MultiPhysicsVault/.raw/MidasFEAAnalysisManual/MidasFEAAnalysisManual_045.md

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Time t	Creep Function J (t, τ)
τ₁	Low
τ₂	Medium
τ₃	Medium
τ₄	High

그림 2.5.4 하중 재하 시간의 차이에 따른 크리프 함수

2-5-2 크리프의 계산 방법

크리프 계산에 사용되는 크리프 함수는 특정 응력이 작용하는 시간(τ )과 현재시간( t )의 함수이다. 즉 특정응력이 작용하는 시점이 다른 경우에 그림 2.5.4와 같이다른 형태의 크리프 함수를 사용하여야 한다. 따라서 시간에 따라 응력이 변화하는 경우에 각 시간에서의 증감하는 응력은 독자적인 크리프 함수를 필요로 한다.임의의 시점에서의 크리프 변형은 응력이 변화하는 시점에서 증감하는 응력들에의한 변형률을 독자적으로 계산하고 이 값들을 중첩(superposition)하여 산정한다.이와 같은 중첩법을 사용하기 위해서는 모든 부재에 대한 응력이력을 저장하고,매 단계마다 모든 응력에 대하여 초기단계부터 현재의 시점까지의 변형률을 계산할 수 있어야 한다. 따라서 중첩법은 많은 양의 데이터의 저장과 많은 계산을 필요로 한다. midas FEA에서는 응력의 전체 이력을 저장하지 않고, 계산의 효율을 높이기 위하여 다음과 같은 적분방법을 사용한다.

크리프 계수를 사용하여 시간 τ j 에서 발생한 응력에 의한 시간 t 의 크리프 변형계산 방법은 다음과 같다.

\varepsilon_ {c} \left(t, \tau_ {j}\right) = \phi \left(t, \tau_ {j}\right) \varepsilon \left(\tau_ {j}\right): \text { 크리프 변형률 } \tag {2.5.6}

P _ {c r} = \int_ {A} E (t) \varepsilon_ {c} \left(t, \tau_ {j}\right) d A: \text {크리프 변형에 의한 하중} \tag {2.5.7}

여기서

\varepsilon (\tau_ {j}) \quad : \text {   시간   } \tau_ {j} \text {   에서의   응력에   의한   변형률   }

\phi (t, \tau_ {j}) \quad : \text {   시간   } \tau_ {j} \text {   에서   } t \text {   까지의   크리프   계수   }

\varepsilon_ {c} (t, \tau_ {j}) \quad : \text {   시간   } \tau_ {j} \text {   에서의   탄성변형에   의한   시간   } t \text {   에서   }

의 크리프 변형률

다음은 크리프의 특성함수를 수식화하여 응력과 시간에 대한 적분을 사용하는 방법이다. 특정 시간 τ 에서 임의의 시간 t 까지의 전체 크리프량은 각 단계마다 발생하는 응력에 의한 크리프의 중첩적분으로 나타내면 다음식과 같다.

\varepsilon_ {c} (t) = \int_ {0} ^ {t} C (t, \tau) \frac {\partial \sigma (\tau)}{\partial \tau} d \tau \tag {2.5.8}

여기서

\varepsilon_ {c} (t) \quad : \text {   시간   } t \text {   에서의   크리프   변형률   }

C (t, \tau) \quad : \text {   특성크리프   } (\text {   specific   creep   })

\tau \quad : \text {   하중재하시점   }

위의 식에서 응력이 각 단계에서 일정하다고 가정하면 다음과 같이 전체 변형률을단계별로 구분된 변형률의 합으로 표현할 수 있다.

\varepsilon_ {c, n} = \sum_ {j = 1} ^ {n - 1} \Delta \sigma_ {j} C (t _ {n}, \tau_ {j}) \tag {2.5.9}

위 식을 사용하여 시간 − −t t 사이에서 발생하는 크리프 변형률의 증분( cn,∆ε )을정리하여 나타내면 식 (2.5.10)과 같다.

