김경종
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f \leq 0 \quad ; \quad \dot {\lambda} _ {1} \geq 0 \quad ; \quad \dot {\lambda} _ {1} f = 0 \tag {1.1.6}
위의 조건으로부터 항복함수 f 가 0보다 작은 경우 \dot{\lambda}_{i} 은 항상 0이 되며, 소성흐름이 발생하지 않음을 알 수 있다.
식 (1.1.6)에서 m 은 증분소성변형률의 방향을 정의하는 벡터이다. 이때 소성포텐 셔함수 g 를 사용하지 않고 항복함수 f 를 사용한 \partial f/\partial \sigma 으로 증분소성변형률 방향을 정의하는 방법을 상관소성흐름법칙(associated flow rule)이라 하며, 소성포텐 셔함수를 사용하여 \partial g/\partial \sigma 으로 증분소성변형률방향을 정의하는 방법을 비상관소성흐름법칙(non-associated flow rule)이라 한다. 일반적으로 von Mises나 Tresca 모델과 같이 응력공간 상에서 등압축(hydrostatic axis)을 따라 일정한 편차응력(deviatoric stress)의 분포를 나타내는 형태의 재료모델인 경우는 상관소성흐름법칙을 사용하는 것이 일반적이다.
그러나 Mohr-Coulomb과 Drucker-Prager 모델과 같이 응력공간 상에서 편차응력이 등압축을 따라 변하는 형태의 재료모델인 경우 비상관소성흐름법칙을 사용한다. 등압축에 따라 편차응력이 변화하는 재료모델에 비상관소성흐름법칙을 적용하는 경우 응력방향과 변형률방향의 불일치로 인하여 발생되는 과도한 체적팽창현상을 억제하는 효과가 있다. 그러나 강성행렬이 비대칭이 되어 비대칭 솔버를 이용해서 계산해야 하기 때문에, 수렴속도가 느려지는 단점이 있다. 따라서 일반적인 경우 상관소성흐름법칙을 사용한다.
예외적으로 콘크리트에 띠철근이나 강관 또는 강박스에 의한 구속현상이 크게 발생되는 경우 구속효과가 소성해석에 민감하게 작용할 수 있으므로, 이 때는 비상관소성흐름해석을 사용할 것을 권장한다.
1-1-3 경화거동(Hardening behavior)
Elasto-plastic모델에서 경화거동(hardening behavior)을 정의하는 방법으로는 변형경화가정(strain hardening hypothesis)과 소성일경화가정(plastic work hardening hypothesis)의 두 가지 방법이 있다. 변형경화가정은 등가소성변형률이 증가함에 따라 경화가 진행된다고 가정하는 방법이며 소성일경화가정은 소성일이
증가함에 따라 경화가 진행된다고 가정하는 방법이다.
변형경화에 사용되는 경화변수 \kappa 는 무차원의 등가소성변형률(equivalent plastic strain) \overline{\varepsilon^{p}} 를 사용함으로써 다음과 같이 정의할 수 있다.
\overline {{{\varepsilon}}} ^ {\mathrm{p}} = \kappa = \sqrt {\frac {2}{3} \left(\boldsymbol {\varepsilon} ^ {\mathrm{p}}\right) ^ {\mathrm{T}} \mathbf {Q} \boldsymbol {\varepsilon} ^ {\mathrm{p}}} \tag {1.1.7}
여기서,
\boldsymbol {\varepsilon} ^ {\mathrm{p}} = \left\{ \begin{array}{l} \varepsilon_ {x x} ^ {\mathrm{p}} \\ \varepsilon_ {y y} ^ {\mathrm{p}} \\ \varepsilon_ {z z} ^ {\mathrm{p}} \\ \tau_ {x y} ^ {\mathrm{p}} \\ \tau_ {y z} ^ {\mathrm{p}} \\ \tau_ {z x} ^ {\mathrm{p}} \end{array} \right\}, \quad \mathbf {Q} = \left[ \begin{array}{c c c c c c} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac {1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \frac {1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac {1}{2} \end{array} \right]
이때 일반적으로 경화변수는 주소성변형률로부터 계산하는 경우가 편리하기 때문에 많이 쓰이며 이때의 수식은 다음과 같다.
