김경종
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과 같이 나타낼 수 있다.
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\ddot {Y} _ {m} (t) + 2 \xi_ {m} \omega_ {m} \dot {Y} _ {m} (t) + \omega_ {m} ^ {2} Y _ {m} (t) = \frac {\boldsymbol {\phi} _ {m} ^ {T} \mathbf {F} (t)}{\boldsymbol {\phi} _ {m} ^ {T} \mathbf {M} \boldsymbol {\phi} _ {m}}
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2 \xi_ {m} \omega_ {m} \dot {Y} _ {m} (t) = \frac {\boldsymbol {\phi} _ {m} ^ {T} \mathbf {C} \boldsymbol {\phi} _ {m}}{\boldsymbol {\phi} _ {m} ^ {T} \mathbf {M} \boldsymbol {\phi} _ {m}} \tag {3.2.6}
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\omega_ {m} ^ {2} Y _ {m} (t) = \frac {\boldsymbol {\phi} _ {m} ^ {T} \mathbf {K} \boldsymbol {\phi} _ {m}}{\boldsymbol {\phi} _ {m} ^ {T} \mathbf {M} \boldsymbol {\phi} _ {m}}
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여기서,
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\xi_ {m} \quad : m \text { 차 모드의 감쇠비 }
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\omega_ {m} \quad : m \text { 차 모드의 고유진동수 }
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q _ {m} (t) \quad : m \text { 차 모드의 일반화 변위 }
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\dot {q} _ {m} (t) \quad : m \text { 차 모드의 속도 }
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\ddot {q} _ {m} (t) \quad : m \text { 차 모드의 가속도 }
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일반화 좌표계에서의 변위응답은 식(3.2.7)에 의해 구할 수 있다.
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\begin{array}{l} q _ {m} (t) = e ^ {- \xi_ {m} \omega_ {m} t} \left[ q _ {m} (0) \cos \omega_ {D m} t + \frac {\xi_ {m} \omega_ {m} q _ {m} (0) + q _ {m} (0)}{\omega_ {D m}} \sin \omega_ {D m} t \right] \\ + \frac {1}{m _ {m} \omega_ {D m}} \int_ {0} ^ {t} P _ {m} (\tau) e ^ {- \xi_ {m} \omega_ {m} (t - \tau)} \sin \omega_ {D m} (t - \tau) d \tau \tag {3.2.7} \\ \end{array}
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\omega_ {D m} = \omega_ {m} \sqrt {1 - \xi_ {m} ^ {2}}
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구조물의 변위응답은 단일자유도계 방정식(3.2.7)에 의해 구한 각 모드별 일반화 변위를 식(3.2.1)에 대입하여 구할 수 있다. 모드종첩법에서의 변위응답의 정확성은 사용하는 모드 수에 영향을 받는다. 모드종첩법은 구조해석 프로그램에서 가장 많이 사용되는 것으로 대형구조물의 선형 동적해석에 매우 효과적인 방법이다. 그러나 비선형 동적해석이나 특별한 감쇠장치가 포함되어 감쇠를 강성과 질량의 선형조합으로 가정할 수 없을 경우에는 사용할 수 없다.
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# 3-3 직접적분법
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직접적분법은 전체해석의 시간 구간을 여러 개의 미소 시간 구간으로 분할한 후, 각 시간구간에서 동적평형방정식에 대한 수치적분(numerical integration)을 수행하는 방법이다. 직접적분법은 강성이나 감쇠의 비선형성을 고려한 비선형 해석에도 적용 가능하며, 모든 시간 단계에 대하여 해석을 수행하기 때문에 시간 단계의 수에 비례하여 해석시간이 소요된다.
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수치적분법은 사용방법에 따라 다양한 적분방법이 사용될 수 있다. midas FEA에서는 Newmark-β법의 평균가속도법(average acceleration method)을 사용한다. 평균가속도법에서는 시간 구간 $t_{i} < t < t_{i+1}$ 에서의 가속도 $\ddot{\mathbf{u}}(t)$ 는 식(3.3.1)와 같이 $\ddot{\mathbf{u}}_{i}$ 과 $\ddot{\mathbf{u}}_{i+1}$ 의 평균치로서 일정하다고 가정한다.
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\ddot {\mathbf {u}} (t) = \frac {\ddot {\mathbf {u}} _ {i} + \ddot {\mathbf {u}} _ {i + 1}}{2} = c o n s t. \tag {3.3.1}
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따라서 시간 $t_{i+1}$ 에서의 속도와 변위는 다음과 같이 나타낼 수 있다.