\Delta \varepsilon_ {c, n} = \varepsilon_ {c, n} - \varepsilon_ {c, n - 1} = \sum_ {j = 1} ^ {n - 1} \Delta \sigma_ {j} C (t _ {n}, \tau_ {j}) - \sum_ {j = 1} ^ {n - 2} \Delta \sigma_ {j} C (t _ {n - 1}, \tau_ {j}) \tag {2.5.10}

특성크리프를 다음과 같이 Dirichlet 급수의 “Degenerate Kernel” 로 표현하면 응력의 전체 이력을 저장할 필요없이 크리프에 의한 증분변형률을 계산할 수 있다.

C (t, \tau) = \sum_ {i = 1} ^ {m} a _ {i} (\tau) \left[ 1 - e ^ {- (t - \tau) / \Gamma_ {i}} \right] \tag {2.5.11}

여기서

a_{i}(\tau) : 하중 재하시간 \tau 에 관련된 특성크리프의 형상 계수

\Gamma_{i} : 시간의 경과에 따른 특성트리프 곡선의 형상에 관한 값

특성크리프 곡선의 초기형상에 관련한 계수( a_{i}(\tau) )값은 아래와 같은 방법으로 계산할 수 있다.

1. 계산에 사용할 m 과 \Gamma_{i} 를 정한다.

재하재령( \tau_{j} )을 정한다. 재하재령은 전체해석 시간내에서 적절히 분포되어야 한다.

2. 크리프 발생량을 계산하고자 하는 시점( t_{i} )을 선택한다. 크리프 계산은 재하재령( \tau_{j} )을 기준으로 하기 때문에 계산시점( t_{i} )은 재하재령보다 항상 커야 한다.

3. 계측한 값이나 국가별 기준을 사용하여 C(t_{i}, \tau_{j}) 값을 계산한다. 이때 사용하는 데이터 개수는 전체해석시간에 고르게 분포해야 하고 충분한 많아야 한다.

4. 3~4 절차에서 구한 값을 사용하여 다음과 같은 식을 구성한다.

\left[ \begin{array}{c c c c} 1 - e ^ {- \left(t _ {1} - \tau_ {j}\right) / \Gamma_ {1}} & 1 - e ^ {- \left(t _ {1} - \tau_ {j}\right) / \Gamma_ {2}} & \dots & 1 - e ^ {- \left(t _ {1} - \tau_ {j}\right) / \Gamma_ {m}} \\ 1 - e ^ {- \left(t _ {2} - \tau_ {j}\right) / \Gamma_ {1}} & 1 - e ^ {- \left(t _ {2} - \tau_ {j}\right) / \Gamma_ {2}} & \dots & 1 - e ^ {- \left(t _ {2} - \tau_ {j}\right) / \Gamma_ {m}} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 1 - e ^ {- \left(t _ {n} - \tau_ {j}\right) / \Gamma_ {1}} & 1 - e ^ {- \left(t _ {n} - \tau_ {j}\right) / \Gamma_ {2}} & \dots & 1 - e ^ {- \left(t _ {n} - \tau_ {j}\right) / \Gamma_ {m}} \end{array} \right] \left\{ \begin{array}{c} a _ {1} \left(\tau_ {j}\right) \\ a _ {2} \left(\tau_ {j}\right) \\ \vdots \\ a _ {m} \left(\tau_ {j}\right) \end{array} \right\} = \left\{ \begin{array}{c} C \left(t _ {1}, \tau_ {j}\right) \\ C \left(t _ {2}, \tau_ {j}\right) \\ \vdots \\ C \left(t _ {n}, \tau_ {j}\right) \end{array} \right\}

A _ {i, 1} = \Delta \sigma_ {0} a _ {i} \left(\tau_ {j}\right) \tag {2.5.12}

\mathbf {A} _ {n \times m} a _ {m \times 1} = C _ {n \times 1} (n > m)

5. 최소자승법(least square method)을 사용하여 위 식의 해를 구한다.

\mathbf {A} ^ {T} \mathbf {A} \mathbf {a} = \mathbf {A} ^ {T} \mathbf {C}

\mathbf {a} = \left(\mathbf {A} ^ {T} \mathbf {A}\right) ^ {- 1} \left(\mathbf {A} ^ {T} \mathbf {C}\right)

최적의 m 과 Γ 값을 구하기 위해서는 아래와 같은 조건을 만족해야 한다.