\overline {{{\varepsilon}}} ^ {\mathrm{p}} = \kappa = \sqrt {\frac {2}{3} \varepsilon^ {\mathrm{p}} \varepsilon^ {\mathrm{p}}} \tag {1.1.8}
여기서,
\boldsymbol {\varepsilon} ^ {p} = \left\{ \begin{array}{l} \varepsilon_ {1} ^ {\mathrm{p}} \\ \varepsilon_ {2} ^ {\mathrm{p}} \\ \varepsilon_ {3} ^ {\mathrm{p}} \end{array} \right\}
소성일경화는 응력단위의 소성일 W^{p} (plastic work)를 경화변수 \kappa 로 사용하여 경화거동을 다음과 같이 정의한다.
W ^ {p} = \kappa = \boldsymbol {\sigma} ^ {\mathrm{T}} \boldsymbol {\varepsilon} ^ {\mathrm{p}} \tag {1.1.9}
위 두 가지 형태의 경화 모두 시간 t 에 대해 적분함으로써 현재 하중단계까지의 경화변수를 계산한다.
\kappa = \int \dot {\kappa} d t \tag {1.1.10}
경화변수 κ 를 사용하여 표현되는 경화거동은 항복면의 거동적 특성에 따라 등방경화(isotropic hardening), 이동경화(kinematic hardening), 그리고 두 가지 경화의 조합인 혼합경화(mixed hardening)로 분류된다. 등방경화는 그림 1.1.1(a)와 같이 경화변수에 따라 항복면이 등방팽창 또는 등방수축하는 거동을 보이며, 이동경화는 그림 1.1.1(b)와 같이 항복면의 팽창이나 수축없이 항복면의 원점이 이동하는거동을 보인다. 혼합경화는 그림 1.1.1(c)와 같이 위의 두 거동을 조합한 거동적 특징을 갖는다. 등방경화는 Rankine 모델, Mohr-Coulomb 모델, Drucker-Prager모델 등과 같은 취성재료에 사용되며 이동경화모델이나 혼합경화모델은 vonMises와 같은 연성거동모델에 사용된다.
midas FEA에서는 현재 변형경화가정을 사용한 등방경화기능만을 지원하고 있다.
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σ₁ P₁ P₂ P₃ O σ₂ σ₃
(a) 등방경화
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σ₁ P O₂ P O₁ σ₂ σ₃ P O₃
(b) 이동경화
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σ₁ P₂ P₃ O₃ P₁ O Q₁ σ₂ σ₃
(c) 혼합경화
그림 1.1.1 함복면의 경화거동
1-1-4 선형화된 적합 조건(Linearized consistency condition)
탄-소성 물질의 내적변화 상태는 미소증가 형태로 표현되는 점증적 구성관계에 의하여 정의된다. 소성흐름은 항복조건에 도달할 때 시작되며, κ와 같은 소성상태변수에 의해 제어된다.
비상관소성흐름에서 미소변형상태에 대한 구성관계식은 식 (1.1.2)에 기초하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.
\dot {\boldsymbol {\sigma}} = \mathbf {E} \left(\dot {\boldsymbol {\varepsilon}} - \dot {\boldsymbol {\varepsilon}} ^ {\mathrm{p}}\right) = \mathbf {E} \left(\dot {\boldsymbol {\varepsilon}} - \dot {\lambda} \mathbf {m}\right) \tag {1.1.11}
응력상태가 항복면상에 놓일 때 선형화된 일관성조건(linearized consistency condition)은 함수를 테일러 급수(Taylor series)의 1차 확장을 통해 다음과 같이 정의한다.
\dot {f} (\boldsymbol {\sigma}, \kappa) = \left(\frac {\partial f}{\partial \boldsymbol {\sigma}}\right) ^ {\mathrm{T}} \dot {\boldsymbol {\sigma}} + \frac {\partial f}{\partial \kappa} \frac {\partial \kappa}{\partial \lambda} \dot {\lambda} = \mathbf {n} ^ {\mathrm{T}} \dot {\boldsymbol {\sigma}} - h \dot {\lambda} = 0 \tag {1.1.12}
여기서, n=\frac{\partial f}{\partial\sigma} , h 는 경화계수(hardening modulus)라고 하며, h=-\frac{\partial f}{\partial\kappa}\frac{\partial\kappa}{\partial\lambda} 이다.
이때 \partial f/\partial\kappa 는 실험으로부터 f-\kappa 관계를 도출하여 계산한다. \partial\kappa/\partial\lambda 는 재료의
향복모델에 따라 다르며 1.2절에서 항복모델별로 정의된 \kappa-\lambda 관계식을 사용하여
계산한다.
위의 식 (1.1.12)에 식 (1.1.11)을 대입하여, 소성승수 \dot{\lambda} 에 대하여 정리하면 다음과 같다.
