김경종
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• 요소 결과
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midas NFX의 layered shell 요소는 요소의 두께 방향으로 각 층 (ply) 마다 중심또는 상/하단에서 결과를 제공한다. 또한 전체 적층판의 최대/최소값을 제공한다. 응력 및 변형률의 결과는 각 층의 재료 주축방향으로 출력된다.
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표 3.16.1 Layered shell 요소의 결과 항목
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<table><tr><td colspan="2">결과 항목</td><td>설명</td></tr><tr><td rowspan="5">Stress</td><td>In-plane stress</td><td>위치: ply 중심/상하단, 적층판 최대/최소, 꼭지점/요소중심 $\sigma_{11}$ , $\sigma_{22}$ , $\tau_{12}$ </td></tr><tr><td>Transverse shear stress</td><td>위치: ply 중심/상하단, 적층판 최대/최소, 꼭지점/요소중심 $\tau_{1z}$ , $\tau_{2z}$ </td></tr><tr><td>Principal stress</td><td>위치: ply 중심/상하단, 적층판 최대/최소, 꼭지점/요소중심 $P_{1}$ , $P_{2}$ </td></tr><tr><td>Von-Mises stress</td><td>위치: ply 중심/상하단, 적층판 최대/최소, 꼭지점/요소중심 $\sigma_{v}$ </td></tr><tr><td>Max shear stress</td><td>위치: ply 중심/상하단, 적층판 최대/최소, 꼭지점/요소중심 $\tau_{\max}$ </td></tr><tr><td rowspan="2">Strain</td><td>In-plane strain</td><td>위치: ply 중심/상하단, 적층판 최대/최소, 꼭지점/요소중심 $\varepsilon_{11}$ , $\varepsilon_{22}$ , $\gamma_{12}$ </td></tr><tr><td>Principal strain</td><td>위치: ply 중심/상하단, 적층판 최대/최소, 꼭지점/요소중심 $E_{1}$ , $E_{2}$ , 주변형률 방향</td></tr></table>
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<table><tr><td rowspan="2"></td><td>Von-Mises strain</td><td>위치 : ply 중심/상하단, 적층판 최대/최소, 꼭지점/요소중심 $\varepsilon_{v}$ </td></tr><tr><td>Max shear strain</td><td>위치 : ply 중심/상하단, 적층판 최대/최소, 꼭지점/요소중심 $\gamma_{\text{max}}$ </td></tr><tr><td rowspan="3">Force/Moment</td><td>In-plane force</td><td>위치 : 꼭지점/요소중심 $N_{xx}$ , $N_{yy}$ , $N_{xy}$ </td></tr><tr><td>Bending moment</td><td>위치 : 꼭지점/요소중심 $M_{xx}$ , $M_{yy}$ , $M_{xy}$ </td></tr><tr><td>Shear force</td><td>위치 : 꼭지점/요소중심 $Q_{xz}$ , $Q_{yz}$ </td></tr><tr><td>Misc.</td><td>Failure index/strength ratio</td><td>위치 : ply 중심/상하단, 적층판 최대/최소, 꼭지점/요소중심Tsai-Wu, Tsai-Hill, Hoffman, max-strain, max-stress 또는 LaRC02</td></tr></table>
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# • 비선형 해석
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Layered shell 요소는 기하학적 비선형성을 고려할 수 있으며, 탄소성 재료를 적용할 수 있다. 탄소성 재료를 적용할 때에는 각 층마다 Simpson 적분점 개수를정의할 수 있다. 비선형 해석에서의 결과 항목은 다음과 같다.
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표 3.16.2 Layered shell 요소의 비선형해석 결과 항목
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<table><tr><td colspan="2">결과 항목</td><td>설명</td></tr><tr><td rowspan="2">Stress</td><td>Equivalent stress</td><td>위치 : ply 중심/상하단, 적층판 최대/최소적분점소성 모델에 따라 계산, $\sigma_{eq}$ </td></tr><tr><td>Plastic status</td><td>위치 : ply 중심/상하단, 적층판 최대/최소적분점탄성/소성, 0/1</td></tr><tr><td rowspan="2">Strain</td><td>Equivalent strain</td><td>위치 : ply 중심/상하단, 적층판 최대/최소적분점소성 모델에 따라 계산, $\varepsilon_{eq}$ </td></tr><tr><td>Effective plastic strain</td><td>위치 : ply 중심/상하단, 적층판 최대/최소적분점 $e_{p}$ </td></tr></table>
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# 3.17 Layered solid 요소
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Layered solid 요소는 복합재료의 모델링에 사용하며, layered shell 요소를 사용하기에는 두꺼운 구조에 적합하다. midas NFX에서는 복합재료 성질을 가진solid 요소를 layered solid 요소로 가정하고 있으며, 사용할 수 있는 layeredsolid 요소는 오면체 쐐기 형태와 육면체(hexahedron) 모양이며 6/8/15/20 개의절점을 가질 수 있다. 좌표계의 정의, 자유도 선정 그리고 하중의 종류 등은solid 요소와 동일하다.