• 최소자승의 에러를 최소화해야 한다.
• - \sum a _ { i } ( \tau _ { j } ) \frac { \ d s } { \ d s } 를 사용하여 계산한 최종 크리프 변형(ultimate creep strain)이예측하는 최종 크리프 변형에 거의 일치해야 한다.
• 각각 a _ { i } ( \tau _ { j } ) \{ 1 - e ^ { - ( t - \tau _ { j } ) / \Gamma _ { i } } \} 값의 기여도가 유사해야 한다.

서로 다른 재하재령 \tau _ { j } ) 를 사용하여 3~5의 과정을 진행하고, 해당하는 a _ { i } ( \tau _ { j } ) \equiv _ { \equiv } 구한다. 여러 개의 재하재령( \tau _ { j } )에 대한 a _ { i } ( \tau _ { j } ) 값을 구하여 저장하고, 재하재령이일치하지 않는 경우에는 계산된 재하재령( \tau _ { j } )과 a _ { i } ( \tau _ { j } ) 를 보간하여 사용한다.

위의 특성크리프 수식을 도입하여 증분 변형률을 다시 정리하면 다음과 같다.

\Delta \varepsilon_ {c, n} = \sum_ {i = 1} ^ {m} \left[ \sum_ {j = 1} ^ {n - 2} \Delta \sigma_ {j} a _ {i} \left(\tau_ {j}\right) e ^ {- \left(t _ {n - 1} - \tau_ {j}\right) / \Gamma_ {i}} + \Delta \sigma_ {n - 1} a _ {i} \left(\tau_ {n - 1}\right) \right] \left[ 1 - e ^ {- \Delta t _ {n} / \Gamma_ {i}} \right]

\Delta \varepsilon_ {c, n} = \sum_ {i = 1} ^ {m} A _ {i, n} \left[ 1 - e ^ {- \Delta t _ {n} / \Gamma_ {i}} \right]

A _ {i, n} = \sum_ {j = 1} ^ {n - 2} \Delta \sigma_ {j} a _ {i} (\tau_ {j}) e ^ {- (t _ {n - 1} - \tau_ {j}) / \Gamma_ {i}} + \Delta \sigma_ {n - 1} a _ {i} (\tau_ {n - 1}) \tag {2.5.13}

위의 식 A _ { i , n } \underline { { \underline { { O } } } } 로 부터 A _ { i , n - 1 } 을 다음과 같이 나타낼 수 있다.

A _ {i, n - 1} = \sum_ {j = 1} ^ {n - 3} \Delta \sigma_ {j} a _ {i} (\tau_ {j}) e ^ {- (t _ {n - 2} - \tau_ {j}) / \Gamma_ {i}} + \Delta \sigma_ {n - 2} a _ {i} (\tau_ {n - 2}) \tag {2.5.14}

따라서, A _ { i , n } 과 A _ { i , n - } 1의 관계는 다음과 같다.

A _ {i, n} = A _ {i, n - 1} e ^ {- \Delta t _ {n - 1} / \Gamma_ {i}} + \Delta \sigma_ {n - 1} a _ {i} (\tau_ {n - 1})

A _ {i, 1} = \Delta \sigma_ {0} a _ {i} \left(\tau_ {0}\right) \tag {2.5.15}

각 시간구간의 응력이 선형적으로 변한다고 가정한다면, 다음과 같이 (2.5.13)과유사한 관계식을 얻을 수 있다.

