김경종
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# Chapter 1. Load and Boundary
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# 1-1 자유도 구속조건
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자유도 구속(constraint) 기능은 임의 절점의 변위를 구속시키거나 자유도가 부족한 요소(truss, plane stress 요소 등)끼리 접합될 때 해당 자유도성분을 구속하는데 사용된다. 자유도 구속조건은 전체좌표계(global coordinate system) 또는 절점좌표계(nodal coordinate system)를 기준으로 절점당 6개 자유도에 대해 입력된다.
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예를 들어 그림 1.1.1과 같은 평면골조모델에 자유도 구속조건을 부여하는 방법은다음과 같다. 이 모델은 전체좌표계 X Z− 평면내에서만 거동이 허용되는 2차원모델이기 때문에 모든 절점에 대해 전체좌표계 Y 방향 변위자유도와 X 방향 및Z 방향에 대한 회전자유도를 구속해야 한다.
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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N2
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N4
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N6
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N1
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N3
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z
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y
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x
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angle of
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inclination
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Y
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X
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• : fixed support condition
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: pinned support condition
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: roller support condition
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그림 1.1.1 자유도 구속조건이 고려된 평면골조모델
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고정지지조건인 절점 N1은 전체좌표계 X , Z 방향 변위자유도와 Y 방향에 대한회전자유도를 추가로 구속한다. 핀접합이면서 롤러 지지조건인 N3에 대해서는 Z
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방향 변위자유도를 추가로 구속한다. 절점좌표계에 대해 로울러 지지조건이 부여된 절점 N5에 대해서는 전체좌표계 X 축에 대해 경사각만큼 회전한 절점좌표계를설정한 다음, 전체좌표계 Z 축 방향 변위자유도를 구속한다. 절점좌표계가 선언되어 있는 절점에 입력되는 구속조건은 절점좌표계를 따라 구속을 수행하게 된다.
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절점변위를 구속하는 기능은 변위를 무시할 수 있는 지지조건(supports) 등에 주로 이용되며 임의 절점에 대해 구속조건이 주어지면 해당절점에 대한 반력이 발생하게 된다. 절점에서의 반력은 전체좌표계를 기준으로 출력된다.
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그림 1.1.2는 구속조건이 부족한 자유도에 구속조건을 사용한 예 이다. 그림 1.1.2(a)의 경우는 트러스요소가 축방향의 변위자유도만 가지기 때문에 연결절점에서의X 방향 변위와 모든 회전방향 변위성분은 구속되어있다. 그림 1.1.2 (b)는 상·하부플랜지를 보요소로 대신한 예로써 보요소가 절점당 6개의 자유도를 가지기 때문에보요소와 연결되는 절점에서는 별도의 구속조건이 필요 없다. 그러나 평면응력요소만으로 구성된 절점에 대해서는 평면응력요소가 면내의 거동에 대한 자유도만가지고 있기 때문에 면외변위성분인 Y 방향 변위자유도와 모든 회전자유도를 구속하여야 한다. 구조물이 충분한 강성을 가지지 못하는 경우에는 원활한 해석을 위해서 전체구조물의 해석에 영향을 거의 주지 않은 작은 강성을 부여할 수도 있다.