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\dot {\mathbf {u}} _ {i + 1} = \dot {\mathbf {u}} _ {i} + \frac {\ddot {\mathbf {u}} _ {i} + \ddot {\mathbf {u}} _ {i + 1}}{2} \Delta t \tag {3.3.2}
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\mathbf {u} _ {i + 1} = \mathbf {u} _ {i} + \dot {\mathbf {u}} _ {i} \Delta t + \frac {\ddot {\mathbf {u}} _ {i} + \ddot {\mathbf {u}} _ {i + 1}}{4} \Delta t ^ {2} \tag {3.3.3}
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식(3.3.2)와 (3.3.3)을 Newmark-β법의 적분변수에 의해 표현하면 다음과 같다.
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\dot {\mathbf {u}} _ {i + 1} = \dot {\mathbf {u}} _ {i} + (1 - \gamma) \Delta t \ddot {\mathbf {u}} _ {i} + \gamma \Delta t \ddot {\mathbf {u}} _ {i + 1} \tag {3.3.4}
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\mathbf {u} _ {i + 1} = \mathbf {u} _ {i} + \Delta t \dot {\mathbf {u}} _ {i} + \left(\frac {1}{2} - \beta\right) \Delta t ^ {2} \ddot {\mathbf {u}} _ {i} + \beta \Delta t ^ {2} \ddot {\mathbf {u}} _ {i + 1} \tag {3.3.5}
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여기서,
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\beta \quad : 0. 2 5
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\gamma \quad : 0. 5
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식(3.3.5)을 가속도에 관해서 정리하면 다음과 같다.
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\ddot {\mathbf {u}} _ {i + 1} = \frac {1}{\beta \Delta t ^ {2}} \left\{\mathbf {u} _ {i + 1} - \mathbf {u} _ {i} - \Delta t \dot {\mathbf {u}} _ {i} - \left(\frac {1}{2} - \beta\right) \Delta t ^ {2} \ddot {\mathbf {u}} _ {i} \right\} \tag {3.3.6}
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식(3.3.6)을 식(3.3.4)에 대입하여 속도에 관해 정리하면 다음과 같다.
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\dot {\mathbf {u}} _ {i + 1} = \frac {\gamma}{\beta \Delta t} \mathbf {u} _ {i + 1} - \frac {\gamma}{\beta \Delta t} \mathbf {u} _ {i} + \left(1 - \frac {\gamma}{\beta}\right) \dot {\mathbf {u}} _ {i} + \left(1 - \frac {\gamma}{2 \beta}\right) \Delta t \ddot {\mathbf {u}} _ {i} \tag {3.3.7}
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식(3.3.6)과 (3.3.7)을 동적평형방정식에 대입하여, 시간 $t_{i+1}$ 에서의 변위응답 $u_{i+1}$ 예관해 정리하면 다음과 같다.
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\begin{array}{l} \left(\frac {1}{\beta \Delta t ^ {2}} \mathbf {M} + \frac {\gamma}{\beta \Delta t} \mathbf {C} + \mathbf {K}\right) \mathbf {u} _ {i + 1} \\ = \mathbf {F} + \mathbf {M} \left\{\frac {1}{\beta \Delta t ^ {2}} \mathbf {u} _ {i} + \frac {1}{\beta \Delta t} \dot {\mathbf {u}} _ {i} + \left(\frac {1}{2 \beta} - 1\right) \ddot {\mathbf {u}} _ {i} \right\} + \mathbf {C} \left\{\frac {\gamma}{\beta \Delta t} \mathbf {u} _ {i} + \left(\frac {\gamma}{\beta} - 1\right) \dot {\mathbf {u}} _ {i} + \left(\frac {\gamma}{2 \beta} - 1\right) \Delta t \ddot {\mathbf {u}} _ {i} \right\} \\ \end{array}
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(3.3.8)
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식 (3.3.8)에 의해 구한 시간 $t_{i+1}$ 에서의 변위 $u_{i+1}$ 를 식 (3.3.6)과 (3.3.7)에 대입하여, 속도와 가속도를 구할 수 있다.
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직접적분법에서 감쇠는 식 (3.3.9)과 같이 Rayleigh 감쇠를 사용한다.
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\text { Rayleigh 감쇠 }: \mathbf {C} = a _ {0} \mathbf {M} + a _ {1} \mathbf {K} \tag {3.3.9}
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여기서,
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$a_{0}$ : 감쇠계산을 위한 질량
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$a_{1}$ : 감쇠계산을 위한 강성의 비례상수
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식 (3.3.8)에 식(3.3.9)를 대입하여 정리하면 동적평형방적식은 다음과 같이 표현된다.