\Delta \varepsilon_ {c, n} = \sum_ {i = 1} ^ {m} A _ {i, n} \left[ 1 - e ^ {- \left(\Delta t _ {n}\right) / \Gamma_ {i}} \right] + R \Delta \sigma_ {n}

\phi_ {n} = \Gamma_ {i} (1 - e ^ {- \Delta t _ {n} / \Gamma_ {i}}) / \Delta t _ {n}

R _ {n} = \sum_ {i = 1} ^ {m} a _ {i} \left(\tau_ {n}\right) \left(1 - \phi_ {n}\right)

A _ {i, n} = A _ {i, n - 1} e ^ {- \left(\Delta t _ {n - 1}\right) / \Gamma_ {i}} + \phi_ {n - 1} \Delta \sigma_ {n - 1} a _ {i} \left(\tau_ {n - 1}\right) \tag {2.5.16}

위와 같은 방법을 사용하면 각 단계에서의 요소의 증분변형률은 이전단계에서 발생하는 응력과 이전단계까지 수정된 응력의 누적값( ∆σ )만을 사용하여 계산할수 있다. 따라서 매 단계마다 모든 부재의 응력 이력을 저장하여 초기단계부터 적분을 수행하여야 하는 문제가 발생하지 않으며 응력의 변화를 고려한 비교적 정확한 해석을 할 수 있다. 식 (2.5.13)과 (2.5.16)은 시간 간격 내에서 응력 변화를 고려하는지 여부에 따라 달라진다. 수화열 해석에서는 온도변화에 의한 응력이 시간에 따라 선형적으로 변한다 가정하여 식 (2.5.16)을 사용하는 반면, 일반 시공단계해석에서는 식 (2.5.13)을 사용한다.

한 단계에서 큰 시간 간격을 사용하고자 하는 경우에는 내부적인 시간간격을 만들어서 크리프의 효과를 적절하게 계산할 수 있도록 해야 하며 크리프 변형의 발생특성상 시간간격은 로그(log) 스케일로 분할하는 것이 바람직하다. midas FEA에서는 간격 수만 입력하면 시간간격을 자동으로 로그 스케일로 분할하여 시간구간을 생성하는 기능을 가지고 있다. 타당한 시간간격의 개수는 정해져 있지 않지만많이 세분할수록 정해에 수렴하게 된다. 따라서 큰 시간 간격이 도입되는 단계에서는 적당한 간격으로 분할해주는 것이 필요하다.

2-5-3 건조수축

건조수축은 콘크리트 부재가 시간에 따라 수축하는 현상으로 각종 시방서의 건조수축 특성 곡선을 사용하여 해석에 반영하고 있다. 건조수축은 부재에 발생하는응력과는 무관한 시간의 함수이며, 일반적으로 시간 t _ { 0 } 에서 t 까지 발생한 건조수축에 의한 변형률은 다음과 같이 나타낸다.

\varepsilon_ {s h} (t, t _ {0}) = \varepsilon_ {\infty} \cdot f (t, t _ {0}) \tag {2.5.17}

여기서

\varepsilon _ { \infty } £

f ( t , t _ { 0 } ) : 시간에 따른 발생 함수

t : 관측 시점

t _ { 0 } : 건조수축 발생시점

midas FEA에서 건조수축 해석은 CEB-FIP Model Code, ACI209, 도로교시방서,실험데이터를 사용한 사용자 정의 건조수축 특성 곡선 등을 사용할 수 있다. 건조수축 특성 곡선을 사용하여 시공단계의 해당 단계에서의 건조수축 변형률을 다음과 같이 계산한다.

\varepsilon_ {s h} (t _ {2}, t _ {1}) = \varepsilon_ {s h} (t _ {2}, t _ {0}) - \varepsilon_ {s h} (t _ {1}, t _ {0}) \tag {2.5.18}

\mathcal { E } _ { s h } ( t _ { 2 } , t _ { 1 } ) : 시공단계 1t 에서 t _ { 2 } 까지의 건조수축 변형률

\varepsilon _ { s h } ( t _ { 1 } , t _ { 0 } ) : 건조수축 발생시점 t _ { 0 } 에서 t _ { 1 } 까지의 건조수축 변형률

\mathcal { E } _ { s h } ( t _ { 2 } , t _ { 0 } ) : 건조수축 발생시점 t _ { 0 } 에서 t _ { 2 } 까지의 건조수축 변형률

건조수축 변형은 온도, 크리프에 의한 변형과 같이 비역학적(non-mechanical) 변형이기 때문에 부재력( F ) 계산시의 변형률은 변위에 의한 변형률에서 건조수축에의한 변형률을 감하여 계산한다.

