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3-2 좌표계 및 상대변위

계면요소에서의 ∆u 는 상단(top)과 하단(bottom)에 위치하는 요소의 변위 차이를 이용하여 산정한다. 이를 위하여 계면요소의 상단 절점에서의 변위는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

\mathbf {u} _ {i} ^ {t o p} = \left\{u _ {i} ^ {t o p} \quad v _ {i} ^ {t o p} \quad w _ {i} ^ {t o p} \right\} ^ {T} \tag {3.2.1}

요소 내 임의의 좌표 x, y, z 와 이동변위 u, v, w 는 다음과 같이 나타낼 수 있다

x ^ {t o p} = \sum_ {i = 1} ^ {N} N _ {i} ^ {t o p} x _ {i} ^ {t o p}, y ^ {t o p} = \sum_ {i = 1} ^ {N} N _ {i} ^ {t o p} y _ {i} ^ {t o p}, z ^ {t o p} = \sum_ {i = 1} ^ {N} N _ {i} ^ {t o p} z _ {i} ^ {t o p}

u ^ {t o p} = \sum_ {i = 1} ^ {N} N _ {i} ^ {t o p} u _ {i} ^ {t o p}, v ^ {t o p} = \sum_ {i = 1} ^ {N} N _ {i} ^ {t o p} v _ {i} ^ {t o p}, w ^ {t o p} = \sum_ {i = 1} ^ {N} N _ {i} ^ {t o p} w _ {i} ^ {t o p} \tag {3.2.2}

또한 계면요소의 하단 절점에서의 변위 및 좌표도 동일한 방법으로 나타낼 수있다. 즉, 식 (3.2.1)과 (3.2.2)에서 위첨자 “top”을 위첨자 “bot”로 치환하여식 (3.2.3)과 (3.2.4)와 같이 나타낼 수 있다.

\mathbf {u} _ {i} ^ {b o t} = \left\{u _ {i} ^ {b o t} \quad v _ {i} ^ {b o t} \quad w _ {i} ^ {b o t} \right\} ^ {T} \tag {3.2.3}

x ^ {b o t} = \sum_ {i = 1} ^ {N} N _ {i} ^ {b o t} x _ {i} ^ {b o t}, y ^ {b o t} = \sum_ {i = 1} ^ {N} N _ {i} ^ {b o t} y _ {i} ^ {b o t}, z ^ {b o t} = \sum_ {i = 1} ^ {N} N _ {i} ^ {b o t} z _ {i} ^ {b o t}

u ^ {b o t} = \sum_ {i = 1} ^ {N} N _ {i} ^ {b o t} u _ {i} ^ {b o t}, v ^ {b o t} = \sum_ {i = 1} ^ {N} N _ {i} ^ {b o t} v _ {i} ^ {b o t}, w ^ {b o t} = \sum_ {i = 1} ^ {N} N _ {i} ^ {b o t} w _ {i} ^ {b o t} \tag {3.2.4}

구조해석에서의 변위는 경계면의 요소좌표계를 사용하지만, 계면요소의 강성은 법선-접선방향으로 이루어진 좌표계를 사용한다. 그리고 계면요소는 회전강성을 전달하지 않기 때문에 식 (3.2.5)와 같이 요소축을 따라 발생하는 상대이동변위만으로 나타낸다.

\Delta \mathbf {u} = \mathbf {u} ^ {t o p} - \mathbf {u} ^ {b o t} \tag {3.2.5}

여기서,

\mathbf {u} ^ {t o p} = \left\{u _ {n} ^ {t o p} \quad u _ {s} ^ {t o p} \quad u _ {t} ^ {t o p} \right\} ^ {T}

\mathbf {u} ^ {b o t} = \left\{u _ {n} ^ {b o t} \quad u _ {s} ^ {b o t} \quad u _ {t} ^ {b o t} \right\} ^ {T}

따라서 계면요소에서의 상대변위를 상대변위-요소변위 행렬을 이용하여 다음과 같이정의할 수 있다.