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# • 좌표계
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Layered solid 요소의 ECS는 solid 요소와 동일하게 정의한다. 재료의 적층 순서는 ECS의 z축을 기준으로 아래에서 위쪽으로 적층된다고 가정한다. Layeredsolid 요소는 복합재료 적층판의 모델링에 주로 적용되므로 직교이방성 재료를사용하는 경우가 많다. 이와 같은 경우 MCS를 사용하게 되는데, 그림 3.17.1과같이 x축을 요소의 중립면에 투영하여 그 방향을 재료의 주축으로 가정한다.
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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User-defined
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material
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coordinate
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y
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x
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z
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Projection
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8
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4
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MCS - y
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MCS - x
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6
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Mid-plane
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1
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2
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3
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7
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5
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</details>
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그림 3.17.1 좌표계를 이용한 layered solid 요소의 재료축 정의
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\- 두께 방향 적분 방법
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Layered solid 요소는 두께 방향으로 여러 겹의 각기 다른 재료가 적층 되어 있다고 가정하기 때문에 일반적인 가우스 적분법을 사용할 경우 수치적으로 계산량이 많아지게 된다. midas NFX에서는 이와 같은 문제를 해결하기 위하여 B 행렬과 자코비언 J 를 자연 좌표 ζ 에 대해 전개하여 해석적분(analytic integration)을 수행한다.
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변위와 변형률 관계를 ζ에 대해 분해하면 다음과 같다.
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$$
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\boldsymbol {\varepsilon} = \mathbf {B} \mathbf {u} = (\mathbf {B} _ {0} + \zeta \mathbf {B} _ {1} + \zeta^ {2} \mathbf {B} _ {2}) \mathbf {u} \tag {3.17.1}
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$$
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자코비언 J 또한 동일한 방법으로 분해하면 다음과 같이 강성행렬을 계산할 수 있다.
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$$
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\mathbf {K} = \iint_ {\xi \eta} \sum_ {k} \int_ {\zeta_ {B k}} ^ {\zeta_ {T k}} \left(\mathbf {B} _ {0} + \zeta \mathbf {B} _ {1} + \zeta^ {2} \mathbf {B} _ {2}\right) ^ {T} \mathbf {C} ^ {(k)} \left(\mathbf {B} _ {0} + \zeta \mathbf {B} _ {1} + \zeta^ {2} \mathbf {B} _ {2}\right) \left(J _ {0} + \zeta J _ {1} + \zeta^ {2} J _ {2}\right) d \zeta d \xi d \eta \tag {3.17.2}
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$$
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$\zeta_{Bk}$ , $\zeta_{Tk}$ : 각 층의 상/하단에서의 좌표값 $\zeta$
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$C^{(k)}$ : 각 층의 응력-변형률 관계행렬
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\- 응력-변형률 관계식의 수정
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6절점과 8절점 layered solid 요소는 일반적인 등매개변수(isoparameric) 정식화 방법으로는 정확한 해를 얻을 수 없을 뿐만 아니라 잠김 현상이 발생하기 때문에 3.3절에서 설명한 다양한 성능 향상 기법을 적용한다. 특히 layered solid 요소는 두께가 않은 적층판을 모델링할 때 많이 사용되기 때문에 두께방향으로 응력이 거의 발생하지 않는 경우가 많은 반면, solid 요소의 특성을 가지고 있기 때문에 두께 방향으로 재하된 하중이 있을 경우에는 이에 의해 수직응력이 발생하기도 한다. 이와 같은 현상을 동시에 고려하기 위하여 midas NFX의 6절점과 8절점 layered solid 요소는 응력-변형률 관계식의 수정된 형태 $^{23}$ 를 사용하여 두께 방향으로 일정한 응력을 유지하도록 하였다.
