김경종
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위의 가정을 통하여 구한 \Delta \theta _ { x i } , \ \Delta \theta _ { y i } 를 식 (1.5.27)에 대입하면, 다음과 같이 회전변위 , θ x θ y 를 \mathbf { u } _ { i } 로 표현할 수 있다.
\theta_ {x} = \sum_ {i = 1} ^ {N} \mathbf {H} _ {x i} ^ {T} \mathbf {u} _ {i}, \theta_ {y} = \sum_ {i = 1} ^ {N} \mathbf {H} _ {y i} ^ {T} \mathbf {u} _ {i} \tag {1.5.33}
여기서, \mathbf { H } _ { x i } , ~ \mathbf { H } _ { y i } \\\Breve { \mathbf { } } ~ \mathsf { L } \mathsf { F } \Breve { \mathbf { } } \Breve { \mathbf { \updownarrow } } ~ \Breve { \mathbf { \mu } } \Breve { \mathbf { \mu } } , .
\mathbf {H} _ {x} = \left\{ \begin{array}{c} - \frac {3}{2} \left(d _ {i j} N _ {i + N} - d _ {k i} N _ {k + N}\right) \\ N _ {i} - e _ {i j} N _ {i + N} - e _ {k i} N _ {k + N} \\ b _ {i j} N _ {i + N} + b _ {k i} N _ {k + N} \end{array} \right\}, \quad \mathbf {H} _ {y i} = \left\{ \begin{array}{c} \frac {3}{2} \left(a _ {i j} N _ {i + N} - a _ {k i} N _ {k + N}\right) \\ b _ {i j} N _ {i + N} + b _ {k i} N _ {k + N} \\ N _ {i} - c _ {i j} N _ {i + N} - c _ {k i} N _ {k + N} \end{array} \right\} \tag {1.5.34}
i = 1, 2,.., N - 1, N \quad j = 2, 3,.., N, 1 \quad k = N, 1,.., N - 2, N - 1
a _ { i j } , \ b _ { i j } , \ c _ { i j } , \ d _ { i j } , \ e _ { i j } 는 요소의 기하학적 형상에 의해 결정되는 값이며, 다음과 같이정의된다.
a _ {i j} = - x _ {i j} / L _ {i j} ^ {2}, b _ {i j} = \frac {3}{4} x _ {i j} y _ {i j} / L _ {i j} ^ {2}, c _ {i j} = \left(\frac {1}{4} x _ {i j} ^ {2} - \frac {1}{2} y _ {i j} ^ {2}\right) / L _ {i j} ^ {2}
d _ {i j} = - y _ {i j} ^ {2} / L _ {i j} ^ {2}, e _ {i j} = \left(\frac {1}{4} y _ {i j} ^ {2} - \frac {1}{2} x _ {i j} ^ {2}\right) / L _ {i j} ^ {2} \tag {1.5.35}
절점변위와 횡방향 곡률 κ 의 관계는 식 (1.5.20)과 같고, \mathbf { B } _ { b i } \triangleq 식 (1.5.21)과 같다.DKT와 DKQ 요소의 경우에는 전단변형을 고려하지 \Omega \underline { { \underline { { \circ } } } } \underline { { \underline { { \circ } } } } \underline { { \underline { { \circ } } } } 로, 면외변형에 관계된 요소 강성은 다음과 같다.
\mathbf {K} _ {i j} ^ {(O)} = \int_ {A _ {e}} \mathbf {B} _ {b i} ^ {T} \mathbf {D} \mathbf {B} _ {b j} \frac {t ^ {3}}{1 2} d A \tag {1.5.36}
4절점 평면판요소는 절점의 좌표가 하나의 평면 위에 존재하지 않는 경우가 있다.평면에 존재하지 않는 요소를 위와 같은 정식화 과정으로 계산하게 되면 요소의 기하학적 형상을 정확하게 고려하지 못한다. 따라서 요소좌표계에서 정의된 절점 변위가 왜곡될 수 있다. 이러한 문제점을 해결하기 위하여 { \mathsf { M a c N e a l } } ^ { 6 } 0 { \mathsf { 1 } } 제안한 강성 보정방법을 이용한다. 그림 1.5.4와 같이 A − B C D − − 평면에서 계산된 강성행렬 \mathbf { K } _ { P }
를 실제 절점 위치 1 2 3 4 − − − 에 대한 강성 K 로 변환하기 위해 변환 행렬 S 를이용한다.