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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connecting node
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(DX, RX, RY and RZ are constrained)
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supports (all degrees of
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freedom are constrained)
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</details>
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(a) 트러스요소끼리 접합된 경우
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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supports (all degrees of freedom are constrained)
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top flange (beam element)
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web (plane stress element)
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Y
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Z
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X
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bottom flange (beam element)
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in-plane vertical load
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● : nodes without constrains
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○ : DY, RX, RY and RZ are constrained
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DX : displacement in the GCS X direction
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DY : displacement in the GCS Y direction
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DZ : displacement in the GCS Z direction
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RX : rotation about the GCS X-axis
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RY : rotation about the GCS Y-axis
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RZ : rotation about the GCS Z-axis
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</details>
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(b) H형 캔틸레버를 상/하부 플랜지를 보요소로 모델링하고 웨브를 평면응력요소로 모델링한 경우
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그림 1.1.2 자유도 구속조건의 사용 예
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# 1-2 경사 지지조건
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그림 1.2.1과 같이 경사지지(skewed support) 조건을 갖는 구조물의 경계조건은자유도 구속조건과 절점좌표계를 사용하여 모델링 한다. 구속 자유도는 자유도 구속조건에서 입력된 방향을 사용하고, 해당자유도의 좌표축은 절점좌표계를 따른다.경사지지조건이 입력된 절점의 반력은 전체좌표계를 기준으로 출력된다.
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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Z
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N
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X
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N
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X
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X
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θ
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Y
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X
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X
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</details>
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그림 1.2.1 경사지지조건의 예
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# 1-3 구속 방정식
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구속방정식(constraint equation)은 구조물의 특정 절점이 다른 절점들의 거동에종속적으로 움직이도록 구속하는 기능이다. 여기서, 구속하고자 하는 특정 절점을구속절점(constraint node)이라 하고, 자유도가 독립적인 절점을 독립절점(independent node)이라 한다. 구속방정식에 의한 구속절점과 독립절점간의 관계는 다음과 같다.
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$$
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U _ {M, m} = a _ {1} U _ {I, i} + a _ {2} U _ {J, j} + \dots + b _ {1} R _ {I, i} + b _ {2} R _ {J, j} + \dots \quad - \text { 이동변위 구속 } \tag {1.3.1}
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$$
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$$
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R _ {M, m} = c _ {1} U _ {I, i} + c _ {2} U _ {J, j} + \dots + d _ {1} R _ {I, i} + d _ {2} R _ {J, j} + \dots \quad - \text { 회전변위 구속 } \tag {1.3.2}
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$$
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여기서,
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$$
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U _ {M, m} \quad : \text { 구속절점 } m \text { 의 } M \text { 방향 이동변위 }
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$$
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$$
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U _ {I, i} \quad : \text { 독립절점 } i \text { 의 } I \text { 방향 이동변위 }
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$$
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$$
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R _ {M, m} \quad : \text { 구속절점 } m \text { 의 } M \text { 방향 회전변위 }
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$$
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$$
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R _ {I, i} \quad : \text { 독립절점 } i \text { 의 } I \text { 방향 회전변위 }
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$$
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$$
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a _ {i}, b _ {i}, c _ {i}, d _ {i} \quad : \text { 자유도 간의 상호관계를 정의하는 계수 }
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$$
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구속방정식은 식 (1.3.1) 또는 식 (1.3.2)와 같이 임의 절점, 임의의 자유도를 상호구속할 수 있기 때문에 적용 범위가 매우 넓다. 구속방정식은 전체좌표계에서 정의된 자유도에 대해 적용된다.
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그림 1.3.1은 입체요소로 이루어진 3차원 구조물과 판요소로 이루어진 얇은 판의접합 부분에 적용한 예이다. 입체요소는 회전자유도에 대한 강성이 없기 때문에접합되어 있는 판의 회전거동을 구속하지 못한다. 구속방정식을 이용하여 접합 부분의 회전자유도를 식(1.3.3)과 같이 구속하게 되면, 판요소가 접합면에 대체로 수
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직을 이룬 상태에서 거동하게 된다.
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$$
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R _ {Y, 3} = \frac {1}{h} U _ {X, 1} - \frac {1}{h} U _ {X, 2} \tag {1.3.3}
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$$
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<details>
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<summary>natural_image</summary>
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3D wireframe diagram of a curved surface with a dotted circular feature and arrow indicating direction (no text or symbols)
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</details>
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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U_{X,1}
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N1
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Ry_3
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N3
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N2
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U_{X,2}
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</details>
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그림 1.3.1 구속방정식의 적용 예
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구속방정식은 강체연결(rigid link)과 혼동을 일으키기 쉽기 때문에 상호간의 차이점을 정확하게 인지해야 한다. 강체연결에 의한 연결은 하나의 절점 거동에 의해다른 여러 절점이 종속적으로 움직이도록 하는 반면, 구속방정식에 의한 구속조건
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은 하나의 절점이 다른 여러 절점의 거동에 종속되도록 한다.