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• 요소 결과
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midas NFX의 layered solid 요소는 요소의 두께 방향으로 각 층 (ply) 마다 중심또는 상/하단에서 결과를 제공한다. 또한 전체 적층판의 최대/최소값을 제공한다. 응력 및 변형률의 결과는 각 층의 재료 주축방향으로 출력된다.
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표 3.17.1 Solid 요소의 결과 항목
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<table><tr><td colspan="2">결과 항목</td><td>설명</td></tr><tr><td rowspan="6">Stress</td><td>Stress component</td><td>위치: ply 중심/상하단, 적층판 최대/최소, 꼭지점/요소중심 $\sigma_{11}$ , $\sigma_{22}$ , $\sigma_{33}$ , $\tau_{12}$ , $\tau_{23}$ , $\tau_{31}$ </td></tr><tr><td>Principal stress</td><td>위치: ply 중심/상하단, 적층판 최대/최소, 꼭지점/요소중심 $P_{1}$ , $P_{2}$ , $P_{3}$ , 주응력 방향</td></tr><tr><td>Von-Mises stress</td><td>위치: ply 중심/상하단, 적층판 최대/최소, 꼭지점/요소중심 $\sigma_{v}$ </td></tr><tr><td>Max shear stress</td><td>위치: ply 중심/상하단, 적층판 최대/최소, 꼭지점/요소중심 $\tau_{\text{max}}$ </td></tr><tr><td>Octahedral stress</td><td>위치: ply 중심/상하단, 적층판 최대/최소, 꼭지점/요소중심 $\tau_{o}$ </td></tr><tr><td>Mean pressure</td><td>위치: ply 중심/상하단, 적층판 최대/최소, 꼭지점/요소중심 $p_{0}$ </td></tr><tr><td rowspan="5">Strain</td><td>Strain component</td><td>위치: ply 중심/상하단, 적층판 최대/최소, 꼭지점/요소중심 $\varepsilon_{11}$ , $\varepsilon_{22}$ , $\varepsilon_{33}$ , $\gamma_{12}$ , $\gamma_{23}$ , $\gamma_{31}$ </td></tr><tr><td>Principal strain</td><td>위치: ply 중심/상하단, 적층판 최대/최소, 꼭지점/요소중심 $E_{1}$ , $E_{2}$ , $E_{3}$ , 주변형률 방향</td></tr><tr><td>Von-Mises strain</td><td>위치: ply 중심/상하단, 적층판 최대/최소, 꼭지점/요소중심 $\varepsilon_{v}$ </td></tr><tr><td>Max shear strain</td><td>위치: ply 중심/상하단, 적층판 최대/최소, 꼭지점/요소중심 $\gamma_{\text{max}}$ </td></tr><tr><td>Octahedral strain</td><td>위치: ply 중심/상하단, 적층판 최대/최소, 꼭지점/요소중심 $\gamma_{o}$ </td></tr></table>
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<table><tr><td></td><td>Mean compression</td><td>위치 : ply 중심/상하단, 적층판 최대/최소, 꼭지점/요소중심 $c_{0}$ </td></tr><tr><td>Misc.</td><td>Failure index/strength ratio</td><td>위치 : ply 중심/상하단, 적층판 최대/최소, 꼭지점/요소중심Tsai-Wu, Tsai-Hill, Hoffman, max-strain, max-stress 또는 LaRC02</td></tr></table>
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• 요소 기법의 선택
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midas NFX에서 사용할 수 있는 layered solid 요소는 요소의 성능향상 기법에따라 여러 가지 종류가 있다. 다음은 각각에 대해 midas NFX에서 통칭하는 명칭과 관련 유한요소 기법 그리고 적분 방법 등을 정리한 것이며, 진하게 표시된것이 기본값이다.
