량을 2분할하여 증분해석을 수행합니다.
증분량을 2분할한 경우에도 수렴되지 않는 경우, 재차 증분량을 2분할 합니다.
flowchart
graph TD
A["Point A"] -->|Converged| B["Point B"]
B -->|Diverged| C["Point B*"]
C -->|Diverged| D["Point A"]
style A fill:#f9f,stroke:#333
style B fill:#f9f,stroke:#333
style C fill:#f9f,stroke:#333
style D fill:#f9f,stroke:#333
그림 2.8.42 Substep에 의한 증분량 자동분할
이와 같이 증분량을 Substep으로 분할하는 횟수는 Pushover탭>Control그룹>Pushover Global Control의 Nonlinear Analysis Option의 Max. Number ofSubsteps에서 지정합니다. Max. Number of Substeps의 기본값은 10이며, Substep은수렴성능 향상을 위한 임시스텝으로 Substep에 대한 결과는 출력되지 않습니다.Max. Number of Substeps을 “1”로 정의하면, 수렴하지 않는 경우, 증분량을 분할하지 않습니다.
초기하중의 고려
횡력 혹은 수평력에 대한 구조물의 보유내력을 구하기 위하여 정적증분해석을 수행하는 경우에, 중력방향하중(고정하중, 적재하중)에 대한 해석을 선행해야 할 필요가 있습니다. 특히, 휨과 축력이 동시에 작용하는 기둥부재의 경우, 축력의 변동을 고려하여 항복모멘트를 산정하므로 반드시 초기하중을 고려하여 해석을 수행하여야 합니다.
정적증분해석에서 초기하중은 Pushover탭>Control그룹>Pushover Global Control
의 Initial Load에서 설정합니다. 정적증분해석에서 초기하중을 고려하는 경우에는Pushover탭>Load Case그룹>Pushover Load Cases>Pushover Load Cases 에서Use Initial Load를 선택합니다.
정적증분해석에서 초기하중의 설정방법은 다음 2가지 방법을 제공합니다.
Nonlinear Analysis for Initial Load
Import Static Analysis / Construction Stage Analysis Results
Nonlinear Analysis for Initial Load는 설정된 초기하중에 대해서 실제 비선형해석을 수행하는 방법입니다. 정적증분해석은 비선형 증분해석이므로, 선형탄성해석과같이 하중조합에 의해 각 요소의 내력을 구할 수 없습니다. 따라서, 초기하중을 고려하는 경우에는 초기하중에 대해서도 비선형 해석을 수행하여야 합니다. 단, 이때의 증분수는 1스텝으로 고정하여 해석합니다.
Import Static Analysis / Construction Stage Analysis Results는 초기하중과 정적증분해석의 경계조건이 다른 경우 혹은 시공단계해석의 최종단계를 초기하중으로 고려할 경우에 에 적용하는 방법입니다. 정적해석 결과 혹은 시공단계해석 결과를 초기하중으로 설정하는 경우, 선형해석에서는 입력된 초기단면력을 단순히 선형조합하여 처리 가능합니다. 하지만, 비선형 시간이력해석에서는 입력된 초기단면력을비선형 요소의 상태판정에 고려하지 않으면, 연속적으로 수행되는 하중조건 사이의 정합성을 확보할 수 없습니다. 또한, 부재에 발생하는 단면력은 가해지는 외력에 의해 발생하므로, 입력된 초기단면력을 부재내력으로 평형방정식에 그대로 반영하면, 평형조건이 성립되지 않습니다.
정적증분해석에서는 입력된 초기단면력에 대해 가상의 변형을 구하여, 비선형 부재의 상태 판정시에 고려하는 방법으로 비선형 시간이력해석을 수행합니다. 단, 평형방정식을 구성할때는 초기단면력은 무시되며, 상세한 해석방법은 다음과 같습니다.
- 정적증분해석의 초기증분에 들어가기 전에, 초기강성
K _ { 0 }를 이용하여, 입력된 초기 단면력에 대해 비탄성 힌지의 가상의 변형D _ { i n i }을 구합니다.
a. 구해진 D _ { i n i } 이 항복변형 이내에 있으면(탄성범위), 입력된 초기 단면력을 그대로 해석에 반영합니다.
b. 구해진 D _ { i n i } 이 항복변형을 초과한 경우, 이력루틴에서 변형 D _ { i n i } 에 대한 내력 P _ { i n i } 를 구하여 해석에 반영합니다. 단, D _ { i n i } 와 P _ { i n i } 는 초기증분에서 1회만 구합니다.