F = E A \left(\varepsilon - \varepsilon_ {s h}\right) \tag {2.5.19}

그러므로 축 방향 구속이 없는 구조물에서의 건조수축에 의한 효과는 부재력을 만들지 않고 변위만을 발생시키게 된다. 또한 외부하중이 없더라도 건조수축에 의해발생하는 부재력은 크리프 변형을 유발할 수 있다. 따라서 건조수축 변형은 구속조건과 시간에 영향을 받는다.

2-5-4 시간에 따른 탄성계수의 변화

콘크리트의 압축강도와 탄성계수는 시간에 따라 변화한다. 실제 콘크리트 구조물이나 교량의 시공에서 콘크리트의 초기 재령을 정확하게 예측하여 계획된 구조물의 형상과 강도를 지니도록 하기 위해서는, 이러한 효과를 합리적으로 묘사하는것이 필수적이라 할 수 있다.

midas FEA에서는 콘크리트 부재의 재령에 따른 탄성계수의 변화를 고려함으로써강도발현 효과를 포함하여 해석할 수 있다. 그림 2.5.5와 같이 ACI209, CEB-FIP,또는 콘크리트 표준시방서 등의 기준에 따른 콘크리트의 강도발현 함수를 정의하거나 사용자가 직접 입력할 수도 있다. 이와 같이 정의된 강도발현 함수를 참조하여, 각각의 시공단계에 정의된 시간의 경과에 따른 콘크리트의 강도변화를 자동으로 계산해서 해석을 수행한다.

text_image

Add/Modify Time Dependent Material (Comp. Strength) Name TdMat1 Scale Factor 1.0 Type Code User Development of Strength Code : ACI S = teq * S28 / (a + b * teq) Concrete Compressive Strength at 28 Days(S28) 28 kN/m² Concrete Compressive Strength Factor(a, b) a : 4.5 b : 0.85 Redraw Graph Graph Options X-axis log scale Y-axis log scale 30 25 20 15 10 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 OK Cancel

그림 2.5.5 규준에 따른 콘크리트의 강도발현 함수정의

2-5-5 크리프/건조수축 모델

midas FEA에서 사용할 수 있는 주요 기준은 다음과 같다.

〈 한국 콘크리트 구조설계기준〉

- 크리프 계산식

\varepsilon_ {c \sigma} = f _ {c} (t ^ {\prime}) / E _ {c i} \cdot \phi (t, t ^ {\prime})

\varepsilon_ {c \sigma} (t, t ^ {\prime}) = f _ {c} (t ^ {\prime}) \left[ \frac {1}{E _ {c i} (t ^ {\prime})} + \frac {\phi (t , t ^ {\prime})}{E _ {c i}} \right]

\phi (t, t ^ {\prime}) = \phi_ {0} \beta_ {c} (t - t ^ {\prime})

\phi_ {0} = \phi_ {R H} \beta (f _ {c u}) \beta (t ^ {\prime})

\phi_ {R H} = 1 + \frac {1 - 0 . 0 1 R H}{0 . 1 0 \sqrt [ 3 ]{h}}

\beta \left(f _ {c u}\right) = \frac {1 6 . 8}{\sqrt {f _ {c u}}}

\beta (t ^ {\prime}) = \frac {1}{0 . 1 + (t ^ {\prime}) ^ {0 . 2}}

\beta_ {c} (t - t ^ {\prime}) = \left[ \frac {(t - t ^ {\prime})}{\beta_ {H} + (t - t ^ {\prime})} \right] ^ {0. 3}

\beta_ {H} = 1. 5 \left\{1 + (0. 0 1 2 R H) ^ {1 8} \right\} h + 2 5 0 \leq 1 5 0 0

h = \frac {2 A _ {c}}{u}

\varepsilon_{cc} : 콘크리트의 크리프 변형

\sigma_{c}(t') : 재하 재령 (t') 지속 응력

E_{ci} : 28일 콘크리트의 초기 접선 탄성 계수

\phi(t,t') : 콘크리트의 크리프 계수

\phi_{o} : Notional 크리프 계수

f_{cu} : 28일 평균 압축강도 (MPa)