\dot {\lambda} = \frac {\mathbf {n} ^ {\mathrm{T}} \mathbf {E}}{h + \mathbf {n} ^ {\mathrm{T}} \mathbf {E} \mathbf {m}} \dot {\varepsilon} \tag {1.1.13}
식 (1.1.13)을 식 (1.1.11)에 대입하면 응력과 변형률의 증분형태관계식으로 나타낼 수 있다.
\dot {\boldsymbol {\sigma}} = \left(\mathbf {E} - \frac {\mathbf {E} \mathbf {m} \mathbf {n} ^ {\mathrm{T}} \mathbf {E}}{h + \mathbf {n} ^ {\mathrm{T}} \mathbf {E} \mathbf {m}}\right) \dot {\boldsymbol {\varepsilon}} = \mathbf {E} ^ {\mathrm{ep}} \dot {\boldsymbol {\varepsilon}} \tag {1.1.14}
여기서, E^{ep} 는 탄-소성 접선 연산자로써 재료의 접선강성행렬이다. 이때 비상관소성
흐름법칙을 도입하면 m n ≠ 이므로, ep E 는 비대칭행렬이 된다.
1-1-5 증분방정식의 적분(Integration of rate form)
증분형태 방정식에 대한 적분방법에는 크게 명시적 전방 오일러 방법(explicitforward euler algorithm with sub-incrementation)과 암시적 후방 오일러 방법(implicit backward euler algorithm)으로 나뉜다.
명시적 전방 오일러 방법에서 소성흐름의 방향은 증분응력과 항복면이 만나는 A점(그림 1.1.2와 1.1.3)에서 계산되지만, 암시적 후방 오일러 방법에서는 최종 응력 지점인 B점(그림 1.1.4)에서 계산된다.
명시적 전방 오일러 방법은 상대적으로 단순하고 적분점 (integration point)에서반복계산과정이 필요하지 않지만, 다음과 같은 단점이 있다.
-. 조건에 따라서만 안정적이다.
-. 허용 가능한 정확도를 위해 부증분(sub-increment)이 필요하다. (그림 1.1.3).
-. 항복면으로 되돌리기 위한 추가적 보정이 필요하다. (그림 1.1.3).
또한, 명시적 전방 오일러 방법은 적합 강성행렬(consistent tangent stiffnessmatrix)을 구성할 수 없다. 암시적 후방 오일러 방법은 부증분이나 인위적 회귀 없이 충분히 정확한 결과를 도출하고 조건에 관계없이 안정적이지만, 적분점에서 반복계산이 필요하다. 그러나 이 방법을 사용하면 적합 강성행렬(consistent tangentstiffness matrix)을 구성할 수 있기 때문에 명시적 전방 오일러 방법보다 효율적이다.
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Δσₑ A B X Yield surface
(a) 교차 점 A의 위치
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(1-r)Δσe rΔσe -ΔλmA A B C D X Yield surface
(b) A에서 접선방향으로 C로 이동한 후 D위치로 보정
그림 1.1.2 명시적 전방 오일러 방법
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-ΔλA mA -ΔλB mB -ΔλB mB' A B B' C D X Yield surface
그림 1.1.3 명시적 전방 오일러 방법에서의 부증분
1-1-6 명시적 전방 오일러 방법(Explicit forward Euler method)
명시적 전방 오일러 방법에서는 먼저 탄성 변형을 가정한 탄성 증분응력을 산정한다. (그림 1.1.2(a)의 B점).
\Delta \boldsymbol {\sigma} ^ {\mathrm{e}} = \mathbf {E} \Delta \varepsilon \tag {1.1.15}
\pmb {\sigma} _ {\mathrm{B}} = \pmb {\sigma} _ {\mathrm{X}} + \Delta \pmb {\sigma} ^ {\mathrm{e}}
다음으로 탄성한계를 정의하는 증분응력량을 계산한다. 초기 탄성 증분응력은 탄성범위 내의 증분응력인 허용 증분 응력 ( ) e 1− r ∆σ 과 허용 불가능한 항복함수 바깥쪽의 증분응력 e r∆σ 으로 나뉜다. 탄성한계를 정의하는 증분응력은 다음 식을이용하여 계산한다(그림 1.1.2(a)의 A점).
\begin{array}{c} f \left(\boldsymbol {\sigma} _ {X} + (1 - r) \Delta \boldsymbol {\sigma} ^ {e}, \kappa\right) = 0 \\ f _ {r} \end{array} \tag {1.1.16}
r = \frac {f _ {\mathrm{B}}}{f _ {\mathrm{B}} - f _ {\mathrm{X}}}
식 (1.1.14)와 식 (1.1.15)의 첨자는 그림 1.1.2를 참조.