\Delta \mathbf {u} = \mathbf {B} \mathbf {u} \tag {3.2.6}

여기서,

\mathbf {B} = \left[ \begin{array}{c c} \mathbf {N} ^ {b o t} & \mathbf {N} ^ {t o p} \end{array} \right]

\mathbf {u} = \left\{\mathbf {u} ^ {b o t} \quad \mathbf {u} ^ {t o p} \right\} ^ {T}

3-3 점계면요소

text_image

u_n^top ↑ u_t^top → u_s^top n ↑ t s Z Y X u_n^bot ↑ u_t^bot → u_s^bot

그림 3.3.1 점계면요소

점계면요소(point interface element)는 그림 3.3.1과 같이 경계면에서의 요소축과 상단과 하단의 절점으로 정의할 수 있다. 이때 상단 절점과 하단 절점은 같은 위치에정의될 수 있으므로 사용자가 직접 경계면의 요소축을 설정할 수 있도록 하였다. 그림 3.3.1에서는 설명상의 편의를 위해서 두 절점을 분리하여 나타내었다. 여기서, 주의할 점은 midas FEA에서는 사용자가 정의한 요소축에 따라서 계면요소축이 결정된다. 즉, 요소축의 x, y, z축 순으로 계면요소축의 법선(nomal), 전단(shear), 접선(tangential) 방향이 결정되므로, 점계면요소가 그림 3.3.1과 같이 떨어진 경우에는하단절점에서 상단절점으로 향하는 방향을 요소의 x축으로 설정하여야 사용자는 원하는 결과를 얻을 수 있다.

요소의 임의의 점에서의 전체 좌표는 형상함수 ( Ni)를 이용하여 식 (3.3.1)과 같이 정의된다.

\boldsymbol {x} ^ {b o t} = N _ {1} ^ {b o t} \cdot \boldsymbol {x} _ {1} ^ {b o t}

x ^ {t o p} = N _ {2} ^ {t o p} \cdot x _ {2} ^ {t o p} \tag {3.3.1}

그리고 어떤 점에서의 변위는 식 (3.3.2)와 같이 등매개변수 형상함수를 이용하여 정의된다.

\boldsymbol {u} ^ {b o t} = N _ {1} ^ {b o t} \cdot \boldsymbol {u} _ {1} ^ {b o t}

u ^ {t o p} = N _ {2} ^ {t o p} \cdot u _ {2} ^ {t o p} \tag {3.3.2}

점계면요소에 대한 등매개변수 형상함수는 식 (3.3.3)과 같이 정의된다.

N _ {1} ^ {b o t} = N _ {2} ^ {t o p} = 1 \tag {3.3.3}

따라서 상대변위-요소변위 행렬을 다음과 같이 정의할 수 있다.

\mathbf {B} = \left[ \begin{array}{c c c c c c} - N _ {1} ^ {b o t} & 0 & 0 & N _ {2} ^ {t o p} & 0 & 0 \end{array} \right] \tag {3.3.4}

3-4 선계면요소

text_image

u_n^top u_t^top u_s^top n t s 4 3 2 u_n^bot u_t^bot u_s^bot 1 Z Y X u_n^top u_t^top u_s^top 6 n t s 4 3 u_n^bot u_t^bot u_s^bot 5 2 Z Y X

그림 3.4.1 선계면요소

midas FEA에서 선계면요소(line interface element)는 그림 3.4.1과 같이 저차와 고차요소 두가지를 제공한다. 선계면요소는 평면요소와 평면요소 사이와 평면요소와 선요소 사이에서 상대거동을 나타내기 위해서 많이 사용된다.

강성행렬 D 는 식 (3.1.2)와 동일하다.

선계면요소의 임의의 점에서의 전체 좌표는 형상함수를 이용하여 식 (3.4.1)과같이 정의된다.

x ^ {b o t} = N _ {1} ^ {b o t} \cdot x _ {1} ^ {b o t} + N _ {2} ^ {b o t} \cdot x _ {2} ^ {b o t} \left(+ N _ {5} ^ {b o t} \cdot x _ {5} ^ {b o t}\right)

x ^ {t o p} = N _ {3} ^ {t o p} \cdot x _ {3} ^ {t o p} + N _ {4} ^ {t o p} \cdot x _ {4} ^ {t o p} \left(+ N _ {6} ^ {t o p} \cdot x _ {6} ^ {t o p}\right)

y ^ {b o t} = N _ {1} ^ {b o t} \cdot y _ {1} ^ {b o t} + N _ {2} ^ {b o t} \cdot y _ {2} ^ {b o t} \left(+ N _ {5} ^ {b o t} \cdot y _ {5} ^ {b o t}\right)

y ^ {t o p} = N _ {3} ^ {t o p} \cdot y _ {3} ^ {t o p} + N _ {4} ^ {t o p} \cdot y _ {4} ^ {t o p} \left(+ N _ {6} ^ {t o p} \cdot y _ {6} ^ {t o p}\right) \tag {3.4.1}

여기서, 괄호안의 좌표는 고차요소를 나타낸다.