\mathbf {K} = \mathbf {S} ^ {T} \mathbf {K} _ {P} \mathbf {S} \tag {1.5.37}
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4 h* D z y x A h* 1 2 3 F32 C B F23 ΔFz2
그림 1.5.4 4절점 판요소가 곡면 상에 존재하는 경우
변환행렬 S 는 평면 위의 점( A − B C D − − )에서의 힘 \mathbf { F } _ { P } 를 절점( 1 2 3 4 − − − ) 위치에서의 힘 F 로 변환하는 행렬이다.
\mathbf {F} = \mathbf {S} ^ {T} \mathbf {F} _ {P} \tag {1.5.38}
\mathbf {F} _ {P} = \left\{\mathbf {F} _ {P 1} ^ {T}, \mathbf {F} _ {P 2} ^ {T}, \mathbf {F} _ {P 3} ^ {T}, \mathbf {F} _ {P 4} ^ {T} \right\} ^ {T} \tag {1.5.39}
\mathbf {F} _ {P i} = \left\{F _ {x}, F _ {y}, F _ {z}, M _ {x}, M _ {y}, M _ {z} \right\} _ {P i} ^ {T} \tag {1.5.40}
힘의 변환행렬 계산시 고려하는 성분은 절점( 1 2 3 4 − − − )을 연결한 요소의 변이 평면( A − − − B C D )와 이루는 각도로 인해 발생하는 면외방향 힘과 모멘트이다.
- \Delta F _ {z 3} = \Delta F _ {z 2} = h ^ {*} (\frac {F _ {3 2}}{L _ {2 3}} - \frac {F _ {2 3}}{L _ {2 3}}) \tag {1.5.41}
- \Delta M _ {z 3} = \Delta M _ {z 2} = h ^ {*} (\frac {M _ {3 2}}{L _ {2 3}} - \frac {M _ {2 3}}{L _ {2 3}}) \tag {1.5.42}
면외방향으로 발생하는 모멘트 ∆Mzi 는 변환행렬 S 의 구성에 직접 이용하지 않고등가의 힘으로 치환하여 적용한다.
(2) 곡면판
곡면판요소의 정식화는 “Continuum Shell Approach”를 이용하므로, 면내변형과면외변형에 대한 강성을 동시에 계산할 수 있다. 곡면판요소는 요소좌표계에서x, y, z 방향의 이동변위 u, v, w 와 벡터 \mathbf { V } _ { 1 i } , \mathbf { V } _ { 2 i } 에 대한 회전변위 \theta _ { 1 } , \theta _ { 2 } 의 영향을 고려한다.
\mathbf {u} _ {i} = \left\{u _ {i} \quad v _ {i} \quad w _ {i} \quad \theta_ {1 i} \quad \theta_ {2 i} \right\} ^ {T} \tag {1.5.43}
각 절점마다 정의된 3개의 벡터 V 는 그림 1.5.5와 같다. \mathbf { V } _ { 1 } 은 요소좌표계의 x \equiv 을 곡면에 투영하여 계산하고 이를 이용하여 \mathbf { V } _ { 2 } , V 를 얻을 수 있다.