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구속방정식을 부가하는 방법에는 두 가지가 있다. 식 (1.3.1) 또는 식 (1.3.2)의 모든 자유도와 계수를 직접 입력하여 구속방정식을 생성하는 방법을 명시적 방법(explicit method)이라 하고, 구속절점의 움직임을 독립절점의 평균 변위와 같게하는 방법을 가중변위 방법(weighted displacement)라 한다. 각각의 방법으로 구속방정식을 부가하는 과정은 다음과 같다.
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# 명시적 방법
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- 구속절점 및 자유도(복수 선택 불가) 선택
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- 독립절점 및 자유도(복수 선택 불가) 선택, 계수( ,i ia b 또는 ,i ic d ) 입력
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독립절점에 대한 정보는 반복적으로 입력할 수 있으며, 이러한 과정으로 식(1.3.1)또는 식(1.3.2)를 생성한다.
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# 가중변위 방법
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- 구속절점 선택
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- 구속절점과 독립절점에 공통으로 적용할 자유도(복수 선택 가능) 선택
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- 독립절점 선택, 가중치 w 입력
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독립절점에 대한 정보는 반복적으로 입력할 수 있으며, 다음과 같은 구속방정식이생성된다.
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$$
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U _ {I, m} = \sum_ {i} \frac {w _ {i}}{S} U _ {I, i} \text { 또는 } R _ {I, m} = \sum_ {i} \frac {w _ {i}}{S} R _ {I, i}
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$$
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여기서,
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S : 가중치( w )를 모두 더한 값
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이 방법을 이용하면 이동변위와 회전변위간의 연관(coupling)이 발생하지 않는다.
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# 1-4 절점하중
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절점하중(nodal load)은 가장 기본적인 하중으로 절점별로 6개 방향의 하중값을입력할 수 있다. 절점하중의 방향은 임의의 좌표계에 대하여 정의할 수 있다.
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# 1-5 요소압력하중
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요소압력 하중(element pressure load)은 요소의 면(surface)이나 변(edge)에 분포하중의 형태로 입력된다. 2차원 요소(판요소, 평면응력요소, 평면변형요소, 축대칭요소)와 3차원 요소(입체요소)에 입력이 가능하고 요소강성 구성 시에 절점자유도의 하중으로 변환되어 해석에 사용된다. 하중의 입력방향은 요소좌표계나 전체좌표계 방향으로 입력할 수 있고, 임의 방향인 벡터 형태의 입력도 가능하다. 그림1.5.1은 요소압력하중의 예를 나타내고 있다.
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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P₁
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P₁
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N₄
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Edge 3
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N₃
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P₂
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Edge 4
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Edge 2
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N₁
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Edge 1
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N₂
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P₁
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P₂
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P₁
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P₂
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</details>
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(a) 판요소, 평면응력요소, 평면변형요소, 축대칭요소의 각 변에수직방향으로 작용하는 압력하중
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<details>
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<summary>natural_image</summary>
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Isometric diagram of a rectangular frame with vertical arrows indicating force or direction (no text or symbols)
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</details>
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(b) 판요소와 평면응력요소의 면에 작용하는 압력하중
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<details>
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<summary>natural_image</summary>
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Isometric line drawing of a 3D cube with internal vertical supports and hatched walls (no text or symbols)
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</details>
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(c) 입체요소의 각 면에 수직방향으로 작용하는 압력하중
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그림 1.5.1 각 요소에 작용하는 압력하중
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