그리고 어떤 점에서의 전체 변위는 식 (3.4.2)와 같이 나타낸다.

\boldsymbol {u} ^ {\text { bot }} = N _ {1} ^ {\text { bot }} \cdot \boldsymbol {u} _ {1} ^ {\text { bot }} + N _ {2} ^ {\text { bot }} \cdot \boldsymbol {u} _ {2} ^ {\text { bot }} \left(+ N _ {5} ^ {\text { bot }} \cdot \boldsymbol {u} _ {5} ^ {\text { bot }}\right)

u ^ {t o p} = N _ {3} ^ {t o p} \cdot u _ {3} ^ {t o p} + N _ {4} ^ {t o p} \cdot u _ {4} ^ {t o p} \left(+ N _ {6} ^ {t o p} \cdot u _ {6} ^ {t o p}\right)

v ^ {b o t} = N _ {1} ^ {b o t} \cdot v _ {1} ^ {b o t} + N _ {2} ^ {b o t} \cdot v _ {2} ^ {b o t} \left(+ N _ {5} ^ {b o t} \cdot v _ {5} ^ {b o t}\right)

v ^ {t o p} = N _ {3} ^ {t o p} \cdot v _ {3} ^ {t o p} + N _ {4} ^ {t o p} \cdot v _ {4} ^ {t o p} \left(+ N _ {6} ^ {t o p} \cdot v _ {6} ^ {t o p}\right) \tag {3.4.2}

선계면요소에 대한 등매개변수 형상함수는 식 (3.4.3)과 같이 정의된다.

N _ {1} ^ {b o t} (\xi) = N _ {3} ^ {t o p} (\xi) = \frac {1}{2} (1 - \xi),

N _ {2} ^ {b o t} (\xi) = N _ {4} ^ {t o p} (\xi) = \frac {1}{2} (1 + \xi) \tag {3.4.3}

그리고 고차요소는 식 (3.4.4)와 같이 나타난다.

N _ {1} ^ {b o t} (\xi) = N _ {3} ^ {t o p} (\xi) = - \frac {1}{2} (1 - \xi) \xi ,

N _ {2} ^ {b o t} (\xi) = N _ {4} ^ {t o p} (\xi) = \frac {1}{2} (1 + \xi) \xi ,

N _ {5} ^ {b o t} (\xi) = N _ {6} ^ {t o p} (\xi) = \left(1 - \xi^ {2}\right) \tag {3.4.4}

(5, 6절점은 2차원 선계면요소의 고차요소이다.)

상대변위-요소변위 행렬 B 는 계면의 법선-접선방향과 요소좌표계의 상이한 점을 고려하고 있다.

3-5 면계면요소

그림 3.5.1 면계면요소

midas FEA에서 면계면요소(surface interface element)는 위 그림 3.5.1과 같이 저차, 고차의 삼각형 또는 사각형 요소를 제공한다. 입체요소(solid element)사이 혹은 판요소(shell element)와 입체요소 사이 등에서 계면거동을 해석할 때적용한다.

사각형 요소의 임의의 점에서의 전체 좌표는 형상함수를 이용하여 식 (3.5.1)과 같이정의된다.

x ^ {b o t} = N _ {1} ^ {b o t} \cdot x _ {1} ^ {b o t} + N _ {2} ^ {b o t} \cdot x _ {2} ^ {b o t} + N _ {3} ^ {b o t} \cdot x _ {3} ^ {b o t} + N _ {4} ^ {b o t} \cdot x _ {4} ^ {b o t}

\left(+ N _ {9} ^ {b o t} \cdot x _ {9} ^ {b o t} + N _ {1 0} ^ {b o t} \cdot x _ {1 0} ^ {b o t} + N _ {1 1} ^ {b o t} \cdot x _ {1 1} ^ {b o t} + N _ {1 2} ^ {b o t} \cdot x _ {1 2} ^ {b o t}\right)

x ^ {t o p} = N _ {5} ^ {t o p} \cdot x _ {5} ^ {t o p} + N _ {6} ^ {t o p} \cdot x _ {6} ^ {t o p} + N _ {7} ^ {t o p} \cdot x _ {7} ^ {t o p} + N _ {8} ^ {t o p} \cdot x _ {8} ^ {t o p}