\mathbf {V} _ {1 i} = \left\{l _ {1 i}, m _ {1 i}, n _ {1 i} \right\} ^ {T}, \quad \mathbf {V} _ {2 i} = \left\{l _ {2 i}, m _ {2 i}, n _ {2 i} \right\} ^ {T}, \quad \mathbf {V} _ {3 i} = \left\{l _ {3 i}, m _ {3 i}, n _ {3 i} \right\} ^ {T} \tag {1.5.44}
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V3 V2 V1 projection ECS z y x
그림 1.5.5 요소좌표계의 투영에 의해 생성되는 절점좌표계
절점수 N 개를 가지는 요소 내 임의의 좌표 x, y, z 와 이동변위 u, v w , 는 다음과 같이 나타낼 수 있다.
x = \sum_ {i = 1} ^ {N} N _ {i} (x _ {i} + \zeta \frac {t _ {i}}{2} l _ {3 i}) , y = \sum_ {i = 1} ^ {N} N _ {i} (y _ {i} + \zeta \frac {t _ {i}}{2} m _ {3 i}) , z = \sum_ {i = 1} ^ {N} N _ {i} (z _ {i} + \zeta \frac {t _ {i}}{2} n _ {3 i}) \tag {1.5.45}
u = \sum_ {i = 1} ^ {N} N _ {i} \left\{u _ {i} + \zeta \frac {t _ {i}}{2} \left(\mu_ {1 1 i} \theta_ {1 i} + \mu_ {1 2 i} \theta_ {2 i}\right) \right\}
v = \sum_ {i = 1} ^ {N} N _ {i} \left\{v _ {i} + \zeta \frac {t _ {i}}{2} \left(\mu_ {2 1 i} \theta_ {1 i} + \mu_ {2 2 i} \theta_ {2 i}\right) \right\} \tag {1.5.46}
w = \sum_ {i = 1} ^ {N} N _ {i} \left\{w _ {i} + \zeta \frac {t _ {i}}{2} \left(\mu_ {3 1 i} \theta_ {1 i} + \mu_ {3 2 i} \theta_ {2 i}\right) \right\}
여기서,
it : 절점에서의 두께
µi : 회전행렬
6절점 요소
N _ {1} = (1 - \xi - \eta) (1 - 2 \xi - 2 \eta), N _ {2} = \xi (2 \xi - 1), N _ {3} = \eta (2 \eta - 1)
N _ {4} = 4 \xi (1 - \xi - \eta), N _ {5} = 4 \xi \eta , N _ {6} = 4 \eta (1 - \xi - \eta) \tag {1.5.47}
8절점 요소
N _ {1} = \frac {1}{4} (1 - \xi) (1 - \eta) - \frac {1}{2} N _ {5} - \frac {1}{2} N _ {8}, N _ {2} = \frac {1}{4} (1 + \xi) (1 - \eta) - \frac {1}{2} N _ {5} - \frac {1}{2} N _ {6}
N _ {3} = \frac {1}{4} (1 + \xi) (1 + \eta) - \frac {1}{2} N _ {6} - \frac {1}{2} N _ {7}, \quad N _ {4} = \frac {1}{4} (1 - \xi) (1 + \eta) - \frac {1}{2} N _ {7} - \frac {1}{2} N _ {8}
N _ {5} = \frac {1}{2} (1 - \xi^ {2}) (1 - \eta), N _ {6} = \frac {1}{2} (1 + \xi) (1 - \eta^ {2})
N _ {7} = \frac {1}{2} (1 - \xi^ {2}) (1 + \eta), N _ {8} = \frac {1}{2} (1 - \xi) (1 - \eta^ {2}) \tag {1.5.48}
절점변위와 변형률 \varepsilon_{G} 의 관계는 B_{i} 에 의해 다음과 같이 표현할 수 있다.
\boldsymbol {\varepsilon} _ {G} = \sum_ {i = 1} ^ {N} \mathbf {B} _ {i} \mathbf {u} _ {i} \tag {1.5.49}
여기서, 변형률 \varepsilon_{G} 는 3차원 응력 텐서의 모든 항을 포함한다.