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\begin{array}{l} \left\{\left(\frac {1}{\beta \Delta t ^ {2}} + \frac {\mathbf {a} _ {1} \gamma}{\beta \Delta t}\right) \mathbf {M} + \left(\frac {\mathbf {a} _ {2} \gamma}{\beta \Delta t} + 1\right) \mathbf {K} \right\} \mathbf {u} _ {i + 1} \\ = \mathbf {F} + \mathbf {M} \left\{\frac {1}{\beta \Delta t ^ {2}} \mathbf {u} _ {i} + \frac {1}{\beta \Delta t} \dot {\mathbf {u}} _ {i} + \left(\frac {1}{2 \beta} - 1\right) \ddot {\mathbf {u}} _ {i} + \mathbf {a} _ {1} \overline {{\mathbf {D}}} \right\} + \mathbf {a} _ {2} \mathbf {K} \overline {{\mathbf {D}}} \tag {3.3.10} \\ \end{array}
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$$
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\overline {{{\mathbf {D}}}} = \frac {\gamma}{\beta \Delta t} \mathbf {u} _ {i} + \left(\frac {\gamma}{\beta} - 1\right) \dot {\mathbf {u}} _ {i} + \left(\frac {\gamma}{2 \beta} - 1\right) \Delta t \ddot {\mathbf {u}} _ {i}
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시간이력해석을 통하여 구하는 동적 평형방정식의 해는 상대변위 $\mathbf{u}(t)$ ，상대속도 $\dot{\mathbf{u}}(t)$ ，상대가속도 $\ddot{\mathbf{u}}(t)$ 이다.
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지반가속도와 같은 동적하중을 받을 때 구조물의 절대응답은 식 (3.3.11)에 나타낸 것과 같이 상대응답과 지반의 응답을 더하여 구할 수 있다.
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\ddot {\mathbf {u}} _ {g, i + 1} + \ddot {\mathbf {u}} _ {i + 1}: \text { 절대가속도 }
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\dot {\mathbf {u}} _ {g, i + 1} + \dot {\mathbf {u}} _ {i + 1}: \text {절대속도} \tag {3.3.11}
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$$
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\mathbf {u} _ {g, i + 1} + \mathbf {u} _ {i + 1}: \text { 절대변위 }
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$$
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여기서,
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\ddot {\mathbf {u}} _ {g, i + 1} \quad : \text { 지반가속도 }
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\dot {\mathbf {u}} _ {g, i + 1} \quad : \text { 속도 }
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\mathbf {u} _ {g, i + 1} \quad : \text { 변위 }
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midas FEA에서 지반가속도에 의한 지반속도, 변위는 선형가속도법에 의해 식(3.3.12)로 계산되며, 모드종첩법과 직접적분법의 절대응답계산시에 적용된다.
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\dot {\mathbf {u}} _ {g, i + 1} = \dot {\mathbf {u}} _ {g, i} + \Delta t \ddot {\mathbf {u}} _ {g, i} + \frac {1}{2} \frac {\ddot {\mathbf {u}} _ {g , i + 1} - \ddot {\mathbf {u}} _ {g , i}}{\Delta t} \Delta t ^ {2} \tag {3.3.12}
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$$
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$$
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\mathbf {u} _ {g, i + 1} = \mathbf {u} _ {g, i} + \Delta t \dot {\mathbf {u}} _ {g, i} + \frac {1}{2} \Delta t ^ {2} \ddot {\mathbf {u}} _ {g, i} + \frac {1}{6} \frac {\ddot {\mathbf {u}} _ {g , i + 1} - \ddot {\mathbf {u}} _ {g , i}}{\Delta t} \Delta t ^ {3}
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$$
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# 3-4 감쇠
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midas FEA는 동적해석의 해석방법에 따라서, 다음의 감쇠방법을 사용한다.
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응답 스펙트럼 해석 및 모드중첩법에 의한 시간이력해석의 감쇠설정
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\- Modal
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\- 질량 & 강성 비례 (Rayleigh 감쇠)
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직접 적분법에 의한 시간이력해석의 감쇠설정
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\- 질량 & 강성 비례 (Rayleigh 감쇠)
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# 3-4-1 Rayleigh 감쇠
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Rayleigh 감쇠는 그림 3.4.1(a)에 나타낸 것과 같이 감쇠행렬을 구조물의 질량행렬과 강성행렬의 선형합으로써 구성한다. r차모드의 감쇠정수 ξr 와 고유진동수 ωr및 s차 모드의 감쇠정수 ξ s 와 고유진동수 ωs 가 주어졌을 때 Rayleigh 감쇠의 감쇠행렬은 다음과 같이 표현된다. 단, r, s차 모드는 구조물의 주요한 2개의 모드를의미한다.
