김경종
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# Analysis Manual 목차
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# 1. Introduction 5
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1.1 단위계 / 7
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1.2 파일 시스템 / 8
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1.3 표시법 / 10
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# 2. Node/DOF/Coordinate System ········ 12
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2.1 절점과 자유도 / 12
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2.2 좌표계 / 14
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2.3 유한회전의 기술 / 17
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# 3. Elements ········· 19
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3.1 유한요소 정식화 / 21
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3.2 형상함수 / 23
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3.3 잠김 현상에 대한 보완 / 31
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3.4 Rod 요소 / 42
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3.5 Embedded Rod 요소 / 47
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3.6 Bar 요소 / 50
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3.7 Embedded Bar 요소 / 57
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3.8 Pipe 요소 / 58
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3.9 Cable 요소 / 62
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3.10 Membrane 요소 / 65
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3.11 Shell 요소 / 72
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3.12 Surface 요소 / 81
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3.13 Plane strain 요소 / 85
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3.14 Axisymmetric solid 요소 / 88
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3.15 Solid 요소 / 93
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3.16 Layered shell 요소 / 100
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3.17 Layered solid 요소 / 105
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3.18 그 밖의 요소 / 111
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3.19 기하강성 / 124
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3.20 열전도 요소 / 128
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3.21 줄 발열 요소 / 132
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3.22 응력 오차 / 136
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# 4. Material 138
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4.1 탄성 재료의 성질 / 139
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4.2 비선형탄성 재료의 성질 / 144
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4.3 소성 재료의 성질 / 147
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4.4 초탄성 재료의 성질 / 156
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4.5 열전도 재료의 성질 / 161
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4.6 점탄성 재료의 성질 / 162
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4.7 복합재료 적층이론 / 171
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4.8 복합재료 파손이론 / 174
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# 5. Algorithm ······· 178
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5.1 연립방정식 해법 / 178
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5.2 고유치 추출법 / 182
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5.2.1 모드상관계수 / 185
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5.3 유효질량과 모드중첩법 / 186
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5.3.1 유효질량 / 186
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5.3.2 모드중첩법 / 187
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5.4 동적응답 해법 / 191
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5.4.1 시간적분법 / 191
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5.4.2 주파수 응답 / 195
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5.4.3 랜덤 응답 / 197
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5.4.4 응답 스펙트럼 / 202
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5.5 비선형 유한요소 해법 / 209
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5.6 대변형을 고려한 변형률/응력 산출법 / 215
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5.7 비선형 동적응답 해법 / 220
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5.7.1 외연적 시간적분법 / 220
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5.7.2 내연적 시간적분법 / 226
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5.8 접촉조건 / 227
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5.9 피로해석 / 236
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5.9.1 응력-수명 방법 / 236
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5.9.2 변형률-수명 방법 / 240
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5.9.3 랜덤 진동 피로해석 / 245
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5.10 응력의 선형보간 / 250
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5.11 위상 최적화 / 254
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5.11.1 목적함수와 민감도 / 254
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5.11.2 재료 보간 방법 / 258
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5.11.3 최적화 기준법 / 259
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5.11.4 이동 점근선 기법 / 260
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5.12 치수 최적화 / 261
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5.12.1 실험점 추출 / 261
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5.12.2 근사모델기반 치수최적화 / 263
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5.13 성형 한계도 / 267
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5.13.1 성형 한계도 정의 / 267
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5.13.2 MMFC 배경 이론 / 268
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5.13.3 MMFC 알고리즘 / 268
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5.13.4 등방성 재료 항복 곡선 / 269
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5.13.4 경화 모델 / 271
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# 6. Load/Constraint
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6.1 하중 / 272
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6.2 구속조건 / 277
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6.3 열하중/경계조건 / 281
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6.4 특이성 오류 / 287
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6.5 하중의 비선형성 / 289
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# 1. Introduction
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본 매뉴얼은 midas NFX의 구조해석에 관한 기술적 내용과 이론에 대해 소개한다. 본 매뉴얼의 내용은 midas NFX의 모든 기능에 대한 설명을 포함하고 있으나 실제로 프로그램에서 사용할 수 있는 기능은 사용 버전에 따라 그 범위가 다를 수 있다. 본 매뉴얼의 목적은 midas NFX의 사용과 이해에 도움이 되도록 개발에 사용된 이론과 사용 시에 필요한 기술적인 사항을 소개함에 있으나, 일반적인 공학서적에 자세하게 소개되어 있는 기본적인 내용 또는 지나치게 난해한내용은 배제하였다.
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midas NFX는 C++를 기반으로 개발된 범용 유한요소 해석(general purposefinite element analysis) 프로그램이며 다음과 같은 구조해석 기능을 제공하고 있다.