\boldsymbol {\varepsilon} _ {G} = \left\{\varepsilon_ {x x}, \varepsilon_ {y y}, \varepsilon_ {z z}, \gamma_ {x y}, \gamma_ {y z}, \gamma_ {z x} \right\} ^ {T} \tag {1.5.50}
행렬 B_{i} 는 식 (1.5.51)과 같다.
\mathbf {B} _ {i} = \mathbf {H} \left[ \begin{array}{c c c} \mathbf {J} ^ {- 1} & \mathbf {0} & \mathbf {0} \\ \mathbf {0} & \mathbf {J} ^ {- 1} & \mathbf {0} \\ \mathbf {0} & \mathbf {0} & \mathbf {J} ^ {- 1} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c c c c c} \frac {\partial N _ {i}}{\partial \xi} & 0 & 0 & - \zeta \frac {t _ {i}}{2} \frac {\partial N _ {i}}{\partial \xi} l _ {2, i} & \zeta \frac {t _ {i}}{2} \frac {\partial N _ {i}}{\partial \xi} l _ {1, i} \\ \frac {\partial N _ {i}}{\partial \eta} & 0 & 0 & - \zeta \frac {t _ {i}}{2} \frac {\partial N _ {i}}{\partial \eta} l _ {2, i} & \zeta \frac {t _ {i}}{2} \frac {\partial N _ {i}}{\partial \eta} l _ {1, i} \\ 0 & 0 & 0 & - \frac {t _ {i}}{2} N _ {i} l _ {2, i} & \frac {t _ {i}}{2} N _ {i} l _ {1, i} \\ 0 & \frac {\partial N _ {i}}{\partial \xi} & 0 & - \zeta \frac {t _ {i}}{2} \frac {\partial N _ {i}}{\partial \xi} m _ {2, i} & \zeta \frac {t _ {i}}{2} \frac {\partial N _ {i}}{\partial \xi} m _ {1, i} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & - \frac {t _ {i}}{2} N _ {i} n _ {2, i} & \frac {t _ {i}}{2} N _ {i} n _ {1, i} \end{array} \right] \tag {1.5.51}
여기서,
H : 불리언(Boolean) 행렬
J : 자코비안(Jacobian) 행렬
행렬 B_{i} 에 의해 계산되는 변형률 \varepsilon_{G} 를 곡면에 투영하여, 다음과 같이 강성 행렬을 계산한다.
\mathbf {K} _ {i j} = \int_ {V _ {e}} \mathbf {B} _ {i} ^ {T} \mathbf {T} ^ {T} \mathbf {D} \mathbf {T} \mathbf {B} _ {j} d V \tag {1.5.52}
z 축에 대한 회전자유도를 고려하고자 하는 경우에는 Zienkiewicz 와 Taylor ^{7} 에서 제시한 가상의 회전 강성을 이용한다. 이 방법은 회전자유도에 의한 변형 에너지를 다음과 같이 가정하여, 일정량의 강성을 발생시키는 방법이다.
\Pi^ {e} = \int_ {\Omega_ {e}} f (\mathbf {D} _ {M}, t ^ {n}, (\theta_ {z} - \overline {{\theta_ {z}}}) ^ {2}) d \Omega \tag {1.5.53}
여기서,
D_{M} : 응력과 변형률의 관계를 타나내는 행렬
1-5-3 하중과 질량
판요소에 적용되는 하중은 체적력(body force), 압력하중(pressure load), 모서리하중(edge load), 온도하중(thermal load), 프리스트레스하중(prestress load) 등이 있다. 체적력은 요소의 자중이나 관성력을 표현하고자 하는 하중이고, 압력하중은 요소의 면에 가해지는 분포하중이다. 모서리하중은 요소의 변에 가해지는 분포하중이며, 온도하중에는 절점온도, 요소온도 하중과 같은 면내방향 열 변형하중과 온도구배(temperature gradient)와 같이 힐을 유발하는 하중이 있다.