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\mathbf {C} = a _ {0} \mathbf {M} + a _ {1} \mathbf {K} \tag {3.4.1}
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$$
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\xi_ {i} = \frac {1}{2} \left(\frac {a _ {0}}{\omega_ {i}} + a _ {1} \cdot \omega_ {i}\right) \tag {3.4.2}
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$$
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여기서
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a _ {0} \quad : \frac {2 \cdot \omega_ {r} \cdot \omega_ {s} \left(\xi_ {r} \cdot \omega_ {s} - \xi_ {s} \cdot \omega_ {r}\right)}{\left(\omega_ {s} ^ {2} - \omega_ {r} ^ {2}\right)}
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$$
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$$
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a _ {1} \quad : \frac {2 \left(\xi_ {s} \cdot \omega_ {s} - \xi_ {r} \cdot \omega_ {r}\right)}{\left(\omega_ {s} ^ {2} - \omega_ {r} ^ {2}\right)}
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$$
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<details>
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<summary>line</summary>
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| Natural frequencies ωi | Mass Proportional ξi | Stiffness Proportional ξi |
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| --------------------- | --------------------- | -------------------------- |
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| ω₁ | ξi = a₀M | ξi = a₀/2ωi |
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| ω₂ | ξi = a₁K | ξi = a₁·ωi/2 |
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| ω₃ | ξi = a₁K | ξi = a₁·ωi/2 |
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| ω₄ | ξi = a₁K | ξi = a₁·ωi/2 |
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</details>
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(a) 질량 비례 감쇠와
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<details>
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<summary>line</summary>
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| Natural frequencies ωi | Rayleigh Damping ξi | Rayleigh Damping ξi |
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| --------------------- | ------------------- | ------------------- |
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| ωr | High | Low |
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| ωs | Low | High |
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</details>
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(b) Rayleigh 감쇠
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강성 비례 감쇠
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그림 3.4.1 모드별 감쇠율과 고유진동수와의 관계
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# 3-4-2 Modal 감쇠
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모드별 감쇠는 각 모드별로 사용자가 직접 감쇠비를 정의하고 정의된 모드별 감쇠비에 따라서 모드별 응답을 계산한다. 모드별 감쇠는 응답 스펙트럼해석 및 모드중첩법에 의한 시간이력해석에서 사용이 가능하다.
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응답스펙트럼해석과 모드중첩법에 의한 해석에서는 구조물의 운동 방정식을 모드별로 분해하여, 각 모드의 운동 방정식에 사용자가 직접 입력한 모드별 감쇠비를적용하여 해를 구한다.
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# 3-5 주의사항
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해석에 사용되는 시간 간격은 결과의 정확도에 상당한 영향을 미칠 수 있으며, 시간 간격이 부적절한 경우 부정확한 결과를 나타낼 수 있다. 또한 시간 간격의 크기는 구조물의 고차모드의 주기나 하중의 주기와 밀접한 관계를 갖는다. 일반적으로해석 시간 간격은 고려하고자 하는 최고차 모드 주기의 1/10 정도의 시간 간격이타당하며, 입력된 하중의 시간 간격보다는 작아야 한다. 그리고 동적하중은 전체하중 변화를 충분히 나타낼 수 있어야 한다. midas FEA에서 입력되지 않은 시간에서의 하중 값은 선형보간하여 사용한다.
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Part 4 Linear Analysis
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# Chapter 4. Response Spectrum Analysis
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# 4-1 개요
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응답스펙트럼해석(response spectrum analysis)은 지진하중에 의한 구조물의 응답을 평가하기 위한 방법중의 하나로 내진설계시 사용하는 가장 보편화된 방법이다. 이는 다자유도 구조물의 응답을 단자유도계의 응답스펙트럼함수(response spectrum function)를 이용하여 근사적으로 구하는 방법으로 크게 다음의 두 단계로 설명할 수 있다.
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- 1단계 : 전체 구조물에 대한 하나의 다자유도 동적 평형방정식을 여러 개의 단자유도 평형방정식으로 분리한다.
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- 2단계 : 응답스펙트럼함수를 이용해 단자유도 평형방정식의 최대응답을 구하고 이를 조합하여 다자유도에 대한 최대응답을 구한다.
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응답스펙트럼해석을 위한 지반운동이 가해지는 구조물에 대한 동적 평형방정식은 식 (4.1.1)과 같다.