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표 1.1 midas NFX 의 해석 기능
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<table><tr><td>선형 정적 구조해석</td><td>Linear static structural analysis</td></tr><tr><td>모드 해석</td><td>Normal mode analysis</td></tr><tr><td>선형 좌굴 해석</td><td>Linear buckling analysis</td></tr><tr><td>선형 과도응답 해석(직접법/모드법)</td><td>Linear transient analysis (direct/modal)</td></tr><tr><td>주파수 응답 해석(직접법/모드법)</td><td>Frequency response analysis (direct/modal)</td></tr><tr><td>응답 스펙트럼 해석</td><td>Response spectrum analysis</td></tr><tr><td>랜덤 해석(직접법/모드법)</td><td>Random analysis (direct/modal)</td></tr><tr><td>비선형 정상상태 열전달 해석</td><td>Nonlinear steady-state heat transfer analysis</td></tr><tr><td>비선형 과도상태 열전달 해석</td><td>Nonlinear transient heat transfer analysis</td></tr><tr><td>비선형 정적 해석</td><td>Nonlinear static analysis</td></tr><tr><td>비선형 준정적 해석</td><td>Nonlinear quasi-static analysis</td></tr><tr><td>비선형 동해석(외연적 시간적분법)</td><td>Nonlinear explicit transient analysis</td></tr><tr><td>비선형 동해석(내연적 시간적분법)</td><td>Nonlinear implicit transient analysis</td></tr></table>
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또한, 표 1.1의 해석기능 조합을 이용하여 프리스트레스 해석(prestressedanalysis) 또는 열응력 해석(thermal stress analysis)과 같이 두 가지 이상의 서로다른 해석간의 조합이 가능하다.
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midas NFX를 비롯한 범용 유한요소 해석 프로그램을 이용하여 문제를 푸는 과정은 일반적으로 다음과 같다.
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► 해석 모델 정의 (node, element, mesh, load, boundary condition)
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► 해석 종류 정의 (analysis case)
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► 해석 실행 (solve)
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► 결과 분석 (post-mode)
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본 매뉴얼은 위의 각 항목을 이해하기 위한 알고리즘, 기술적인 내용 또는 이론을 중심으로 이루어져 있다.
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# 1.1 단위계
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해석 모델의 정의를 위해서는 구조물의 크기, 재료의 성질 등이 필요한데 이들물리량(physical quantity)에 대한 정보는 일반적으로 특정 단위계(unit system)를기준으로 정의된다. midas NFX에서는 힘/길이/에너지/시간에 대한 단위 변환이가능하므로, 해석 모델의 정의 과정 중에 사용자가 필요에 따라 단위계를 바꾸어 모델링을 진행할 수 있다. 해석 모델의 정의를 마치고 해석을 실행하기 전에는 다음과 같이 힘/길이/에너지/시간에 대한 값에 대해 English 단위계 또는 SI단위계로 통일시켜야 한다.
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표 1.1.1 English/SI 체계에서 사용하는 단위
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<table><tr><td>물리량</td><td>English</td><td>SI</td></tr><tr><td>위치, 길이, 변위</td><td>inch</td><td>meter</td></tr><tr><td>탄성계수</td><td>lbf/inch $^{2}$ </td><td>Newton/meter $^{2}$ </td></tr><tr><td>모멘트</td><td>inch-lbf</td><td>Newton-meter</td></tr><tr><td>힘</td><td>lbf</td><td>Newton</td></tr><tr><td>질량</td><td>lbf-sec $^{2}$ /inch</td><td>kilogram</td></tr><tr><td>시간</td><td>second</td><td>second</td></tr><tr><td>응력</td><td>lbf/inch $^{2}$ </td><td>Newton/ meter $^{2}$ </td></tr></table>
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English 단위계에서는 길이 단위로 inch 외에 ft 를 사용하는 경우도 많으며, SI단위계와 구분되는 점은 질량 대신 무게를 자주 사용한다는 것이다. 이 경우 중력 가속도(gravity acceleration)에 의한 질량-무게 관계( )를 적용해야 하는데, midas NFX에서는 중력 가속도에 의한 질량-무게 관계를 자동으로해석에 적용함으로써 시간 단위가 포함된 결과(예 : Hz)에 있어서 적절한 결과값을 얻을 수 있도록 하였다.
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# 1.2 파일시스템
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midas NFX를 이용한 유한요소 해석 과정에서는 몇 가지 파일을 생성 또는 저장해야 하며, 해석 실행 도중에 여러 가지 임시파일이 생겨나거나 사라지게 된다.midas NFX에서 사용되는 파일 목록과 각각의 내용은 다음과 같다.