부증분방법을 사용하기 위해서는 항복면을 벗어난 증분응력 e r∆σ 를 k개의 작은부증분응력으로 나누어 근사화한다(그림 1.1.3). 부증분의 개수는 오차의 크기에 직접적으로 관계되며, 식 (1.1.17)과 같이 계산한다.
k = \operatorname{INT} \left[ 8 \left(\sigma_ {\text { effB }} - \sigma_ {\text { effA }}\right) / \sigma_ {\text { effA }} \right] + 1 \tag {1.1.17}
여기서, \sigma _ { \mathrm { e f f A } } 와 \sigma _ { \mathrm { e f f B } } 는 그림 1.1.2(a)의 A점과 B점에서의 유효응력을 나타낸다.최종 응력상태가 항복면상에 있지 않을 경우, 다음의 인위적 회귀 방법을 사용하여 항복면상으로 응력상태가 옮겨지도록 한다 (그림 1.1.3의 D점).
\Delta \lambda_ {\mathrm{C}} = \frac {f _ {\mathrm{C}}}{h + \mathbf {n} _ {\mathrm{C}} ^ {\mathrm{T}} \mathbf {E} \mathbf {m} _ {\mathrm{C}}} \tag {1.1.18}
\boldsymbol {\sigma} _ {\mathrm{D}} = \boldsymbol {\sigma} _ {\mathrm{C}} - \Delta \lambda_ {\mathrm{C}} \mathbf {E} \mathbf {m} _ {\mathrm{C}}
1-1-7 암시적 후방 오일러 방법(Implicit backward Euler method)
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Δσ^e B -Δλm_B C D X Yield surface
그림 1.1.4 암시적 후방 오일러 방법
명시적 전방 오일러 방법은 교차점 A에서의 항복면에 수직한 방향성분을 이용하여다음 응력값을 추정하기 때문에 교차점의 계산이 반드시 요구된다. 만약 항복면에수직한 방향성분을 그림 1.1.4와 같이 B점에서 추정한다면 교차점의 계산이 불필요해진다.
\boldsymbol {\sigma} _ {\mathrm{C}} = \boldsymbol {\sigma} _ {\mathrm{X}} + \Delta \boldsymbol {\sigma} ^ {\mathrm{e}} - \Delta \lambda \mathbf {E} \mathbf {m} _ {\mathrm{B}} = \boldsymbol {\sigma} _ {\mathrm{B}} - \Delta \lambda \mathbf {E} \mathbf {m} _ {\mathrm{B}} \tag {1.1.19}
이에 따라 항복함수 f 를 테일러급수를 사용하여 B점에 대해 1차항까지 확장하면
다음과 같다.
f = f _ {\mathrm{B}} + \left(\frac {\partial f}{\partial \boldsymbol {\sigma}}\right) ^ {\mathrm{T}} \Delta \boldsymbol {\sigma} + \frac {\partial f}{\partial \kappa} \Delta \kappa = f _ {\mathrm{B}} - \Delta \lambda \mathbf {n} _ {\mathrm{B}} ^ {\mathrm{T}} \mathbf {E} \mathbf {m} _ {\mathrm{B}} - h _ {\mathrm{B}} \Delta \lambda \tag {1.1.20}
새로이 계산된 점에서의 항복함수값은 0이 되며 위의 수식을 Δλ 에 대해 다음과 같이 정리할 수 있다.
\Delta \lambda = \frac {f _ {\mathrm{B}}}{h _ {\mathrm{B}} + \mathbf {n} _ {\mathrm{B}} ^ {\mathrm{T}} \mathbf {E} \mathbf {m} _ {\mathrm{B}}} \tag {1.1.21}
이를 사용하여 암시적 후방 오일러 방법에서는 \sigma_{c} 를 다음과 같이 계산한다.
\boldsymbol {\sigma} _ {\mathrm{C}} = \boldsymbol {\sigma} _ {\mathrm{B}} - \Delta \lambda \mathbf {E} \mathbf {m} _ {\mathrm{B}} \tag {1.1.22}
이 때 C점에서의 응력 \sigma_{c} 는 항상 항복면상에 존재하지 않으며, 이를 처리하기 위해 C점을 새로운 응력값의 추정을 위한 기준점으로 하여 위의 계산을 반복수행한다. 이러한 계산은 응력값이 항복면 위에 존재할 때까지 반복된다.
