김경종
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여기서,
\Delta u _ {n, u l t} \quad := 5. 1 3 6 \frac {G _ {f} ^ {I}}{f _ {t}}
c _ {1} \quad := 3
c _ {2} \quad := 6. 9 3
재하와 제하에서 할선접근방법과 탄성접근방법외 아래그림에 표현된 이력모델(hysteresis model)을 사용할 수 있다.
line
| Δu_n | t_n | |------|-----| | 0 | 1 | | Δu_n,ult | 0 |그림 3.2.5 이력모델
3-2-4 전단지연법(Shear Retention)
모드-I형태의 균열 후 전단 계면력 tt 값은 줄어들게 되며 이는 다음과 같이 나타낸다.
t _ {t} = \left\{ \begin{array}{l l} k _ {t} d t & \text { if } \Delta u _ {n} < \frac {t _ {t}}{k _ {n}} \\ \beta k _ {t} d t & \text { if } \Delta u _ {n} \geq \frac {t _ {t}}{k _ {n}} \end{array} \right. \tag {3.2.6}
여기서,
\beta k _ { t } : 감소 전단강성(reduced shear stiffness)
\beta \supseteq ~ 0 \leq \beta \leq 1 는 β = 0 이며 콘크리트와 같이 매끈하지 않을 경우는 0 < \beta \leq 1 0 | 된다. 일반적으로 β는 0.1에서 0.3사이의 값을 사용한다.
3-3 균열팽창
계면에서의 균열은 법선방향 상대변위 \Delta u _ { n } 값이 \Delta u _ { _ { n , u l t } } 보다 클 경우 발생한다. 또한 콘크리트와 같이 균열면이 매끈하지 않은 재질에서는 거친 균열면의 골재 맞물림 현상으로 접선방향의 상대변위로 인해서 법선방향의 팽창(dilatancy)이 발생한다. 따라서 법선방향의 변위와 접선방향의 변위는 독립적이지 않으며, 강성행렬은대각방향 이외에도 값을 가지게 된다.
text_image
dt t_n t_t Δu_n t_t t_n n t
그림 3.3.1 거친 균열(Rough crack)
\left\{ \begin{array}{l} t _ {n} = f _ {n} \left(\Delta u _ {n}, d t\right) \\ t _ {t} = f _ {t} \left(\Delta u _ {n}, d t\right) \end{array} \right. \tag {3.3.1}
식 (3.3.1)를 상대변위에 대해 편미분할 경우 기울기 함수는 식 (3.3.2).와 같다.
\left[ \begin{array}{l l} D _ {1 1} = \frac {\partial f _ {n}}{\partial \Delta u _ {n}} & D _ {1 2} = \frac {\partial f _ {n}}{\partial d t} \\ D _ {2 1} = \frac {\partial f _ {t}}{\partial \Delta u _ {n}} & D _ {2 2} = \frac {\partial f _ {t}}{\partial d t} \end{array} \right] \tag {3.3.2}
균열 팽창 모델은 수식이 복잡하여, 여러 학자들에 의해 제안되었으며, 크게 두가지 형태로 분류된다. 첫 번째는 주로 실험결과에 의존한 경험적 균열모델(empirical crack models)이며, 다른 하나는 균열면의 형상을 가정하는데 기초한이론적 수치모델인 물리적 균열 모델(physical crack models)이다. midas FEA에서 지원하는 균열 팽창모델은 다음과 같다.
경험적 균열모델 :
- 거친 균열모델 I(rough crack model (Bazant와 Gambarova))
- 거친 균열모델 II(rough crack model (Gambarova와 Karakoc))
- 골재 맞물림모델(aggregate interlock model (Walraven과 Reinhardt))
물리적 균열모델 :
- 2상모델(two-phase model (Walraven))
- 접촉 밀도모델(contact density model (Li et al.))
3-3-1 거친 균열모델 I (Bazant와 Gambarova)
Bazant와 Gambarova는 균열면을 균일한 사다리꼴 형상의 요철로 가정한 거친균열모델을 제안하였다. 그림 3.3.2.는 거친 균열모델의 응답 그래프를 나타내며,아래에 열거한 가정사항을 바탕으로 한다.
- 계면의 쐐기 효과로 인하여, 전단 응력은 변위 비율( / nr dt u = ∆ )과 가장 큰연관관계를 지닌다.
- 대변위 비율에 대한 전단력은 골재 주위 모르타르의 미소 균열 때문에 근사값을 사용한다.
- 법선방향의 균열 대변위에 대해서 계면의 접촉효과는 고려하지 않는다.