- 체적력
\mathbf {F} _ {i} = \int_ {A _ {e}} t N _ {i} \left\{ \begin{array}{l} \omega_ {x} \\ \omega_ {y} \\ \omega_ {z} \end{array} \right\} d A \tag {1.5.54}
여기서,
\omega_ {x}, \omega_ {y}, \omega_ {z} \quad : \text { 단위 체적당 자중(방향별) }
- 압력하중
\mathbf {F} _ {i} = \int_ {A _ {e}} N _ {i} \left\{ \begin{array}{l} P _ {x} \\ P _ {y} \\ P _ {z} \end{array} \right\} d A \tag {1.5.55}
여기서,
P _ {x}, P _ {y}, P _ {z} \quad : \text { 단위 면적당 하중(방향별) }
- 모서리하중
\mathbf {F} _ {i} = \int_ {L} N _ {i} \left\{ \begin{array}{l} P _ {x} \\ P _ {y} \\ P _ {z} \end{array} \right\} d s \tag {1.5.56}
여기서,
P _ {x}, P _ {y}, P _ {z} \quad : \text { 단위 길이당 하중(방향별) }
- 온도하중
\mathbf {F} _ {i} = \int_ {A _ {e}} t \mathbf {B} _ {i} ^ {T} \mathbf {D} \left\{ \begin{array}{l} \alpha_ {x} \\ \alpha_ {y} \\ 0 \end{array} \right\} \Delta T d A \tag {1.5.57}
\alpha_ {x}, \alpha_ {y} \quad : \text { 열팽창 계수(방향별) }
\Delta T: \text {온도변화}
- 온도구배하중
\mathbf {F} _ {i} = \int_ {A _ {e}} \frac {t ^ {3}}{1 2} \mathbf {B} _ {b i} ^ {T} \mathbf {D} \left\{ \begin{array}{l} \alpha_ {x} \\ \alpha_ {y} \\ 0 \end{array} \right\} \frac {\Delta T _ {z}}{2 H _ {z}} d A \tag {1.5.58}
\Delta T _ {z} / H _ {z} \quad : \text { 온도 구배 }
판요소의 질량은 집중질량(lumped mass)과 분포질량(consistent mass)을 사용할 수 있으며, x,y,z 방향의 이동변위만을 반영한다.
- 분포질량
\mathbf {M} _ {i j} = \rho t \int_ {A _ {e}} N _ {i} N _ {j} d A \left(N _ {i}: \text {평면응력요소와 동일}\right) \tag {1.5.59}
- 집중질량
집중질량은 요소 전체질량( \rho tA_{e} )을 분포질량의 대각 항 비율로 분배하여 사용한다.
1-5-4 판요소의 두께/재료방향/옵셋
3 또는 4절점 평면판요소의 절점 별 두께는 그림 1.5.6과 같이 설정할 수 있으며, 6 또는 8절점 곡면판요소의 경우에는 꼭지점의 두께만을 설정할 수 있다. 판요소는 거동을 방향 별로 구분하여 면내거동 두께, 휩 두께, 전단변형 두께로 분류할 수 있으며, 면내거동 두께를 t 라 할 때 다음과 같은 값을 설정할 수 있다.
• 12I/t^{3}
실제 힜 강성 I와 면내거동 두께로 계산한 힜 강성의 비율 (기본값=1.0)
• t_{s}/t
실제 전단변형 두께 t_{s} 와 면내거동 두께 t 의 비율 (기본값=0.83333)
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t₁ 1 3 t₃ t₂ 2
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t₁ 1 2 t₂ 3 4 t₃ t₄
그림 1.5.6 판요소의 절점별 두께
판요소에서는 재료의 성질을 변형성분별로 입력할 수 있다. 이 때, 질량행렬은 면내거동에 대한 두께와 재료를 사용하여 계산한다. 이방성 재료의 경우 1축을 임의의 방향으로 설정할 수 있도록 재료좌표계(MCS)를 설정할 수 있다. 재료 좌표계가 판의곡면과 평행하지 않은 경우에는 그림 1.5.7과 같이 재료좌표계의 x 축을 판에 투영하여 계산한다.