- 평형방정식을 풀어, 증분변위
\delta u _ { { t + \Delta t } }를 구합니다. 단, 초기 단면력은 내력으로 입력되므로, 평형방적식을 구성할때는 무시됩니다. - 증분변위
\delta u _ { { t + \Delta t } }을 이용하여, 비선형 힌지의 변형 D 와 내력 P 를 구합니다. - 비선형 부재의 상태판정을 위해 이력루틴에 들어갑니다. 단, 이력루틴에 들어가기전에 비탄형 힌지의 변형과 부재력은 초기 단면력을 고려하여 다음과 같이 수정됩니다.
\begin{array}{l} D ^ {*} = D + D _ {i n i} \\ P ^ {*} = P + P _ {i n i} \\ \end{array}
-
이력루틴에서 변형
D ^ { * }에 의해 강성과 내력\overline { { P } } ^ { * }을 계산합니다. -
비탄성 힌지의 해석결과를 출력합니다.
-
평형방정식을 구성하기 위해서, 변형과 복원력을 다음과 같이 수정합니다.
D = D ^ {*} - D _ {i n i}
\overline {{P}} = \overline {{P}} ^ {*} - P _ {i n i}
평형방정식을 구성하고, 2. 로 돌아가 마직막 증분까지 이와 같은 해석을 반복합니다.
line
| Point | D | P | |-------|-------|-------| | K0 | Dini | P0ini | | P1(+) | D1(+) | P0ini |그림 2.8.43 초기단면력의 처리
초기하중을 고려하는 경우에는 초기하중에 의해 발생한 각 요소의 내력은 정적증분해석에 계승됩니다. 단, 초기하중에 의해 발생한 각 절점의 변위 및 반력/층전단력을 정적증분해석 결과에 포함시켜 출력할 것인가의 여부는 Pushover Load Case
에서 선택가능 합니다.
P-Delta 효과
P-Delta해석은 요소가 횡력과 축력을 동시에 받을 때 2차적인 구조적 거동을 고려하기 위한 기하학적 비선형 해석의 일종입니다. P-Delta효과를 고려하면, 요소의 강성은 요소 고유의 횡방향 강성 k 에 축력에 따른 강성의 증감효과를 나타내는 기하강성 k _ { G } 가 더해집니다. P-Delta효과를 고려하는 경우의 비선형 정적방정식은 다음과 같이 표현됩니다.
\left(\boldsymbol {K} + \boldsymbol {K} _ {G}\right) _ {n} \Delta \boldsymbol {U} _ {n} + \boldsymbol {F} _ {n - 1} = \lambda_ {n} \cdot \boldsymbol {P} _ {0} \tag {41}
여기서 K : 구조물 고유의 강성행렬
\pmb { { \cal K } } _ { G } : 기하강성 행렬
정적증분해석에서 P-Delta효과는 다음 식과 같이 강성행렬의 행렬값이 양의 값을갖는 영역에서만 반영됩니다. 강성행렬의 행렬값이 0 혹은 음의 값을 나타내면 요소강성 구성시에 기하강성 k _ { G } 를 무시합니다.
\left| \boldsymbol {K} + \boldsymbol {K} _ {G} \right| > 0 \tag {42}
강성행렬의 행렬값이 0 혹은 음의 값을 나타내는 경우는 다음과 같습니다.
FEMA Type에서 변형이 커져서 부구배 상태에 들어가는 경우 (그림 2.8.41의 C점 이후)
Multi-Linear Type에서 소성힌지 발생으로 갱신된 강성에 기하강성을 더한이후 요소강성의 대각성분에 0 또는 음의 값이 나타나는 경우
해석종료조건
최대 증분회수에 도달하는 경우
Limit Inter-Story Deformation Angle구조물의 각 층에서 발생하는 층간변형각의 최대값이 설정된 한계 층간변형각을 초과하는 경우 자동종료합니다. 각 층에서 발생하는 층간변형각의 산정방법은 다음과 같습니다.
-
각 층에 설정된 수직부재의 층간변형각의 최대값
-
층 중심에서의 층간변형각
-
층의 절점변위의 평균값으로 층간변형각 산정
전단성분 힌지가 최초로 항복한 경우
-
구조물에 설정된 전단성분 힌지중에서 최초로 항복한 경우 자동종료합니다.