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표 1.2.1 midas NFX 의 주요 파일
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<table><tr><td>파일이름</td><td>형식</td><td>내용</td></tr><tr><td>ModelName.nfx</td><td>Binary</td><td>모델 데이터 파일 (analyst)</td></tr><tr><td>ModelName.nfxd</td><td>Binary</td><td>모델 데이터 파일 (designer)</td></tr><tr><td>ModelName_AnalysisName.mec</td><td>ASCII</td><td>해석기 입력 파일</td></tr><tr><td>ModelName_AnalysisName.log</td><td>ASCII</td><td>해석 실행 기록 파일</td></tr><tr><td>ModelName_AnalysisName.out</td><td>ASCII</td><td>해석 결과 데이터 파일</td></tr><tr><td>ModelName_AnalysisName.nfxp</td><td>Binary</td><td>해석 결과 데이터 파일(후처리용)</td></tr></table>
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midas NFX의 결과 파일은 ASCII 형식의 .out 과 이진(binary) 형식의 .nfxp 파일이 있다. 기본적으로 사용자가 요구한 결과 항목은 .nfxp에 포함되며 후처리기를통하여 결과를 분석하기 위해 사용된다. ASCII 결과파일인 .out 파일은 .nfxp 파일과 유사한 결과들을 포함할 수 있으며 포함 여부는 사용자 옵션에 의해 조절된다.
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midas NFX의 해석 도중에 생성되는 임시파일 목록과 각각의 내용은 다음과 같다.
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표 1.2.2 해석 중 생성되는 파일
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<table><tr><td>파일이름</td><td>생성시점/내용</td></tr><tr><td>InputName.DASM#.bin</td><td>모든 해석에서 생성, 유한요소 관련 정보</td></tr><tr><td>InputName.FACT#.bin#</td><td>다중프런트 해법 선택 시 생성, 행렬 정보</td></tr><tr><td>InputName.EIGS#.bin#</td><td>고유치 해석 시 생성, Lanczos 반복계산 정보</td></tr></table>
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해석 중 생성되는 임시파일은 스크래치 폴더(scratch folder)에 생성되며 스크래
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치 폴더의 기본값은 모델파일의 위치와 같다.
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# 1.3 표시법
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본 매뉴얼에서는 행렬 표시법(matrix notation)과 성분 표시법(componentnotation)을 동시에 사용한다. 행렬 표시법은 2차 텐서(tensor)의 표현에 있어서매우 유용하기 때문에 가능한 경우에는 행렬 표시법을 이용한다.
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이론을 전개함에 있어서 필요한 값들은 스칼라(scalar), 벡터(vector), 2차 텐서(second order tensor) 혹은 행렬(matrix), 4차 텐서(fourth order tensor) 등이 있다. 행렬 표시법으로는 다음과 같이 표현한다.
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표 1.3.1 행렬 표시법
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<table><tr><td>스칼라</td><td>u</td></tr><tr><td>벡터</td><td> $\mathbf{u}$ , $\{*\}$ </td></tr><tr><td>2 차 텐서, 행렬</td><td> $\mathbf{A}$ , $[^{*}]$ </td></tr><tr><td>4 차 텐서</td><td> $\mathbf{C}$ </td></tr></table>
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볼드(Bold)체를 사용하는 경우에는 벡터와 텐서의 표기법이 같으므로 내용에 의해 각각을 구분해야 한다. 행렬 표기법은 물리적 의미 또는 물리량 간의 관계를파악하는데 있어 매우 효과적이다. 그러나 행렬 표기법으로 표현하기에는 복잡한 연산 또는 성분간의 연산이 필요한 경우에는 성분 표기법을 사용하는 것이유용하다. 성분 표기법은 좌표계를 기초로 하며 각각의 좌표계는 기저 벡터(base vector)에 의해 정의될 수 있다. 기저 벡터는 3 차원 공간에서 ie ,로 표시하며 각각은 서로 수직하지 않을 수 있다. 기저 벡터를 이용하면 임의의 벡터 를 다음과 같이 표현할 수 있다.
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$$
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\mathbf {u} = u ^ {1} \mathbf {e} _ {1} + u ^ {2} \mathbf {e} _ {2} + u ^ {3} \mathbf {e} _ {3} \tag {1.3.1}
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$$
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: 기저 벡터
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u : 성분
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성분 표기법에서 하첨자 는 엄밀한 의미에서 코배리언트(covariant) 기저 벡터또는 성분을 의미하고 상첨자 i 는 콘트라배리언트(contravariant) 기저 벡터 또
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는 성분을 의미한다. 일반적으로 직교 좌표계(orthonormal coordinate system)에서는 둘 다 동일하므로 구분하지 않는다.
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성분 표기법을 사용할 때에는 다음과 같이 반복되는 인덱스(index)에 대한 합의규약(summation convention)을 이용하는 것이 편리하다.
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$$
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\mathbf {u} = u ^ {i} \mathbf {e} _ {i} \tag {1.3.2}
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$$
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비슷한 방법으로 2차 텐서와 4차 텐서를 성분 표시법으로 나타내면 다음과 같다.
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$$
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\mathbf {A} = A ^ {i j} \mathbf {e} _ {i} \mathbf {e} _ {j}, \mathbf {C} = C ^ {i j k l} \mathbf {e} _ {i} \mathbf {e} _ {j} \mathbf {e} _ {k} \mathbf {e} _ {l} \tag {1.3.3}
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$$
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본 매뉴얼에서는 별도의 언급이 없는 경우 합의 규약을 적용한 것으로 간주한다.
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