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표 3.17.2 Layered solid 요소에 사용된 성능향상 기법
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<table><tr><td>형상</td><td>절점수</td><td>명칭</td><td>요소기법</td><td>강성행렬수치적분</td><td>집중질량계산방법</td></tr><tr><td rowspan="2">쇄기</td><td rowspan="2">6</td><td>Full integration</td><td>변위가정법/ANS응력-변형률 관계 수정</td><td>3 점</td><td>Lobatto</td></tr><tr><td>Hybrid</td><td>혼합법/ANS응력-변형률 관계 수정</td><td>3 점</td><td>Lobatto</td></tr><tr><td rowspan="2">육면체</td><td rowspan="2">8</td><td>Full integration</td><td>변위가정법/ANS응력-변형률 관계 수정</td><td>2X2 점</td><td>Lobatto</td></tr><tr><td>Hybrid</td><td>혼합법/ANS응력-변형률 관계 수정</td><td>2X2 점</td><td>Lobatto</td></tr><tr><td>쇄기</td><td>15</td><td></td><td>변위가정법</td><td>3 점</td><td>대각항스케일링</td></tr><tr><td rowspan="2">육면체</td><td rowspan="2">20</td><td>Full integration</td><td>변위가정법</td><td>3X3 점</td><td>대각항스케일링</td></tr><tr><td>Reduced integration</td><td>감차적분법</td><td>2X2 점</td><td>대각항스케일링</td></tr></table>
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각 요소 기법의 특징 및 사용 시 주의 사항은 다음과 같다.
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► 8절점 요소 : 자연 변형률 가정법을 채택하였기 때문에 모든 기법이 대체로정확한 결과를 보인다.
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► 20절점 요소 : 얇은 구조물에 대해서는 감차적분법을 적용한 요소가 우수한성능을 보이나, 가영 에너지 모드가 발생할 수도 있다.
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# • 비선형 해석
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Layered solid 요소는 기하학적 비선형성을 고려할 수 있으며, 탄소성 재료를 적용할 수 있다. 탄소성 재료를 적용할 때에는 각 층마다 Simpson 적분점 개수를선택할 수 있다. 비선형 해석에서의 결과 항목은 다음과 같다.
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표 3.17.3 Layered solid 요소의 비선형해석 결과 항목
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<table><tr><td colspan="2">결과 항목</td><td>설명</td></tr><tr><td rowspan="2">Stress</td><td>Equivalent stress</td><td>위치 : ply 중심/상하단, 적층판 최대/최소적분점소성 모델에 따라 계산, $\sigma_{eq}$ </td></tr><tr><td>Plastic status</td><td>위치 : ply 중심/상하단, 적층판 최대/최소적분점탄성/소성, 0/1</td></tr><tr><td rowspan="2">Strain</td><td>Equivalent strain</td><td>위치 : ply 중심/상하단, 적층판 최대/최소적분점소성 모델에 따라 계산, $\varepsilon_{eq}$ </td></tr><tr><td>Effective plastic strain</td><td>위치 : ply 중심/상하단, 적층판 최대/최소적분점 $e_{p}$ </td></tr></table>
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# 3.18 그 밖의 요소
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midas NFX에서는 앞서 설명한 일반적인 구조 요소 이외에 스칼라 요소, bush요소, 특수 요소, 강체/보간 요소 등을 제공하고 있다.
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# • 스칼라 요소
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스칼라 요소는 하나의 절점이 접지점에 대한 상대적 거동을 할 때 발생하는 변형 에너지 또는 운동 에너지를 표현하거나 두 절점의 상대적 운동을 고려할 수있다. 스칼라 요소는 크게 spring 요소와 mass 요소 그리고 damper 요소로 나누어지며, 각각은 변형 에너지와 운동 에너지를 가지거나 속도에 대한 저항력을표현하는 차이 이외에 모든 기술 방식이 동일하다.
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1 절점 spring 요소는 모델의 경계부분에 위치한 인접구조물을 탄성경계조건으로 고려할 때, 또는 특이성 오류를 임시 방편으로 방지할 때 사용된다. 2절점spring 요소는 두 절점을 탄성 연결하는 기능을 하며 독립적으로 구성된 모델사이의 인접면들이 상대적으로 탄성 거동을 하도록 할 때 사용한다. Spring 요소의 강성은 해당 절점의 NDCS에 대해 입력한다.
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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SRY
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SY
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SX
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Nodal Point
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SZ
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SRX
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SRZ
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z
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y
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x
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</details>
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그림 3.18.1 절점변위좌표계를 사용한 spring 요소의 예
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Mass 요소는 구조물에서 강성 효과를 가지지 않는 부분의 모델링 시에 사용할수 있다. Mass 요소의 질량 역시 해당 절점의 NDCS에 대해 입력한다. Damper요소는 동적 구조해석을 수행할 때 사용하는 것으로 역시 NDCS에 대해 감쇠값
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