-
전단성분 힌지항복시 자동종료 조건은 Pushover탭>Control그룹>Pushover Global Control의 Analysis Stop에서 Shear Component Yield를설정합니다.
-
전단성분 힌지의 자동종료를 위해서는 요소에 전단성분 힌지를 설정할필요가 있습니다.
축력성분 힌지의 압괴 / 좌굴이 발생한 경우
-
구조물에 설정된 축력성분 힌지중에서 최초로 압괴 / 좌굴이 발생한 경우 자동종료 합니다.
-
축력힌지의 압괴 / 좌굴시 자동종료는 Pushover탭>Assign그룹>DefinePushover Hinge Type/Properties에서 적용한 Material Type에 따라서 다음과 같이 처리 됩니다.
a. RC / SRC(encased) : 축력힌지의 압축측 압괴(항복)시 자동종료합니다.
b. Steel / SRC(filled) - Input Method>Auto-Calculation
i) 요소가 항복하기 전에 좌굴하는 경우 : 좌굴시 자동종료
(축력항복내력보다 좌굴내력이 작은 경우)
ii) 요소가 좌굴하지 않는 경우 : 압축측 항복이 발생한 경우에도 자동종료 하지 않고 계속 해석진행
- Input Method>User Input : 좌굴유무에 관계없이 압축측 항복시 자동 종료
- 축력성분 힌지의 압괴 / 좌굴시 자동종료는 Pushover탭>Control그룹>Pushover Global Control의 Analysis Stop에서 Axial ComponentCollapse/ Buckling를 설정합니다.
- 요소에 축력성분 힌지를 설정할 필요가 있습니다.
- 축력성분의 인장측 항복시에는 종료하지 않고 계속 해석을 진행합니다.
Current Stiffness Ratio
전체 구조물의 초기강성과 현재의 강성과의 비가 지정된 값에 도달한 경우 (하중증분 해석만 해당)
초기하중에 대한 해석시에 PMM TYPE이 설정된 기둥의 축력이 항복축력을 초과한 경우 (중력방향하중에 대해 기둥부재의 축성분이 항복했다는 의미이므로, 초기하중이 과대하게 설정되었거나, 항복곡면의 설정에 문제가있다고 판단할 수 있습니다. 따라서, 이와 같은 경우는 메시지 출력 후 강제 종료 시킵니다.)
8-7-4 하중증분법에 의한 하중제어 방법
midas Civil 에서 하중증분법은 사용자가 구조물에 작용하는 최대하중을 미리 설정하고, 최대하중에 도달할 때까지 하중을 적절히 분할하여 점진적으로 증가시키는 해석방법입니다. 즉, 하중증분법에서는 증분화하는 대상이 최대하중 P_{0} 가 됩니다. 각 증분에서의 하중증분량 \Delta\lambda_{n} \cdot P_{0} 은 최대하중 P_{0} 에 증분 파라메터 \Delta\lambda 를 곱하여 산정합니다.
\lambda_ {n} \cdot P _ {0} = \lambda_ {n - 1} \cdot P _ {0} + \Delta \lambda_ {n} \cdot P _ {0} \tag {43a}
\lambda_ {n} = \lambda_ {n - 1} + \Delta \lambda_ {n} \tag {43b}
\Delta \lambda_ {n} = \lambda_ {n} - \lambda_ {n - 1} \tag {43c}
여기서, \Delta\lambda_{n}\cdot P_{0} : n 스텝에서의 하중증분량
P_{0} : 최대하중 벡터
\lambda_{n} : n 스텝에서의 하중 파라메터
\lambda_{n-1} : n-1 스텝에서의 하중 파라메터
\Delta\lambda_{n} : n 스텝에서의 증분 파라메터
하중증분해석에 의한 Pushover해석에서는 구조물에 최대내력(구조물이 외력에 저항 할 수 있는 최대내력, Limit Point)이상의 외력이 작용하면, 하중증분해석으로 더 이상 안정해를 얻을 수 없는 해석불능 상태가 되어 발산하게 됩니다. Pushover해석에서는 이와 같은 극한점에서 해석을 자동으로 종료하는 기능을 제공합니다.