RH : 상대습도(%)

h : 부재의 notional size (mm)

A_{c} : 부재의 단면적 ( mm^{2} )

u : 대기와 접하는 단면둘레 (mm)

t' : 지속하중 재하시 재령 (day)

t : 계측 시간 (day)

- 건조수축 계산식

\varepsilon_ {s h} (t, t _ {s}) = \varepsilon_ {s h o} \cdot \beta_ {s} (t - t _ {s})

\varepsilon_ {s h o} = \varepsilon_ {s} (f _ {c u}) \beta_ {R H}

\varepsilon_ {s} \left(f _ {c u}\right) = \left[ 1 6 0 + 1 0 \beta_ {s c} \left(9 - \frac {f _ {c u}}{1 0}\right) \right] \times 1 0 ^ {- 6}

\beta_ {R H} = \left\{ \begin{array}{l l} - 1. 5 5 \left[ 1 - \left(\frac {R H}{1 0 0}\right) ^ {3} \right] & (40 \% \leq R H \leq 99 \%) \\ 0. 2 5 & (R H \geq 99 \%) \end{array} \right.

\beta_ {s} \left(t - t _ {s}\right) = \sqrt {\frac {\left(t - t _ {s}\right)}{0 . 0 3 5 h ^ {2} + \left(t - t _ {s}\right)}}

\varepsilon_{cs}(t,t_{s}) : 건조수축 시작시간( t_{s} )에서

임의 시간(t)까지의 건조수축 변형률

\varepsilon_{cso} : Notional 건조수축 변형률

\beta_{s}(t-t_{s}) : 건조수축 발현 함수

\beta_{sc} : 시멘트 종류에 따른 계수

\beta_{sc}=4 2종 시멘트

\beta_{sc}=5\ 1,5종 시멘트

\beta_{sc}=6 3종 시멘트

사단법인 한국콘크리트학회, 2003년개정, 콘크리트 구조설계기준, p38~p44

< ACI209 (1995) >

-크리프 계산식

\varepsilon_ {c} (t, t ^ {\prime}) = \sigma_ {c} (t ^ {\prime})

J \left(t, t ^ {\prime}\right) = \frac {1}{E _ {c i} \left(t ^ {\prime}\right)} \left[ 1 + \phi \left(t, t ^ {\prime}\right) \right]

\phi (t, t ^ {\prime}) = \frac {(t - t ^ {\prime}) ^ {0 . 6}}{1 0 + (t - t ^ {\prime}) ^ {0 . 6}} \phi_ {u}

\phi_ {u} = 2. 3 5 C _ {c u} C _ {h} C _ {t} C _ {s} C _ {f} C _ {a}

1. 양생조건( C_{cu} )

C _ {c u} = \left\{ \begin{array}{l l} 1. 2 5 \left(t ^ {\prime}\right) ^ {- 0. 1 1 8} & \text {(moist cured)} \\ 1. 1 3 \left(t ^ {\prime}\right) ^ {- 0. 0 9 4} & \text {(steam cured)} \end{array} \right.

2. 상대습도( C_{h} )

C _ {h} = \left\{ \begin{array}{l l} 1. 2 7 - 0. 0 0 6 7 H & (H > 4 0) \\ 1. 0 & (H \leq 4 0) \end{array} \right.

3. 체적-표면적비( C_{t} )

C _ {t} = \frac {2}{3} \left[ 1 + 1. 1 3 e ^ {- 0. 0 2 1 3 v / s} \right] \quad (\text { unit }: \mathrm{mm})

4. 슬럼프치( C_{s} )

C _ {S} = 0. 8 2 + 0. 0 0 2 6 4 S \quad (\text { unit }: \mathrm{mm})

5. 잔골재의 비율( C_{f} )

C _ {f} = 0. 8 8 + 0. 0 0 2 4 \psi

6. 공기량( C_{a} )

C _ {a} = 0. 4 6 + 0. 0 9 A \geq 1. 0