\left(\Delta u _ {n} > \frac {1}{2} D _ {\max}, \text { 여기서, } D _ {\max} \text { 는 최대 골재크기이다. }\right)
그림 3.3.2 거친 균열모델
Paulay와 Loeber의 테스트 결과를 기초로 한 수식은 식 (3.3.3).과 같다.
f _ {t} = \tau_ {u} r \frac {a _ {3} + a _ {4} | r | ^ {3}}{1 + a _ {4} r ^ {4}} \tag {3.3.3}
f _ {n} = - \frac {a _ {1}}{\Delta u _ {n}} \left(a _ {2} \mid f _ {t} \mid\right) ^ {p}
여기서,
p = 1. 3 0 \times \left(1 - \frac {0 . 2 3 1}{1 + 0 . 1 8 5 \Delta u _ {n} + 5 . 6 3 \left(\Delta u _ {n}\right) ^ {2}}\right)
r = \frac {\delta t}{\Delta u _ {n}}
\tau_ {u} = \frac {\tau_ {0} a _ {0}}{a _ {0} + \left(\Delta u _ {n}\right) ^ {2}}
a _ {0} = 0. 0 1 D _ {\mathrm{max}} ^ {2}
a _ {1} = 0. 0 0 0 5 3 4
a _ {2} = 1 4 5. 0
a _ {3} = \frac {2 . 4 5}{\tau_ {0}}
a _ {4} = 2. 4 4 \times \left(1 - \frac {4}{\tau_ {0}}\right)
\tau_ {0} = 0. 2 4 5 f _ {c} = 0. 1 9 5 f _ {c c}
그리고,
cf : 원통 공시체의 일축압축강도
cc f : 입방 공시체의 일축압축강도
3-3-2 거친 균열 모델 II (Gambarova와 Karakoc)
그림 3.3.3 거친 균열모델 II
Bazant와 Gambarova 모델을 좀 더 향상시킨 것으로 Daschner와 Kupfer의 일정구속압상태에서의 실험결과에 맞추어 법선 계면력과 균열변위사이의 관계를 개선했기 때문에 Bazant와 Gambarova 모델 보다 더 좋은 결과를 얻을 수 있다고 알려져 있다. 추가적으로 이 수식은 골재 크기효과가 고려된다.
f _ {t} = \tau_ {0} \left(1 - \sqrt {\frac {2 \Delta u _ {n}}{D _ {\max}}}\right) r \frac {a _ {3} + a _ {4} | r | ^ {3}}{1 + a _ {4} r ^ {4}} \tag {3.3.4}
f _ {n} = - a _ {1} a _ {2} \sqrt {\Delta u _ {n}} \frac {r}{\left(1 + r ^ {2}\right) ^ {0 . 2 5}} f _ {t}
여기서,
a _ {1} a _ {2} = 0. 6 2
a _ {3} = \frac {2 . 4 5}{\tau_ {0}}
a _ {4} = 2. 4 4 \times \left(1 - \frac {4}{\tau_ {0}}\right)
\tau_ {0} = 0. 2 5 f _ {c} = 0. 2 f _ {c c}
3-3-3 골재 맞물림 (Walraven과 Reinhardt)
Walraven과 Reinhardt는 경량, 자갈 콘크리트 실험결과를 통해 계면력과 상대 변위의 선형관계를 도출하였다. 이 모델은 자갈 콘크리트에 사용할 경우 매우 정확한 결과를 도출하는 것으로 알려져 있지만, 자갈 콘크리트 모델에만 적용되는 한계가 있다.
그림 3.3.4 골재 맞물림 거동
f _ {t} = - \frac {f _ {c c}}{3 0} + \left(1. 8 \Delta u _ {n} ^ {- 0. 8 0} + \left(0. 2 3 4 \Delta u _ {n} ^ {- 0. 7 0 7} - 0. 2 0\right) f _ {c c}\right) d t \tag {3.3.5}
f _ {n} = \frac {f _ {c c}}{2 0} - \left(1. 3 5 \Delta u _ {n} ^ {- 0. 6 3} + \left(0. 1 9 1 \Delta u _ {n} ^ {- 0. 5 5 2} - 0. 1 5\right) f _ {c c}\right) d t
여기서,
d t \geq 0
f _ {t} \geq 0
f _ {n} \leq 0
3-3-4 2상 모델(Walraven)
Walraven이 제기한 2상(two-phase) 모델은 다음의 가정에 기초한다.
- 콘크리트는 강체의 원형 함유물과 완전소성체의 2상재료로 가정한다.
- 골재의 입도는 Fuller 곡선과 일치한다.
- 함유물(inclusion)과 모체(matrix) 사이의 활동 접촉 면적은 계면 변위와 기하적인 형태와 관련이 있고, 골재분포의 통계를 고려한다.
- 모체에 대한 압축 접촉강도는 콘크리트 강도와 관련이 있다. 반면에 전단 접촉강도는 마찰계수를 고려한 압축 접촉 강도와 선형 관계가 있다.
Walraven은 철근이 포함되어있지 않은 균열 내 골재의 맞물림 현상을 이론적으로전개하여 나타내었으며 식 (3.3.6)과 같다.
그림 3.3.5 2상 모델
f _ {t} = \sigma_ {p u} \left(A _ {n} + \mu A _ {t}\right) \tag {3.3.6}
f _ {n} = - \sigma_ {p u} \left(A _ {t} - \mu A _ {n}\right)
여기서,
An, At : n 과 t 방향에 대한 함유물과 모체사이의 평균 접촉면적
\sigma _ { p u } Opt ：
\mu ：
이 모델은 접선강성항이 전단방향 균열변위 dt 와 법선방향 균열변위 \Delta u _ { n } 및 골재 분포에 대한 함수로 이루어진 특징을 지닌다.