line
| U: Displacement | P₀: Reference Load | | -------------- | ------------------ | | λ₁·P₀ | λ₁·P₀ | | λ₂·P₀ | λ₂·P₀ | | λₙ·P₀ | λₙ·P₀ | | λₙ₋₁·P₀ | λₙ₋₁·P₀ | | Δλₙ·P₀ | Δλₙ·P₀ | | λₙ·P₀ | λₙ·P₀ | | λₙ₋₁·P₀ | λₙ₋₁·P₀ | | n step | n step | | n-1 step | n-1 step | | Kₙ | Kₙ |그림 2.8.44 하중증분법
midas Civil에서 하중제어 방법은 Full Newton-Raphson 방법을 따르고 있습니다.Full Newton-Raphson 방법은 미분의 원리를 이용하여 함수값을 찾는 방법으로 해에 접근하는 속도가 빠르다는 장점이 있습니다.
하중은 기본적으로 일정한 분포를 가진 횡하중 또는 수평하중입니다. 하중의 분포는 하중조건 중에서 사용자가 설정한 지진하중(Qud) 이외에도 사용자가 하중조건에서 설정한 임의의 하중분포도 가능합니다. 또한 특정 절점에서의 절점하중을 포함하여 하중조건에서 설정한 하중을 정적증분해석시의 하중으로 사용할 수 있습니다
midas Civil에서는 다음의 3가지 하중증분 제어방법을 제공합니다.
Auto Stepping Control
Equal Step Control
Incremental Control Function
Auto Stepping Control
line
| Displacement | λ₁·P₀ | λₙ·P₀ |
|---|---|---|
| n=1 | 1 | n=1 |
| n=1 | 1 | nstep |
그림 2.8.45 Auto Stepping Control에 의한 하중증분해석
자동증분 제어방법은 비선형성이 작은 구간에서는 증분간격을 크게 하고, 비선형성이 큰 구간에서는 증분간격을 작게 제어하는 방법입니다. 자동증분제어에 의한하중증분해석 방법은 다음과 같습니다.
(1) 1단계: 탄성한계 계산 (n = 1)
사용자가 설정한 수평하중을 재하하여, 수평하중에 대한 각 요소에 할당된 비선형 힌지의 내력과 힌지의 항복내력의 비율을 구합니다. 이 비율은 최초로 비선형 힌지에 항복이 발생하는 하중을 의미하며 탄성한계가 됩니다.
\text { ratio } = \frac {P _ {\text { yild }} - P _ {\text { ini }}}{P _ {\text { crnt }} - P _ {\text { ini }}} \tag {44}
여기서 ratio : 비선형 힌지의 항복내력과 수평하중에 의한 내력의 비율
P_{yild} : 비선형 힌지의 항복내력
P_{crnt} : 수평하중에 의해 발생된 비선형 힌지의 내력
P_{ini} : 초기하중에 의해 발생된 비선형 힌지의 내력
탄성한계의 90%를 1번째 하중스텝의 하중 파라메터로 설정하여 해석합니다.
\boldsymbol {K} _ {1} \Delta \boldsymbol {U} _ {1} + \boldsymbol {F} _ {i n i} = \lambda_ {1} \cdot \boldsymbol {P} _ {0} + \boldsymbol {P} _ {i n i} \tag {45}
여기서 K_{1} : 1번째 하중증분스텝의 구조물의 접선 강성행렬
\Delta U_{1} : 1번째 하중증분스텝의 증분 변위벡터
F_{ini} : 초기하중에 대한 내력벡터
\lambda_{1} : 1번째 하중증분스텝의 하중 파라메터( \lambda_{1}=0.9*ratio )
P_{0} : 설정된 정적증분 하중벡터
P_{ini} : 초기하중 벡터
\lambda_{1} \cdot P_{0} : 1번째 하중증분스텝의 외력벡터
(2) 2단계: 등차급수에 의한 증분해석 (1 < n < nstep)
탄성한계에서 설정된 총하종까지의 하중 파라메터는 다음과 같은 등차급수에 의해 할당됩니다.
\lambda_ {n} = \lambda_ {n - 1} + \frac {\left\{(n s t e p + 1) - n \right\}}{\sum_ {i = 1} ^ {n s t e p - 1} i} \times \left(1 - \lambda_ {1}\right) \tag {46}
여기서 \lambda_{n} : 현재스텝(n)의 하중 파라메터
\lambda_{n-1} : 직전스텝(n-1)의 하중 파라메터