1-1-8 구성행렬(constitutive matrix)
소성 구성방정식(plastic constitutive equation)을 구성하는 방법은 다음과 같다. 미소 증분응력은 미소 증분변형률 벡터의 탄성 부분에 의하여 결정된다. 즉,
\dot {\boldsymbol {\sigma}} = \mathbf {E} \left(\dot {\boldsymbol {\varepsilon}} - \dot {\boldsymbol {\varepsilon}} ^ {\mathrm{p}}\right) = \mathbf {E} \dot {\boldsymbol {\varepsilon}} - \dot {\lambda} \mathbf {E} \mathbf {m} \tag {1.1.23}
현재 응력은 항상 항복면 상에 위치해야 하기 때문에 적합조건(consistency condition)을 만족해야 한다. 식 (1.1.23)에 식 (1.1.13)을 대입하고 이를 미소 증분 변형률에 대하여 정리하면, 미소 증분응력은 식 (1.1.24)와 같이 계산할 수 있다.
\dot {\boldsymbol {\sigma}} = \left(\mathbf {D} - \frac {\mathbf {D m n} ^ {\mathrm{T}} \mathbf {D}}{h + \mathbf {n} ^ {\mathrm{T}} \mathbf {D m}}\right) \dot {\boldsymbol {\varepsilon}} = \mathbf {D} ^ {\mathrm{ep}} \dot {\boldsymbol {\varepsilon}} \tag {1.1.24}
명시적 전방 오일러 방법에서 뉴튼 략슨(Newton-Raphson) 반복과정이 사용될 때 적합접선강성행렬(consistent tangent stiffness matrix)을 사용하면, 뉴튼 략슨 반복과정의 2차 수렴 특성으로 인하여 더욱 빠른 수렴해를 얻을 수 있다. 이러한 2
차 특성을 고려하기 위하여 식 (1.1.20)을 미분하면 다음과 같다.
\dot {\boldsymbol {\sigma}} = \mathbf {D} \dot {\boldsymbol {\varepsilon}} - \dot {\lambda} \mathbf {D} \mathbf {m} - \Delta \lambda \mathbf {D} \frac {\partial \mathbf {m}}{\partial \boldsymbol {\sigma}} \dot {\boldsymbol {\sigma}} - \Delta \lambda \mathbf {D} \frac {\partial \mathbf {m}}{\partial \kappa} \frac {\partial \kappa}{\partial \lambda} \dot {\lambda} \tag {1.1.25}
여기서, \dot{\lambda} 은 \Delta\lambda 의 변화량이다.
식 (1.1.25)는 다음과 같이 정리할 수 있다.
\mathbf {A} \dot {\boldsymbol {\sigma}} = \mathbf {E} \dot {\boldsymbol {\varepsilon}} - \dot {\lambda} \mathbf {E} \overline {{\mathbf {m}}} \tag {1.1.26}
여기서, A = I + \Delta \lambda E \frac{\partial m}{\partial \sigma} , \bar{m} = m + \Delta \lambda \frac{\partial m}{\partial \kappa} \frac{\partial \kappa}{\partial \lambda}
이때 H = A^{-1}E 라하면 식 (1.1.26)은 다음과 같이 정리할 수 있다.
\dot {\boldsymbol {\sigma}} = \mathbf {H} \left(\dot {\boldsymbol {\varepsilon}} - \dot {\lambda} \overline {{\mathbf {m}}}\right) \tag {1.1.27}
식 (1.1.27)을 선형화된 적합조건(linearized consistency condition)을 사용하여 전체 변형률항으로 정리하면 다음의 식을 얻을 수 있다.
\dot {\boldsymbol {\sigma}} = \left(\mathbf {H} - \frac {\mathbf {H} \overline {{\mathbf {m}}} \mathbf {n} ^ {\mathrm{T}} \mathbf {H}}{h + \mathbf {n} ^ {\mathrm{T}} \mathbf {H} \overline {{\mathbf {m}}}}\right) \dot {\boldsymbol {\varepsilon}} = \mathbf {C} ^ {\mathrm{ep}} \dot {\boldsymbol {\varepsilon}} \tag {1.1.28}
식 (1.1.24)에서 D^{ep} 는 접선강성행렬(tangent stiffness matrix)이라 하며, 식 (1.1.28)의 C^{ep} 은 적합접선강성행렬이라 한다.
midas FEA의 제한사항
Isotropic Plasticity Only
Isotropic Hardening Only
Strain Hardening Only