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\mathbf {M} [ \ddot {\mathbf {u}} (t) + \mathbf {r} \ddot {u} _ {g} (t) ] + \mathbf {C} \dot {\mathbf {u}} (t) + \mathbf {K} \mathbf {u} (t) = \mathbf {0} \tag {4.1.1}
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$$
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$$
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\mathbf {M} \ddot {\mathbf {u}} (t) + \mathbf {C} \dot {\mathbf {u}} (t) + \mathbf {K} \mathbf {u} (t) = - \mathbf {M} \mathbf {r} \ddot {u} _ {g} (t)
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$$
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여기서,
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M : 질량행렬 (mass matrix)
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C : 감쇠행렬 (damping matrix)
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K : 강성행렬 (stiffness matrix)
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r : 지반가속도의 방향벡터
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$\ddot{u}_{g}(t)$ : 지반가속도의 시간이력
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u(t) : 상대변위
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$\dot{\mathbf{u}}(t)$ : 속도
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$\ddot{\mathbf{u}}(t)$ : 가속도
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비감쇠 자유진동해석에서 얻은 고유모드 형상(Φ)을 사용하여 변위 u(t) 를 모드 변위 y(t) 의 조합으로 나타내면 식 (4.1.2)와 같다.
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\mathbf {u} (t) = \boldsymbol {\Phi} \mathbf {y} (t) \tag {4.1.2}
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식 (4.1.2)를 식 (4.1.1)에 대입하고, 양변에 $\Phi^{T}$ 를 곱하여 정리하면 식 (4.1.3)과 같이 된다.
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\boldsymbol {\Phi} ^ {T} \mathbf {M} \boldsymbol {\Phi} \ddot {\mathbf {y}} (t) + \boldsymbol {\Phi} ^ {T} \mathbf {C} \boldsymbol {\Phi} \dot {\mathbf {y}} (t) + \boldsymbol {\Phi} ^ {T} \mathbf {K} \boldsymbol {\Phi} \mathbf {y} (t) = - \boldsymbol {\Phi} ^ {T} \mathbf {M} \mathbf {r} \ddot {u} _ {g} (t) \tag {4.1.3}
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$$
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고유벡터 $\phi$ 는 직교성으로 인하여 다음과 같은 관계를 가진다.
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\phi_ {i} (\mathbf {M} \text { or } \mathbf {C} \text { or } \mathbf {K}) \phi_ {j} = 0 (i \neq j) \tag {4.1.4}
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$$
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따라서 질량에 대하여 무차원화( $\Phi^{T}M\Phi=1$ )된 고유모드 형상과 $\zeta_{m}=\phi_{m}^{T}C\phi_{m}$ , $\omega_{m}=\phi_{m}^{T}K\phi_{m}$ 을 식 (4.1.3)에 적용하면, 식 (4.1.5)와 같이 모드 별로 독립적인 연립 미분방정식을 얻을 수 있다.
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$$
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\left[ \begin{array}{c c c c c} 1 & & & & \\ & \ddots & & & \\ & & 1 & & \\ & & & \ddots & \\ & & & & 1 \end{array} \right] \dot {\mathbf {y}} (t) + \left[ \begin{array}{c c c c c} 2 \xi_ {1} \omega_ {1} & & & & \\ & \ddots & & & \\ & & 2 \xi_ {m} \omega_ {m} & & \\ & & & \ddots & \\ & & & & 2 \xi_ {n} \omega_ {n} \end{array} \right] \dot {\mathbf {y}} (t) + \left[ \begin{array}{c c c c c} \omega_ {1} ^ {2} & & & & \\ & \ddots & & & \\ & & \omega_ {m} ^ {2} & & \\ & & & \ddots & \\ & & & & \omega_ {n} ^ {2} \end{array} \right]
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\mathbf {y} (t) = - \boldsymbol {\Phi} ^ {T} \mathbf {M} \mathbf {r} \ddot {u} _ {g} (t) \tag {4.1.5}
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그리고 식 (4.1.5)에서 m 번째 모드에 대한 수식을 정리하면 식 (4.1.6)과 같다.
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\ddot {y} _ {m} (t) + 2 \xi_ {m} \omega_ {m} \dot {y} _ {m} (t) + \omega_ {m} ^ {2} y _ {m} (t) = - \Gamma_ {m} \ddot {u} _ {g} (t) \tag {4.1.6}
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\Gamma_ {m} = \boldsymbol {\phi} _ {m} ^ {T} \mathbf {M} \mathbf {r}
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식 (4.1.6)에서 모드기여계수 $\Gamma_{m}$ 는 질량에 대하여 무차원화된 모드형상과 질량 그리고 지반가속도의 방향벡터의 곱으로 정의된다. 지반가속도의 방향벡터는 지반의
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