\left(+ N _ {1 3} ^ {t o p} \cdot x _ {1 3} ^ {t o p} + N _ {1 4} ^ {t o p} \cdot x _ {1 4} ^ {t o p} + N _ {1 5} ^ {t o p} \cdot x _ {1 5} ^ {t o p} + N _ {1 6} ^ {t o p} \cdot x _ {1 6} ^ {t o p}\right)

y ^ {b o t} = N _ {1} ^ {b o t} \cdot y _ {1} ^ {b o t} + N _ {2} ^ {b o t} \cdot y _ {2} ^ {b o t} + N _ {3} ^ {b o t} \cdot y _ {3} ^ {b o t} + N _ {4} ^ {b o t} \cdot y _ {4} ^ {b o t}

\left(+ N _ {9} ^ {b o t} \cdot y _ {9} ^ {b o t} + N _ {1 0} ^ {b o t} \cdot y _ {1 0} ^ {b o t} + N _ {1 1} ^ {b o t} \cdot y _ {1 1} ^ {b o t} + N _ {1 2} ^ {b o t} \cdot y _ {1 2} ^ {b o t}\right)

y ^ {t o p} = N _ {5} ^ {t o p} \cdot y _ {5} ^ {t o p} + N _ {6} ^ {t o p} \cdot y _ {6} ^ {t o p} + N _ {7} ^ {t o p} \cdot y _ {7} ^ {t o p} + N _ {8} ^ {t o p} \cdot y _ {8} ^ {t o p}

\left(+ N _ {1 3} ^ {t o p} \cdot y _ {1 3} ^ {t o p} + N _ {1 4} ^ {t o p} \cdot y _ {1 4} ^ {t o p} + N _ {1 5} ^ {t o p} \cdot y _ {1 5} ^ {t o p} + N _ {1 6} ^ {t o p} \cdot y _ {1 6} ^ {t o p}\right)

z ^ {b o t} = N _ {1} ^ {b o t} \cdot z _ {1} ^ {b o t} + N _ {2} ^ {b o t} \cdot z _ {2} ^ {b o t} + N _ {3} ^ {b o t} \cdot z _ {3} ^ {b o t} + N _ {4} ^ {b o t} \cdot z _ {4} ^ {b o t}

\left(+ N _ {9} ^ {b o t} \cdot z _ {9} ^ {b o t} + N _ {1 0} ^ {b o t} \cdot z _ {1 0} ^ {b o t} + N _ {1 1} ^ {b o t} \cdot z _ {1 1} ^ {b o t} + N _ {1 2} ^ {b o t} \cdot z _ {1 2} ^ {b o t}\right)

z ^ {t o p} = N _ {5} ^ {t o p} \cdot z _ {5} ^ {t o p} + N _ {6} ^ {t o p} \cdot z _ {6} ^ {t o p} + N _ {7} ^ {t o p} \cdot z _ {7} ^ {t o p} + N _ {8} ^ {t o p} \cdot z _ {8} ^ {t o p} \tag {3.5.1}

\left(+ N _ {1 3} ^ {t o p} \cdot z _ {1 3} ^ {t o p} + N _ {1 4} ^ {t o p} \cdot z _ {1 4} ^ {t o p} + N _ {1 5} ^ {t o p} \cdot z _ {1 5} ^ {t o p} + N _ {1 6} ^ {t o p} \cdot z _ {1 6} ^ {t o p}\right)

그리고 어떤 점에서의 전체 변위는 식 (3.5.2) 와 같이 등매개변수 형상함수를이용하여 정의된다.

u ^ {b o t} = N _ {1} ^ {b o t} \cdot u _ {1} ^ {b o t} + N _ {2} ^ {b o t} \cdot u _ {2} ^ {b o t} + N _ {3} ^ {b o t} \cdot u _ {3} ^ {b o t} + N _ {4} ^ {b o t} \cdot u _ {4} ^ {b o t}

\left(+ N _ {9} ^ {b o t} \cdot u _ {9} ^ {b o t} + N _ {1 0} ^ {b o t} \cdot u _ {1 0} ^ {b o t} + N _ {1 1} ^ {b o t} \cdot u _ {1 1} ^ {b o t} + N _ {1 2} ^ {b o t} \cdot u _ {1 2} ^ {b o t}\right)

\boldsymbol {u} ^ {\text {top}} = N _ {5} ^ {\text {top}} \cdot \boldsymbol {u} _ {5} ^ {\text {top}} + N _ {6} ^ {\text {top}} \cdot \boldsymbol {u} _ {6} ^ {\text {top}} + N _ {7} ^ {\text {top}} \cdot \boldsymbol {u} _ {7} ^ {\text {top}} + N _ {8} ^ {\text {top}} \cdot \boldsymbol {u} _ {8} ^ {\text {top}}

\left(+ N _ {1 3} ^ {t o p} \cdot u _ {1 3} ^ {t o p} + N _ {1 4} ^ {t o p} \cdot u _ {1 4} ^ {t o p} + N _ {1 5} ^ {t o p} \cdot u _ {1 5} ^ {t o p} + N _ {1 6} ^ {t o p} \cdot u _ {1 6} ^ {t o p}\right)

\boldsymbol {v} ^ {b o t} = N _ {1} ^ {b o t} \cdot \boldsymbol {v} _ {1} ^ {b o t} + N _ {2} ^ {b o t} \cdot \boldsymbol {v} _ {2} ^ {b o t} + N _ {3} ^ {b o t} \cdot \boldsymbol {v} _ {3} ^ {b o t} + N _ {4} ^ {b o t} \cdot \boldsymbol {v} _ {4} ^ {b o t}

\left(+ N _ {9} ^ {b o t} \cdot v _ {9} ^ {b o t} + N _ {1 0} ^ {b o t} \cdot v _ {1 0} ^ {b o t} + N _ {1 1} ^ {b o t} \cdot v _ {1 1} ^ {b o t} + N _ {1 2} ^ {b o t} \cdot v _ {1 2} ^ {b o t}\right)

\nu^ {t o p} = N _ {5} ^ {t o p} \cdot \nu_ {5} ^ {t o p} + N _ {6} ^ {t o p} \cdot \nu_ {6} ^ {t o p} + N _ {7} ^ {t o p} \cdot \nu_ {7} ^ {t o p} + N _ {8} ^ {t o p} \cdot \nu_ {8} ^ {t o p}

\left(+ N _ {1 3} ^ {t o p} \cdot v _ {1 3} ^ {t o p} + N _ {1 4} ^ {t o p} \cdot v _ {1 4} ^ {t o p} + N _ {1 5} ^ {t o p} \cdot v _ {1 5} ^ {t o p} + N _ {1 6} ^ {t o p} \cdot v _ {1 6} ^ {t o p}\right)

w ^ {b o t} = N _ {1} ^ {b o t} \cdot w _ {1} ^ {b o t} + N _ {2} ^ {b o t} \cdot w _ {2} ^ {b o t} + N _ {3} ^ {b o t} \cdot w _ {3} ^ {b o t} + N _ {4} ^ {b o t} \cdot w _ {4} ^ {b o t}

\left(+ N _ {9} ^ {b o t} \cdot w _ {9} ^ {b o t} + N _ {1 0} ^ {b o t} \cdot w _ {1 0} ^ {b o t} + N _ {1 1} ^ {b o t} \cdot w _ {1 1} ^ {b o t} + N _ {1 2} ^ {b o t} \cdot w _ {1 2} ^ {b o t}\right)

w ^ {t o p} = N _ {5} ^ {t o p} \cdot w _ {5} ^ {t o p} + N _ {6} ^ {t o p} \cdot w _ {6} ^ {t o p} + N _ {7} ^ {t o p} \cdot w _ {7} ^ {t o p} + N _ {8} ^ {t o p} \cdot w _ {8} ^ {t o p} \tag {3.5.2}

\left(+ N _ {1 3} ^ {t o p} \cdot w _ {1 3} ^ {t o p} + N _ {1 4} ^ {t o p} \cdot w _ {1 4} ^ {t o p} + N _ {1 5} ^ {t o p} \cdot w _ {1 5} ^ {t o p} + N _ {1 6} ^ {t o p} \cdot w _ {1 6} ^ {t o p}\right)

3차원 면계면요소의 등매개변수 형상함수는 아래의 식과 같이 정의된다.

8절점 형상의 계면요소의 형상함수는

N _ {1} ^ {b o t} (\xi , \eta) = N _ {5} ^ {t o p} (\xi , \eta) = \frac {1}{4} (1 - \xi) (1 - \eta),

N _ {2} ^ {b o t} (\xi , \eta) = N _ {6} ^ {t o p} (\xi , \eta) = \frac {1}{4} (1 + \xi) (1 - \eta),

N _ {3} ^ {b o t} (\xi , \eta) = N _ {7} ^ {t o p} (\xi , \eta) = \frac {1}{4} (1 + \xi) (1 + \eta),

N _ {4} ^ {b o t} (\xi , \eta) = N _ {8} ^ {t o p} (\xi , \eta) = \frac {1}{4} (1 - \xi) (1 + \eta) \tag {3.5.3}

16절점 형상의 계면요소의 형상함수는

N _ {1} ^ {b o t} (\xi , \eta) = N _ {5} ^ {t o p} (\xi , \eta) = \frac {1}{4} (1 - \xi) (1 - \eta) (- \xi - \eta - 1),

N _ {2} ^ {b o t} (\xi , \eta) = N _ {6} ^ {t o p} (\xi , \eta) = \frac {1}{4} (1 + \xi) (1 - \eta) (\xi - \eta - 1)

N _ {3} ^ {b o t} (\xi , \eta) = N _ {7} ^ {t o p} (\xi , \eta) = \frac {1}{4} (1 + \xi) (1 + \eta) (\xi + \eta - 1)

N _ {4} ^ {b o t} (\xi , \eta) = N _ {8} ^ {t o p} (\xi , \eta) = \frac {1}{4} (1 - \xi) (1 + \eta) (- \xi + \eta - 1)

N _ {9} ^ {b o t} (\xi , \eta) = N _ {1 3} ^ {t o p} (\xi , \eta) = \frac {1}{2} (1 - \xi^ {2}) (1 - \eta),

N _ {1 0} ^ {b o t} (\xi , \eta) = N _ {1 4} ^ {t o p} (\xi , \eta) = \frac {1}{2} (1 + \xi) (1 - \eta^ {2}),

N _ {1 1} ^ {b o t} (\xi , \eta) = N _ {1 5} ^ {t o p} (\xi , \eta) = \frac {1}{2} (1 - \xi^ {2}) (1 + \eta),

N _ {1 2} ^ {b o t} (\xi , \eta) = N _ {1 6} ^ {t o p} (\xi , \eta) = \frac {1}{2} (1 - \xi) (1 - \eta^ {2}) \tag {3.5.4}

6절점 삼각형 형상의 계면요소의 형상함수는

N _ {1} ^ {b o t} (\xi , \eta) = N _ {4} ^ {t o p} (\xi , \eta) = 1 - \xi - \eta ,

N _ {_ {2}} ^ {b o t} \left(\xi , \eta\right) = N _ {_ {5}} ^ {t o p} \left(\xi , \eta\right) = \xi ,

N _ {3} ^ {b o t} (\xi , \eta) = N _ {6} ^ {t o p} (\xi , \eta) = \eta \tag {3.5.5}

12절점 삼각형 형상의 계면요소의 형상함수는

N _ {1} ^ {b o t} (\xi , \eta) = N _ {4} ^ {t o p} (\xi , \eta) = (1 - 2 \xi - 2 \eta) (1 - \xi - \eta)

N _ {2} ^ {b o t} (\xi , \eta) = N _ {5} ^ {t o p} (\xi , \eta) = (2 \xi - 1) \xi

N _ {3} ^ {b o t} (\xi , \eta) = N _ {6} ^ {t o p} (\xi , \eta) = (2 \eta - 1) \eta

N _ {7} ^ {b o t} (\xi , \eta) = N _ {1 0} ^ {t o p} (\xi , \eta) = 4 (1 - \xi - \eta) \xi

N _ {8} ^ {b o t} (\xi , \eta) = N _ {1 1} ^ {t o p} (\xi , \eta) = 4 \xi \eta

N _ {9} ^ {b o t} (\xi , \eta) = N _ {1 2} ^ {t o p} (\xi , \eta) = 4 \eta (1 - \xi - \eta) \tag {3.5.6}

midas FEA에서는 상단요소와 하단요소 사이에 존재하는 계면에 적분점 위치가존재하며, 이 때 적분법은 뉴튼-코츠법(Newton-Cotes method)을 사용하기 때문에 적분점 위치는 절점에 존재한다.

상대변위-요소변위 행렬은 2차원에서 확장된 B 행렬과 동일하다.